仿真模拟卷02(原卷版)

2025 年高考数学仿真模拟卷02（新高考通用）
（考试时间：120 分钟  试卷满分：150 分）
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
3
1
{ |
1},
{ | 2
}
2
x
A
x x
B
x
=
<
=
>
，则（    ）
A．
{ |
1}
A
B
x x
=
< -
I
B．
{ | 1
1}
A
B
x
x
=
- <
<
I
C．
{ |
1}
A
B
x x
=
< -
U
D．
{ |
1}
A
B
x x
È
=
<
2．已知
i
i
1
z
z
- =
+
，则在复平面内z 所对应的点位于（    ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．设
n
S 是等差数列
na
的前n 项和，若
3
8
5
15,
18
S
S
S
=
-
=
，则
8S = （    ）
A．132
B．88
C．44
D．33
4．在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，E 为棱
1
1
AC 上点并且
1
1
2
A E
EC
=
uuur
uuuur .设BA
a
=
uuur
r ，
1
BB
b
=
uuur
r
，BC
c
=
uuur
r ，则BE =
uuur
（  ）
A．2
1
3
3
a
b
c
+
+
r
r
r      
B．1
2
3
3
a
b
c
+
+
r
r
r
      
C．
1
2
3
3
a
b
c
+
+
r
r
r
    
D．1
3a
b
c
+
+
r
r
r
5．北京故宫博物院成立于1925 年10 月10 日，是在明朝、清朝两代皇宫及其收藏的基础上建立起来的大
型综合性博物馆，也是中国最大的古代文化艺术博物馆．2025 年北京故宫博物院将迎来建院100 周年．用
2025，100，2，0，2，5 这6 个数可以组成的不同的11 位数的个数为（    ）
A．594
B．300
C．294
D．297
6．某市教育主管部门为了解高三年级学生学业达成的情况，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000
名学生，他们的学业达成情况按照从高到低都分布在
, ,
,
,
A B C D E 五个层次内，分男､女生统计得到以下样本
分布统计图，则下列叙述正确的是（    ）
A．样本中A 层次的女生比相应层次的男生人数多
B．估计样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小
C．D 层次的女生和E 层次的男生在整个样本中频率相等
D．样本中B 层次的学生数和C 层次的学生数一样多
7．已知定义在R 上的函数

f x 满足






2 f x
y f x
y
f x
f
y
+
-
=
+
，且

0
0
f
¹
，则下列结论正确的是
（    ）
A．

0
1
f
= -
B．函数

f x 为奇函数
C．函数

f x 有2 个零点
D．



2
f
x
f x
=
8．已知抛物线 
2
:
8
E y
x
=
的焦点为 F
A
B
，，
 为抛物线上的两点，满足 
90
AFB
Ð
=
o ，线段 AB 的中点为 
M
M
，
 到抛物线 E 的准线的距离为 d ，则 
d
MF 的最大值为（     ）
A．
2
4
B．
2
2
C．2
D．2 2
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知函数

2
2cos
3sin 2
1
f x
x
x
w
w
=
+
- （
0
w >
）的最小正周期为π ，则（    ）
A．
2
w =
B．函数

f x 在
π
0, 6
æ
ö
ç
÷
è
ø 上为增函数
C．
π ,0
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 是

f x 的一个对称中心
D．函数
π
6
f
x
æ
ö
+
ç
÷
è
ø的图像关于y 轴对称
10．已知曲线



2
2
3
4,
e
,
x n
f x
x
x
g x
h x
x
m
+
=
+
+
= -
= - +
，则（    ）
A．直线
7
2
y
x
=
+
与曲线

f x 相切
B．若直线
4
y
x
= - -
与曲线
g x 相切，则
3
n = -
C．当曲线
h x 与曲线


,
f x
g x 都相切时，
1
m
n
+
= -
D．当
0
n =
时，若过原点可作曲线

y
g x h x
=
的两条切线，则
0
m <
或
4
m >
11．给定数列
na
，定义差分运算：
2
*
1
1
,
,
N
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a n
+
+
D
=
-
D
= D
- D
Î
．若数列
na
满足
2
na
n
n
=
+
，
数列
nb
的首项为1，且
1
*
(
2) 2
,
N
n
nb
n
n
-
D
=
+
×
Î
，则（    ）
A．存在
0
M >
，使得
2
na
M
D
<
恒成立
B．
1
2n
nb
n
-
=
´
C．对任意
0
M >
，总存在
*
N
nÎ
，使得
nb
M
<
D．对任意
0
M >
，总存在
*
nÎN ，使得
2
n
n
b
M
b
D
>
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．直线3
2
6
x
y
+
=
经过椭圆
2
2
2
2
1
m x
n y
+
= 的两个顶点，则该椭圆的离心率为        
．
13．已知


cos
2cos 2
b
a
b
=
+
，则


tan
tan
a
b
a
+
=          
.
14．在正三棱锥P
ABC
-
中，
3 2,
6
PA
PB
PC
AB
=
=
=
=
，点D 在
ABC
V
内部运动（包括边界），点D 到棱
,
,
PA PB PC 的距离分别记为
1
2
3
,
,
d d
d ，且
2
2
2
1
2
3
20
d
d
d
+
+
=
，则点D 运动路径的长度为       
．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
已知函数

2
ex
f
x
ax
=
-
，
R
a Î
，

f
x
¢
为函数

f x 的导函数．
(1)讨论函数

f
x
¢
的单调性；
(2)若任意


0,1
xÎ
，


2
2
f x
f
x
ax
¢
+
<
-
恒成立，求a 的取值范围．
16．（15 分）
如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，AB
AC
^
，
1
2
AB
AC
AA
=
=
=
，
1
1
2π
3
A AB
A AC
Ð
= Ð
=
(1)求证：
1
BC
AA
^
；
(2)侧棱
1
CC 上是否存在点D ，使得直线AD 与平面
1A BC 所成角的正弦值为
70
14
？若存在，确定点D 的位置；
若不存在，说明理由.
17．（15 分）
在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且


2 tan
tan
tan
b
C
c
A
C
=
+
.
(1)求角A 的大小；
(2)若
π ,
4
4
B
c
=
=
.
（i）求b ；
（ii）过边AC 上一点P 作
,
AB BC 的垂线，垂足分别为
,
D E ，求DE 的最小值.
18．（17 分）
如图，甲、乙、丙、丁按顺时针方向依次围坐在圆桌周围玩掷骰子游戏，规定：每次随机掷3 枚骰子，观
察骰子向上的点数，第一次由甲掷骰子．若掷出的骰子中没有点数大于3 的骰子，则下一次由甲继续掷骰
子；若掷出的骰子中有1 枚点数大于3 的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第1 个人，即下一次
由乙继续掷骰子；若掷出的骰子中有2 枚点数大于3 的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第2 个
人，即下一次由丙继续掷骰子；若掷出的骰子中有3 枚点数大于3 的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲
后面的第3 个人，即下一次由丁继续掷骰子．记第二次掷骰子的人为A（A 为甲或乙或丙或丁），若A 掷出
的骰子中有i 枚点数大于3 的骰子，则按顺时针方向数，第三次由A 后面的第i 个人掷骰子（若i=0，则第
三次由A 继续掷骰子）．此后每次掷骰子由此类推．
(1)分别求出第二次由甲、乙、丙、丁掷骰子的概率；
(2)记前三次中甲掷骰子的次数为X，求X 的分布列及期望；
(3)记第n 次由甲掷骰子的概率为
n
P甲，第n 次由丙掷骰子的概率为
n
P丙，证明：当
2
n ³
时，
1
2
n
n
P
P
+
=
甲
丙
．
19．（17 分）
已知双曲线E：


2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的左，右焦点分别为
1
2
,
F F ，离心率为2，点B 为

0,b ，直线
2
BF 与
圆
2
2
7
7
12
0
x
y
+
-
=
相切.
(1)求双曲线E 方程；
(2)过
2
F 的直线l 与双曲线E 交于M，N 两点，
①若


2
2
1
3
MF
F N
l
l
=
<
<
uuuur
uuuur
，求
MON
△
的面积取值范围：
②若直线l 的斜率为k，是否存在双曲线E 上一点Q 以及x 轴上一点P，使四边形PMQN 为菱形？若存在，
求出
2
k ；若不存在，请说明理由.