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专题1.3 复数
重难点题型1 复数的基本概念
1．（2024·全国·模拟预测）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件、由复数模求参数
【分析】由
建立
的等量关系，求解
，从而判断选项.
【详解】因为
，化简得
，解得
或
，故“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B．
2．（2004·浙江·高考真题）在
中，“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件、解正弦不等式
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
复数的基本概念
重难点题型2
复数的四则混合运算
重难点题型3
复数的几何意义及应用
重难点题型4
与复数有关的最值问题
1
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【分析】结合正弦函数的性质由
，可得
，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】在
中，
，
由
，可得
，
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2022·浙江·高考真题）已知
（为虚数单位），则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】复数的相等、求复数的实部与虚部
【分析】利用复数相等的条件可求
.
【详解】
，而
为实数，故
，
故选：B.
4．（2025·广东·二模）已知为虚数单位，复数
，则（ ）
A．
B．
的虚部为
C．
D．
在复平面内对应的点在第四象限
【答案】D
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、求复数的模、共轭复数的概念及计算
【分析】由复数除法运算可求得复数
，结合复数的模长、虚部、共轭复数和几何意义依次判断各个选项
即可.
【详解】
所以
，A 错误；
因为
，所以虚部为
，B 错误；
2
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，C 错误；
在复平面内对应的点为
在第四象限，故D 正确.
故选：D
5．（2025·安徽·三模）已知复数
与
互为共轭复数，则复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】应用复数除法化简复数，再由共轭复数的概念写出复数
，即可得.
【详解】因为
，所以
，虚部为
．
故选：A
6．（2025·湖南·二模）已知复数
满足
（为虚数单位），则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算
【分析】根据复数的周期性以及复数的除法运算计算复数
，然后由共轭复数的定义求出
，最后由虚部
的定义得出结果.
【详解】因为复数
满足
，所以
，
可得：
，所以
，故
的虚部为
.
故选：B
7．（2025·河北石家庄·一模）（多选题）已知为虚数单位，以下选项正确的是（ ）
A．若
，则
的充要条件是
B．若复数
满足
，则
C．
3
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D．若复数
满足
，则
的最大值为6
【答案】ACD
【知识点】虚数单位i 及其性质、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的相等、复数代数形式的乘法
运算
【分析】对于A，利用复数的相等易得；对于B，通过举反例排除即可；对于C，利用的乘方的周期性计
算即得；对于D，利用复数的几何意义结合动点轨迹知识易得.
【详解】对于A，因
，则
等价于
，
等价于
，即
，故A 正确；
对于B，由
可得
，
当
时，等式成立，但
与
不一定相等，故B 错误；
对于C，因对于
，
，
则
，
于是
，故C 正确；
对于D，由
可理解为复平面内以原点为圆心的单位圆，
而
可看成点
到该圆上点的距离，
易得
的最大值即
，故D 正确.
故选：ACD.
8．（2025·河北沧州·模拟预测）（多选题）已知为虚数单位，以下选项正确的是（ ）
A．若复数
满足
，则
的最大值为6
B．
C．若复数
，
，
满足
，则
4
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D．若
，则
的充要条件是
，
【答案】ABD
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、根据相等条件求参数、虚数单位i 及其性质、复数的坐标表示
【分析】对于A，令
，根据条件，利用复数的几何意义及圆的性质，即可求解；对于B，
利用的性质，即可求解；对于C，取
，即可求解；对于D，利用复数相等的定义，即可求解.
【详解】对于选项A，令
，因为
，则
，
所以复数
对应点
在以原点为圆心，为半径的圆上，
又
，其几可意义表示点
到
距离，
又
到原点的距离为，所以
的最大值为
，故选项A 正确，
对于选项B，因为
，所以选项B 正确，
对于选项C，取
，显然有
，但
不一定相等，所以选项C 错误，
对于选项D，因为
，所以选项D 正确，
故选：ABD.
9．（2024·上海奉贤·三模）复数
的虚部是 ．
【答案】
【知识点】求复数的实部与虚部
【分析】根据复数虚部的定义即可得解
【详解】复数
的虚部是
.
故答案为：
.
10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若复数
是纯虚数，则
的虚部为 ．
【答案】1
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、已知复数的类型求参数
【分析】根据复数的除法运算将复数
化简，由复数
是纯虚数求得
的值，进而求得复数
得虚部.
5
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【详解】
，因为复数
是纯虚数，
所以
，即
，经检验，符合题意，所以
.
所以复数
得虚部是1.
故答案为：1.
重难点题型2 复数的四则混合运算
1．（2023·全国甲卷·高考真题）
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】虚数单位i 及其性质、复数的除法运算
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
故选：C.
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】根据复数的除法运算求出
，再由共轭复数的概念得到
，从而解出．
【详解】因为
，所以
，即
．
故选：A．
3．（2025·湖南·模拟预测）复数
的模为（ ）
6
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A．2
B．1
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求复数的模、复数的除法运算
【分析】方法一：利用复数除法求复数
，再根据复数的几何意义求复数的模；
方法二：利用复数模的运算性质求复数的模.
【详解】方法一：
，
所以
.
故选：D
方法二：
.
故选：D
4．（2025·安徽·二模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】复数的除法运算、复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算
【分析】先利用
，
化简，再利用复数的除法运算求
，再求出
，最后利用复数的加法运算即
可.
【详解】因
，
，则
，
则
，
.
故选：D.
5．（2025·湖北宜昌·二模）设复数
满足
，则
（ ）
7
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A．
B．
C．
D．5
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算
【分析】由复数模的概念即可求解.
【详解】由题设
，则
.
故选：C.
6．（2025·陕西榆林·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】复数的乘方、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】根据共轭复数的定义及复数的运算直接可得解.
【详解】由
，
得
，
则
，
即
，
故选：A.
7．（2025·湖北武汉·二模）（多选题）若复数
，则（ ）
A．
B．
C．z 在复平面内对应的点位于第四象限
D．复数
满足
，则
的最大值为
【答案】BCD
8
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【难度】0.85
【知识点】求复数的模、复数的除法运算、与复数模相关的轨迹（图形）问题、判断复数对应的点所在的
象限
【分析】A.利用复数的除法化简判断；B.结合A 得到共轭复数，再求模判断；C.利用复数的几何意义判断；
D.利用复数的模的几何意义判断.
【详解】复数
，
，故A 错误；
，
，故B 正确；
z 的实部为4 大于零，虚部为-1，小于零，则z 在复平面内对应的点位于第四象限，故C 正确；
因为复数
满足
，设
在单位圆上，则
表示
和点z 之间的距离，
其最大值为z 到原点的距离加半径，最大值为
，故D 正确，
故选：BCD
8．（2025·全国·模拟预测）（多选题）已知复数
，则（ ）
A．
的虚部为
B．
在复平面内对应的点位于第一象限
C．
D．
【答案】BCD
【难度】0.85
【知识点】求复数的模、复数的除法运算、求复数的实部与虚部、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据复数的除法和乘法计算化简得出虚部判断A，根据复数对应点判断B，应用模长计算判断C，
计算化简求和判断D.
【详解】对于A，
，故
，其虚部为
，故A 错误；
9
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对于B，由A 选项可知，
，在复平面内对应的点为
，位于第一象限，故B 正确；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，故D 正确.
故选:BCD.
9．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简
的结果为 ．
【答案】
/
【难度】0.85
【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算
【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以
，然后计算其运算结果即可.
【详解】由题意可得
.
故答案为：
.
10．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数
．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】复数代数形式的乘法运算
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【详解】
.
故答案为：
.
重难点题型3 复数的几何意义及应用
1．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数
对应的点的坐标是
，则
的共轭复数
（ ）
A．
B．
10
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C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的坐标表示
【分析】根据复数的几何意义先求出复数
，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】
在复平面对应的点是
，根据复数的几何意义，
，
由共轭复数的定义可知，
.
故选：D
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，
对应的点位于（ ）．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数代数形式的乘法运算
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为
，
则所求复数对应的点为
，位于第一象限.
故选：A.
3．（2025·甘肃平凉·模拟预测）若
，
，则
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限、共轭复数的概念及计算
【分析】根据复数乘法运算，结合几何意义可得.
【详解】因为
，所以z 在复平面内对应的点为
，位于第一象限.
故选：A.
11
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4．（2025·湖南永州·三模）若复数z 满足
，则z 在复平面内对应的点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据复数的除法运算化简复数z，再根据复数的几何意义确定其所在的象限即可.
【详解】因为
，
所以
，
则z 在复平面内对应的点为
.
故选：D.
5．（2025·广东揭阳·二模）复数
在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为
，
所以复数
在复平面内对应的点为
，位于第四象限.
故选：D
6．（2025·福建福州·模拟预测）复数
在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
12
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【答案】B
【难度】0.85
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限、复数的乘方
【分析】利用复数的乘方、除法运算结合几何意义判定选项即可.
【详解】因为
，所以
，
所以复数
在复平面内所对应的点为
，
所以复数
在复平面内所对应的点位于第二象限.
故选：B.
7．（2025·四川成都·模拟预测）（多选题）若复数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是纯虚数
B．
C．复数
对应的点在第四象限
D．
【答案】AD
【难度】0.85
【知识点】求复数的模、复数的乘方、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数的除法运算可判断A C；先计算
，再利用
计算可判断B；利用复数求模公式
即可判断D.
【详解】因
，则
，则
，是纯虚数，故A 正确；
因
，则
，故B 错误；
，对应的点为
，在第一象限，故C 错误；
，故D 正确.
故选：AD
8．（2025·甘肃甘南·模拟预测）（多选题）已知复数z 满足
，则（ ）
13
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A．
B．在复平面内z 对应的点在曲线
上
C．
D．
的虚部为2
【答案】ACD
【难度】0.85
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】设
，根据复数的乘法运算及复数相等即可判断A；由复数的几何意义得出z 对应
点的坐标即可判断B；由共轭复数的性质即可判断C；由复数的运算法则计算
，再由虚部的定义即可
判断D．
【详解】对于A，设
，
由
，得
，
所以
，即
，解得
所以
，故A 正确；
对于B，在复平面内z 对应的点为
，当
时，
，
所以点
不在曲线
上，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，
所以
的虚部为2，故D 正确．
故选：ACD．
重难点题型4 与复数有关的最值问题
1．（23-24 高三上·上海静安·期末）已知
，且
为虚数单位，则
的最大值是
（ ）
14
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】根据复数的几何意义，可知
中
对应点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，
而
表示圆上的点到
的距离，由圆的图形可得的
的最大值.
【详解】根据复数的几何意义，可知
中
对应点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆.
表示圆C 上的点到
的距离，
的最大值是
，
故选B
【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，圆的性质，属于中档题.
2．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知复数
满足：
，则
的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点
的距离，计算即可.
【详解】设
，其中
，则
，
∵
，
∴
，即点
的轨迹是以
为圆心，为半径的圆，
∴
即为圆上动点到定点
的距离，
15
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∴
的最大值为
.
故选：B.
3．（2024·安徽·模拟预测）若
为虚数单位，
，则
的最大值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】根据复数的几何意义可得复数
对应的点的轨迹为以点
为圆心，1 为半径的圆，进而求出
的最大值.
【详解】根据题意，复数
对应的点的轨迹为以点
为圆心，1 为半径的圆，
所求式子
的几何意义表示点
到圆上点的距离的最大值，
如图所示，最大值为
.
故选：D.
4．（2023·全国·模拟预测）设
是复数且
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
16
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【知识点】复数加减法几何意义的运用、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解.
【详解】根据复数模的几何意义可知，
表示复平面内以
为圆心，1 为半径的圆，而
表
示复数
到原点的距离，
由图可知，
.
故选：C
5．（2024·辽宁·模拟预测）已知
满足
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】设
，根据模长得到方程，求出
，并求出
，从而得到
.
【详解】设
，则
，
即
，由于
，故
，解得
，
则
，
故选：D
6．（2023·江苏南通·三模）复数
的虚部为( ).
17
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A．
B．
C．1011
D．2022
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】错位相减法求和、求复数的实部与虚部、复数的除法运算
【分析】利用错位相减法求和，结合复数的除法运算求出复数z，即可求得答案.
【详解】由题意得
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以复数z 的虚部为1012，
故选：A
7．（2024·山东青岛·一模）（多选题）已知复数z，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则z 为实数
B．若
，则
C．若
，则
的最大值为2
D．若
，则z 为纯虚数
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、求复数的模、复数的基本概念
【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】设
，则
，
若
，即
，即
，则z 为实数，故A 正确；
若
，即
，
化简可得
，即
，即
，
18
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当
时，
，
，此时不一定满足
，
当
时，
，
，此时不一定满足
，故B 错误；
若
，即
，
所以
，即
表示以
为圆心，以为半径的圆上的点，
且
表示圆上的点到原点的距离，所以
的最大值为2，故C 正确；
若
，即
，
，即
，
化简可得
，则
且
，
此时
可能为实数也可能为纯虚数，故D 错误；
故选：AC
8．（2024·山东济南·二模）（多选题）若复数z 满足
（i 为虚数单位），则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．z 的虚部为
C．
D．若复数ω 满足
，则
的最大值为
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】复数的除法运算、复数的向量表示、求复数的实部与虚部、求复数的模
【分析】根据复数的除法运算求出
，利用复数模的公式计算可判断A；由虚部概念可判断B；由共轭复数
概念和复数乘法运算可判断C；根据复数的减法的几何意义求解可判断D.
19
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【详解】对于A，因为
，
所以
，
所以
，A 正确；
对于B，由上可知，z 的虚部为
，故B 错误，
对于C，因为
，所以
，故C 正确；
对于D，记复数
对应的点为
，复数
对应的点为
，
则由
可得
，即点
在以B 为圆心，1 为半径的圆上，
所以，
的最大值为
，即
的最大值为
，D 错误.
故选：AC
9．（2024·福建漳州·模拟预测）已知复数
，
满足
，
，则
的最大值为
.
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】复数概念及基本运算、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】设
，根据题意求得
，根据复数的几何意义求得
对应点的轨迹，再根据几何意义求
20
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目标式的最大值.
【详解】令复数
，
，
，则
，
所以
，所以
，
，即
.
又因为
，即在复平面内，复数
所对应的点的轨迹是以
为圆心，1 为半径的圆.
又点
到点
的距离为
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
10．（21-22 高二上·江西南昌·期末）已知复数
满足
，则
的最大值是 ．
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、椭圆定义及辨析、求含sinx（型）的二次式的最值、求复
数的模
【分析】根据复数模公式，复数的几何意义及椭圆的定义可得复数
对应的点
，然后利用三角代换
结合条件即可求解．
【详解】设
，由
，得
，
因此在复平面内，复数
对应的点
在以
为焦点，长轴长为4 的椭圆上，
所以可设椭圆方程为
，则
，
所以椭圆方程为
，
而
表示点
与点
的距离，可设
，
所以
与点
的距离
21
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，
所以当
时，
，即
的最大值是
.
故答案为：
22
