文档文本内容
第三辑
导数（选填题）………………………………………………………………………
01
立体几何（选填题）…………………………………………………………………
17
直线与圆（选填题）…………………………………………………………………
41
圆锥曲线（选填题）…………………………………………………………………
56
数列（选填题）………………………………………………………………………
85
导数（选填题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考I 卷
10
6
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
利用导数求函数的
单调区间（不含
参）；求已知函数
的极值点
2024 年新高考I 卷
13
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
.
两条切线平行、垂
直、重合（公切
线）问题；已知切
线（斜率）求参数
2024 年新高考II
卷
11
6
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
函数对称性的应
用；函数单调性、
极值与最值的综合
应用；利用导数研
究函数的零点；判
断零点所在的区间
2023 年新高考I 卷
11
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
的定义域为
，
，则（ ）．
A．
B．
函数奇偶性的定义
与判断；函数极值
点的辨析
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
2023 年新高考II
卷
6
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
在区间
上单调递增，则
a 的最小值为（ ）．
A．
B．e
C．
D．
由函数在区间上的
单调性求参数
2023 年新高考II
卷
11
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数
既有极大值也有
极小值，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
根据二次函数零点
的分布求参数的范
围；根据极值求参
数
2022 年新高考I 卷
7
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
用导数判断或证明
已知函数的单调
性；比较指数幂的
大小；比较对数式
的大小
2022 年新高考I 卷
10
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线
有两条过坐标原点的切线，则a
的取值范围是 ．
求过一点的切线方
程；求某点处的导
数值
2022 年新高考I 卷
15
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数
，则（ ）
A．
有两个极值点
B．
有三个零点
C．点
是曲线
的对称中心
D．直线
是曲线
的切线
求在曲线上一点处
的切线方程（斜
率）；求已知函数
的极值点；利用导
数研究函数的零点
2022 年新高考II
卷
14
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线
过坐标原点的两条切线的方程为
， ．
求过一点的切线方
程
近三年新高考数学导数选填题考查情况总结
1.考点：涵盖利用导数求单调区间、极值点（2024 年新课标 Ⅰ 卷）；根据切线求参数（2024 年新
课标 Ⅰ 卷）；函数对称性、单调性与极值最值综合（2024 年新课标 Ⅱ 卷）；函数奇偶性判断（2023
年新课标 Ⅰ 卷）；由单调性求参数（2023 年新课标 Ⅱ 卷）；根据极值求参数范围（2023 年新课标
Ⅱ 卷）；用导数比较大小（2022 年新课标 Ⅰ 卷）；求切线方程（2022 年新课标 Ⅰ 卷、Ⅱ 卷）等。
2.题型：以选择题为主，分值 5 - 6 分，注重考查导数工具在研究函数性质（单调性、极值、最值
等）及切线问题中的应用，对运算和逻辑推理能力要求较高。
1. 题型与分值：预计仍为选择题或填空题，分值 5 - 6 分。
2. 考查方向：持续考查导数与函数性质的结合，如根据函数单调性、极值情况求参数；可能增加与函数图
象（如切线、零点分布）、不等式的综合；也可能出现新颖的函数形式，考查对导数知识的灵活运用和创
新思维。
1. 八大常用函数的求导公式
（
为常数）
；例：
，
，
，
，
，
，
，
2. 导数的四则运算
（1）和的导数：
（2）差的导数：
（3）积的导数：
（前导后不导
前不导后导）
（4）商的导数：
，
3. 复合函数的求导公式
函数
中，设
（内函数），则
（外函数）
4. 导数的几何意义
（1）导数的几何意义
导数
的几何意义是曲线
在某点
处切线的斜率
（2）直线的点斜式方程
直线的点斜式方程：已知直线过点
，斜率为
，则直线的点斜式方程为：
5. 用导数判断原函数的单调性
设函数y=f ( x)在某个区间内可导，如果f '( x)>0 ，则f ( x)为增函数；如果f '( x)<0 ，则f ( x)为减
函数.
6. 判别f ( x0)是极大（小）值的方法
当函数f ( x)在点x0 处连续时，
（1）如果在x0 附近的左侧f '( x)>0 ，右侧f '( x)<0 ，则f ( x0)是极大值；
（2）如果在x0 附近的左侧f '( x)<0 ，右侧f '( x)>0 ，则f ( x0)是极小值.
7. 常见的指对放缩
，
，
，
8. 常见的三角函数放缩
9. 其他放缩
，
，
，
，
，
，
10. 常见函数的泰勒展开式
（1）
，其中
；
（2）
，其中
；
（3）
，其中
；
（4）
，其中
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
.
【答案】
【分析】先求出曲线
在
的切线方程，再设曲线
的切点为
，
求出
，利用公切线斜率相等求出
，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由
得
，
，
故曲线
在
处的切线方程为
；
由
得
，
设切线与曲线
相切的切点为
，
由两曲线有公切线得
，解得
，则切点为
，
切线方程为
，
根据两切线重合,所以
，解得
.
故答案为：
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
【答案】AD
【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为
，根据零点存在定理和极值的符号判断出
在
上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在
这样的
，使得
为
的对称轴，则
为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这
样的
，使得
为
的对称中心，则
，据此进行计算判断，亦可利用拐点
结论直接求解.
【详解】A 选项，
，由于
，
故
时
，故
在
上单调递增，
时，
，
单调递减，
则
在
处取到极大值，在
处取到极小值，
由
，
，则
，
根据零点存在定理
在
上有一个零点，
又
，
，则
，
则
在
上各有一个零点，于是
时，
有三个零点，A 选项正确；
B 选项，
，
时，
，
单调递减，
时
，
单调递增，
此时
在
处取到极小值，B 选项错误；
C 选项，假设存在这样的
，使得
为
的对称轴，
即存在这样的
使得
，
即
，
根据二项式定理，等式右边
展开式含有
的项为
，
于是等式左右两边
的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的
，使得
为
的对称轴，C 选项错误；
D 选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的
，使得
为
的对称中心，
则
，事实上，
，
于是
即
，解得
，即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，
，
，
由
，于是该三次函数的对称中心为
，
由题意
也是对称中心，故
，
即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）
的对称轴为
；（2）
关于
对称
；（3）任何三次函数
都有对称中心，对称中心是三次函数
的拐点，对称中心的横坐标是
的解，即
是三次函数的对称中心
典例3
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值为（ ）．
A．
B．e
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
在
上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，
在
上恒成立，显然
，所以
，
设
，所以
，所以
在
上单调递增，
，故
，即
，即a 的最小值为
．
故选：C．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）若函数
既有极大值也有极小值，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】求出函数
的导数
，由已知可得
在
上有两个变号零点，转化为一元二次方程
有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数
的定义域为
，求导得
，
因为函数
既有极大值也有极小值，则函数
在
上有两个变号零点，而
，
因此方程
有两个不等的正根
，
于是
，即有
，
，
，显然
，即
，A 错误，BCD 正确.
故选：BCD
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
， 导数判断其单调性，由此确定
的大小.
【详解】方法一：构造法
设
，因为
，
当
时，
，当
时
，
所以函数
在
单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，故
，即
，
所以
，所以
，故
，所以
，
故
，
设
，则
,
令
，
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
又
，
所以当
时，
，
所以当
时，
，函数
单调递增，
所以
，即
，所以
故选：C.
方法二：比较法
解：
，
，
，
①
，
令
则
，
故
在
上单调递减，
可得
，即
，所以
；
②
，
令
则
，
令
，所以
，
所以
在
上单调递增，可得
，即
，
所以
在
上单调递增，可得
，即
，所以
故
典例6
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
有两个极值点
B．
有三个零点
C．点
是曲线
的对称中心
D．直线
是曲线
的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合
的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数
的几何意义判断D.
【详解】由题，
，令
得
或
，
令
得
，
所以
在
，
上单调递增，
上单调递减，所以
是极值点，故A 正
确；
因
，
，
，
所以，函数
在
上有一个零点，
当
时，
，即函数
在
上无零点，
综上所述，函数
有一个零点，故B 错误；
令
，该函数的定义域为
，
，
则
是奇函数，
是
的对称中心，
将
的图象向上移动一个单位得到
的图象，
所以点
是曲线
的对称中心，故C 正确；
令
，可得
，又
，
当切点为
时，切线方程为
，当切点为
时，切线方程为
，故D 错误.
故选：AC.
【名校预测·第一题】（山东省泰安第一中学2024-2025 学年高三下学期4 月月考数学试题）
已知函数
，其导函数记为
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【来源】山东省泰安第一中学2024-2025 学年高三下学期4 月月考数学试题
【分析】化简
，令
，判断该函数的奇偶性，结合奇偶性以及
，求得
，根据复合函数求导法则得
，进而得
，即
，即可得解.
【详解】因为
，
令
，则
，
又因为
，所以函数
为奇函数，
所以
，所以
；
因为
，所以
，即
，
又
，所以
，所以
，
所以
．
故选：D
【名校预测·第二题】（广东省深圳市高级中学2024-2025 学年高三下学期试题）
已知曲线
的切线与曲线
也相切，若该切线过原点，则
．
【答案】
【来源】广东省深圳市高级中学高中园2024-2025 学年高三下学期第三次模拟考试数学试题
【分析】根据导数的几何意义可得曲线
在点
处的切线方程过原点得出切线方程
为
，再次利用导数的几何意义求得
的切点
，再带入点计算求参.
【详解】因为
的导数为
，设切点为
，
所以切线斜率为
，
所以曲线
在
处的切线过原点，所以
，即
，所以
，切线为
，
又切线
与曲线
相切，设切点为
，
因为
，所以切线斜率为
，解得
，
所以
，则
，解得
.
故答案为：
.
【名校预测·第三题】（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025 学年高三下学期试题）
已知函数
，若经过点
且与曲线
相切的直线有三条，则
的取值范围是 ．
【答案】
【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025 学年高三下学期期初考试数学试题
【分析】设切点坐标为
，根据导数的几何意义得到
，然后将
经过
且与曲线
相切的直线有三条转化为
与
的图象有三个交点，求
导，利用函数单调性画出
大致图象，然后列不等式求解.
【详解】
，设切点坐标为
，切线斜率为
，
当
时，明显只有一条切线，故
，
则
，整理得
，
经过
且与曲线
相切的直线有三条，即
方程有三个解，即
与
的图象有三个交点，
，当
或
时，
，所以
在
，
上单调递增，当
时，
，所以
在
上单调递减，
因为
，所以
，又
，
，所以
的大致图象如下：
所以
，解得
.
故答案为：
.
【名校预测·第四题】（2025 届湖南省长沙市雅礼中学高三4 月试题）
当
时，关于
的不等式
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【来源】2025 届湖南省长沙市雅礼中学高三4 月综合自主测试（提升卷）数学试题
【分析】由已知得
，构造函数
，利用导数判断出
的单调
性，可得
在
时恒成立，令
，利用导数求出
的最大值可得答案.
【详解】由
得
，
即
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
由
，
可得
，
，即
在
时恒成立，
令
，则
，令
得
，
当
时
，
单调递增，
当
时
，
单调递减，
所以
，所以
.
故选：D.
【名校预测·第五题】（辽宁省本溪市高级中学2025 届高三下学期4 月月考数学试题）
（多选）已知函数
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，则下列命题正确的是（ ）
A．当
时，
B．函数
有3 个零点
C．
的解集为
D．
，都有
【答案】BCD
【来源】辽宁省本溪市高级中学2025 届高三下学期4 月月考数学试题
【分析】根据函数奇偶性求解析判断A；解方程求零点判断B；解不等式可判断C；利用导数求出函数的
极值，可得函数值域，即可判断D.
【详解】对于A，函数
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，
则当
时，
，故
，A 错误；
对于B，函数
是定义在R 上的奇函数，故
；
当
时，令
，解得
；
当
时，令
，解得
；
故函数
有3 个零点，B 正确；
对于C，当
时，令
，解得
；
当
时，令
，解得
，则
，
故
的解集为
，C 正确；
对于D，当
时，
，所以
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，所以
时，
取最小值为
，
且
时，
，所以
，即
，
当
时，
，当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
时，
取极大值为
，且
时，
，
时，
，
所以
，所以
，
综合以上，
的值域为
，
所以
，都有
，故D 正确；
故选：BCD
【名师押题·第一题】已知函数
，若
与曲线
相切，则实数
．
【答案】
【分析】设切点为
，得出过该点的切线方程结合已知即可求解．
【详解】设切点为
，又
，则
，
所以切线方程为
，即
，
所以
，解得
，
故答案为：
．
【名师押题·第二题】已知函数
是
上的增函数，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可得
恒成立，进而分
，
两种情况讨论求解即可.
【详解】由
，得
，
因为
是
上的增函数，则
恒成立，
即
恒成立，
当
时，
，此时
不恒成立，不满足题意；
当
时，等价于
对
恒成立，
则
，即
，则
，
设
，
，则
，
令
，得
；令
，得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，即
的最小值是
.
故选：C.
【名师押题·第三题】已知函数
恰有2 个极值点，则实数a 的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题可得
有两个不同正根
，利用分离参数法得到
.令
，，只需
与
有两个交点，利用导数研究
的单调性与极值，利用数形结合即可求解.
【详解】因为函数
的定义域为
，
由
，可得
，
要使函数
有两个极值点，只需
有两个不同正根
，并且
在的两侧的单调性相反，
由
得，
，所以
，
由题意可知
与
有两个不同的交点，
令
，则
，
所以当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
所以
，当
时，
，
作出图形如图所示：
由图象可得实数a 的取值范围为
.
故答案为：
.
【名师押题·第四题】（多选）已知函数
，则（ ）
A．
有三个零点
B．
，使得点
为曲线
的对称中心
C．
既有极大值又有极小值
D．
，
，
【答案】CD
【分析】结合零点的定义分析可得当
时，函数
只有2 个零点，即可判断A；利用
检验判断B；求导，分析函数
的单调性即可判断C；举特例判断D.
【详解】对于B，对于A，令
，解得
或
，
当
时，函数
只有2 个零点，故A 错误；
对于B，
，
则
，
又
，
要使点
为曲线
的对称中心，
则对
，
，
此时
，但
，
所以不存在
，使得点
为曲线
的对称中心，故B 错误；
对于C，由
，则
，
由于
，
则方程
有两个不相等的实数根
，设
，
则
或
时，
；
时，
，
则函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
则函数
在
取得极大值，在
取得极小值，故C 正确；
对于D，当
时，
，
此时
，
，故D 正确.
故选：CD.
【名师押题·第五题】（多选）函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
的极小值为0
B．若
有3 个零点
，
，
，则
C．若
，则
为奇函数
D．当
时，
在区间
上单调递增
【答案】BD
【分析】利用导数求出
的极小值，即可判断A；利用韦达定理求出
的零点之和判断B；利用奇函
数的定义判断C；利用
的导函数在区间
上的正负判断D.
【详解】对于A，当
时，
，则
，
当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增；
所以
为
的极小值，故A 错误；
对于B，由
可知
是其一个零点，令
，
令
，设
是
的两个根，由韦达定理得
，
所以，若函数
的3 个零点为
，
，
，
则
，故B 正确；
对于C，令
，当
时，
，
所以函数
不是奇函数，故C 错误；
对于D，
，
因为当
时，
，当
时，
，
所以
，
所以，当
时，
在区间
上单调递增，故D 正确.
故选：BD.
立体几何（选填题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考I 卷
5
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆
锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的
高均为
，则圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
圆锥表面积的有关计
算、
锥体体积的有关计算、
圆柱表面积的有关计算
2024 年新高考II
卷
7
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台
的体积为
，
，
，则
与平面ABC 所成角的正切值
为（ ）
A．
B．1 C．2 D．3
求线面角
锥体体积的有关计算
台体体积的有关计算
2023 年新高考I 卷
12
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）下列物体中，
能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方
体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（
）
A．直径为
的球体
B．所有棱长均为
的四面体
C．底面直径为
，高为
的圆柱
体
D．底面直径为
，高为
的圆柱
体
正棱锥及基有关计算
多面体与球体内切外接
问题
2023 年新高考I 卷
14
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台
中
，则该棱台的体积为 ．
台体体积的有关计算
2023 年新高考II
卷
9
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶
点为P，底面圆心为O，AB 为底面直径，
锥体体积的有关计算
由二面角大小求线段长
，
，点C 在底面圆周
上，且二面角
为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面积为
C．
D．
的面积为
度或距离
圆锥表面积的有关计算
二面角的概念及辨析
2023 年新高考II
卷
14
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）底面边长为4
的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截
去一个底面边长为2，高为3 的正四棱锥，所
得棱台的体积为 ．
正棱台及基有关计算
锥体体积的有关计算
台体体积的有关计算
2022 年新高考I 卷
8
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四
棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.
若该球的体积为
，且
，则该正
四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
由导数求函数的最值
(不含参)
多面体与球体内切外接
问题
锥体体积的有关计算
球的体积的有关计算
2022 年新高考I 卷
9
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正方
体
，则（ ）
A．直线
与
所成的角为
B．直线
与
所成的角为
C．直线
与平面
所成的角为
D．直线
与平面ABCD 所成的角为
求异面直线所成的角
求线面角
2022 年新高考II
卷
7
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三
棱台的高为1，上、下底面边长分别为
和
，其顶点都在同一球面上，则该球的表
面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
球的表面积的有关计算
多面体与球体内切外接
问题
2022 年新高考II
卷
11
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，四
边形
为正方形，
平面
，
，记三棱锥
锥体体积的有关计算
证明线面垂直
，
，
的体积分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
近三年新高考数学立体几何选填题考查情况总结
考点：涵盖几何体体积（圆柱、圆锥、棱台、棱锥等，如2024 年新课标Ⅰ卷圆锥体积、2023 年新课
标Ⅰ卷正四棱台体积）、表面积（圆锥侧面积等，如2023 年新课标Ⅱ卷）、空间角（线面角，如2024 年
新课标Ⅱ卷）、球的表面积（2022 年新课标Ⅱ卷）及几何体性质综合（如2022 年新课标Ⅰ卷正四棱锥体
积范围）。
题型：以选择题为主，分值5 分，侧重考查空间想象能力、公式运用及计算能力。
2025 年新高考立体几何选填题高考预测
题型与分值：预计为选择题或填空题，分值 5-6 分。
考查方向：延续对几何体体积、表面积的考查，可能涉及空间角（如线面角、二面角）、球与几何体
的切接问题，或出现新颖几何体，强化空间想象与运算求解能力的考查。
1. 平面初等几何基础
（1）三角形的面积公式：
（2）正方形的面积公式：
（3）长方形的面积公式：
（4）平行四边形的面积公式：
（5）菱形的面积公式：
（
，
为菱形的对角线）
（6）梯形的面积公式：
（
为上底，
为下底，
为高）
（7）圆的周长和面积公式：
，
2. 立体几何基础公式
（1）所有椎体体积公式：
（2）所有柱体体积公式：
（3）球体体积公式：
（4）球体表面积公式：
（5）圆柱：
（6）圆锥：
3. 长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式
（1）已知长宽高求体对角线：
（2）已知三条面对角线求体对角线：
4. 球体问题
（1）球体体积公式：
，球体表面积公式：
（2）正方体、长方体、正四棱锥的外接球问题（类型Ⅰ）
球心
体心，直径
体对角线
已知长宽高
，
，
求体对角线，公式为：
，
（3）直棱柱的外接球问题（类型Ⅱ）
，其中
为直棱柱的高，
为底面外接圆半径（可用正弦定理求解）
（4）墙角问题
可转化为类型Ⅰ
（5）侧棱
底面问题
可转化为类型Ⅱ
5. 异面直线所成角
=
（其中
（
）为异面直线
所成角，
分别表示异面直线
的方向向量）
6. 线面角
直线
与平面所成角，
(
为平面
的法向量).
7. 二面角
的平面角
（
，
为平面
，
的法向量）.
8. 点
到平面
的距离
（
为平面
的法向量，
是经过面
的一条斜线，
）.
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为
，则圆
锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的
体积.
【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为
，
而它们的侧面积相等，所以
即
，
故
，故圆锥的体积为
.
故选：B.
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台
的体积为
，
，
，则
与平面
ABC 所成角的正切值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高
，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求
得
，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台
补成正三棱锥
，
与平面ABC 所成角即为
与平面ABC 所成角，根据比例关系可得
，进而可求正
三棱锥
的高，即可得结果.
【详解】解法一：分别取
的中点
，则
，
可知
，
设正三棱台
的为，
则
，解得
，
如图，分别过
作底面垂线，垂足为
，设
，
则
，
，
可得
，
结合等腰梯形
可得
,
即
，解得
，
所以
与平面ABC 所成角的正切值为
；
解法二：将正三棱台
补成正三棱锥
，
则
与平面ABC 所成角即为
与平面ABC 所成角，
因为
，则
，
可知
，则
，
设正三棱锥
的高为
，则
，解得
，
取底面ABC 的中心为
，则
底面ABC，且
，
所以
与平面ABC 所成角的正切值
.
故选：B.
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台
中，
，则该棱台的体
积为 ．
【答案】
/
【分析】结合图像，依次求得
，从而利用棱台的体积公式即可得解.
【详解】如图，过
作
，垂足为
，易知
为四棱台
的高，
因为
，
则
，
故
，则
，
所以所求体积为
.
故答案为：
.
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB 为底面直径，
，
，点C 在底面圆周上，且二面角
为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面积为
C．
D．
的面积为
【答案】AC
【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B 选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D 选项的正确性.
【详解】依题意，
，
，所以
，
A 选项，圆锥的体积为
，A 选项正确；
B 选项，圆锥的侧面积为
，B 选项错误；
C 选项，设
是
的中点，连接
，
则
，所以
是二面角
的平面角，
则
，所以
，
故
，则
，C 选项正确；
D 选项，
，所以
，D 选项错误.
故选：AC.
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为
，且
，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正
四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为
，所以球的半径
,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为
，高为，
则
，
,
所以
，
所以正四棱锥的体积
，
所以
，
当
时，
，当
时，
，
所以当
时，正四棱锥的体积
取最大值，最大值为
，
又
时，
，
时，
,
所以正四棱锥的体积
的最小值为
，
所以该正四棱锥体积的取值范围是
.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以
当且仅当
取到，
当
时，得
，则
当
时，球心在正四棱锥高线上，此时
，
，正四棱锥体积
，故该正四棱锥体积的取值范围是
典例6
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为
和
，其顶点都
在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径
，再根据球心距，圆面半径，以及球的半
径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径
，所以
，即
，设球
心到上下底面的距离分别为
，球的半径为
，所以
，
，故
或
，即
或
，解得
符合题意，所以球的表面积为
．
故选：A．
【名校预测·第一题】（广东省深圳市高级中学2024-2025 学年高三下学期第三次模拟试题）
底面半径为3 的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2 的圆锥，所得圆台的侧面积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【来源】广东省深圳市高级中学高中园2024-2025 学年高三下学期第三次模拟考试数学试题
【分析】画出图形，由三角形相似比得到
，再由两圆锥的侧面积之差计算可得.
【详解】如图，设截面圆的圆心为
，截面圆的半径
，底面圆半径
，
，
由于
，所以
，
所以
，
所以原圆台的侧面积为
，
故选：A.
【名校预测·第二题】（湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025 届高三下学期模拟试卷）
一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的
底面半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025 届高三下学期模拟（一）数学试卷
【分析】根据给定条件，利用球的截面圆性质及圆锥的体积公式列出函数关系，再利用导数求解.
【详解】
如图，根据题意，圆锥
高为，底面圆半径，外接球球心为
，半径
，
则球心
到圆锥底面圆心
距离
，
由
，得
，圆锥的体积
，
求导得
，
当
时，
，函数
在
上递增，
当
时，
，函数
在
上递减，
则当
时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径
.
故选：B
【名校预测·第三题】（山东省泰安第一中学2024-2025 学年高三下学期4 月月考数学试题）
已知两个正四棱锥组合成的简单几何体
中，顶点
，
分别位于平面
的两侧．其中正
方形
的边长为2，两个正四棱锥的侧棱长均为3．则四棱锥
的外接球的表面积为 ．
【答案】
【来源】山东省泰安第一中学2024-2025 学年高三下学期4 月月考数学试题
【分析】建立适当的空间直角坐标系，结合空间中两点距离公式即可得到球的半径，从而利用球的表面积
公式得到结果.
【详解】连结
，交于点
，连结
，
由正四棱锥性质可知
平面
，
平面
，所以
三点共线，
又四边形
是正方形，可得
两两垂直，且交于点
.
以
为原点，分别以
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向建立空间直角坐标
系
，如图，
由
，在
中，
，
则
，
设四棱锥
的外接球球心为
，连接
，
则
，
得
，
解得
，
所以四棱锥
的外接球的半径的平方为
，
故四棱锥
的外接球的表面积为
.
故答案为：
.
【名校预测·第四题】（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025 学年高三下学期试题）
（多选）已知边长为2 的等边三角形
，点
均在平面
的上方，
，且
与
平面
所成角分别为
，则下列说法中正确的是（ ）
A．四面体
的体积为定值
B．
面积的最小值为
C．四面体
体积的最大值为1
D．当四面体
的体积最大时，其外接球的表面积为
【答案】BCD
【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025 学年高三下学期期初考试数学试题
【分析】由三棱锥体积公式计算即可判断A 项，由三角形面积公式及
范围计算即可判断B 项，当
取最大值且
面
时四面体
体积取得最大值即可判断C 项，当四面体
体积
最大时，
，
，
两两垂直，进而借助模型（长方体外接球直径为其体对角线长）即可求得半径
，
进而可求得外接球表面积即可判断D 项.
【详解】由题意知，
与
是共轴的圆锥母线，如图所示，
对于A 项，由题意知
，
因为
且
与平面
所成角为
，
所以点
到平面
的距离为定值
，
所以四面体ABCM 的体积为定值
，故A 项错误；
对于B 项，
与
是共轴的圆锥母线，所以
，即
，
当
时，
的面积最小，最小值为
，故B 项正确；
对于C 项，当
时，
的面积最大，最大值为
，
当
所在平面旋转至与
垂直时，四面体ABMN 的高最长，最长值为2，
所以体积的最大值为
，故C 项正确；
对于D 项，当四面体
体积最大时，线段
，
，
两两垂直，
所以其外接球直径
，
所以外接球的表面积为
，故D 项正确．
故选：BCD．
【名校预测·第五题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025 学年数学试题）
如图，在直四棱柱
中，底面
为菱形，
，P 为
的中点，
点
满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则四面体
的体积为定值
B．若
，则点
的轨迹为一段圆弧
C．若
的外心为O，则
为定值2
D．若
且
，则存在点E 在线段
上，使得
的最小值为
【答案】ABD
【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025 学年高三下学期开学检测数学试题
【分析】利用平行线的性质结合给定条件判断底面积和高都是定值来处理A，利用圆的定义结合夹角求解
轨迹来处理B，利用三角形外心和向量数量积的性质判断C，将三角形翻折后，利用勾股定理和余弦定理
判断D 即可.
【详解】对于A，如图，取
靠近
的三等分点为
，
靠近
的三等分点为
，
连接
，
因为
，所以
，
令
，而
，
则
，得到
，
因为
靠近
的三等分点为
，
靠近
的三等分点为
，所以
，
而由直四棱柱性质得
，
而
，由勾股定理得
，
在直四棱柱
中，
，
，
得到四边形
是平行四边形，故
，
则
，由题意得
为
的中点，则
的面积是定值，
而
面
，
面
，所以
面
，
结合
，由线面平行性质得
到面
的距离为定值，
即四面体
的体积为定值，故A 正确，
对于B，如图，在面
中，过
作
，连接
，
由直四棱柱性质得
面
，则
，
而
，
面
，
故
面
，则
，
而面
为菱形，则面
为菱形，
因为
，所以
，
因为
，所以
，则
，
由锐角三角函数定义得
，解得
，由勾股定理得
，
因为
，所以由勾股定理得
，
则
在以
为圆心，
为半径的圆上运动，
设该圆与
交于
，与
交于
，
由三角函数定义得
，则
，
即点
的轨迹为一段圆弧，故B 正确，
对于C，如图，作
，由题意得
的外心为
，故
是
的中点，
由已知得
，因为
，所以
，
而
，
，故C 错误，
对于D，若
且
，此时
，
因为P 为
的中点，所以
，
由向量加法法则得
，故
，
则点
与点
重合，此时把
沿着
翻折，
如图，使得
四点共面，此时
有最小值
，
此时的点均为翻折过的点，因为P 为
的中点，所以
，
由勾股定理得
，如图，连接
，
由已知得
，则
，
由余弦定理得
，解得
，
由直四棱柱性质得
面
，则
，
则由勾股定理得
，
则
，故
，
而
，则
，得到
，
由余弦定理得
，解得
，故D 正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体
积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题即可.
【名师押题·第一题】如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧
面的面积为
，则该正四棱台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】检验所给定条件，结合正四棱台的结构特征求出正四棱台的高扩底面边长，再利用台体的体积公
式计算得解.
【详解】设
，则
，正四棱台的各个侧面都为等腰梯形，上下底面为正方形，
､
在四边形
中，过点
作
于点
，
，则
，
，解得
，
在平面
中，过点
作
于点
，则
为正四棱台的高，
且
，因此
，
该正四棱台的体积为
.
故选：D
【名师押题·第二题】如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为
，杯底的半径为，高
为
，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），
水恰好充满水杯，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出圆台上面部分
的体积，根据小球的体积恰好等于
的体积求出球的半径.
【详解】如图，
，又放入的球的半径为，
由于圆台
的体积
，
由题可知：
，则
，此时小球恰好与上下底面相切；
下面考虑当小球与侧棱
相切时，设球心为
，球的半径为
，则
，
由于
，则
，
则
，
那么
，则
，那么
在
上方，
即该小球先与上下底面相切．
故选：D.
【名师押题·第三题】已知正四棱台
的上底面
的边长为2，现有一个半球，球心
为正方形
的中心，且正四棱台的上底面、四条侧棱和下底面的四条边均与球
相切，则该半球的
表面积为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用正四棱台及半球的结构特征，结合切线的性质列式求出半球的半径，进而求
出其表面积.
【详解】如图，记正四棱台
的上底面
的中心为
，
过
作
平面
于
，则点
在
上，
记半球与
分别相切于点
，由正四棱台和球的结构特征知，
为
的中点，
由
，得
，记半球半径为
，
则
，
于是
，
在
中，
，解得
，
所以半球的表面积为
.
故答案为：
【名师押题·第四题】（多选）如图，在直棱柱
中，底面
是边长为2 的菱形，
，
，点
为
的中点，动点
在侧面
内（包含边界），则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．平面
与平面
所成角的余弦值为
C．若
，则点
轨迹的长度为
D．若点
在直线
上，则
的最小值为
【答案】ABC
【分析】通过线面垂直可判断线线垂直，判断A 的真假；利用投影面积法求二面角的余弦，判断B 的真假；
弄清点
的轨迹，再求其长度，可判断C 的真假；利用表面展开，转化为两点之间，直线段最短求
的最小值，判断D 的真假.
【详解】如图1，连接
，由菱形
可得
．
再由直棱柱
，可得
底面
．
又因为
底面
，所以
，
而
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
，故A 正确；
，
，
，所以
为直角三角形，且
，
其在底面投影的三角形
的面积为
，
由投影面积法可得平面
和平面
所成角的余弦值为
，故B 正确；
如图2，动点
在侧面
内（包含边界），过
作
，垂足为
，
由直棱柱
，
所以平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
且
，所以
平面
.
而
侧面
，即有
，由菱形
边长为2，
，可得
，
再由勾股定理得：
，则点
的轨迹是以
为圆心，
以
为半径的圆弧（如图3 中
），则由侧面正方形
，
可知
，
，可得
，所以点
轨迹的长度为
，故C 正确；
由
为直角三角形，且
为等腰直角三角形，
将
与
展开成一个平面图，如图4，则
；
由余弦定理得：
，
即
，故
的最小值为
，故D 错误．
故选：ABC
【名师押题·第五题】（多选）如图，棱长为2 的正方体
中，点E，F 分别在棱
上，且
，
，其中
，点
是平面
内的一个动点（异于点
），且
，则（ ）
A．
B．直线
与平面
所成的角的余弦值为
C．当
变化时，平面
截正方体所得的截面周长为定值
D．点
为
中点时，三棱锥
的外接球的表面积为
【答案】ACD
【分析】以
为原点，
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，由
结合空间向
量的数量积即可判断A；由线面夹角的向量公式即可判断B；作出平面
截正方体所得的截面，结合
，
，即可判断；根据球的表面积公式即可判断D．
【详解】以
为原点，
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则
，设
，
则
，所以
，
，所以
，
，
，
，
，
，
因为
，所以
，
所以
，故A 正确；
因为
，
，
平面
，
所以
平面
，所以平面
的法向量为
，
则直线
与平面
所成的角的正弦值为
，
所以直线
与平面
所成的角的余弦值为
，故B 错误；
取
上一点
，满足
，则
，
因为
，且
有公共点
，
所以
平面
，又
平面
，平面
平面
，
所以
共线，作出平面
截正方体所得的截面
，
由
，
得
为等腰直角三角形，
同理可得
均为等腰直角三角形，
，
所以截面周长为
为定值，故C 正确；
当点
为
中点时，
，所以
，
，
，
则
，所以
，
所以三棱锥
的外接球的球心在过
中点，垂直于平面
的直线上，
连接
，
因为
，
所以
，所以四边形
为平行四边形，
则
共面，设交点为
，则
，
设球心为
，
，则
，
则
，即
，
解得
，半径为
，表面积为
，故D 正确；
故选：ACD．
直线与圆（选填题）
年份
题号
分值
题干
考点
2023 年新高考I 卷
6
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点
与
圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
切线长；给值求值
型问题；余弦定理
解三角形；已知点
到直线距离求参数
2023 年新高考II
卷
15
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线
与
交于
A，B 两点，写出满足“
面积为
”的
m 的一个值 ．
圆的弦长与中点弦
2022 年新高考I 卷
14
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆
和
都相切的一
条直线的方程 ．
判断圆与圆的位置
关系；圆的公切线
方程
2022 年新高考II
卷
15
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点
，若直线
关于
对称的
直线与圆
有公共点，则a
的取值范围是 ．
由直线与圆的位置
关系求参数；求点
关于直线的对称
点；直线关于直线
对称问题
近三年新高考数学直线与圆选填题考查情况总结
考点：涵盖切线问题（切线长、方程，如2023 年新课标Ⅰ卷）、弦长与面积（利用圆的性质求参数，
如2023 年新课标Ⅱ卷）、圆与圆位置关系（公切线方程，如2022 年新课标Ⅰ卷）、点线对称及位置关系
求参数（如2022 年新课标Ⅱ卷）。
题型：以填空题为主，分值5 分，侧重考查直线与圆的几何性质、方程求解及位置关系的综合运用，
注重计算与推理能力。
2025 年新高考直线与圆选填题高考预测
题型与分值：预计为填空题，分值5 分。
考查方向：延续对切线（方程、性质）、弦长面积的考查，可能涉及点线对称问题，或与其他知识综
合（如几何最值），强化几何直观与运算求解能力，注重对直线与圆位置关系的深度理解与应用。
1.两点间的距离公式
，
，
2.中点坐标公式
，
，
为
的中点，则：
3.三角形重心坐标公式
4.直线的斜率与倾斜角的定义及其关系
（1）斜率：表示直线的变化快慢的程度；
，直线递增，
，直线递减，
（2）倾斜角：直线向上的部分与
轴正方向的夹角，范围为
（3）直线的斜率与倾斜角的关系：
不存在
5.两点间的斜率公式
，
，
6.直线的斜截式方程
，其中
为斜率，
为
轴上的截距
7.直线的点斜式方程
已知点
，直线的斜率
，则直线方程为：
8.直线的一般式方程
9.两条直线的位置关系
（1）平行的条件
①斜截式方程：
，
，
②一般式方程：
，
，
（2）重合的条件
①斜截式方程：
，
，
②一般式方程：
，
，
（3）垂直的条件
①斜截式方程：
，
，
②一般式方程：
，
，
10.点到直线的距离公式
点
，直线
，点到直线的距离为：
11.两条平行线间的距离公式
，
，
12.圆的标准方程
，其中圆心坐标为
，半径为
13.圆的一般方程
（
）
配方可得：
，
圆心坐标为
，半径为
14.表示圆的充要条件：
15.点与圆的位置关系
已知点
，圆的方程为：
若
，点
在圆内
若
，点
在圆上
若
，点
在圆外
16.直线与圆的位置关系
直线
，圆
代数关系
，其中
为联立方程根的个数，
几何关系
，其中
为圆心到直线的距离
17.圆上一点的切线方程
18.圆与圆的位置关系
设圆
的半径为
，设圆
的半径为
，两圆的圆心距为
若
，两圆外离，若
，两圆外切，若
，两圆内切
若
，两圆相交，若
，两圆内含，若
，同心圆
两圆外离，公切线的条数为4 条；两圆外切，公切线的条数为3 条；
两圆相交，公切线的条数为2 条；两圆内切，公切线的条数为1 条；
两圆内含，公切线的条数为0 条；
19.弦长公式
设
，
，
则
或：
20.圆上一点到圆外一点的距离的最值
21.圆上一点到圆上一点的距离的最值
22.圆上一点到直线距离的最值
23.过圆内一点的最长弦和最短弦
最长弦：直径；最短弦：垂直于直径
典例1
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得
，利用韦达定理结
合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为
，即
，可得圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，
因为
，则
，
可得
，
则
，
，
即
为钝角，
所以
；
法二：圆
的圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，连接
，
可得
，则
，
因为
且
，则
，
即
，解得
，
即
为钝角，则
，
且
为锐角，所以
；
方法三：圆
的圆心
，半径
，
若切线斜率不存在，则切线方程为
，则圆心到切点的距离
，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为
，即
，
则
，整理得
，且
设两切线斜率分别为
，则
，
可得
，
所以
，即
，可得
，
则
，
且
，则
，解得
.
故选：B.
典例2
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线
与
交于A，B 两点，写出满足
“
面积为
”的m 的一个值 ．
【答案】
（
中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长
，以及点
到直线
的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点
到直线
的距离为
，由弦长公式得
，
所以
，解得：
或
，
由
，所以
或
，解得：
或
．
故答案为：
（
中任意一个皆可以）．
典例3
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆
和
都相切的一条直线的方程
．
【答案】
或
或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为
，
于是
，
故
①，
于是
或
，
再结合①解得
或
或
，
所以直线方程有三条，分别为
，
，
填一条即可
[方法二]：
设圆
的圆心
，半径为
，
圆
的圆心
，半径
，
则
，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然
符合题意；
又由方程
和
相减可得方程
，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为
，
直线OC 与直线
的交点为
，
设过该点的直线为
，则
，解得
，
从而该切线的方程为
填一条即可
[方法三]：
圆
的圆心为
，半径为，
圆
的圆心
为
，半径为
，
两圆圆心距为
，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l 时，因为
，所以
，设方程为
O 到l 的距离
，解得
，所以l 的方程为
，
当切线为m 时，设直线方程为
，其中
，
，
由题意
，解得
，
当切线为n 时，易知切线方程为
，
故答案为：
或
或
.
典例4
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点
，若直线
关于
对称的直线与圆
有公共点，则a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先求出点
关于
对称点
的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等
于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：
关于
对称的点的坐标为
，
在直线
上，
所以
所在直线即为直线，所以直线为
，即
；
圆
，圆心
，半径
，
依题意圆心到直线的距离
，
即
，解得
，即
；
故答案为：
【名校预测·第一题】（广东省深圳市高级中学2024-2025 学年高三下学期数学试题）
已知
，
，若直线
上存在点P，使得
，则的取值范围为
.
【答案】
【来源】广东省深圳市高级中学高中园2024-2025 学年高三下学期第三次模拟考试数学试题
【分析】根据
得出点
的轨迹方程，再根据直线与点
的轨迹有公共点，利用圆心到直线的距
离与半径的关系求解的取值范围.
【详解】设点
，已知
，
，则
，
.
因为
，可得：
，整理得
.
所以点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆.
因为直线
上存在点
满足条件，所以直线与圆
有公共点.
可得圆心
到直线
的距离
.
因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即
，则
.
两边同时平方可得
，即
.得
.
所以不等式
的解集为
，即的取值范围是
.
故答案为：
.
【名校预测·第二题】（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025 学年高三下学期数学试题）
设直线
被圆
所截弦的中点的轨迹为
，则曲线
与直线
的位置关系
是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
【答案】A
【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025 学年高三下学期期初考试数学试题
【分析】求出直线恒过定点
，由圆的性质可得
，进而可得点
的轨迹是一个以
为直
径的圆，求出该圆的方程，求出圆心到直线的距离
，与圆的半径比较大小即可判断出直线与圆的位置
关系，即可求解．
【详解】由
可得
，所以该直线恒过定点
，
由圆的性质可得：
，所以中点
的轨迹是以
为直径的圆（去除O 点），
所以圆心为
，半径为
，所以点
的轨迹方程为：
，
则圆心
到直线
的距离
，
所以直线与圆的位置关系是相交．
故选：A
【名校预测·第三题】（贵州省贵阳市第一中学2025 届高三下学期数学试卷）
已知直线：
与圆
：
交于
，
两点，则
的一个充分不必要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【来源】贵州省贵阳市第一中学2025 届高三下学期月考（六）（3 月）数学试卷
【分析】由几何法求弦长
的充要条件时
的取值范围，再求其真子集即可.
【详解】
的充要条件是：圆心
，到的距离
，
即
，故
的充分不必要条件是
的真子集.
故选：A．
【名校预测·第四题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025 学年数学试题）
设
，过定点A 的动直线
和过定点B 的动直线
交于点P，点P 到直线
的距离为d，则d 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025 学年高三下学期开学检测数学试题
【分析】根据直线方程求出定点
的坐标，判断两直线的交点
的轨迹为圆，利用点到直线的距离公
式判断直线与圆相切，即可求出
的取值范围
【详解】动直线
过定点
，
动直线
即
过定点
.
因为
，
所以直线
与直线
垂直，
又直线
的斜率一定存在，
点
在以
为直径的圆上（去除点
），
圆心为
，半径
，
圆心
到直线
的距离为
所以圆
与直线
相切（切点不是点
），
的最小值为0；
圆的直径
，且点
到直线
的距离为
，所以
，
即
的取值范围为
.
故选：A .
【名校预测·第五题】（湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025 届高三下数学试卷）
（多选）已知圆
，直线
（其中
为参数），则下列选项正确
的是（ ）
A．圆
的半径
B．直线与圆
相交
C．直线不可能将圆
的周长平分
D．直线被圆
截得的最短弦长为
【答案】BD
【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025 届高三下学期模拟（一）数学试卷
【分析】对于A，根据条件得到圆心为
，半径为
，即可求解；对于B，根据条件可得直线过定
点
，且定点在圆内，即可求解；对于C，当直线过圆心时，直线平分圆，即可求解；对于D，当
时，直线被圆
截得的弦长最短，由弦长公式，即可求解.
【详解】对于选项A，由
，得到
，
所以圆
圆心为
，半径为
，所以选项A 错误，
对于选项B，由
，得到
，
由
，得到
，所以直线过点
，
又
，所以点
在圆内，故直线与圆
相交，则选项B 正确，
对于选项C，当直线
过点
，即
时，直线平分圆
的周长，所以选项C 错
误，
对于选项D，当
时，圆心到直线的距离最大，直线被圆
截得的弦长最短，
此时弦长为
，所以选项D 正确，
故选：BD.
【名师押题·第一题】已知过原点的直线与圆
相交于
两点，若
，则直线
的方程为 ．
【答案】
【分析】先由弦长、半径求出弦心距，再分斜率存在和不存在两种情况设出直线方程，结合点到直线的距
离公式列式求解即可.
【详解】圆
的圆心
，半径
直线截圆
所得弦长
，则弦心距
当过原点的直线斜率不存在时，的方程为
，圆心
到直线
的距离为1，不符合题意要求；
当过原点的直线斜率存在时，的方程可设为
，
由
，可得
，此时的方程为
综上，直线的方程为
.
故答案为：
.
【名师押题·第二题】若圆
被直线
所截得的弦长为10，过点
作圆
的切线，其中一个切点为
，则
的值为 .
【答案】
【分析】利用垂径定理来求弦长，得用勾股定理来求切线长，即可解决问题.
【详解】由弦长为
，结合垂径定理可得：
，解得
，
结合已知点
，可得：
所以
，
故答案为：
.
【名师押题·第三题】已知点
，圆
上一动点P，以线段PF 为直径的圆
交
轴于
A，B 两点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出圆心
的轨迹方程，再利用动点到圆上的点的取值范围的求法，求出
，注意排除特殊
位置.
【详解】
设
，
，
由
为
的中点，可得
，即
，
又
在圆
上，
则可得
，即
，
即圆心
的轨迹是以
为圆心 ，
为半径的圆，而
，
则
的范围为
，即
，
又当
时，圆心
，半径为
，此时圆
与
轴相切，不符合题意，
此时
.
故
的范围为
.
故选：B.
【名师押题·第四题】已知圆
与圆
相交于两点
，
则四边形
的面积等于 .
【答案】9
【分析】法一：准确画图，可得四边形
是边长为3 正方形，进而求得其面积；
法二：将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系即可求得
，利用两点间距离公
式求得
，进而求得四边形
的面积.
【详解】由已知，圆
，圆
，
圆心
，半径
，圆心
，半径
，
法一：如图，准确画图，容易发现四边形
是边长为3 正方形，其面积为9；
法二：将两圆方程相减，可得公共弦
所在直线的方程为：
到
距离为
，所以
，即
，
又
，
所以，四边形
的面积
.
故答案为：9.
【名师押题·第五题】已知
，
，点P 满足
，当
取到最大值时，
的
面积为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
可得点P 轨迹方程，然后由直线
与圆D 相切时，
最大，可得答案.
【详解】设
，由
得
，
即
，则点P 轨迹为的圆心为
，半径为
的圆.
当直线
与圆D 相切时，
最大，则
．
又
，
，所以
．
又
，所以
．
故选：D．
圆锥曲线（选填题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考I 卷
11
6
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设计一条美丽
由方程研究曲线
的丝带,其造型
可以看作图中的曲线C 的一部
分.已知C 过坐标原点O.且C 上的点满足:横坐
标大于
，到点
的距离与到定直线
的距离之积为4，则（ ）
A．
B．点
在C 上
C．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D．当点
在C 上时，
的性质
求平面轨迹方程
2024 年新高考I 卷
12
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线
的左右焦点分别为
，过
作平行于
轴的直线交C 于A，
B 两点，若
，则C 的离心率
为 ．
求双曲线的离心
率
2024 年新高考II
卷
5
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：
（
），从C 上任意一点P 向x
轴作垂线段
，
为垂足，则线段
的中
点M 的轨迹方程为（ ）
A．
（
）
B．
（
）
C．
（
）
D．
（
）
求平面轨迹方程
轨迹问题--椭圆
2024 年新高考II
10
6
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：
直线与抛物线交
卷
的准线为l，P 为C 上的动点，过P 作
的一条切线，Q 为切点，
过P 作l 的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l 与
相切
B．当P，A，B 三点共线时，
C．当
时，
D．满足
的点
有且仅有2 个
点相关问题
切线长
根据抛物线方程
求焦点或准线
2023 年新高考I 卷
5
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆
的离心率
分别为
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
由椭圆的离心率
求参数
2023 年新高考I 卷
16
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线
的左、右焦点分别为
．点
在
上，点
在
轴上，
，则
的离心率为
．
利用定义解决双
曲线中焦点三角
形问题
求双曲线的离心
率
2023 年新高考II
卷
5
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，直
线
与C 交于A，B 两点，若
面积是
面积的2 倍，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
根据直线与椭圆
的位置关系求参
数
椭圆中三角形的
面积
2023 年新高考II
卷
10
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O 为坐标原
点，直线
过抛物线
的焦点，且与C 交于M，N
求直线与抛物线
的交点坐标
与抛物线焦点弦
有关的几何性质
两点，l 为C 的准线，则（ ）．
A．
B．
C．以MN 为直径的圆与l 相切
D．
为等腰三角形
抛物线定义的理
解
根据焦点或准线
写出抛物线的标
准方程
2022 年新高考I 卷
11
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O 为
坐标原点，点
在抛物线
上，过点
的直线交
C 于P，Q 两点，则（ ）
A．C 的准线为
B．直线AB 与C 相切
C．
D．
判断直线与抛物
线的位置关系
求直线与抛物线
相交所得弦的弦
长
根据抛物线方程
求焦点或准线
2022 年新高考I 卷
16
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆
，C 的上顶点为A，两
个焦点为
，
，离心率为
．过
且垂直
于
的直线与C 交于D，E 两点，
，
则
的周长是 ．
椭圆中焦点三角
形的周长问题
根据离心率求椭
圆的标准方程
2022 年新高考II
卷
10
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知O 为
坐标原点，过抛物线
焦点F
的直线与C 交于A，B 两点，其中A 在第一象
限，点
，若
，则（ ）
A．直线
的斜率为
B．
C．
D．
抛物线定义的理
解
求直线与抛物线
的交点坐标
数量积的坐标表
示
已知两点求斜率
2022 年新高考II
卷
16
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线l
与椭圆
在第一象限交于A，B 两点，l
与x 轴，y 轴分别交于M，N 两点，且
根据弦长求参数
由弦中点求弦方
程或斜率
．
近三年新高考数学圆锥曲线选填题考查情况总结
考点：涵盖求圆锥曲线方程（椭圆、双曲线、抛物线）、离心率计算、轨迹方程、直线与圆锥曲线位
置关系（弦长、面积、交点性质），涉及定义、几何性质及代数运算（如2024 年新课标Ⅰ卷求轨迹方程、
Ⅱ卷直线与抛物线交点；2023 年新课标Ⅰ卷椭圆离心率、Ⅱ卷椭圆中直线与椭圆关系；2022 年新课标Ⅰ卷
抛物线性质、Ⅱ卷椭圆弦长）。
题型：以选择题为主，分值5-6 分，侧重考查圆锥曲线基本性质与直线和曲线综合问题的分析能力。
2025 年新高考圆锥曲线选填题高考预测
题型与分值：预计为选择题或填空题，分值5-6 分。
考查方向：延续离心率、轨迹方程、直线与圆锥曲线位置关系的考查，可能强化双曲线渐近线、抛物
线焦点弦性质，或与几何最值、参数范围结合，注重定义和性质的综合运用。
1. 点关于线对称的一般性结论
点(x,y)关于直线Ax+By+C=0 的对称点坐标为
2. 直径端点圆的方程
若圆的直径端点
，则圆的方程为
3. 解析几何中的切线方程
①过圆
上任意一点
的切线方程为
②过椭圆
上任意一点
的切线方程为
③过双曲线
上任意一点
的切线方程为
④设 P(x0, y0) 为抛物 线 y
2=2 px 上的点, 则过该点的切线方程为y y0= p(x + x0)
4. 解析结合中的切点弦方程
平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程
①圆
的切点弦方程为
②椭圆
的切点弦方程为
③双曲线
的切点弦方程为
④抛物线
的切点弦方程为
⑤二次曲线的切点弦方程为
5. 相切的条件
①椭圆
与直线
相切的条件是
②双曲线
与直线
相切的条件是
6. 斜率关系
若A、B、C、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线
AC、BD 的斜率存在且不等于零,并有
,(
,
分别表示AC 和BD 的斜率)
7. 常见不等式
已知椭圆方程为
，两焦点分别为
，
，设焦点三角形
中
，
则
(
)
8. 椭球体积
椭圆
绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为
9. 纵坐标之和
y=kx+m 与椭圆
相交于两点，则纵坐标之和为
10. 渐近线围成的四边形面积
过双曲线
上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为
11. 帕斯卡定理
如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上
12. 斜率定值
过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值
推论1：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值
推论2：过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B 两点，则直线AB 的斜率为定值
13. 椭圆和双曲线的结论汇总
椭圆
双曲线
标准方程
焦点
焦点
焦半径
为离心率，
为点
的横坐标.
为离心率，
为点
的横坐标.
焦半径范围
为椭圆上一点，
为焦点.
为双曲线上一点，
为焦点.
通径
过焦点与长轴垂直的弦称为通径.
通径长为
过焦点与实轴垂直的弦称为通径.
通径长为
如图，直线过焦点
与椭圆相交于
两点.则
的周长为
.
（即
）
如图，直线过焦点
与双曲线相交于
两点.则
.
焦点弦
倾斜角为
的直线过焦点
与椭圆相交
于
两点.
焦点弦长
.
最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.
倾斜角为
的直线过焦点
与双曲线相
交于
两点.
焦点弦长
.
与
数量关系
直线过焦点
与椭圆相交于
两点，
则
.
直线过焦点
与双曲线相交于
两
点，则
.
已知点
是椭圆上一点，
坐标原点，
则
.
已知点
是双曲线上一点，
坐标原点，
则
.
焦三角形
如图，
是椭圆上异于长轴端点的一点，
已知
，
，
，则
（1）
；
（2）离心率
.
如图，
是双曲线上异于实轴端点的一
点，已知
，
，
，则
（1）
；
（2）离心率
.
垂径定理
如图，已知直线与椭圆相交于
两
点，点
为
的中点，
为原点，则
.
如图，已知直线与双曲线相交于
两
点，点
为
的中点，
为原点，则
.
（注：直线与双曲线的渐近线相交于
两点，其他条件不变，结论依然成
立）
周角定理
如图，已知点
椭圆长轴端点（短轴端
点），
是椭圆上异于
的一点，
则
.
推广：如图，已知点
是椭圆上关于原
点对称的两点，
是椭圆上异于
的一
点，若直线
的斜率存在且不为
零，
如图，已知点
双曲线实轴端点，
是
双曲线上异于
的一点，
则
.
推广：如图，已知点
是双曲线上关于
原点对称的两点，
是双曲线上异于
的一点，若直线
的斜率存在且不
为零，
.
直线过焦点
与椭圆相交于
两点，点
，
则
（即
）.
直线
过焦点
与双曲线相交于
两点，点
，
则
（即
）.
切线方程
已知点
是椭圆上一点，则椭圆
在点
处的切线方程为
.
已知点
是双曲线上一点，则双
曲线在点
处的切线方程为
.
14. 补充结论1
1．过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题：
设斜率为
的直线过定点
，双曲线方程为
，过点
与双曲线相
切时的斜率为
.
（1）当
时，直线与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上；
（2）当
时，直线与双曲线只有一个交点；
（3）当
时，直线与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上；
（4）当
时，直线与双曲线只有一个交点；
（5）当
时，直线与双曲线没有交点.
2．如图，
是双曲线
的焦点，过点
作
垂直双曲线的其中一条渐近
线，垂足为
，
为原点，则
.
3．点
是双曲线
上任意一点，则点
到双曲线的渐近线的距离之积为定值
.
4．点
是双曲线
上任意一点，过点
作双曲线的渐近线的平行线分别与渐近线
相交于
两点，
为原点，则平行四边形
的面积为定值
.
15. 抛物线的结论
如图，抛物线方程为
，准线
与
轴相交于点
，过焦点
的直线与抛
物线相交于
，
两点，
为原点，直线的倾斜角为
.
1．
2．焦半径：
，
，
.
3．焦点弦：
.
4．
的数量关系：
，
.
5．三角形
的面积
.
6．以焦点弦
为直径的圆与准线相切；以焦半径
为直径的圆与
轴
相切.
7．直线
的斜率之和为零（
），即
.
8．点
三点共线；点
三点共线.
9．如图，点
是抛物线
，
为原点，若
，则直线
过定点
.
16. 补充结论2
1.已知椭圆
（a＞b＞0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且
.则
（1）
;
（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为
;
（3）
的最小值是
.
2.与
共轭的双曲线方程为
，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆
心，C 为半径的圆上；③
。
3.与
有相同焦点的双曲线方程为
4.与
有相同焦点的椭圆方程为：
5.与
有相同焦点的双曲线方程为：
6.与
有相同离心率的双曲线方程为：
①焦点在
轴上时：
②焦点在
轴上时：
7.与
有相同的渐近线方程为：
；
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）设计一条美丽的丝带,其造型
可以看作图中的曲线C 的一部分.已
知C 过坐标原点O.且C 上的点满足:横坐标大于
，到点
的距离与到定直线
的距离之积
为4，则（ ）
A．
B．点
在C 上
C．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D．当点
在C 上时，
【答案】ABD
【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求
，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利
用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.
【详解】对于A：设曲线上的动点
，则
且
，
因为曲线过坐标原点，故
，解得
，故A 正确.
对于B：又曲线方程为
，而
，
故
.
当
时，
，
故
在曲线上，故B 正确.
对于C：由曲线的方程可得
，取
，
则
，而
，故此时
，
故
在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.
对于D：当点
在曲线上时，由C 的分析可得
，
故
，故D 正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等
来处理.
典例2
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线
的左右焦点分别为
，过
作平行
于
轴的直线交C 于A，B 两点，若
，则C 的离心率为 ．
【答案】
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出
，结合双曲线第一定义求出
，即可得到
的值，
从而求出离心率.
【详解】由题可知
三点横坐标相等，设
在第一象限，将
代入
得
，即
，故
，
，
又
，得
，解得
，代入
得
，
故
，即
，所以
.
故答案为：
典例3
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：
（
），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段
，
为垂足，则线段
的中点M 的轨迹方程为（ ）
A．
（
）
B．
（
）
C．
（
）
D．
（
）
【答案】A
【分析】设点
，由题意，根据中点的坐标表示可得
，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点
，则
，
因为
为
的中点，所以
，即
，
又
在圆
上，
所以
，即
，
即点
的轨迹方程为
.
故选：A
典例4
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）抛物线C：
的准线为l，P 为C 上的动点，过P 作
的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l 与
相切
B．当P，A，B 三点共线时，
C．当
时，
D．满足
的点
有且仅有2 个
【答案】ABD
【分析】A 选项，抛物线准线为
，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，
三点共线时，先
求出
的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据
先算出
的坐标，然后验证
是否成立；
D 选项，根据抛物线的定义，
，于是问题转化成
的
点的存在性问题，此时考察
的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设
点坐标进行求解.
【详解】A 选项，抛物线
的准线为
，
的圆心
到直线
的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和
相切，A 选项正确；
B 选项，
三点共线时，即
，则
的纵坐标
，
由
，得到
，故
，
此时切线长
，B 选项正确；
C 选项，当
时，
，此时
，故
或
，
当
时，
，
，
，
不满足
；
当
时，
，
，
，
不满足
；
于是
不成立，C 选项错误；
D 选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，
，这里
，
于是
时
点的存在性问题转化成
时
点的存在性问题，
，
中点
，
中垂线的斜率为
，
于是
的中垂线方程为：
，与抛物线
联立可得
，
，即
的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个
点，使得
，D 选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设
，由
可得
，又
，又
，
根据两点间的距离公式，
，整理得
，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的
点，D 选项正确.
故选：ABD
典例5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线
的左、右焦点分别为
．点
在
上，点
在
轴上，
，则
的离心率为 ．
【答案】
/
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到
关于
的表达式，
从而利用勾股定理求得
，进而利用余弦定理得到
的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得
，
，将点
代入双曲线
得到关于
的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设
，则
，
在
中，
，则
，故
或
（舍去），
所以
，
，则
，
故
，
所以在
中，
，整理得
，
故
.
方法二:
依题意，得
，令
，
因为
，所以
，则
，
又
，所以
，则
，
又点
在
上，则
，整理得
，则
，
所以
，即
，
整理得
，则
，解得
或
，
又
，所以
或
（舍去），故
.
故答案为：
.
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定
理得到关于
的齐次方程，从而得解.
典例6
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设O 为坐标原点，直线
过抛物线
的焦点，且与C 交于M，N 两点，l 为C 的准线，则（ ）．
A．
B．
C．以MN 为直径的圆与l 相切
D．
为等腰三角形
【答案】AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得
，根据弦长公式求得
，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答
案.
【详解】A 选项：直线
过点
，所以抛物线
的焦点
，
所以
，则A 选项正确，且抛物线
的方程为
.
B 选项：设
，
由
消去
并化简得
，
解得
，所以
，B 选项错误.
C 选项：设
的中点为
，
到直线的距离分别为
，
因为
，
即
到直线的距离等于
的一半，所以以
为直径的圆与直线相切，C 选项正确.
D 选项：直线
，即
，
到直线
的距离为
，
所以三角形
的面积为
，
由上述分析可知
，
所以
，
所以三角形
不是等腰三角形，D 选项错误.
故选：AC.
【名校预测·第一题】（山东省泰安第一中学2024-2025 学年高三下学期4 月月考数学试题）
已知抛物线
的焦点为
，
，
是抛物线上两点，且
，弦
的中点
在
的准线的射影为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【来源】山东省泰安第一中学2024-2025 学年高三下学期4 月月考数学试题
【分析】由抛物线定义对线段进行转化，再由中位线得到线段
，解三角形得到线段
，由基本不等
式得到取值范围，从而得到最值.
【详解】设
、
，
，
在准线的射影分别为
，如图所示，
根据抛物线的定义，可知
，
，
在梯形
中，有
，
在
中，
，
又∵
，∴
，
当且仅当
时取等号，∴
，
故
的最小值为
.
故选：C
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025 学年高三下学期3 月月考数学试题）
已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，A 是双曲线C 的左顶点，以
为直
径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于P，Q 两点，且
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【来源】浙江省杭州学军中学2024-2025 学年高三下学期3 月月考数学试题
【分析】根据已知条件分别表示出点A、P、Q 的坐标，代入
可得b 与a 的关系式，再由
及离心率公式可求得结果.
【详解】依题意，易得以
为直径的圆的方程为
.
又由双曲线
，易得双曲线C 的渐近线方程为
.
当
时，如图，设
，则
.
联立
，解得
或
，所以
，
.
又因为
，所以
轴.
所以
，
.所以
，所以
.
因为
，所以
.
同理，当
时，亦可得
.
故双曲线C 的离心率为
.
故选：D.
【名校预测·第三题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025 数学试题）
设
为双曲线
的一个实轴顶点，
为
的渐近线上的两点，满足
，
，则
的渐近线方程是 ．
【答案】
【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025 学年高三下学期开学检测数学试题
【分析】由角平分线定理，结合余弦定理，求得
，再求
的正切值，进而即可求得渐近线方
程.
【详解】根据题意，作图如下：
依题意，
为
的角平分线，且
，
设
，由角平分线定理可得：
，则
；
在
中，由余弦定理
；
在
中，由余弦定理可得，
，
即
，解得
.
故
，
，
所以
的渐近线方程是
．
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程，常见有三种方法：
①直接求出
，从而得解；
②只需要根据一个条件得到关于
的齐次式，转化为
的齐次式，从而得解；
③求得其中一个渐近线的倾斜角（或斜率），从而得解.
【名校预测·第四题】（贵州省贵阳市第一中学2025 届高三下学期数学试卷）
（多选）在平面直角坐标系
中，已知抛物线
：
的焦点为
，直线与
交于
，
两点，
是
上异于顶点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若过点
，则
为钝角
B．若
，则的斜率为
C．若
，则点
的纵坐标为1 时，
最小
D．若四边形
为平行四边形，则过定点
【答案】AC
【来源】贵州省贵阳市第一中学2025 届高三下学期月考（六）（3 月）数学试卷
【分析】联立直线与抛物线方程利用向量数量积的符号可判断A 正确，由可得坐标间的关系，联立解方程
组可得B 错误，利用抛物线定义以及几何关系可得C 正确，根据四边形为平行四边形并结合韦达定理，利
用向量表示解方程可得D 正确.
【详解】易知焦点
，对于A，若过点
，
可设直线方程为
，
，
，
联立抛物线方程可得
，可得
，
，
所以
，
所以
为钝角，即A 正确；
对于B，由
，可得过点
，
由题意可得
，所以
，
结合
，
，可得
，可得的斜率为
，即B 错误；
对于C，易知
是抛物线的准线
与
轴的交点，
作
与准线垂直，垂足为
，如图所示：
由抛物线的定义可得
，所以
．
又在
中，
，且
，
因此当
取得最大值时，满足题意，此时
斜率存在且与抛物线相切．
设
的方程为
，代入抛物线方程可得
，
所以
，即
，解得
，此时
，
因此点
的纵坐标为1 时，
最小，即C 正确；
对于D，设
，直线：
，如图：
联立
，可得
，
因此
，
，所以
，
因为四边形
为平行四边形，所以
，
即
，
所以
，
，
代入
，可得
，解得
，
即：
，显然过定点
，即D 错误，
故选：AC．
【名校预测·第五题】（辽宁省本溪市高级中学2025 届高三下学期4 月月考数学试题）
（多选）已知双曲线
的左，右焦点分别为
，
，左，右顶点分别为
，
，
点
在
的右支上，
的离心率为，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
是面积为2 的正三角形，则
C．在
中，
恒成立
D．若
，则
内切圆半径的取值范围为
【答案】ABD
【来源】辽宁省本溪市高级中学2025 届高三下学期4 月月考数学试题
【分析】对于A，由
，可得
，则得
；对于B，由已知可得
，
，即
可求得
；对于C，由已知可得
，即
，又
，联立化简得
，即可判断C；
对于D，由已知
，记
内切圆半径为，圆心为
，则
，可得
，
由
且
，可得
，即
，
即可判断D．
【详解】对于A，∵
，所以
的中垂线
与双曲线有交点，
所以
，解得
，故选项A 正确．
对于B，∵
是面积为2 的正三角形，，∴
，
则
，
又∵
，则
，∴
，
，即
，
∴
，故选项B 正确；
对于C，设
，
，
，则
，又
，
∴
，即
，
，
又
，联立化简得
，故选项C 错误．
对于D，若
，则
，
记
内切圆半径为，圆心为
，圆
与
切于点
，
则
，
，
，
又
且
，
∴
，
∴
，
即
，故选项D 正确．
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：C 选项，由已知得到
，得到
后，由诱导公式
及二倍角公式得到
，再与
联立化简.
【名师押题·第一题】已知椭圆
的左顶点与左焦点分别为A，F，下顶点为B，且
的面积等于
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意可知
，结合面积关系列式求解即可.
【详解】设椭圆C 的半焦距为c，由题意可知
，
因为
，则
，
两边平方得
，则
，整理可得
，
所以椭圆C 的离心率为
．
故选：C．
【名师押题·第二题】已知椭圆
的左顶点为A，上，下顶点分别为B，C，右焦点为
F，直线
与
交于点P，若
，则
．（S 表示面积）
【答案】3
【分析】通过直线方程联立求解交点坐标，再利用线段长度关系得出参数之间的关系，最后根据三角形面
积的比例关系求解．
【详解】设
，由已知得直线
的方程为
，直线
的方程为
，
两直线方程联立，可解得点P 的坐标为
．
由
，得
，
可得
，整理得
，即
，解得
，所以P 点
的纵坐标为
，得
．所以
．
故答案为：3.
【名师押题·第三题】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
在
的左支
上，过点
作
的一条渐近线的垂线，垂足为
，则当
取最小值12 时，
面积的最大
值为 ．
【答案】18
【分析】先利用双曲线的定义判断出当且仅当
三点共线时
取得最小值为
，得出
，再利用基本不等式求出
，最后将
的面积表示为
即可.
【详解】由题意得
，故
，如图所示，
则
，当且仅当
三点共线时等号成立，而
到渐近线
的距离
，
所以
的最小值为
，所以
，即
，当
，
时，等号成立，
又
，故
，
所以
，
即
面积的最大值为18．
故答案为：18.
【名师押题·第四题】（多选）笛卡尔叶形线是一种非常优美且具有丰富几何性质的代数曲线，它的形状
如图所示，其标准方程为：
，其中
是参数．已知某笛卡尔叶形线过点
，点
是该曲线上的一点，则（ ）
A．当
时，
取到最大值
B．
的取值范围是
C．直线
是曲线的一条切线
D．若
是曲线的渐近线，则
【答案】BCD
【分析】由笛卡尔叶形线过点
得曲线方程为
，设
的最大值为
，则曲线与
在第一象限只有一个交点，构造函数
，根据导数结合函数只有1 个零点即可判
断A；同理即可判断B；若直线
是曲线的一条切线，则
与曲线在第一象限只有一个交点，
联立方程组即可判断C；根据极限思想即可判断D．
【详解】由笛卡尔叶形线过点
得，
，解得
，
所以
，
对于A，设
的最大值为
，
则曲线与
在第一象限只有一个交点，联立得
，
设
，
令
，解得
，
当
时，
，则
在
单调递减，
当
时，
，则
在
单调递增，
又
，所以必满足
，
即
，解得
，
所以
的最大值为
，此时
，故A 错误；
对于B，设
的最大值为
，则曲线与
在第一象限只有一个交点，
联立得
，
与A 同理得，
，所以
的取值范围是
，故B 正确；
对于C，若直线
是曲线的一条切线，则
与曲线在第一象限只有一个交点，
联立得
，
整理得
，所以方程有2 个相等的实数根，
所以
与曲线在第一象限只有一个交点，故C 正确；
对于D，因为曲线过
，所以
不是曲线渐近线，
设曲线的渐近线为
，
代入曲线方程得
，
同时除以
得，
，
当
时，
，此时
，
则上式为
，
当
，此时
，
所以曲线的渐近线为
，即
，故D 正确；
故选：BCD
【名师押题·第五题】（多选）已知
，
分别为双曲线
：
的左、右焦点，点
在
的左支上，且
与
交于另一点
，
为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点
的坐标为
，则
的离心率的取值范围为
B．若
，
，则
C．若
，
，则
的最小值为4
D．若
，
，则
恒为定值
【答案】ABD
【分析】对于A，由点
在渐近线
的下方得到
，推理即得离心率范围；对于B，利用双
曲线的定义和焦半径
的范围即得；对于C，根据点
在双曲线的左右支分别求得最短弦长即可判断；
对于D，根据点
是否与双曲线的左顶点重合，分别推理计算
，利用双曲线定义和余
弦定理即可证得.
【详解】对于A，因点
在
的一条渐近线
的下方，则
，即
，
故离心率
，故A 正确；
对于B，由
，
，得
，
由双曲线的定义可知
，则
，
于是
，
因为
，所以
，故B 正确；
对于C，因
，
，则
，
当
在
的右支上时，因为在过焦点且与双曲线的两支各有一个交点的弦中，
最短弦的弦长为实轴长
，故
；
当
在
的左支上时，因为在过焦点且与双曲线的左支有两个交点的弦中，
当
轴时，
最小，此时
，
，
故
的最小值为1，故C 错误；
对于D，由
，
，可知
，则
，
，
当点
为双曲线的左顶点时，
；
当点
不在双曲线的左顶点时，
因
，则
，
由余弦定理得
，
又
，所以
，
因
则
，即
.
综上，
恒为定值
，故D 正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：本题主要考查双曲线的定义，性质的应用，解题思路在于解决与焦点有关的线段时，
常考虑定义式或焦半径、焦点弦有关结论的应用，有时还要考虑双曲线的渐近线，通经，以及三角形中正
余弦定理的运用.
数列（选填题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考II 卷
12
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
为等差数列
的前n 项和，若
，
，
则
.
等差数列通项公
式的基本量计
算；求等差数列
前n 项和
2023 年新高考I 卷
7
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
充要条件的证
明；判断等差数
列；由递推关系
证明数列是等差
数列；求等差数
列前n 项和
2023 年新高考II 卷
8
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
为等比数列
的前n 项和，若
，
，则
（ ）．
A．120
B．85
等比数列前n 项
和的基本量计
算；等比数列片
段和性质及应用
C．
D．
2022 年新高考II 卷
3
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）图1 是中国
古代建筑中的举架结构，
是
桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为
举，图2 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中
是举，
是相
等的步，相邻桁的举步之比分别为
．已知
成公差为0.1 的等差数列，且直线
的
斜率为0.725，则
（ ）
A．0.75
B．0.8
C．0.85
D．0.9
等差数列通项公
式的基本量计
算；已知斜率求
参数
近三年新高考数学数列选填题考查情况总结
考点：聚焦等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式，如2024 年新课标Ⅱ卷12 题考查等差数
列通项与求和；2023 年新课标Ⅱ卷8 题涉及等比数列前n 项和计算。此外，还考查等差数列的条件判断
（2023 年新课标Ⅰ卷7 题）及性质应用（2022 年新课标Ⅱ卷3 题结合斜率）。
题型：以选择题为主，分值5 分，侧重对数列基本量计算、性质理解与推理能力的考查。
2025 年新高考数列选填题高考预测
题型与分值：预计为选择题或填空题，分值5 分。
考查方向：延续对等差、等比数列通项与求和的考查，可能强化性质应用，或与函数、不等式等简单
结合，注重基本运算与推理能力，如通过通项公式求特定项，或利用求和公式判断数列性质。
1. 等差数列通项公式：
或
2. 等差中项：若
，
，
三个数成等差数列，则
，其中
叫做
，
的等差中项
3. 若
，
为等差数列，则
，
仍为等差数列
4. 等差数列前n 项和公式：
或
5. 等差数列的前
项和中，
，（
为奇数）
6. 等比数列通项公式：
7. 等比中项：若
，
，
三个数成等比数列，则
,其中
叫做
，
的等比
中项
8. 若
，
为等比数列，则
，
仍为等比数列
9. 等比数列前
项和公式：
10. 已知
与
的关系
11. 分组求和
若
为等差数列，
为等比数列，则
可用分组求和
12. 裂项相消求和
典例1
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
为等差数列
的前n 项和，若
，
，则
.
【答案】95
【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出
，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.
【详解】因为数列
为等差数列，则由题意得
，解得
，
则
.
故答案为：
.
典例2
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等差数
列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判
断作答.，
【详解】方法1，甲：
为等差数列，设其首项为
，公差为
，
则
，
因此
为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
为常数，设为，
即
，则
，有
，
两式相减得：
，即
，对
也成立，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C 正确.
方法2，甲：
为等差数列，设数列
的首项
，公差为
，即
，
则
，因此
为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
，
即
，
，
当
时，上两式相减得：
，当
时，上式成立，
于是
，又
为常数，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
典例3
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
为等比数列
的前n 项和，若
，
，则
（ ）．
A．120
B．85
C．
D．
【答案】C
【分析】方法一：根据等比数列的前n 项和公式求出公比，再根据
的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n 项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列
的公比为
，首项为
，
若
，则
，与题意不符，所以
；
若
，则
，与题意不符，所以
；
由
，
可得，
，
①，
由①可得，
，解得：
，
所以
．
故选：C．
方法二：设等比数列
的公比为
，
因为
，
，所以
，否则
，
从而，
成等比数列，
所以有，
，解得：
或
，
当
时，
，即为
，
易知，
，即
；
当
时，
，
与
矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握
的关
系，从而减少相关量的求解，简化运算．
典例4
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）图1 是中国古代建筑中的举架结构，
是桁，相邻桁的
水平距离称为步，垂直距离称为举，图2 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中
是举，
是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
．已知
成公差为0.1 的等差数列，且直线
的斜率为0.725，则
（ ）
A．0.75
B．0.8
C．0.85
D．0.9
【答案】D
【分析】设
，则可得关于
的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设
，则
，
依题意，有
，且
，
所以
，故
，
故选：D
【名校预测·第一题】（河南省郑州外国语学校2024-2025 学年高三调研数学试卷）
设等差数列
的前
项和为
，且
，则
取最小值时，
的值为（ ）
A．14
B．15
C．16
D．15 或16
【答案】D
【来源】河南省郑州外国语学校2024-2025 学年高三调研考试（八）数学试卷
【分析】根据已知及等差数列的通项公式、前n 项和公式求基本量，结合
及数列单调性确定
取最
小值时
的值.
【详解】由
，
由
，
所以数列
的公差
，且
，
所以
，且数列
单调递增，
故
取最小值时，
的值为15 或16.
故选：D.
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025 学年高三下学期3 月月考数学试题）
已知各项均为正数的数列
的前n 项和为
，
，
，
，则
（ ）
A．511
B．61
C．41
D．9
【答案】B
【来源】浙江省杭州学军中学2024-2025 学年高三下学期3 月月考数学试题
【分析】利用对数运算法则可求得
，即可知数列
的奇数项与偶数项分别成等比数列，再由
分组求和可得结果.
【详解】由
可得
，
即
，所以
，两式相除可得
；
即
，
由
可得
，因此数列
的奇数项是以
为首项，公比为2 的等比数列，
偶数项是以
为首项，公比为2 的等比数列，
所以
.
故选：B
【名校预测·第三题】（福建省福州第一中学2024-2025 学年高三数学试题）
设
是无穷数列，
，则“
是等差数列”是“
是等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【来源】福建省福州第一中学2024-2025 学年高三上学期第二学段期末考试数学试题
【分析】利用等差数列的定义，判断出
是等差数列则
也是等差数列，而
也是等差数列
不
一定是等差数列，可得答案.
【详解】若
是等差数列，设公差为
,
则
，
则
，
所以
是等差数列；
若
是等差数列，设公差为
,
则
，
即
的奇数项是等差数列，偶数项是等差数列，
则
不一定是等差数列，
所以“
是等差数列”是“
是等差数列”的充分不必要条件.
故选：A.
【名校预测·第四题】（山东省泰安第一中学2024-2025 学年高三下学期4 月月考数学试题）
已知数列
满足：
，
．若数列
满足
，则数列
的前20 项和
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【来源】山东省泰安第一中学2024-2025 学年高三下学期4 月月考数学试题
【分析】结合等差数列的定义，利用取倒数法证得
是等差数列，进而求得
，再利用裂项相消法求
和即可.
【详解】依题意，由
，得
，
故数列
是首项为
，公差为2 的等差数列，
所以
，则
，
所以数列
的前20 项和为
.
故选：B
【名校预测·第五题】（广东省华南师范大学附属中学2024-2025 学年高三数学试题）
（多选）已知等差数列
的首项为
，公差为
，前
项和为
，若
，则下列说法正确的
是（ ）
A．当
最大
B．使得
成立的最小自然数
C．
D．
中最小项为
【答案】ABD
【来源】广东省广州市华南师范大学附属中学2024-2025 学年高三上学期1 月模拟训练数学试题
【分析】根据条件，结合等差数列的性质，可得
，
，
，由此可判断ABC 的真假；
再由
和
时，
，
时，
，再结合
，
的单调性可判断D 的真假.
【详解】因为
，所以
，
由
，所以
，所以
，
所以
.
所以，当
时，
最大，故A 正确；
由
，
，
所以使得
成立的最小自然数
，故B 正确；
由
，且
，
所以
，即
，故C 错误；
因为当
时，
，
，所以
；
当
时，
，
，所以
；
当
时，
，
，所以
.
且
，
，
所以
中最小项为
，故D 正确.
故选：ABD.
【名师押题·第一题】已知等比数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．15
【答案】D
【分析】根据等比数列的性质及求和公式得解.
【详解】由等比数列
性质可知，
，
又
，解得
或
，
当
时，
，
所以
，故
，
当
时，
，
所以
，故
，
综上，
，
故选：D
【名师押题·第二题】已知正项等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．16
B．32
C．27
D．81
【答案】C
【分析】应用
，再结合等比数列基本量运算计算求解.
【详解】等比数列
的前
项和为
，
因为
，则
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
或
舍，
所以
.
故选：C.
【名师押题·第三题】已知数列
是首项和公比均大于0 的无穷等比数列，设甲：
为递增数列；乙：
存在正整数
，当
时，
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【分析】由递增数列的性质结合等比数列的通项可得充分性成立，再举反例
，可得必要性不成立.
【详解】若
为递增数列，则
，即
，即
，则公比
，
为指
数型递增数列，易得存在正整数
，当
时，
.充分性成立；
不妨设
，此时
不是递增数列，所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.
故选：A.
【名师押题·第四题】已知数列
满足
，设数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
，且
，利用累加法求得
，从而得到
，再利用裂项相消法求解.
【详解】因为
，且
，
所以当
时，
.
因为
也满足
，所以
.
因为
，
所以
.所以
.
故选：B.
【名师押题·第五题】已知数列
中，
，记
为
的前
项和，
，则
的值为（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
【答案】B
【分析】根据题意，利用
与
的关系，推得
，结合累乘法，即可求得
的值，得到答案.
【详解】数列
中，满足
，当
时，可得
，
两式相减，可得
，即
，所以
，
又由
，则
.
故选：B.
