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专题02 复数小题综合
一、单选题
1．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知复数
，则复数
（ ）．
A．
B．10
C．
D．2
【答案】B
【分析】根据复数的乘除法运算规则和共轭复数的定义求解.
【详解】
；
故选：B.
2．（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）若两个复数的实部相等或虚部相等，则称这两
个复数为同部复数.已知
，则下列数是z 的同部复数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将
展开，得到复数的实部与虚部，再逐一与选项进行比较，即可
得到正确选项.
【详解】由于
，其实部和虚部均为
，
而
与的虚部相等，其余选项均不符合题意，所以
是的同部复数.
故选：B
3．（2023·湖北·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法法则和共轭复数的定义得到答案.
【详解】因为
，
所以
．
1
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故选：B
4．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知复数满足
,
是
的共轭复数,则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化简等式得到,计算得到共轭复数
,即可得到
的值.
【详解】由题意得
,
∴
,
∴
.
故选:A.
5．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）复数满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则，求出，再根据共轭复数的定义得到
.
【详解】因为
，
，
所以
.
故选：B.
6．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）复数满足
在复平面
内对应的点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用复数的几何意义计算即可.
2
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【详解】由在复平面内对应的点为
可得
，
又
，即
.
故选：D．
7．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）若复数
，
在复平面内对应的
点关于x 轴对称，且
，则复数
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对称性求出
，再利用复数除法求解作答.
【详解】复数
，
在复平面内对应的点关于x 轴对称，且
，则
，
所以
.
故选：D
8．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知
，i 为虚数单位，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先化简得到复数z，再利用复数的共轭复数求解.
【详解】解：因为
，
所以
，
，
故选：B
9．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）任意一个复数
都可以表示成三角形式，
即
．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754 年）创立
的，指的是：设两个复数
，
，则
3
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，已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】将
化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得
的值，即可求得
答案.
【详解】由题意可得
，
故
，
所以
.
故选：B
10．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知复数
是关于x 的方程
的一个解，则复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】根据题意，由韦达定理求得
，即可得到复数，从而得到结果.
【详解】因为复数
是关于x 的方程
的一个解，则方程的另一解为
，
由韦达定理可得
，解得
，
所以复数
在复平面内对应的点为
在第四象限.
故选：D
4
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11．（2023·湖北·统考二模）复数
与下列复数相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】应用复数的除法化简，结合复数的三角表示、各项的形式判断正误即可.
【详解】由题设，
，故A、C、D 错
误；
而
，故B 正确.
故选：B
12．（2023·湖北武汉·统考三模）设复数满足
为纯虚数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设复数的代数形式，根据复数的除法运算化简复数
，根据纯虚数的概
念以及复数的模长公式可求出结果.
【详解】设
，
则
，
依题意得
，即
，
5
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则
.
故选：A
13．（2023·湖北·模拟预测）已知复数满足
，则的共轭复数的虚部为
（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】B
【分析】设
，根据复数的模的公式及相等复数的定义求出参数，再
根据共轭复数的定义及虚部的定义即可得解.
【详解】设
，则
，
则
，即
，
所以
，解得
，
所以
，
所以的共轭复数的虚部为
.
故选：B.
14．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）若复数
是纯
虚数，则
（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
【答案】D
【分析】根据复数的特征，设
（
），再根据复数的运算，利用复数相等，
列式求解.
【详解】由题意设
（
），
，即
，
则
，解得：
.
故选：D
15．（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）已知复数满足
，其中为虚
6
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数单位，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】计算
，再计算共轭复数得到答案.
【详解】
，则
.
故选：C
16．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知
，复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用复数运算规则求得，求得
的值，进而得到
的值.
【详解】
，
则
，故
.
故选：D
17．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知
，其中
为的共轭复数，则
复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】结合复数运算法则求
的代数形式，由此可求复数，再求其在复平面上的对
应点的坐标及其象限.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
7
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所以复数在复平面上的对应点的坐标为
，
该点位于第一象限.
故选：A.
18．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）若复数
在复平面内对应的
点在第四象限，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据复数运算法则求复数的代数形式，根据点所在象限列不等式组即可求解.
【详解】由题得
，
复数在复平面内所对应的点
在第四象限，
所以
，解得：
，
所以a 的取值范围是
.
故选：C
19．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知
（是虚数单位）是关于
的方
程
的一个根，则
（ ）
A．9
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】把方程的根代入方程，利用复数相等的列方程组求解.
【详解】已知
（是虚数单位）是关于
的方程
的一个根，
则
，即
，即
，
解得
，故
.
8
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故选：
．
20．（2023·湖北·校联考三模）如图，正方形OABC 中，点A 对应的复数是
，则
顶点B 对应的复数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用复数的几何意义计算即可.
【详解】由题意得：
,不妨设C 点对应的复数为
，则
,
由
，得
，
即C 点对应的复数为
，
由
得：B 点对应复数为
.
故选：A．
21．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设
，则在复平面内
所表
示的区域的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】在复平面内作出满足
的复数对应的点的轨迹，可知所求区域为圆
环，确定两圆的半径，结合圆的面积公式可求得结果.
【详解】满足条件
的复数在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为
的圆，
满足条件
的复数在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，
9
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则在复平面内
所表示的区域为圆环，如下图中阴影部分区域所示：
所以，在复平面内
所表示的区域的面积是
.
故选：C.
22．（2023·湖北武汉·统考三模）已知复数z 满足
，则
（ ）．
A．1
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】现根据复数的四则运算求得
，进而得到
，再根据复数模的定义求解即可.
【详解】由
，
得
，
所以
，则
，
所以
.
故选：C.
23．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）若复数z 满足
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据复数的四则运算、共轭复数的概念与复数的定义求值即可.
10
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【详解】∵
，∴
，
∴
，即
的虚部为
.
故选：D．
24．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）已知复数满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用复数除法和乘法运算法则得到
，然后求共轭复数即可.
【详解】由题意得
，
所以
，
.
故选：D.
25．（2023·湖北·统考模拟预测）若复数所对应的点在第四象限，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意求出，再根据复数所对应的点所在象限，即可求解.
【详解】因为复数满足：
，即
，
故
或
，
因为复数所对应的点在第四象限，
故复数
，所以
.
故选:C.
26．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，在复平面内，复数
对应
的向量分别是
，则
（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用复数的几何意义和复数的乘除运算求解.
【详解】解：由图知：
，
所以
，
，
故选：C
27．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知复数满足
，则
（为虚
数单位）的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【分析】设
，根据复数模的计算公式和三角恒等变换的知识可得到
，由此确定最大值.
【详解】由
可设：
，
，
12
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（其中
），
当
时，即
时，
.
故选：C.
二、多选题
28．（2023·湖北·统考二模）若复数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】先化简然后再通过复数的运算判断选项是否正确.
【详解】
，
.
对于A：
，故A 正确.
对于B：
，故B 正确.
对于C：
，故C 错误.
对于D：
，故D 错误.
故选：AB.
29．（2023 春·湖北·高三校联考阶段练习）已知复数
（为虚数单位）在复
平面内对应的点为
，复数
满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．
点的坐标为
B．
13
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C．
的最大值为
D．
的最小值为
【答案】ABC
【分析】利用复数的几何意义可判断A 选项；利用共轭复数的定义可判断B 选项；利
用复数模的三角不等式可判断CD 选项.
【详解】对于A 选项，因为
，则
，A 对；
对于B 选项，由共轭复数的定义可得
，B 对；
对于C 选项，
，则
，
，
当且仅当
时，等号成立，即
的最大值为
，C 对；
对于D 选项，
，
当且仅当
时，等号成立，即
的最小值为
，D 错.
故选：ABC.
三、填空题
30．（2023·湖北·模拟预测）已知复数
为实数，则
__________.
【答案】
【分析】根据实数的定义可得
，再根据模长公式求解即可.
【详解】依题意，
，解得
，故
.
故答案为：
14
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15
