文档文本内容
第二辑
数列（解答题）……………………………………………………………………01
新定义（解答题）…………………………………………………………………17
函数及其性质（选填题 ）……………………………………………………… 39
三角函数的图象及其性质（选填题）……………………………………………55
三角恒等变换（选填题）…………………………………………………………71
数列（解答题）
年份
题号
分值
题干
考点
2023 年新高考I 卷
20
12
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列
的公差为
，且
．令
，
记
分别为数列
的前
项和．
(1)若
，求
的通
项公式；
(2)若
为等差数列，且
，求
．
等差数列通项公式
的基本量计算；利
用等差数列的性质
计算；等差数列前
n 项和的基本量计
算
2023 年新高考II 卷
18
12
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
为等
差数列，
，记
，
分
别为数列
，
的前n 项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：当
时，
．
利用定义求等差数
列通项公式；分组
（并项）法求和；
等差数列通项公式
的基本量计算；求
等差数列前n 项和
2022 年新高考I 卷
17
10
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记
为数
列
的前n 项和，已知
是公差为
的等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
裂项相消法求和；
累乘法求数列通
项；利用
与
关系求通项或项；
利用等差数列通项
公式求数列中的项
2022 年新高考II 卷
17
10
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知
等差数列通项公式
的基本量计算；等
为等差数列，
是公比为2 的等比数列，且
．
(1)证明：
；
(2)求集合
中元素个
数．
比数列通项公式的
基本量计算；数列
不等式能成立（有
解）问题
近三年新高考数学数列解答题考查情况总结
1.考点方面
数列基本量计算：等差数列通项公式前
项和公式
的基本量
计算是
核心。如2023 年新课标I 卷、Ⅱ卷，2022 年新高考
卷均涉及。数列通顶公式求解：利用定义法（如等
差数列定义）、
与
的关系(
求通项。如2022 年新高考I 卷通过
为等差数
列求
通项。
数列求和与综合：分组求和（如2023 年新课标II 卷)、裂项相消法（如2022 年新高考I 卷证明不等式)；数
列与不等式结合（如证明
。
2.题目设置方面
通常设置两问，第一问求数列通项公式，第二问求和或证明不等式、比较大小（如2023 年新课标
卷证
明
时
整体考点稳定，注重对数列基本公式、方法的理解与运用，兼顾计算能力和逻辑推理
能力的考查。
题型与分值：预计以一道解答题（分值约 12 - 17 分）呈现，设置两问，梯度分明。
考查方向
数列基本性质：等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式仍是考查重点，可能结合递推关系求
通项。
数列求和方法：裂项相消法、分组求和法、错位相减法等仍会考查，尤其裂项相消在证明不等式或求
和中出现概率高。
综合应用：数列与不等式的综合（如证明数列和的范围、不等式恒成立求参数），或与函数结合考查
数列的单调性、最值。
计算与推理：注重基本概念与公式的灵活运用，第二问可能设置一定计算量或推理过程，如通过数列
求和证明不等式，考查逻辑严谨性和运算准确性。
1. 等差数列通项公式：
或
2. 等比数列通项公式：
3. 通项公式的构造
（1）已知
，我们可以用待定系数法构造
，从而转化为我们熟悉的等比
数列求解
（2）已知
用
求通项
（3）已知
用
求通项公式，其本质是除以一个指数式
（4）已知
用
求通项公式，其本质是待定系数法
（5）已知
用
求通项公式，其本质是除以
（6）已知
用
求通项公式，其本质是取到数
（7）已知
用
求通项公式，其本质是取对数
4.
的类型，公式
5. 数列求和的常用方法：
（1）对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；
等差数列求和
，等比数列求和
（2）对于
结构，其中
是等差数列，
是等比数列，用错位相减法求和；
为公差为d 的等差数列，
为公比为q 的等比数列，若数列
满足
，则数列
的前
n 项和
为
（3）对于
结构，利用分组求和法；
（4）对于
结构，其中
是等差数列，公差为
，则
，利用裂项相消法求
和.
或通项公式为
形式的数列，利用裂项相消法求和.
即
常见的裂项技巧：
（1）
；
（2）
；
（3）
（4）
（5）指数型
；
（6）对数型
.
（7）
（8）
（9）
（10）
等
典例1
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列
的公差为
，且
．令
，记
分别为数列
的前
项和．
(1)若
，求
的通项公式；
(2)若
为等差数列，且
，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；
（2）由
为等差数列得出
或
，再由等差数列的性质可得
，分类讨论即可得解.
【详解】（1）
，
，解得
，
，
又
，
，
即
，解得
或
（舍去），
.
（2）
为等差数列，
，即
，
，即
，解得
或
，
，
，
又
，由等差数列性质知，
，即
，
，即
，解得
或
（舍去）
当
时，
，解得
，与
矛盾，无解；
当
时，
，解得
.
综上，
.
典例2
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
为等差数列，
，记
，
分别为数列
，
的前n 项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：当
时，
．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列
的公差为
，用
表示
及
，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出
，
，再分奇偶结合分组求和法求出
，并与
作差比较作答；方
法2，利用（1）的结论求出
，
，再分奇偶借助等差数列前n 项和公式求出
，并与
作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，而
，
则
，
于是
，解得
，
，
所以数列
的通项公式是
.
（2）方法1：由（1）知，
，
，
当
为偶数时，
，
，
当
时，
，因此
，
当
为奇数时，
，
当
时，
，因此
，
所以当
时，
.
方法2：由（1）知，
，
，
当
为偶数时，
，
当
时，
，因此
，
当
为奇数时，若
，则
，显然
满足上式，因此当
为奇数时，
，
当
时，
，因此
，
所以当
时，
.
典例3
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记
为数列
的前n 项和，已知
是公差为
的等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得
，得到
，利用和与项的
关系得到当
时，
,进而得：
，利用累乘法求得
，检验对于
也成立，得到
的通项公式
；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到
，进而证得.
【详解】（1）∵
，∴
,∴
,
又∵
是公差为
的等差数列，
∴
,∴
,
∴当
时，
，
∴
,
整理得：
,
即
,
∴
，
显然对于
也成立，
∴
的通项公式
；
（2）
∴
典例4
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知
为等差数列，
是公比为2 的等比数列，且
．
(1)证明：
；
(2)求集合
中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）设数列
的公差为
，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得
，即可解出．
【详解】（1）设数列
的公差为
，所以，
，即可解得，
，所以
原命题得证．
（2）由（1）知，
，所以
，即
，亦即
，解得
，所以满足等式的解
，故集合
中的元素个数为
．
【名校预测·第一题】（贵州省贵阳市第一中学2025 届高三下数学试卷）
已知正项数列
的前
项和为
，
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
满足
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【来源】贵州省贵阳市第一中学2025 届高三下学期月考（六）（3 月）数学试卷
【分析】（1）由
的关系，作差即可求解；
（2）通过
和
，得到
，再由错位相减法即可求解；
【详解】（1）由
，
得当
时，
．
两式相减得
，
整理得
，
∴
．
当
时，
，解得
．
∴
是以7 为首项，4 为公差的等差数列，
∴
．
（2）当
，
时，
；当
，
时，
，
所以
，
①，
②，
①减②得：
，
∴
．
【名校预测·第二题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025 学年高三下学期数学试题）
数列
的前n 项和为
，数列
满足
，且数列
的前n 项和为
．
(1)求
，并求数列
的通项公式；
(2)抽去数列
中点第1 项，第4 项，第7 项，…，第
项，余下的项顺序不变，组成一个新数列
，数列
的前n 项和为
，求证：
．
【答案】(1)
，
，
(2)证明见解析
【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025 学年高三下学期三月限时训练数学试卷
【分析】（1）由
得出
，再由前
项和与通项的关系得出数列
的通项公式；
（2）分类讨论
，
两种情况，由分组求和法得出
，再由
的单调性得出证明
.
【详解】（1）由题意得
，①
当
时，
；当
时，
；
当
时，
，②
①
②得，
，
当
时，
，也适合上式，所以
，所以
，
两式相减得
，
所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，所以
．
（2）数列
为：
，所以奇数项是以4 为首项，8 为公比的等比数列，偶数项是以
8 为首项，8 为公比的等比数列．
所以当
时，
所以
，
所以
，显然
是关于k 的减函数，所以
；
所以当
时，
所以
，
所以
，显然
是关于k 的减函数，所以
；
综上所述，
．
【名校预测·第三题】（辽宁省本溪市高级中学2025 届高三下学期4 月月考数学试题）
已知等差数列
的前n 项和为
．
(1)求
的通项公式；
(2)数列
满足
为数列
的前n 项和，是否存在正整数m，
，使得
?
若存在，求出m，k 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【来源】辽宁省本溪市高级中学2025 届高三下学期4 月月考数学试题
【解析】（1）设等差数列
的公差为d，由等差数列的通项公式与前
项和公式得
，解得
，从而求出
；
（2）由（1）得
，由
，利用裂项相消法得
，
若
，则
，整理得
，由
得
，从而可求出答案．
【详解】解：（1）设等差数列
的公差为d，
由
得
，解得
，
；
（2）
，
，
，
若
，则
，整理得
，
又
，
，整理得
，
解得
，
又
，
，
，
∴存在
满足题意．
【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和，考查裂项相消法求和，属于中档题．
【名师押题·第一题】已知数列
满足
，
．
(1)求证：
是等差数列；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）变形给定等式，利用等差数列定义推理得证.
（2）由（1）求出
，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）数列
中，
，
，则
，
，
所以数列
是以
为首项，公差为2 的等差数列.
（2）由（1）知，
，则
，
，
所以数列
的前
项和
.
【名师押题·第二题】已知数列
的前n 项和为
，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
关于n 的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令
可求得
，再结合
可求出
；
（2）利用累乘法结合已知条件可得
，则当
时，
，两式相减化简可得
，从而可得
的奇数项、偶数项均成公差为
的等差数列，进而可求出其通项，则可求得
关于n 的表达式．
【详解】（1）令
，可得
，故
，
又
，所以
．
（2）由
，可得
，
，…，
，
两边分别相乘得
，所以
．
当
时，
，所以
，
即
，即
，
由题可知
，所以
，
所以
的奇数项、偶数项均成公差为
的等差数列．
所以
，
，
所以
．
所以
，
故
．
【名师押题·第三题】已知数列
满足
，
（
），记
．
(1)求证：
是等比数列；
(2)设
，数列
的前n 项和为
．若不等式
对一切
恒成立，求实数
的
取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明
为常数即可证明
为等比数列，根据等比数列通项公式即可求
通项公式，从
而得证；
（2）先求出
，根据
通项公式的特征，采用错位相减法求其前n 项和
，题设化简为
，通过讨论
为奇数或偶数，即可求λ 的范围.
【详解】（1）由已知，
，
，
，
，
又
,
，
数列
中任意一项不为0,
，
数列
是首项为2, 公比为2 的等比数列，
.
（2）由第（1）问知，
，
则
，设数列
的前
项和为
,
所以
①，
②，
所以①-②可得：
，
所以
.
由
，得
，
化简得
.
当
为奇数时，有
，即
，
而
，所以
；
当
为偶数时，有
，
而
，所以
.
综上，
的取值范围为
.
【名师押题·第四题】已知数列
的前n 项和为
，且
，
．
(1)证明：数列
是等比数列．
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
(3)设
，证明：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用前n 项和与通项公式的关系得到
，再利用等比数列的定义证明即可.
（2）利用给定条件求出
，再利用错位相减法结合公式法求和即可.
（3）先表示出
，再分析得到
，再对
分奇偶数讨论证明不等式即可.
【详解】（1）当
时，
，得
．
当
时，
，结合题设式可得
，
即
，当
时也成立，
，
则数列
是首项为2、公比为2 的等比数列．
（2）由（1）知
，则
，
，
设
记为①，
记为②，
①－②得
，
，
设
，则
．
（3）由（1）知
，
，
，
欲证
，即证
，
即证
，即证
，该式显然成立，
即
恒成立．
当n 为奇数，
，
当n 为偶数时，
．
综上，
．
【名师押题·第五题】已知数列
满足
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，记数列
的前n 项和为
．
（i）求
；
（ii）若
成立，求m 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）
；（ii）
【分析】（1）等式两边同时除以
可得；
（2）（ii）由错位相减法求和即可；
（ii）构造数列
，由不等式组求数列
的最值大即可.
【详解】（1）因为
，即
，
所以数列
是以
为首项，3 为公差的等差数列.
（2）（i）由（1）知
，
所以
，
所以
，
所以
，
，
所以
，
所以
.
（ii）因为
，
所以
，
令
，
不妨设
的第
项取得最大值，
所以
，解得
，
所以
的最大值为
，
所以
，即m 的取值范围是
.
新定义（解答题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考I 卷
19
17
（2024·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设m 为正
整数，数列
是公差不为0 的等差
数列，若从中删去两项
和
后剩余
的
项可被平均分为
组，且每组的4 个数
都能构成等差数列，则称数列
是
可分数列．
(1)写出所有的
，
，使数列
是
可分数列；
(2)当
时，证明：数列
是
可分数列；
(3)从
中任取两个数和
，记数列
是
可分数列的概
率为
，证明：
．
数列新定义；等差
数列通项公式的基
本量计算，数列与
概率交汇结合
新高考数学新定义解答题考查情况总结
考点方面：聚焦于对新定义概念的理解与运用，如 2024 年新高考全国 I 卷 “可分数列” 的新定义，
结合等差数列通项公式的基本量计算，以及数列与概率的交汇考查。注重知识的综合运用，要求考生快速
理解新定义，并调用已有知识（如数列性质、概率计算）进行分析。
题目设置方面：通常设置多问，第一问常为具体实例探索（如写出满足条件的所有可分数列），帮助
考生初步理解新定义；后续问题逐步深入（如证明某数列符合新定义、计算相关概率并证明不等式），对
数学抽象、逻辑推理和运算求解能力要求较高。整体强调对新定义的深度理解与综合应用，考查考生学习
新知识并解决问题的素养。
2025 年新高考新定义解答题高考预测
题型与考查形式：预计 2025 年新高考仍会以新定义题考查学生创新思维与综合能力，可能涉及更多
元的知识交汇，如数列与函数、几何、概率统计等的结合。题目或设多问，第一问引导理解新定义，后续
问题增加难度，深入考查应用能力。
考点趋势：除数列相关新定义外，函数、几何领域的新定义考查概率增加。例如，给出函数的新性质
定义，或几何图形的新判定规则，要求考生通过分析、推理、计算解决问题。注重对数学抽象、逻辑推理
和创新意识的考查，计算与证明过程可能更复杂，强调基础知识的灵活运用与思维的开放性。
一、数列新定义问题
1. 考察对定义的理解。
2. 考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新
环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质.
3. 考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，转化为已有的
知识点是考查的重点，这类思想需要熟练掌握.
二、函数新定义问题
涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，构造函数，转
化、抽象为相应的函数问题作答.
关于新定义题的思路有：
1.找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
2.由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
3.将已知条件代入新定义的要素中；
4.结合数学知识进行解答.
三、集合新定义问题
对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1.紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程
中；
2.用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3.涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的
概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.
4.认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，同时运用转化
化归思想，将陌生的问题转化为我们熟悉的问题，或将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．
典例1
（2024·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设m 为正整数，数列
是公差不为0 的等差数列，若从中
删去两项
和
后剩余的
项可被平均分为
组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称数列
是
可分数列．
(1)写出所有的
，
，使数列
是
可分数列；
(2)当
时，证明：数列
是
可分数列；
(3)从
中任取两个数和
，记数列
是
可分数列的概率为
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）直接根据
可分数列的定义即可；
（2）根据
可分数列的定义即可验证结论；
（3）证明使得原数列是
可分数列的
至少有
个，再使用概率的定义.
【详解】（1）首先，我们设数列
的公差为
，则
.
由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，
故我们可以对该数列进行适当的变形
，
得到新数列
，然后对
进行相应的讨论即可.
换言之，我们可以不妨设
，此后的讨论均建立在该假设下进行.
回到原题，第1 小问相当于从
中取出两个数和
，使得剩下四个数是等差数列.
那么剩下四个数只可能是
，或
，或
.
所以所有可能的
就是
.
（2）由于从数列
中取出
和
后，剩余的
个数可以分为以下两个部分，共
组，使得每
组成等差数列：
①
，共组；
②
，共
组.
（如果
，则忽略②）
故数列
是
可分数列.
（3）定义集合
，
.
下面证明，对
，如果下面两个命题同时成立，
则数列
一定是
可分数列：
命题1：
或
；
命题2：
.
我们分两种情况证明这个结论.
第一种情况：如果
，且
.
此时设
，
，
.
则由
可知
，即
，故
.
此时，由于从数列
中取出
和
后，
剩余的
个数可以分为以下三个部分，共
组，使得每组成等差数列：
①
，共
组；
②
，共
组；
③
，共
组.
（如果某一部分的组数为
，则忽略之）
故此时数列
是
可分数列.
第二种情况：如果
，且
.
此时设
，
，
.
则由
可知
，即
，故
.
由于
，故
，从而
，这就意味着
.
此时，由于从数列
中取出
和
后，剩余的
个数可以分为以下四个部分，
共
组，使得每组成等差数列：
①
，共
组；
②
，
，共
组；
③全体
，其中
，共
组；
④
，共
组.
（如果某一部分的组数为
，则忽略之）
这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含
个行，
个列的数表
以后，
个列分别是下面这些数：
，
，
，
.
可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍
中除开五个集合
，
，
，
，
中的十个元素以外的所有数.
而这十个数中，除开已经去掉的
和
以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.
这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列
是
可分数列.
至此，我们证明了：对
，如果前述命题1 和命题2 同时成立，则数列
一定是
可分数列.
然后我们来考虑这样的
的个数.
首先，由于
，
和
各有
个元素，故满足命题1 的
总共有
个；
而如果
，假设
，则可设
，
，代入得
.
但这导致
，矛盾，所以
.
设
，
，
，则
，即
.
所以可能的
恰好就是
，对应的
分别是
，总
共
个.
所以这
个满足命题1 的
中，不满足命题2 的恰好有
个.
这就得到同时满足命题1 和命题2 的
的个数为
.
当我们从
中一次任取两个数和
时，总的选取方式的个数等于
.
而根据之前的结论，使得数列
是
可分数列的
至少有
个.
所以数列
是
可分数列的概率
一定满足
.
这就证明了结论.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究
结论.
【名校预测·第一题】（山东省泰安第一中学2024-2025 学年高三下学期4 月月考数学试题）
全集
，
，
，若
中存在两个非空子集
，
，满足
，
，则称
，
是
的一个“组合分拆”，用
表示集合
的所有元素的和．
(1)若
．
①若
，
，求
；
②若
为偶数，证明：
；
(2)若
，
为给定的偶数，关于
的方程
存在有理数解，求
的最小值，并
写出取得最小值时的一个集合
．
【答案】(1)①
；②证明见解析；
(2)
最小值为
，
.
【来源】山东省泰安第一中学2024-2025 学年高三下学期4 月月考数学试题
【分析】（1）①由题可得集合N，据此可得答案；②注意到
，
通过二项式定理证明
不是整数可完成证明；
（2）由题可得
，据此可将方程化为
，结合其判别
式为完全平方数可得
，结合基本不等式及函数知识可得
最小值，最后由题意可得
满足条件的M.
【详解】（1）①此时
，
，
由题可得
，则
；
②由题可得
，
.
若
，则
.
当
为偶数，设
，则
.
注意到
，其中
，
则
不为整数，这与题意不合，故
.
（2）此时
，
则
.
则
，
要使方程存在有理数解，则方程判别式
，
.
注意到
，
则
，
因
，则
，
则
，其中
，
则
，
注意到
，若
为正实数，
则
，当且仅当
时取等号，
且
在
单调递减，在
时单调递增.
则当
为正整数时，
取离
最近的整数，
即
或
时取最小值，则
.
即
的最小值为
.
注意到
又
，
则
，
即
取得最小值时的一个集合
可以为：
【点睛】关键点睛：对于不相等形式命题的证明，常利用反证法；对于二次方程有有理数解的问题，常利
用判别式为完全平方数解决问题.
【名校预测·第二题】（广东省深圳市高级中学2024-2025 学年高三下学期数学试题）
对于一个给定的数列
，令
，则数列
称为数列
的一阶和数列，再令
，
则数列
是数列
的二阶和数列，以此类推，可得数列
的
阶和数列．
(1)若
的二阶和数列是等比数列，且
，
，
，
，求
；
(2)若
，求
的二阶和数列的前
项和；
(3)若
是首项为1 的等差数列，
是
的一阶和数列，且
，
，求正整数
的最大值，以及
取最大值时
的公差．
【答案】(1)
(2)
(3)
的最大值是
，公差为
【来源】广东省深圳市高级中学高中园2024-2025 学年高三下学期第三次模拟考试数学试题
【分析】（1）根据一阶和数列的定义可计算出
，
，
的值，根据二阶和数列的定义计算出
，
的值，
由
的二阶和数列是等比数列可得公比，从而得到
，
，
的值，再由定义可求出
的值.
（2）根据定义可得
的通项公式，进而求得
的前
项和公式.
（3）由
可得
，从而可得公差
，结合条件可得正整数
的最大值.
【详解】（1）由题意得，
，
，
，
∴
，
，
设数列
的二阶和数列
的公比为
，则
，
∴
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
，
．
（2）设
的二阶和数列
的前
项和为
，
由题意得，
，
，
由
得数列
是以
为首项，为公差的等差数列，
∴
.
（3）∵
，
∴
，故
．
设数列
的公差为
，则
，
∴
，得
，
∵反比例函数
在
上为增函数，
∴由
得，
，故
，
∵
，
∴
，故
，
∴
的最大值是
，由
得公差
.
【名校预测·第三题】（浙江省杭州学军中学2024-2025 学年高三下学期3 月月考数学试题）
对于无穷数列
，
，
，
，
，我们称
为数列
的生成函数.
生成函数是重要的计数工具之一.对于给定的正整数p，记方程
的非负整数
解的个数为
，则
为
展开式中
前的系数.
(1)写出无穷常数列1，1，1，…的生成函数
并化简；
(2)证明：
；
(3)本次测试共分为十一个大项，前十项各有三个小项，第十一项仅有两个小项.学生需参加所有项目获取最
终分数.计分规则如下：通过第
大项中的每一个小项，都可获得
分，通过第十一项中的每
一个小项，可获得1 分.记
为总分为n 分的所有得分组合数，求
．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)
【来源】浙江省杭州学军中学2024-2025 学年高三下学期3 月月考数学试题
【分析】（1）提出
得
，解出即可；
（2）令
，再结合组合和极限计算即可；
（3）直接根据题意得到取值集合，再结合方程求出
的生成函数为
，再结合二项式定理和组合数
的计算即可得到答案.
【详解】（1）
，解得
.
（2）令
，
，
可得
，所以
.
（3）记
表示第一大项中每一个小项获得的分数，
表示第二大项中每一个小项获得
的分数，
表示第十大项中每一个小项获得的分数，
表示第十一大项中每一个
小项获得的分数.
则
.
为方程
满足上述范围条件的解的个数.
设
的生成函数为
，则
.
因为
，故
与
的展开式中
前的系数相同.
由（1）知
，
由（2）知取
时有
.
故
，其中
前系数为
故
.
【名校预测·第四题】（山西大学附属中学校2024-2025 学年高三下学期3 月模拟数学试题）
定义可导函数p（x）在x 处的函数
为p（x）的“优秀函数”，其中
为p（x）的导
函数．若
，都有
成立，则称p（x）在区间D 上具有“优秀性质”且D 为（x）的“优秀区
间”．已知
．
(1)求出f（x）的“优秀区间”；
(2)设f（x）的“优秀函数”为g（x），若方程
有两个不同的实数解
、
．
（ⅰ）求m 的取值范围；
（ⅱ）证明：
（参考数据：
）．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）证明见解析
【来源】山西大学附属中学校2024-2025 学年高三下学期3 月模拟数学试题
【分析】（1）先根据“优秀函数”的定义，求出
的“优秀函数”
，再利用作差法比较
和
的大小关系，构造函数
，对
的分子分母分别判断正负，进而求得f（x）
的“优秀区间”；
（2）（ⅰ）对
分离常数，求出
，构造函数
，由
的单调性求得
的最值，进而得到m 的取值范围；
（ⅱ）先分析出要证
，即证
，再构造函数
，根据
的单调性，求得
，再构造函数
，
根据
的单调性，求得
，可推得
，又由
的单调性，求得
，从
而得到
，进而得证.
【详解】（1）当
时，
的“优秀函数”为
，
，
令
，则
，
令
，解得
；令
，解得
，
所以当
时，h（x）单调递减；当
时，h（x）单调递增，
故
．
当
时，
，则
，
，f（x）不具有“优秀性质”；
当
时，
，则
，
，f（x）具有“优秀性质”．
故f（x）的“优秀区间”为
．
（2）（ⅰ）
即
，所以
，
所以
，故
，
令
，则
，
令
，解得
；令
，解得
，
故当
时，k（x）单调递减；
时，k（x）单调递增．
，
当
时，
；
时，
，
，故
．
即m 的取值范围为
．
（ⅱ）由
、
为方程的两个解可知：
，
要证
，即证
，
令
，
，
令
，
，
则N（x）在
单调递增，故
，
所以
时，
，故M（x）在
上单调递增，
则
．
令
，
，
令
，则
，
故G（x）在
上单调递增，
．即
，
故Q（x）在
上单调递增．故
，
即
，
成立，
因为
，则
，
又
，
，k（x）在（0，1）单调递减，则
，即
，
故
,所以
，
所以
.
【点睛】方法点睛：本题主要考查了函数新定义问题以及利用导数研究不等式问题，通常首先要构造函数，
利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的不等式；对含有参数的函数，也可先分离变量，
再构造函数，直接把不等式转化为函数的最值问题.
【名师押题·第一题】已知集合
，集合B 满足
．
(1)判断
，
，
，
中的哪些元素属于B；
(2)证明：若
，
，则
；
(3)证明：若
，则
．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于
即可；
（2）先证明若
，
，则
，即可得到
，从而得证；
（3）依题意可得
，从而求出
，再说明
即可.
【详解】（1）因为
，所以
；
因为
，所以
；
因为
没有倒数，所以
；
因为
，所以
；
综上可得
，
.
（2）先证明：若
，
，则
；
设
，
，
为整数，
所以
，
由于
，
都是整数，所以
，
当
，
时，
，
，所以
，所以
；
（3）因为
，
所以
，
所以
，
都是整数，
所以
为整数，
所以
，
假如
，则
，则
应为的倍数，
设
为整数，若
，则
不是的倍数；
若
，则
不是的倍数；
若
，则
不是的倍数；
所以
，即
.
【名师押题·第二题】已知
是函数
定义域的子集，若
，
，
成立，则称
为
上的“
函数”.
(1)判断
是否是
上的“
函数”？请说明理由；
(2)证明：当
（
是与
无关的实数），
是
上的“
函数”时，
；
(3)已知
是
上的“
函数”，若存在这样的实数
，
，当
时，
，求的最大值.
【答案】(1)
是
上的“
函数”，理由见解析
(2)证明见解析
(3)6
【分析】（1）根据定义直接判断即可；
（2）结合定义可得
在
上恒成立，设
，求导可知函数
在
上单调递增，且
.由
，可知
，根据
的单调性即可证明；
（3）先根据定义得到
对任意的
恒成立，分类讨论求得
，再结合题意
可得
，令
，
，进而结合导数研究其
单调性分析即可求解.
【详解】（1）
是
上的“
函数”，理由如下：
，
.
，
，
，
在
恒成立，
是
上的“
函数”.
（2）
是
上的“
函数”，
在
上恒成立，
设
，则
，
∴
在
上单调递增，且
.
又
，
，即
.
∵
在
上单调递增，
，
∴
.
（3）
，
.
∵
是
上的“
函数”，
∴
在
上恒成立，
即
在
上恒成立.
当
时，对任意的
，上式恒成立，符合题意；
当
时，
恒成立，
设
，
，
则
，所以函数
在
上单调递减，
所以
，即
；
当
时，
恒成立，
设
，
，
则
，所以函数
在
上单调递减，
所以
，即
.
综上所述，
.
∵
，当
时，
，
∴
，即
.
令
，
，
则由题意可知：存在
，使得
在
上为增函数，
即存在
，使得
，即
对任意的
恒成立，
可得
对任意的
恒成立，
即
对任意的
恒成立.
而函数
在
上单调递增，所以
，即
.
另一方面，当
，
时，
，
，
可知
恒成立，满足题意，
所以实数的最大值为6.
【点睛】与函数的新定义有关的问题的求解策略：
1.通过给出一个新的函数定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅
读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办
事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
【名师押题·第三题】已知数列
的前n 项和为
，且
，
，当数列
的项数大于2 时，
将数列
中各项的所有不同排列填入一个
行
列的表格中（每个格中一个数字），使每一行均为这
个数的一个排列，将第
行的数字构成的数列记作
，将数列
中的第
项记作
．若对
，均有
，则称数列
为数列
的“异位数列”，记表格
中“异位数列”的个数为
．
(1)求数列
的通项公式
；
(2)当数列
的项数为
时，求
的值；
(3)若数列
为数列
的“异位数列”，试讨论
的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）由已知条件求出
的值，由
得
，两式作差得出
，再
利用累乘法可求出数列
的通项公式；
（2）列出数列
的
项，对
的取值进行分类讨论，列举出
、
、
的取值，即可得出
的值；
（3）由题意可得
，可得出
，
，然后对
为奇数和偶数两种情况进
行讨论，列举出符合条件的数列
，可得出
的最小
【详解】（1）由题
，
，解得
，
由
得
，两式作差得
，即
，
所以
，
，
，……，
，
累乘得：
，即
，
因为
，
符合上式，所以
．
（2）由（1）知，
，所以
，
当数列
的项数为4 时，可知
，
，
，
，
若数列
为数列
的“异位数列”，则：当
时，
，
，
；或
，
，
；或
，
，
共3 种情况．
同理当
或
时，对应的排列各有3 种情况，所以
．
（3）因为数列
为数列
的“异位数列”，
所以
，即
，所以
，所以
，
当
，
时，若对任意的
，都有
，
取等号，
此时
，
，…，
，
，
所以当
，
时，
的最小值为
，
当
，
时，
的不可能取到等号，因为存在
，使得
，
将，
，，
，
分为
组，
不妨为
，
，……，
，
时，
可以取到等号，
此时
，
，……，
，
，
，
，
，
此时
，
所以当
，
时，
的最小值为
，
综上，当
为偶数时，
的最小值为
；
当
为奇数时，
的最小值为
．
【名师押题·第四题】设
是项数为
且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列
称为
的“
等比关联数列”：①数列
的项数为
；②
中任意两项
乘积都是
中的项；③
是公比大于1 的等比数列．
(1)已知数列
是
的“
等比关联数列”，且
，
，
，求数列
的通项公式；
(2)已知数列
是
的“
等比关联数列”，且
的前3 项成等比数列的概率为
，求
的值；
(3)证明：
不存在“
等比关联数列”
．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）根据定义计算出
的前三项，即可写出等比数列
的通项公式；
（2）先计算出
及
的项数，再由
的公比为
，写出确定的
，进而求出
，再分两
种情况讨论
的可能性，从而得到使
的前3 项成等比数列的所有可能情况，进而求出概率；
（3）先计算出
的项数，再由
的公比为
，写出确定的
，进而求出
，再求出确定的
，推理出
，
，
是连续三项，从而推理出
是第4 项或第7 项，进而分两种情况讨论即
可得证.
【详解】（1）因为
，
，
，
由定义可知，
，
故数列
的通项公式为
；
（2）因为
中4 项均不相同，所以
有
种，
有
项，
假设
，则
，
，
，
．
设
的公比为
，则
，
又数列
的第三项
，第四项
，
或第三项
，第四项
，
所以
，
且
，得
，且
，
或
，
且
，得
，且
，
这两种情况，不能同时成立，使得
的前3 项为等比数列有4 种情况，
故
．
（3）当
时，假设
的各项从小到大排列，此时数列
有
项，
则
，
，
，
，
因为
是等比数列，所以
，即
，所以
．
设
的公比为
，则
，所以
，
所以
，
，
剩余四项为
，
，
，
，
又公比
，所以
，
，
是连续三项，因此
是第4 项或第7 项，
当
时，
，所以
，即
，不符合题意；
当
时，
，所以
，即
，不符合题意；
因此当
时，
不存在“
等比关联数列”
．
【名师押题·第五题】设数列
和
都有无穷项，已知存在非零常数
，使得
，此时称数列
是由
“
-生成”的．
(1)如果
是等比数列，
满足的
，若数列
是由
“
-生成”，求
的值；
(2)已知数列
是由
“
-生成”的，如果存在非零常数
，使得
是由
“
-生成”的，求数
列
的通项；
(3)设
，且数列
，
，
分别是由数列
，
，
“
-生成”的，
表示数列
的
前n 项和．已知
，求
的最小值．
【答案】(1)
或
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）设
，利用定义推理可得
，求解方程并验证即得.
（2）利用定义求出首项，结合递推公式求解，并借助反证法推理求得通项公式.
（3）设
分别表示
的前
项和，利用给定的定义，结合前
和与第
的关系推理
求出最小值.
【详解】（1）设
，
则由
，解得
，
又
，
而
，因此
，解得
.
当
时，
；
当
时，
，
当
时，
，
即
，符合题意，
所以
或
.
（2）由
是由
“
生成”的，
是由
“
生成”的，
得
，则
，
于是
或
，而
，因此
，
若
，则
，
，
若
，且
，
假设
是第一个使
不同时为0 的整数，则
，
此时
，而
，则
，矛盾，
从而不存在使
不同时为0 的整数，
所以
.
（3）设
分别表示
的前
项和，
即
分别是由
-生成"的，
由
，得
；
当
时，
.
于是
，同理
，
而
，则
，
，
，
.
所以，
，
令
，则
，
，
，
因此
，
所以
取到最小值
.
函数及其性质（选填题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考I 卷
6
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
在R 上单调递增，
则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
B．C．
D．
判断指数函数的单
调性；根据分段函
数的单调性求参
数；研究对数函数
的单调性
2024 年新高考I 卷
8
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
的定义域为R，
，且当
时
，则下列结论中一定
正确的是（ ）
求函数值；比较函
数值的大小关系
A．
B．
C．
D．
2024 年新高考II
卷
6
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一
个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
函数奇偶性的应
用；根据函数零点
的个数求参数范
围；函数奇偶性的
定义与判断；求余
弦（型）函数的奇
偶性
2024 年新高考II
卷
8
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
由对数函数的单调
性解不等式；函数
不等式恒成立问题
2023 年新高考I 卷
4
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
根据函数的单调性
求参数值；判断指
数型复合函数的单
调性；已知二次函
数单调区间求参数
值或范围
2023 年新高考I 卷
11
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
的定义域为
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数D．
为
的极小值
点
函数奇偶性的定义
与判断；函数极值
点的辨析
2023 年新高考II
卷
4
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若
为偶函数，则
（ ）．
A．
B．0
C．
D．1
由奇偶性求参数；
函数奇偶性的应用
2022 年新高考I 卷
12
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
，
均为偶
函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
函数对称性的应
用；函数与导函数
图象之间的关系；
抽象函数的奇偶性
2022 年新高考II
卷
8
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数
的定义域为R，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
函数奇偶性的应
用；由抽象函数的
周期性求函数值
近三年新高考数学函数及其性质选填题考查情况总结
1.考点方面
函数基本性质：单调性（如根据分段函数或复合函数单调求参数）、奇偶性（由奇偶性求参数或判断
性质）、对称性（利用函数对称性解决问题）是核心考点。例如 2024 年新课标 Ⅰ 卷第 6 题考查分段
函数单调求参数，2023 年新课标 Ⅱ 卷第 4 题由奇偶性求 a 值。
函数综合应用：涉及函数值比较（2024 年新课标 Ⅰ 卷第 8 题）、函数零点与参数关系（2024 年
新课标 Ⅱ 卷第 6 题）、不等式恒成立求最值（2024 年新课标 Ⅱ 卷第 8 题）。还考查抽象函数性质
（2022 年新课标 Ⅱ 卷第 8 题利用函数方程求累加和）。
导数与函数结合：如 2022 年新课标 Ⅰ 卷第 12 题通过导函数与原函数对称性的关系解题，体现导
数工具性。
2.题目设置方面
以选择题为主，分值 5 分，题干简洁但综合性强。注重对函数性质的深度理解与灵活运用，如根据
单调性列不等式组、利用奇偶性建立方程、结合对称性推导函数值关系等。
1.题型与分值：预计 2025 年仍以选择题或填空题形式出现，分值 5-6 分，保持对函数核心性质的
考查。
2.考查方向
核心性质深化：函数的单调、奇偶、对称性质仍是重点，可能结合导数考查复杂函数单调性，或通过
奇偶性与对称性的综合推导函数特征。
综合应用拓展：函数与方程零点、不等式的综合会更常见，如根据零点个数求参数范围，或利用函数
单调性解不等式。也可能出现函数与数列的简单交汇，如通过函数周期性求数列和。
创新与灵活度：可能引入新情境或新定义（如给定特殊函数方程），考查对函数性质的迁移应用能力，
注重思维灵活性与对知识的综合运用。
1. 单调性
（1）单调性的运算
①增函数（↗）
增函数（↗）
增函数↗
②减函数（↘）
减函数（↘）
减函数↘
③
为↗，则
为↘，
为↘
④增函数（↗）
减函数（↘）
增函数↗
⑤减函数（↘）
增函数（↗）
减函数↘
⑥增函数（↗）
减函数（↘）
未知（导数）
（2）复合函数的单调性
2. 奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数：
，图象关于原点对称
偶函数：
，图象关于
轴对称
③奇偶性的四则运算
3. 周期性（差为常数有周期）
①若
，则
的周期为：
②若
，则
的周期为：
③若
，则
的周期为：
（周期扩倍问题）
④若
，则
的周期为：
（周期扩倍问题）
4. 对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若
，则
的对称轴为
②若
，则
的对称轴为
点对称
①若
，则
的对称中心为
②若
，则
的对称中心为
5. 周期性对称性综合问题
①若
，
，其中
，则
的周期为：
②若
，
，其中
，则
的周期为：
③若
，
，其中
，则
的周期为：
6. 奇偶性对称性综合问题
①已知
为偶函数，
为奇函数，则
的周期为：
②已知
为奇函数，
为偶函数，则
的周期为：
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
在R 上单调递增，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为
在
上单调递增，且
时，
单调递增，
则需满足
，解得
，
即a 的范围是
.
故选：B.
典例2
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
的定义域为R，
，且当
时
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】代入得到
，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当
时
，所以
，
又因为
，
则
，
，
，
，
，则依次下去可知
，则B 正确；
且无证据表明ACD 一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用
，再利用题目所给的函数性质
，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
典例3
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】解法一：令
，分析可知曲线
与
恰有一个交点，结合
偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得
，并代入检验即可；解法二：令
，可知
为偶函数，根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，即可
得
，并代入检验即可.
【详解】解法一：令
，即
，可得
，
令
，
原题意等价于当
时，曲线
与
恰有一个交点，
注意到
均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，
可得
，即
，解得
，
若
，令
，可得
因为
，则
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
则方程
有且仅有一个实根0，即曲线
与
恰有一个交点，
所以
符合题意；
综上所述：
.
解法二：令
，
原题意等价于
有且仅有一个零点，
因为
，
则
为偶函数，
根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，
即
，解得
，
若
，则
，
又因为
当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
即
有且仅有一个零点0，所以
符合题意；
故选：D.
典例4
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数
的定义域为
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例
即可排除选
项D.
方法二：选项ABC 的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数
进行判断即可.
【详解】方法一：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，不妨令
，显然符合题设条件，此时
无极值，故
错误.
方法二：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，当
时，对
两边同时除以
，得到
，
故可以设
，则
，
当
肘，
，则
，
令
，得
；令
，得
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
为偶函数，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
显然，此时
是
的极大值点，故D 错误.
故选：
.
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
，
均为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项
判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于
，因为
为偶函数，所以
即
①，所以
，所以
关于
对称，则
，故C 正确；
对于
，因为
为偶函数，
，
，所以
关于
对称，由①
求导，和
，得
，
所以
，所以
关于
对称，因为其定义域为R，所以
，结合
关于
对称，从而周期
，所以
，
，故B 正确，D
错误；
若函数
满足题设条件，则函数
（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定
的函数值，
故A 错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知
周期为2，关于
对称，故可设
，则
，显然A，D 错
误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为
，
均为偶函数，
所以
即
，
，
所以
，
，则
，故C 正确；
函数
，
的图象分别关于直线
对称，
又
，且函数
可导，
所以
，
所以
，所以
，
所以
，
，故B 正确，D 错误；
若函数
满足题设条件，则函数
（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定
的函数值，
故A 错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的
通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
【名校预测·第一题】（山东省实验中学2025 届高三第五次诊断考试数学试题）
函数
在区间
上是减函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【来源】山东省实验中学2025 届高三第五次诊断考试数学试题
【分析】利用复合函数的单调性和函数的定义域求解即可.
【详解】函数
，故
，且
为减函数，
若
，则
在为减函数，则函数
为增函数，故舍去；
若
，则
为增函数，因为函数
在区间
上是减函数，
故
.
故
的取值范围是
.
故选：D.
【名校预测·第二题】（广东省深圳市高级中学2024-2025 学年高三下学期数学试题）
（多选）已知函数
的定义域为
，
，
，则（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．
的图象关于直线
对称
D．
【答案】ABD
【来源】广东省深圳市高级中学高中园2024-2025 学年高三下学期第三次模拟考试数学试题
【分析】根据已知条件，通过赋值法求出函数的一些特殊值，再结合函数的对称性逐一分析选项.
【详解】对于A，令
，则
，
因为
，所以
，解得
，故A 正确；
对于B，令
，则
，得
，
由A 可知
，所以
，即
，
所以
的图象关于点
对称，故B 正确；
对于C，令
，则
，即
.
假设
的图象关于直线
对称，则有
，与
矛盾，
所以假设不成立，
的图象不关于直线
对称，故C 错误；
对于D，由于
且
，则有
，即
，
所以
，故D 正确.
故选：ABD.
【名校预测·第三题】（重庆市南开中学校2025 届高三下学期高考模拟数学试题）
（多选）已知函数
的定义域为
，若
为偶函数，且
，
，则
（ ）
A．2026
B．2025
C．2024
D．2023
【答案】A
【来源】重庆市南开中学校2025 届高三下学期高考模拟数学试题
【分析】由已知条件推导出函数周期为4，
，可求
.
【详解】由
为偶函数，得
，即
，则
，
因此
，即
，则
，
于是
，函数
是周期为4 的周期函数，
由
，得
，因此
，
所以
．
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用偶函数的性质，结合已知等式，探讨函数的周期性是求解问题的关键.
【名校预测·第四题】（河南省郑州外国语学校2024-2025 学年高三调研考试）
（多选）已知函数
，
的定义域为
，
的导函数为
，且
，
，若
为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若存在
使
在
上单调递增，在
上单调递减，则
的极小值点为
D．若
为偶函数，则满足题意的
唯一，满足题意的
不唯一
【答案】ABD
【来源】河南省郑州外国语学校2024-2025 学年高三调研考试（十）数学试卷
【分析】代入求得
判断A；利用函数的周期判断B；利用已知条件和函数的周期性判断C；根据
函数的奇偶性结合已知条件求出
，
判断D.
【详解】对A，因为
为偶函数，所以
是奇函数，所以
，又
，所以
，故A 对；
对B，由
，
，得
，
所以
，所以
，
，
又
，所以
是周期为4 的函数，
也是周期为4 的函数，
所以
，故B 对；
对C，
在
上单调递增，在
上单调递减，
由
，
的图象关于
对称且
，
由A 可得
，故
在
上单调递增，在
上单调递减，
可知
在
单调递减，在
单调递增，
又
的周期为4， 所以
在
单调递增，
所以
在
单调递减，在
单调递减，
又
，所以0 是
的极大值点，
是周期为4 的函数，
所以则
的极大值点为
，故C 错；
对D，若
为偶函数，由于
是奇函数，
，则
，
即
，所以
，
，所以
唯一，
不唯一，故D 对.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分利用导数与函数单调性和极值的关系，并结合函数的奇偶性和周
期性分析.
【名师押题·第一题】已知
是奇函数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【分析】由奇函数的性质列方程求参数即可.
【详解】
是奇函数，
由
得
，
所以
恒成立，则
，解得
.
故选：C
【名师押题·第二题】若不等式
在
上恒成立，且
，
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性结合题意分析解不等式得
，再利用基本不等式常数代换的方法即
可求解.
【详解】由
，得
或
，
由
为增函数，解得
或
，
当
时，则有
或
，
则存在
，使得不等式
，不符合；
当
时，则有
或
，
则存在
，使得不等式
，不符合；
当
时，则不等式解为R，即不等式
在
上恒成立，
因此
，即
.
因为
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号.
故选：D.
【名师押题·第三题】已知函数
是定义在
上的偶函数，且
，
恒成
立，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【分析】应用已知条件结合赋值法及累加法得出得
，再应用偶函数性质得出函数值
即可.
【详解】因为
，
恒成立，
令
，则
恒成立，即
，
所以
，
所以
，
，
，…，
，
以上各式两边分别相加，得
，
在
中，令
，得
，
因为
为偶函数，所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以
.
故选:B.
【名师押题·第四题】已知函数
是定义在
上的偶函数，函数
的图象关于点
中心对称，若
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】B
【分析】由函数
的图象关于点
中心对称可知
具有对称轴
，再由
得
，再根据
为
上的偶函数且具有对称轴
可得答案.
【详解】由函数
的图象关于点
中心对称可知，
，即
，
可得
，因此函数
具有对称轴
，
由
，可得
，
由
为
上的偶函数且具有对称轴
，可得
．
故选：B．
【名师押题·第五题】（多选）已知定义在
上的函数
的图象是一条连续不断的曲线，且
满足
当
时，
，当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】找到特殊函数判断A，D，归纳得到
判断B，再对两边同时求和得到
，
再判断C 即可.
【详解】对于A，若
，
不妨令
，则
，
，
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
则
，
，则
，
不满足
，故A 错误，
对于B，由
，
，
，
由归纳可得
，
，故B 正确；
对于C，由已知得
，
，
故
，则
，故C 正确；
对于D，当
时，
若
，则
，
设
，则
，
故
，故
，
即
，
当
时，
，
当
时，
，
故满足
时，
，
此时
，不满足
，故D 错误．
故选：BC．
三角函数的图象及其性质（选填题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考I 卷
7
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当
时，曲线
与
的交点
个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
正弦函数图象的应
用；求函数零点或
方程根的个数
2024 年新高考II
卷
9
6
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数
和
，下列说法
中正确的有（ ）
A．
与
有相同的零点
B．
与
有相同的最大值
C．
与
有相同的最小正周期
D．
与
的图象有相同的对称轴
求含sinx(型)函数
的值域和最值；求
正弦（型）函数的
最小正周期；求正
弦（型）函数的对
称轴及对称中心；
求函数零点或方程
根的个数
2023 年新高考I 卷
15
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
在区间
有且仅
有3 个零点，则
的取值范围是 ．
根据函数零点的个
数求参数范围；余
弦函数图象的应用
2023 年新高考II
卷
16
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
，如图A，B 是直线
与曲线
的两个交点，若
，则
．
由图象确定正
（余）弦型函数解
析式；特殊角的三
角函数值
2022 年新高考I 卷
6
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记函数
的最小正周期为
T．若
，且
的图象关于点
中心对称，则
（ ）
A．1 B．
C．
D．3
由正（余）弦函数
的性质确定图象
（解析式）
2022 年新高考II
卷
9
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数
的图像关于点
求在曲线上一点处
的切线方程（斜
率）；求正弦
（型）函数的对称
中心对称，则（ ）
A．
在区间
单调递减
B．
在区间
有两个极值点
C．直线
是曲线
的对称轴
D．直线
是曲线
的切线
轴及对称中心；利
用正弦函数的对称
性求参数；求sinx
型三角函数的单调
性
近三年新高考数学三角函数的图象及其性质选填题考查情况总结
考点：涉及函数图象交点（如2024 年新课标Ⅰ卷）、性质比较（2024 年新课标Ⅱ卷）、性质与参数
求解（2023 年新课标Ⅰ卷）、图象与特殊点（2023 年新课标Ⅱ卷）、综合性质判断（2022 年新课标Ⅱ
卷）。
题型：以选择题为主，分值5 或6 分，侧重考查对三角函数图象和性质（周期、对称轴等）的理解与
应用。
2025 年新高考预测题型与分值：预计为选择题或填空题，分值约 5 -6 分。
考查方向：深化核心性质（如结合多性质求参数）；拓展图象应用（如交点问题、求参问题）；综合
创新（与导数结合求切线或考查图象变换）。
1. 特殊角的三角函数值
2. 同角三角函数的基本关系
平方关系：
商数关系：
3. 三角函数的图象与性质
4.
三
角
函
数
型
函
数
的
图
象
和
性
质
（1）
正
弦
型
函
数、余弦型函数性质
，
振幅，决定函数的值域，值域为
图
象
定
义
域
值
域
最
值
当
时，
；当
时，
．
当
时，
；当
时，
．
既无最大值也无最小值
周
期
性
奇
偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
单
调
性
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在
上是增函
数；
在
上是减函
数．
在
上是增函数．
对
称
性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
函数
性质
决定函数的周期，
叫做相位，其中
叫做初相
（2）正切型函数性质
的周期公式为：
5. 三角函数的伸缩平移变换
（1）伸缩变换（
，
是伸缩量）
振幅，决定函数的值域，值域为
；
若
↗，纵坐标伸长；若
↘，纵坐标缩短；
与纵坐标的伸缩变换成正比
决定函数的周期，
若
↗，
↘，横坐标缩短；若
↘，
↗，横坐标伸长；
与横坐标的伸缩变换成反比
（2）平移变换（
，
是平移量）
平移法则：左
右
，上
下
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在
上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数
的最小正周期为
，
函数
的最小正周期为
，
所以在
上函数
有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6 个交点.
故选：C
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数
和
，下列说法中正确的有
（ ）
A．
与
有相同的零点
B．
与
有相同的最大值
C．
与
有相同的最小正周期
D．
与
的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A 选项，令
，解得
，即为
零点，
令
，解得
，即为
零点，
显然
零点不同，A 选项错误；
B 选项，显然
，B 选项正确；
C 选项，根据周期公式，
的周期均为
，C 选项正确；
D 选项，根据正弦函数的性质
的对称轴满足
，
的对称轴满足
，
显然
图像的对称轴不同，D 选项错误.
故选：BC
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，则
的
取值范围是 ．
【答案】
【分析】令
，得
有3 个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为
，所以
，
令
，则
有3 个根，
令
，则
有3 个根，其中
，
结合余弦函数
的图像性质可得
，故
，
故答案为：
.
典例4
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记函数
的最小正周期为T．若
，
且
的图象关于点
中心对称，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T 满足
，得
，解得
，
又因为函数图象关于点
对称，所以
，且
，
所以
，所以
，
，
所以
.
故选：A
典例5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知函数
的图像关于点
中
心对称，则（ ）
A．
在区间
单调递减
B．
在区间
有两个极值点
C．直线
是曲线
的对称轴
D．直线
是曲线
的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：
，所以
，
，
即
，
又
，所以
时，
，故
．
对A，当
时，
，由正弦函数
图象知
在
上是单调递减；
对B，当
时，
，由正弦函数
图象知
只有1 个极值点，由
，解得
，即
为函数的唯一极值点；
对C，当
时，
，
，直线
不是对称轴；
对D，由
得：
，
解得
或
,
从而得：
或
,
所以函数
在点
处的切线斜率为
，
切线方程为：
即
．
故选：AD．
【名校预测·第一题】（2025 届湖南师范大学附属中学高三模拟考试一数学试题）
（多选）已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．为了得到函数
的图象，可将
的图象向右平移
个单位长度
C．
在
上的值域为
D．
两个相邻的零点之差的绝对值为
【答案】AD
【来源】2025 届湖南师范大学附属中学高三模拟考试一数学试题
【分析】由
的值求出
的值可判断A；通过函数的平移原则可判断B；直接根据正弦函数的性质可
判断C；令
解出
可判断D.
【详解】因为
，所以
的图象关于直线
对称，A 正确．
，B 不正确．
由
，得
，则
，C 不正确．
由
，得
，则
，
即
，所以
两个相邻的零点之差的绝对值为
，D 正确．
故选：AD.
【名校预测·第二题】（重庆市南开中学校2025 届高三下学期高考模拟数学试题）
若函数
的两个零点分别为
和
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【来源】重庆市南开中学校2025 届高三下学期高考模拟数学试题
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简
，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得
，进而求出
，最后利用二倍角的余弦求值.
【详解】函数
，其中锐角
由
确定，
由
，得
，而
，
因此
，即
，则
，
即
，于是
，
所以
.
故选：C
【点睛】关键点点睛：利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质用零点表示辅助角是求解问题的关键.
【名校预测·第三题】（浙江省杭州学军中学2024-2025 学年高三下学期3 月月考数学试题）
已知函数
（
）在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【来源】浙江省杭州学军中学2024-2025 学年高三下学期3 月月考数学试题
【分析】由题知
，进而根据题意得
在
上单调递增，
且
，进而得
，再解不等式即可得答案.
【详解】
，
因为
，所以
因为函数
在区间
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，且
，即
.
因为
，
所以，函数
在
上单调增，
等价于
或
，
所以，解不等式得
或
，所以，
的取值范围是
.
故选：C
【名校预测·第四题】（河南省郑州外国语学校2024-2025 学年高三调研考试）
函数
（
且
在
上单调，且
，若
在
上恰
有2 个零点，则
的取值最准确的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【来源】河南省郑州外国语学校2024-2025 学年高三调研考试（十）数学试卷
【分析】由
结合函数单调性，即可确定
的一个对称中心为
，即可求得
；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得
，求出
，再结合函数零
点个数，列出不等式求得
，综合，即可求得
的取值范围.
【详解】因为函数
在区间
上单调，
且满足
，而
，
,
即
的一个对称中心为
，故
；
而
，故
在区间
上单调，
设函数的最小正周期为T，则
；
函数
在区间
上恰有2 个零点，则
恰好为第一个零点，
相邻两个零点之间相距半个周期
，
故
，即
，
解得
，结合
，
可得
的取值范围为
，
故选：B.
【名校预测·第五题】（广东省深圳市高级中学2024-2025 学年高三下学期数学试题）
已知函数
，其中
，
，其图象关于直线
对称，对满足
的
，
，有
，将函数
的图象向左平移
个单位长度得到函数
的图象，则函数
的单调递减区间是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【来源】广东省深圳市高级中学高中园2024-2025 学年高三下学期第三次模拟考试数学试题
【分析】根据已知得到函数
两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得
的值，结合其对称轴，求
得
的值，进而求得
解析式.根据图像变换的知识求得
的解析式，再利用三角函数求单调区间的
方法，求得
的单调递减区间.
【详解】解：已知函数
，其中
，
，其图像关于直线
对称，
对满足
的
，
，有
，∴
.
再根据其图像关于直线
对称，可得
，
.
∴
，∴
.
将函数
的图像向左平移
个单位长度得到函数
的图像.
令
，求得
，
则函数
的单调递减区间是
，
，
故选B.
【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调
区间的求法，属于中档题.
【名师押题·第一题】已知函数
，若
在区间
上单调递增，则
的最大
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求
在
上的单增区间，结合题意，可得关于
与
的不等式组，分
，
，
三
种情况得出
的取值范围.
【详解】令
，则
，
因
在区间
上单调递增，则
，
即
且
且
，
若
，则不等式组的解集为空集；
若
，则
；
若
，则不等式组的解集为空集，
则
的最大值为
.
故选：C
【名师押题·第二题】已知函数
在
内恰有3 个最值点和3 个零点，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简后，根据正弦函数的图象与性质列出不等式求解即可.
【详解】因为
，
且当
时，
，
因为函数
在
内恰有3 个最值点和3 个零点，
所以
，解得
，
故选：D．
【名师押题·第三题】下列关于函数
说法正确的是（ ）
A．
是函数
图象的一个对称中心B．
的值域为
C．
在区间
上单调递减
D．直线
是函数
图象的一条对称轴
【答案】B
【分析】令
，求出相应的
的取值范围，即可化简
的解析式，从而求出
的取值范围，
类似的求出
时
的取值范围，即可求出
的值域，画出函数图象，结合图象判断即可.
【详解】令
，即
，解得
；
所以当
时
，
由
，所以
，
所以
；
令
，即
，解得
；
所以当
时
，
由
，所以
，
所以
；
综上可得
，
且
的值域为
，故B 正确；
作出函数
的大致图象：
由图可知
不是中心对称图形，即没有对称中心，故A 错误；
因为
，
，
，
由图可知
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
在
上不单调，故C 错误；
的对称轴为
，故D 错误；
故选：B
【名师押题·第四题】（多选）已知函数
，则（ ）
A．
的定义域为
B．
的最小正周期为
C．
在区间
上单调递减
D．
在区间
上仅有2 个零点
【答案】ABD
【分析】根据正弦函数和余弦函数的特殊值、周期性、单调性、值域，逐项计算判断即可.
【详解】对于A，因为
，所以
且
，所以
，
故
的定义域为
，故A 正确；
对于B，因为函数
和
的最小正周期均为
，
所以
的最小正周期为
，故B 正确；
对于C，因为函数
在区间
，
上单调递减，
函数
在区间
上均单调递减，且值域为
；
函数
在区间
上均单调递减，且值域为
.
所以函数
与
在区间
上均单调递增，
则
在区间
上单调递增，故C 项错误；
对于D，令
，则
，解得
，
在区间
上有2 个解，故D 项正确．
故选：ABD．
【名师押题·第五题】（多选）已知函数
，
为常数，则下列说法正确的有（ ）
A．
的最小正周期为
B．当
时，
的值域为
C．
在
，
上单调递增
D．若对于任意的
，函数
（a 为常数）的图象均与曲线
总有公共点，则
【答案】ACD
【分析】利用三角恒等变形化简得
，然后利用三角函数的性质求解判定
ABC；利用分类讨论方法，研究函数
的值域，进而得到实数
的取值范围.
【详解】
，
易得
的最小正周期为
，故A 正确；
当
时，
，其值域为
，故B 错误；
令
，得
，
故
在
上单调递增，故C 正确；
当
时，
，
此时
；
当
时，
，此时
；
当
时，
，
因函数
的图象均与曲线
总有公共点，
则
且
，
当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
，
故
，
综上所述，
，故D 正确.
故选：ACD．
三角恒等变换（选填题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考I 卷
4
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
，则
三角函数的化简、
求值——同角三角
函数基本关系；用
（ ）
A．
B．
C．
D．
和、差角的余弦公
式化简、求值
2024 年新高考II
卷
13
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
为第一
象限角，
为第三象限角，
，
，则
.
用和、差角的正切
公式化简、求值
2023 年新高考I 卷
8
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
给值求值型问题；
用和、差角的正弦
公式化简、求值；
二倍角的余弦公式
2023 年新高考II
卷
7
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
为锐
角，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
二倍角的余弦公
式；半角公式
2022 年新高考II
卷
6
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
用和、差角的余弦
公式化简、求值；
用和、差角的正弦
公式化简、求值
近三年新高考数学三角恒等变换选填题考查情况总结
1.考点：聚焦三角函数化简求值，涉及和、差角公式（2024 年新课标 Ⅰ 卷）、正切公式（2024 年
新课标 Ⅱ 卷）、二倍角公式（2023 年新课标 Ⅰ 卷）、半角公式（2023 年新课标 Ⅱ 卷）等。
2.题型：以选择题为主，分值 5 分，侧重考查公式的灵活运用与化简求值能力。
1.题型与分值：预计为选择题或填空题，分值 5-6 分。
2.考查方向：延续对和差角、二倍角等公式的考查，可能与其他知识结合，注重公式的灵活运用，考
查化简求值问题。
1. 正弦的和差公式
，
2. 余弦的和差公式
，
3. 正切的和差公式
，
4. 正弦的倍角公式
5. 余弦的倍角公式
升幂公式：
，
降幂公式：
，
6. 正切的倍角公式
7. 推导公式
8. 辅助角公式
，
，其中
，
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求
的关系，结合
的值可求前者，故可求
的值.
【详解】因为
，所以
，
而
，所以
，
故
即
，
从而
，故
，
故选：A.
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
为第一象限角，
为第三象限角，
，
，则
.
【答案】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得
，再缩小
的范围，最后结合同角的
平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得
，
因为
，
，
则
，
，
又因为
，
则
，
，则
，
则
，联立
，解得
.
法二： 因为
为第一象限角，
为第三象限角，则
,
，
，
则
故答案为：
.
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出
，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为
，而
，因此
，
则
，
所以
.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关
系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，
使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，
由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
为锐角，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为
，而
为锐角，
解得：
．
故选：D．
典例5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：
,
即：
，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0 则sinα +cosα =0，取
，排除A, B；
再取α=0 则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β
，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
【名校预测·第一题】（河南省郑州外国语学校2024-2025 学年高三调研考试）
已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【来源】河南省郑州外国语学校2024-2025 学年高三调研考试（十）数学试卷
【分析】先切化弦，得到
，再结合两角和与差的正弦公式可求值.
【详解】由
.
由
.
由
.
所以
.
故选：B
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025 学年高三下学期3 月月考数学试题）
设
是锐角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【来源】浙江省杭州学军中学2024-2025 学年高三下学期3 月月考数学试题
【分析】利用两角和与差的余弦公式，结合齐次式弦化切可得
，进而可得答案.
【详解】因为
且
，
所以
，
故
，结合
，
解得
.
故选：C.
【名校预测·第三题】（贵州省贵阳市第一中学2025 届高三下学期数学试卷）
已知
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【来源】贵州省贵阳市第一中学2025 届高三下学期月考（六）（3 月）数学试卷
【分析】根据同角三角函数的基本关系，求出
，
的值，再根据
，利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】由
，得
，
又因为
，所以
，
．
由
，
，得
，
因为
，所以
，
．
因为
，所以
，
，
所以
，
故选：B．
【名校预测·第四题】（2025 届湖南师范大学附属中学高三模拟考试一数学试题）
已知
，则
.
【答案】
【来源】2025 届湖南师范大学附属中学高三模拟考试一数学试题
【分析】由
得到
，由两角和差余弦公式展开化简即可
求解；
【详解】由
，
得：
，
，
，
所以
，
故答案为：
【名校预测·第五题】（重庆市南开中学校2025 届高三下学期高考模拟数学试题）
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【来源】重庆市南开中学校2025 届高三下学期高考模拟数学试题
【分析】由角
的正弦值求得余弦值，利用余弦与正切的和角公式，可得答案.
【详解】由
，则
，
由
，则
，
当
时，
,不合题意；
当
时，
，
则
，
，
.
故选：D.
【名师押题·第一题】已知
，
都是锐角，
，
，则
．
【答案】
/
【分析】根据题意，利用
和条件求出
，将
看成方程
的两根，分解因式求得
，根据角的范围确定
的值，进而求出角
.
【详解】由
，可得
，故
，
因
，代入解得
，
可将
看成方程
的两根，解得
或
，
因
，
都是锐角，且
，由
，解得
，
而
，故
，则
.
故答案为：
.
【名师押题·第二题】已知
，且满足
，则
，则
．
【答案】
/
【分析】运用降幂公式、两角和的余弦公式进行化简，结合角的范围可得
，进而可求
，
利用二倍角公式和齐次化即可求
的值.
【详解】因为
，
，所以
，
由
得
，
即
，所以
，
所以
，得
，
所以
．
故答案为：
【名师押题·第三题】已知
，且
，则
（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】由同角三角函数的平方关系和二倍角正弦公式求出
，再由二倍角的余弦公式代入化简
，结合同角三角函数的基本关系即可求出答案.
【详解】因为
，
所以
，所以
，
又
，解得：
，
因为
，所以
,所以
，
所以
.
故选：C.
【名师押题·第四题】已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】化切为弦，逆用两角和的正弦公式化简得
，根据诱导公式及正弦函数的性质得
或
，即可得解.
【详解】因为
，所以
，
即
，整理得
，
即
，所以
或
，
即
或
（舍去）.
故选：D
【名师押题·第五题】已知
，
，且满足
，则
最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知得出
，化简得出
，结合基本不等式可求出
的
最小值.
【详解】因为
，
，所以
，
，
，
，
因为
，
所以
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
此时
，即
，
因为
，
，则
，即
，则
，
此时
，
因为
，所以
，则
或
，
故当
或
时，等号成立，
因此，
最小值为
.
故选：D.
