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专题05 一元函数的导数及其应用
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 导数的概念
1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝lim为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝
x0，即f′(x0)＝lim＝lim．
2、导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是
位移函数s(t)对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数．
知识点2 导数的运算
1、基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
1
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f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0 且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(x>0，a>0 且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x (x>0)
f′(x)＝
2、导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
3、复合函数的导数
（1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数
和
，如果通过中间变量
，
可以表示
成
的函数，那么称这个函数为
和
的复合函数，记作
.
（2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数
的导数和函数
，
的导数间
的关系为
，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.
规律：从内到外层层求导，乘法连接。
（3）求复合函数导数的步骤
第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步变量回代：把中间变量代回。
知识点3 导数与函数的单调性
1、导数与函数的单调性的关系
在某个区间
内，如果
，那么函数
在这个区间内单调递增；
如果
，那么函数
在这个区间内单调递减．
【注意】
（1）在某区间内
（
）是函数
在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；
（2）可导函数
在
上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有
（
）
且
在
上的任何子区间内都不恒为零．
2、导数法求函数单调区间的步骤
（1）确定函数
f x 的定义域；
（2）求
f
x
（通分合并、因式分解）；
2
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（3）解不等式
0
f
x
，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式
0
f
x
，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
知识点4 导数与函数的极值、最值
1、函数的极值
（1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a 的函数值f(a)比它在点x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝
0；而且在点x＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a 叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝
f(x)的极小值．
（2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b 的函数值f(b)比它在点x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝
0；而且在点x＝b 附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b 叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝
f(x)的极大值．
2、函数的最值
（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
（2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上
单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3、函数极值与最值的关系
（1）函数的最大值和最小值是比较整个定义域区间上的函数值得到的，是一个整体的概念，与函数的极
大（小）值不同，函数的最大（小）值若有，则只有一个。
（2）开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值。
重难点01 根据切线情况求参数
已知f ( x)，过点
，可作曲线的
（
）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率
；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
第四步：将
代入切线方程，得：
，整理成关于
得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于
的方程就有几个实数解；
【典例1】（23-24 高三上·广东·月考）若曲线
在点
处的切线方程为
，则
．
【典例2】（22-23 高三下·湖南长沙·月考）设直线
是曲线
的一条切线，则
．
3
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【典例3】（23-24 高三上·广西南宁·月考）已知曲线
与
的公切线为
，
则实数
.
重难点02 含参函数单调性讨论依据
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
【典例1】（23-24 高三下·江西·月考）已知函数
.
（1）若
，求曲线
在
处的切线方程;
（2）若
，讨论
的单调性.
【典例2】（2024·海南·模拟预测）已知函数
.
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若函数
（
为
的导函数），讨论
的单调性.
重难点03 构造函数法解决函数问题中的常见类型
关系式为“加”型构造：
（1）
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
构造
)
(
)
(
)
(
)
(
])
(
)
(
[
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
（2）
'( )
( )
0
xf
x
f x
构造
'
'
[
( )]
( )
( )
xf x
xf
x
f x
（3）
'( )
( )
0
f
x
f x
构造
'
'
[
( )]
[
( )
( )]
x
x
e f x
e
f
x
f x
（4）
'( )
( )
0
xf
x
nf x
构造
'
'
1
1
'
[
( )]
( )
( )
[
( )
( )]
n
n
n
n
x f x
x f
x
nx
f x
x
xf
x
nf x
（注意x 的符号）
（5）
)
(
)
(
x
f
x
f
构造
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
]
)
(
[
x
f
x
f
e
e
x
f
e
x
f
e
x
f
x
x
x
x
关系式为“减”型构造：
（6）
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
构造
2
)]
(
[
)
(
)
(
)
(
)
(
])
(
)
(
[
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
4
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（7）
'( )
( )
0
xf
x
f x
构造
'
'
2
( )
( )
( )
[
]
f x
xf
x
f x
x
x
（8）
'( )
( )
0
f
x
f x
构造
'
'
'
2
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
(
)
x
x
x
x
x
f x
f
x e
f x e
f
x
f x
e
e
e
（9）
'( )
( )
0
xf
x
nf x
构造
'
1
'
'
2
1
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
(
)
n
n
n
n
n
f x
x f
x
nx
f x
xf
x
nf x
x
x
x
（注意x 的符号）
（10）
)
(
)
(
x
f
x
f
构造
x
x
x
x
x
e
x
f
x
f
e
e
x
f
e
x
f
e
x
f
)
(
)
(
]
[
)
(
)
(
])
(
[
2
【典例1】（2024·山东聊城·三模）设函数
的定义域为
，导数为
，若当
时，
，且对于任意的实数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三上·河北·月考）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
恒成立，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（23-24 高三上·山东菏泽·月考）若定义在
上的函数
满足
，且
，
则不等式
的解集为
重难点04 单变量不等式恒成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、
x
D ，
min
m
f x
m
f x
2、
x
D ，
max
m
f x
m
f x
3、
x
D ，
max
m
f x
m
f x
4、
x
D ，
min
m
f x
m
f x
【典例1】（2024·河南·三模）若关于
的不等式
恒成立，则实数
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．1
D．
5
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【典例2】（2024·陕西·二模）
，有
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
重难点 05 双变量不等式与等式
一般地，已知函数
,
,
y
f x
x
a b
，
,
,
y
g x
x
c d
（1）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，总有
1
2
f x
g x
成立，故
max
min
f x
g x
；
（2）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
max
max
f x
g x
；
（3）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
min
min
f x
g x
；
（4）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
min
max
f x
g x
．
【典例1】（23-24 高三上·江苏常州·期中）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）对于
，使得
，求实数
的取值范围．
【典例2】（2023 高三·全国·专题练习）设函数
，
．
（1）若曲线
在
处的切线过点
，求
的值；
（2）设
若对
，
，使得
成立，求
的取值范围．
重难点 06 导数与函数零点问题
利用导数确定函数零点的常用方法
1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题
（画草图时注意有时候需要使用极限）；
2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、
极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。
6
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【典例1】（2024 高三下·浙江杭州·模拟预测）若函数
有且仅有两个零点，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三下·河北·月考）已知函数
在区间
内有唯一极值点
，其
中
为自然对数的底数.
（1）求实数
的取值范围；
（2）证明：
在区间
内有唯一零点.
重难点07 隐零点问题的应用
导函数的零点不可求时的应对策略：
1、“特值试探”法：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循以下
原则：①在含有
的函数中，通常选取
，特别地，选当
时，
来试探；②在含有
的函
数中，通常选取
，特别地，选取当
时，
来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导
函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决.
2、“虚设和代换”法：当导函数
的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点存在，再虚
设为
，接下来通常有两个方向：①由
得到一个关于
的方程，再将这个关于
的方程的整
体或局部代入
，从而求得
，然后解决相关的问题；②根据导函数
的单调性，得出
两
侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解。
【典例1】（23-24 高三上·湖南·月考）已知函数
，
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）记函数
的导函数为
，若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【典例2】（23-24 高三下·四川巴中·月考）函数
；
7
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（1）当
时，讨论函数
的单调性；
（2）
在
恒成立，求整数
的最大值.
重难点 08 极值点偏移问题
证明极值点偏移问题常用思路：利用分析法，将所证不等式中的变量分到不等式的两边，构造对称函数，
注意将
和
化到同一区间，再利用导数据研究函数的单调性，求极致、最值等手段证得不等式。
【典例1】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
为
实数.
（1）讨论函数
的极值；
（2）若存在
满足
，求证：
.
【典例2】（2024·云南·二模）已知常数
，函数
.
（1）若
，求
的取值范围;
（2）若
、
是
的零点，且
，证明:
.
一、导数定义中极限的计算
瞬时变化率的变形形式
lim
∆x→0
f (x0+ ∆x)−f ( x0)
∆x
= lim
∆x→0
f (x0−∆x)−f (x0)
−∆x
= lim
∆x→0
f (x0+n∆x)−f ( x0)
n∆x
= lim
∆x→0
f (x0+ ∆x)−f ( x0−∆x)
2∆x
= f '(
【典例1】（2023·吉林长春·模拟预测）利用导数的定义计算
值为（ ）
8
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A．1
B．
C．0
D．2
【典例2】（2024·江苏南通·二模）已知
，当
时，
.
二、求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点
0
0
,
x
f x
处切线的斜率
0
(
)
f
x
第二步（写方程）：用点斜式
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为
0
0
,
Q x
f x
；
第二步：求出函数
( )
y
f x
在点
0x 处的导数
0
(
)
f
x
；
第三步：利用Q 在曲线上和
0
(
)
PQ
f
x
k
，解出
0x 及
0
(
)
f
x
；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x
．
【典例1】（23-24 高三上·河南·月考）曲线
在点
处的切线方程为 ．
【典例2】（23-24 高三上·山东青岛·期中）曲线
过原点的切线方程为 .
三、已知函数的单调性求参数
（1）函数
f x 在区间D 上单调增（单减）
）
（
0
0
)
(
x
f
在区间D 上恒成立；
（2）函数
f x 在区间D 上存在单调增（单减）区间
）
（
0
0
)
(
x
f
在区间D 上能成立；
（3）已知函数
f x 在区间D 内单调
)
(x
f
不存在变号零点
（4）已知函数
f x 在区间D 内不单调
)
(x
f
存在变号零点
【典例1】（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数
在区间
上单调递增，则
的可能取值为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【典例2】（2023·宁夏银川·三模）若函数
在区间
上不单调，则实数m 的取值范
围为（ ）
9
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A．
B．
C．
D．m>1
四、利用导数求函数的极值或极值点
1、利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数
；
（2）求方程
的所有实数根；
（3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数
的符号如何变化．
①如果
的符号由正变负，则
是极大值；
②如果由负变正，则
是极小值．
③如果在
的根x＝x0的左右侧
的符号不变，则不是极值点．
【典例1】（23-24 高三下·山东菏泽·月考）函数
的极小值点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三下·海南·月考）已知函数
在
处的切线平行于直线
.
（1）求
的值；
（2）求
的极值.
五、根据函数的极值求参数
根据函数
的极值点个数求解参数范围问题的一般思路：
根据函数
的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出
，然后分析的根的个数：①分类
讨论法分析
的根的个数并求解参数范围；②参变分离法分析
的根的个数并求解参数范
围；③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围.
【典例1】（23-24 高三上·山西临汾·月考）已知曲线
在点
处的切线斜率为
3，且
是
的极值点，则函数的另一个极值点为 .
【典例2】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数
在
上无极值，则
的取值范围是
（ ）
10
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A．
B．
C．
D．
【典例3】（23-24 高三上·河北衡水·月考）（多选）若函数
既有极大值也有极
小值，则（ ）
A．
B．
C．
D．
六、利用导数研究函数的最值
函数
在区间
上连续，在
内可导，则求函数
最值的步骤为：
（1）求函数
在区间
上的极值；
（2）将函数
的各极值与端点处的函数值
，
比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个
是最小值；
（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。
【典例1】（23-24 高三下·河南·月考）函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三下·湖南长沙·月考）已知函数
.
（1）当
时，求
在
处的切线方程；
（2）讨论
在区间
上的最小值.
易错点1 复合函数求导错误
点拨：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即
。
【典例1】（2024 高三·全国·专题练习）函数
的导数是 ．
【典例2】（2024 高三·全国·专题练习）设函数
，则
11
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易错点2 误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系
点拨：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0 的点，而没有对这些点左右两
侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0 的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导
数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0 只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条
件是
两侧异号。
【典例1】（23-24 高三上·黑龙江·月考）如图是函数
的导函数
的图象，下列结论正确的
是（ ）
A．
在
处取得极大值
B．
是函数
的极值点
C．
是函数
的极小值点
D．函数
在区间
上单调递减
【典例2】（2023 高三·全国·专题练习）（多选）设函数
在R 上可导，其导函数为
，且函数
的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．
有两个极值点
B．
为函数的极大值
C．
有两个极小值
D．
为
的极小值
易错点3 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻
点拨：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于
0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0 仅为该函数在此
区间上单调增（减）的充分条件。
12
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【典例1】（2024·山东滨州·二模）若函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是
．
【典例2】（2024·江西上饶·一模）若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围
为 ．
易错点4 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚
点拨：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函
数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负。
【典例1】（23-24 高三上·广东湛江·月考）
的图象如图所示，则
的图象最有可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三下·全国·专题练习）设
是函数
的导函数，
的图象如图所示，则
的图象可能是（ ）
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A．
B．
C．
D．
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