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高三数学答案 第 1 页 共 5 页
滨城高中联盟2025-2026 学年度上学期高三期中Ⅰ考试
数学试卷答案
一．选择题（单选）：1.D 2.C 3.B 4.A .5.D 6.C 7.C 8.B.
二．选择题（多选）：9.ABC 10.AB 11.ACD
三．填空：12. 5 13.
1
a − 14. 16
四．解答题：
15. （1）由
2
2
3
0
x
x
−
−
+
，解得3< <1
x
−
，则
( 3,1)
A = −
， -------2 分
R
(
, 3]
[1,
)
A = −−
+， -------3 分
当
1
m = 时，
(
)
0,3
B =
， -------4 分
所以
(0,1)
A
B =
，
R
(
)
(
, 3]
(0,
)
A
B = −−
+. -------6 分
（2）由“ x
A
”是“ x
B
”的必要不充分条件，得B 是A 的真子集，------8 分
当B = 时，
1
2
1
m
m
−
+ ，解得
2
m −； -------10 分
当B 时，3
1
2
1 1
m
m
−
−
+
，解得2
0
m
−
， -------12 分
所以实数m的取值范围是(
,0
−
. -------13 分
16. （1）由于
π
1
sin(
)
3
3
x +
=
，所以
2π
π
π
π
π
π
2
sin(
)
cos(
)
sin[π
(
)] cos[(
)
]
2sin(
)
3
6
3
3
2
3
3
x
x
x
x
x
−
+
−
=
−
+
+
+
−
=
+
=
.-----5 分
（2）（i）由
1
in
0
0
s
1
= −
，
π
(
,0)
2
−
，得
2
3 10
cos
1 sin
10
=
−
=
，
sin
1
tan
cos
3
=
= −
------------7 分
所以
1
2 (
)
3
2sin
3cos
2tan
3
7
3
1
3sin
2cos
3tan
2
9
3 (
)
2
3
−
+
+
+
=
=
= −
−
−
−
−
. ----------11 分
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（ii）
(
)
(
)
(
)
(
)
π
3π
sin
cos
tan π
cos sin
tan
3
2
2
cos
tan
π sin
π
tan
sin
10
10
−
+
−
−
−
=
= −
= −
−−
−−
−
.
-----------15 分
17. (1)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且
'
2
2
1
( )
m
x
m
f
x
x
x
x
−
=
−
=
--------1 分
当
0
m
时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； --------2 分
当m>0 时，令f′(x)>0，得x>m，∴f(x)的单调递增区间为(m，＋∞)． -------3 分
当0<x<m 时，f′(x)<0,∴f(x)的单调递减区间为(0，m) -------4 分
综上所述，当
0
m
时，函数f′ (x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当m>0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(m，＋∞)．
单调递减区间为(0，m) --------5 分
(2)由(1)可知
'
2
( )
x
m
f
x
x
−
=
①若
1
m ，即f′(x)≥0 在[1，e]上恒成立，且f′(x)不恒为0，∴f(x)在[1，e]上为增函数．
∴f(x)min＝f(1)＝m+1= 5
2
.∴m＝3
2，不符合题意，舍去 ------------------------8 分
②若m
e
，则f′(x)≤0 在[1，e]上恒成立，且f′(x)不恒为0，∴f(x)在[1，e]上为减函数．
∴f(x)min＝f(e)＝
5
1
1
2
m
e
+
+ =
.∴m＝e
2，不符合题意，舍去 ------------------------11 分
② 若1
m
e
，则当1≤x<m 时，f′(x)<0，∴f(x)在[1，m)上为减函数，当m<x≤e 时，
f′(x)>0，
∴f(x)在(m，e]上为增函数，∴f(x)min＝f(m)＝lnm＋2＝5
2
∴m＝
e，符合题
意． -----------14 分
综上，m＝e. -----------15 分
18.（1）令
sin
,
1,1
x
t t
=
−
，则
( )
f x 变为，
--------------1 分
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①当
1
a
−−，即
1
a 时，
②当1
1
a
−−，即1
1
a
−
时，
③当
1
a
−，即
1
a −时，
----------------4 分
综上可知,
--------------------5 分
（2）由已知可知只需
( )min
0
f x
，当
π
0, 2
x
时，
sin
0,1
t
x
=
，
函数
( )
y
f x
=
变为
所求问题变为( )min
0
g t
恒成立， -----------6 分
易知( )
g x 的图象是开口向下的抛物线的一部分，
最小值一定在区间端点处取得，所以有
( )
( )
0
4
0
1
3
0
g
a
g
a
=
+
= −+
， ----------9 分
解得4
3
a
−
，故a 的取值范围是(
)
4,3
−
-----------10 分
（3）令
.由题意可知， 原题可转化为
，在
时，方程有两个不等实数根，
其中一个在
上，另一个在
上， --------------12 分
或者一个根在
上，另一个根为1， ----------------14 分
令
，则有
或
求出的值后验证是否符合题意即可. ---------------------16 分
解得
----------------------17 分
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19. （1）当
1
a = 时，
( )
(
)(
)
2
2
1
1
1
2
1
2
1
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
+
−
+
−
=
+ −
=
=
−
， ---------2 分
令
( )
0
f
x
=
，可得
1
2
x =
或-1，因为
0
x
,所以
1
2
x =
，故当
1
a = 时，当
1
0, 2
x
时，
( )
0
f
x
，
1 ,
2
x
+
时，
( )
0
f
x
1
1
1
3
)
ln 2
ln 2
2
4
2
4
=
+
+
=
+
函数f(x)的极小值为f(
，无极大值。--------5 分
（2）当1
e
e
x
时，可得方程
( )
2
ln
0
f x
x
ax
x
=
+
−
=
有两个不相等的实数根，
即方程
ln x
a
x
x
= −+
有两个不相等的实数根，
令( )
ln x
g x
x
x
= −+
，其中1
e
e
x
， -----------------------7 分
由题意可知，直线y
a
=
与函数( )
ln x
g x
x
x
= −+
在1 ,e
e
上的图象有两个公共点，
------------------------8 分
( )
2
2
2
1 ln
ln
1
1
x
x
x
g
x
x
x
−
−
+
= −+
=
−
， ---------------------------9 分
令( )
2
ln
1
h x
x
x
−
= −
+ ，则ℎ(𝑥)与
( )
g
x
同号，
则
( )
1
2
0
h x
x
x
= −
−
对任意的
1,e
e
x
恒成立，
所以，函数( )
2
ln
1
h x
x
x
−
= −
+ 在1 ,e
e
上为减函数，且ℎ(1) = 0， ---------10 分
当1
1
e
x
时，( )
( )
1
0
h x
h
=
，此时，
( )
0
g
x
，此时函数( )
g x 单调递增 -------11 分
当1
e
x
时，( )
( )
1
0
h x
h
=
，此时，
( )
0
g
x
，此时函数( )
g x 单调递减 -------12 分
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所以，( )
( )
max
1
1
g x
g
=
= −， --------13 分
又因为
1
1 -e
e
e
g
= −
，( )
1
e
e
e
g
= −+
，显然
( )
1
e
e
g
g
， --------14 分
当
1
1
e+ e
a
−
−
时，直线y
a
=
与函数( )
ln x
g x
x
x
= −+
在1 ,e
e
上的图象有两个公共点，
-------16 分
因此，实数a 的取值范围是
1 , 1
e
e
−+
−
. --------17 分
