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第02 讲反比例函数的图象与性质
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 画反比例函数图象
题型2 已知反比例函数图象判断其解析式
题型3 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
题型4 已知双曲线分布的象限求参数范围
题型5 判断反比例函数增减性及所在象限
题型6 已知反比例函数的增减性求参数
题型7 比较反比例函数值或自变量的大小
题型8 已知比例系数求特殊图形的面积
题型9 根据图形面积求比例系数
题型10 求反比例函数解析式
题型11 反比例函数与一次函数图象判断问题
题型12 反比例函数与一次函数图象交点问题
题型13 反比例函数与一次函数综合
题型14 反比例函数与几何综合
题型15 反比例函数的新定义问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
反比例函数的图象与
性质
反比例函数的k 值意
义
反比例函数解析式
1.认识反比例函数双曲线图象，掌握图象基本特征与分布规律。
2.熟记k 的正负对应图象象限，掌握函数增减性特点。
3.能根据解析式画出函数图象，结合图象分析函数性质。
4.理解k 的几何意义，会利用性质解决基础计算题型。
5.树立数形结合思想，提升函数图象分析与推理能力。
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学习重点：掌握反比例函数图象特征，依据k 值判断图象象限、增减性，熟练运用k 的几何意义解题。
学习难点：准确辨析跨象限函数值大小，灵活运用k 的几何意义求解复杂图形面积问题。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 反比例函数的图象
反比例函数的图象
1、反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反
比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
特别说明：
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（1）若点( a
b
，
)在反比例函数
k
y
x
的图象上，则点( a
b
，
)也在此图象上，所以反
比例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数
( k 为常数，
0
k
)中，由于
，所以两个分支
都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0 为中心，在0 的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y
值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序
连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐
标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由k 的符号决定的：当
0
k
时，两支曲线分别位于第一、三象限内，
当
0
k
时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
即时即练
1．填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数
2
y
x
的图象．
x
4
2
1
1
2
4
2
y
x
2．表示关系式①
1
|
|
y
x
，②
1
|
|
y
x
，③
1
|
|
y
x
，④
1
|
|
|
|
y
x
的图象依次是_____，_____，_____，_____．
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A．
B．
C．
D．
3．已知反比例函数
3
a
y
x
，且当
3
x
时，
2
y ．
(1)求a 的值；
(2)在图中画出该函数图象．
知识点02
反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）如图1，当
0
k
时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增
大而减小；
（2）如图2，当
0
k
时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增
大而增大；
特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的
增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k
的符号.
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反比例函数的图象与性质易错点：
1、描述增减性遗漏“在每个象限内”，直接说全体定义域内y 随x 增大增减，表述错误。
2、跨象限两点比较函数值，误用增减性判断，忽略一、三象限y 为正，二、四象限y 为负。
3、误以为双曲线会与x 轴、y 轴相交，忽略x、y 均不能取0，图象无限趋近坐标轴。
4、运用k 的几何意义计算面积时，漏掉绝对值，算出负数面积。
5、混淆k 正负对应的象限，k>0 对应一、三象限，k<0 对应二、四象限易记反。
6、忽略|k|大小影响双曲线远近，错认为k 正负决定曲线离轴距离。
7、正比例与反比例交点忘记关于原点对称，求解坐标时不利用相反数简化计算。
8、含参题型只考虑指数，忘记反比例系数不能为0，导致参数多解出错。
9、平移反比例函数，遵循平移口诀：上加下减在末尾，左加右减在中间（x 后面）。
10、分不清反比例关系与反比例函数，两个变量乘积定值不代表就是反比例函数。
即时即练
4．在反比例函数
1
k
y
x
图象的任意一支上，y 都随x 的增大而减小，则k 的值可以是（
）
A．2
B．1
C．0
D．1
2
5．在反比例函数
6
k
y
x
的图象上有两点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，当
1
2
0
x
x
时，有
1
2
y
y
，则k 的取值范
围是（
）
A．
0
k
B．
0
k
C．k
6
D．
6
k
6．已知反比例函数
2
6
a
y
x
（a 为常数）．
(1)若点
1,8 在该反比例函数的图象上，则a 的值为___________；
(2)当
0
x
时，y 的值随x 值的增大而减小，求a 的取值范围．
知识点03 反比例函数的解析式
确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数
k
y
x
中，只有一个待定系数k ，因此只
需要知道一对x
y
、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
（1）设所求的反比例函数为：
k
y
x
(
0
k
)；
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（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数k 的值；
（4）把求得的k 值代回所设的函数关系式
k
y
x
中.
即时即练
7．如果反比例函数
2
k
y
x
-
=
的图象经过点
1, 2
，则k 的值是（
）
A．0
B．4
C．3
D．4
8．若反比例函数的图像过点
2,3
，则其函数表达式为______．
9．已知反比例函数y=
1
k
x
的图象经过点
2,3 ．
(1)求k 的值；
(2)当
3
x
时，求y 的值；
(3)当1
4
x
时，求y 的取值范围．
知识点04 反比例函数的k 值意义
反比例函数
(
)中的比例系数k 的几何意义
过双曲线
x
k
y
(
0
k
)上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k .
过双曲线
x
k
y
(
0
k
)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为
2
k .
特别说明：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围
成的面积始终是不变的.
即时即练
10．如图，已知点A 位于第二象限，且在反比例函数
k
y
x
的图象上．过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂
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足分别为点B，C．若
3
OB
，
2
OC
，则k 的值为（
）
A．4
B．-2
C．6
D．6
11．反比例函数
0
k
y
x
x
的图象如图所示，AB
x
轴．若△���的面积为4，则k 的值为______．
12．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的边OC ，OA分别在坐标轴上，且
3
OA ，
6
OC
，反比例函数
0
k
y
k
x
的图象与AB ，BC 分别交于点D ，E ，连接DE ，OD ，OE ．若OAD
的面积为2 ．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求ODE
的面积．
题型1 画反比例函数图象
1．下列图象是反比例函数图象的是（
）
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A．
B．
C．
D．
2．反比例函数
3
y
x
的图像大致是（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图所示是三个反比例函数
1k
y
x
、
2k
y
x
、
3k
y
x
的图象，由此观察得到
1k 、2k 、3k 的大小关系是_____
（用“＜”连接）．
4．已知反比例函数
6
y
x
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(1)直接写出自变量x 的取值范围．
(2)在所给的直角坐标系中按照“列表、描点、连线”的步骤画出这个函数的图像；
x
…
…
y
…
…
(3)观察图像，思考：在每一个象限y 随x 的变化是如何变化的？
5．画出反比例函数
6
y
x
与
12
y
x
的图象．
题型2 已知反比例函数图象判断其解析式
6．反比例函数
0
k
y
k
x
的图象如图所示，则�的值可能是（
）
A．6
B．10
C．5
D．1
7．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数
0
k
y
k
x
的图象如图所示，则�的值可能是（
）
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A．2
B．1
C．2
D．6
8．在平面直角坐标系中，反比例函数
0
k
y
k
x
的图象如图所示，则k 的值可能是______．
9．在平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象在第一、三象限，则该反比例函数的解析式可以是______
（写出一个即可）．
10．如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O 沿x 轴向左平移2 个单位长度得到点A，过点A 作y 轴的
平行线交反比例函数y＝k
x 的图象于点B，AB＝3
2 .求反比例函数的解析式．
题型3 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
11．如图，若直线y
mx
与双曲线
k
y
x
的一个交点坐标为
1, 3
，则其另一个交点坐标是（
）
A．
1,3
B．
3,1
C．
1, 3
D．
1,3
12．如图，双曲线
k
y
x
与直线y
mx
相交于�，�两点，若点�的坐标为
1,2 ，则点�的坐标为（
）
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A．
1, 2
B．
1,2
C．
1,2
D．
1, 2
13．已知直线y
mx
与双曲线
k
y
x
的一个交点坐标为
3,4
，则它们的另一个交点坐标是______．
14．若函数y
kx
与函数
0
k
y
k
x
的图象交于两点，其中一个交点的坐标为
1,2026 ，则另一个交点的
坐标是______．
15．已知反比例函数
0
k
y
k
x
的图象与正比例函数
0
y
mx m
的图象相交于点�，�．若�点的坐标为
2,5 ，则�点的坐标为_____．
题型4 已知双曲线分布的象限求参数范围
16．若反比例函数
1
k
y
x
的图象位于第二、四象限，则k 的取值可以是（
）
A．1
B．1
C．2
D．3
17．若反比例函数
2
m
y
x
的图象分布在第二、四象限，则m 的取值范围是（
）
A．
2
m
B．
2
m
C．
2
m
D．
2
m
18．已知反比例函数
(
0)
k
y
k
x
的图象经过点(2,
)
m ，( 3, )
n
，且m
n
，那么这个反比例函数的表达式可
以是______（写出一个符合条件的表达式）．
19．在平面直角坐标系中，某反比例函数
k
y
x
的图象分别位于第二、四象限，且k 为大于2
的整数，则满
足条件的k 的值是_________．
20．已知反比例函数
1
k
y
x
的图像位于第二、四象限．
(1)求�的取值范围；
(2)若图像经过点
2, 1
，当
3
x
时，求y 的取值范围．
【易错警示】
由双曲线所在象限求参数时，仅依据象限判断k 正负，易忽略反比例函数系数不能为0 的隐藏条件。含
参解析式需同时满足两项：x 的指数为- 1、比例系数与k 同号，常漏写系数不为0 的不等式，直接解得
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参数范围，造成答案多解或错解，做题务必联立双重条件检验。
题型5 判断反比例函数增减性及所在象限
21．已知反比例函数
3
m
y
x
的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（
）
A．
3
m
，在每个象限内，y 随x 增大而减小
B．
3
m
，在每个象限内，y 随x 增大而增大
C．
3
m
，在每个象限内，y 随x 增大而增大
D．
3
m
，在每个象限内，y 随x 增大而减小
22．已知反比例函数
3
y
x
，下列结论正确的是（
）
A．点
1,3
在该函数的图象上
B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．当
1
2
1
x
x
时，
1
2
y
y
D．当
1
2
x
x
时，
1
2
y
y
23．设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
为反比例函数
1
y
x
图象上的两点，若
1
2
x
x
时，
1
2
y
y
，则点
2
2
,
B x
y
在第
__________象限．
24．若反比例函数
2
3
m
y
x
的图像上有两点
1,
A
a
和点
2,
B
b
，其中a
b
则�的取值范围是______．
25．已知关于�的反比例函数
1
m
y
x
的图象经过点
2,3 ．
(1)求�的值；
(2)判断该反比例函数图象经过的象限．
【易错警示】
判断增减性必须带上“在每个象限内”，不可笼统概括。跨象限比较函数值不能用增减性，应依据y 的
正负区分。容易记混k 正负对应的象限，同时忽略双曲线永不与坐标轴相交。答题规范表述，先看k 符
号定象限，再分象限分析增减，避免表述不严谨丢分。
题型6 已知反比例函数的增减性求参数
26．已知反比例函数
2
3
k
y
x
，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（
）
A．
3
2
k
B．
2
3
k
C．
3
2
k
D．
0
k
27．已知点
1
2,
A
y
，
2
4,
B
y
在反比例函数
0
k
y
k
x
的图象上，若
1
2
y
y
，请写出一个符合条件的�的
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值是___．
28．在平面直角坐标系xOy 中，点
1
2,
A
y
，
2
3,
B
y
在反比例函数
0
k
y
k
x
的图象上．如果
1
2
y
y
，那
么�的值可以为______（写出一个即可）．
29．已知反比例函数
2
8
a
y
x
（a 为常数），当
0
x
时，y 随�的值增大而减小，则a 的取值范围是______．
30．已知反比例函数
2
k
y
x
．
(1)若该函数经过
1,3 ，求k 的值；
(2)若该函数图象的每一支上，y 都随x 的增大而减小，求k 的取值范围．
【易错警示】
根据增减性求参数，先由增减性判定k 正负列出不等式，极易忽略反比例函数系数不能为0 的前提。含
参题型需联立指数为- 1、系数符号、系数不为0 三重条件，不少学生只看符号，遗漏限制条件，求出错
误参数，算出结果后务必回代检验。
题型7 比较反比例函数值或自变量的大小
31．已知点
3,
M
a
，
2,
N
b ，
4,
P
c 在反比例函数
8
y
x
的图象上，则a、b、c 的大小关系为（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．b
c
a
D．c
b
a
32．已知点
1
2
3
2,
,
1,
,
4,
P
y
Q
y
R
y
都在反比例函数
8
y
x
的图像上，则
1
2
3
、、
y
y
y 的大小关系为（
）
A．
2
3
1
y
y
y
B．
1
2
3
y
y
y
C．
3
2
1
y
y
y
D．
1
3
2
y
y
y
33．在平面直角坐标系xOy 中，若点
1
1,
A
y
，
2
3,
B
y
在反比例函数
(
0)
k
y
k
x
的图象上，则
1y ________
2y
（填“ ”，“ ”或“”）．
34．已知反比例函数
1
k
y
x
（�为常数，
1
k ）．
(1)若在其图象的每一支上，y 随�的增大而增大，求�的取值范围；
(2)若点
2,3
P
在该反比例函数的图象上．
①求该反比例函数的解析式；
②当3
1
x
时，求y 的取值范围．
35．在平面直角坐标系xOy 中，
2, 3
M
为双曲线
k
y
x
上一点．
(1)求�的值；
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(2)在（1）的条件下：
①点
3,
P
a 和
1,
Q
b
在双曲线
k
y
x
上，比较a 与b 的大小；
②点�在双曲线
k
y
x
上，点�的坐标为
4,0 ．若AOB
的面积为8，求点�的坐标．
题型8 已知比例系数求特殊图形的面积
36．如图，点�，�分别为反比例函数
4
y
x
（
0
x
）与
9
y
x
（
0
x
）图象上的点，AB
x
轴，点�在�
轴上，连接PA 、PB ，则PAB
的面积为（
）．
A．6.5
B．8.5
C．11
D．13
37．如图，点�在反比例函数
3
0
y
x
x
的图象上，过点�作AB
x
轴于点�，点C 在y 轴的正半轴上，
则
ABC
S
（
）
A．1.5
B．2
C．3
D．6
38．在平面直角坐标系中，点P 是反比例函数
6
0
y
x
x
图象上的一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，
垂足分别为A、B，则四边形OAPB的面积为______．
39．如图，点M，N 在反比例函数
0,
0
k
y
x
k
x
的图象上，分别过点M，N 向x 轴、y 轴作垂线，则
1S _____
（填“>”、“<”或“＝”）
2
S ．
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40．如图是反比例函数
1
1
0
y
x
x
，
2
4
0
y
x
x
的图象，点�为
2
4
y
x
图象上的一点，且PA
x
轴，PB
y
轴，垂足分别为点�、点�，PA 、PB 分别交
1
1
y
x
的图象于点D 、点C ．
(1)当点�的横坐标为1 时，求点�、点C 的坐标；
(2)在（1）的条件下，求PCD
的面积．
题型9 根据图形面积求比例系数
41．如图，点�在反比例函数
0
k
y
k
x
的图象上，PA
x
轴于点�，PAO
的面积为4，则�的值为（
）
A．4
B．8
C．－4
D．－8
42．如图，在平面直角坐标系中，�是�轴上任意一点，BC
x
轴，分别交反比例函数
12
0
y
x
x
、
0
k
y
x
x
的图像于C ，�两点，若ABC
的面积为33
2 ，则�的值为（
）
A．33
B．21
C．
33
2
D．
9
2
43．如图，已知�是反比例函数
k
y
x
上一点，AB
y
轴于点�，点C 在�轴上，且ABC
的面积为1，则�
的值为（
）
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A．
1
2
B．1
C．2
D．2
44．如图，已知反比例函数
1
0
k
y
x
x
和
2
1
0
y
x
x
的图象，点M 为
1
0
k
y
x
x
图象上一点，过点M
作MA
x
轴于点,
A MA与
2
1
0
y
x
x
图象交于点N ，若MON
的面积为1，则�的值为___________．
45．已知等边OAB
，边长为8，点A 在y 轴上，点B 在第一象限，反比例函数
0
k
y
x
x
经过��的中点
M，与OB 边相交于点N．
(1)求B 点坐标；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)连接OM
MN
、
，求OMN
的面积．
【易错警示】
利用图形面积求k 时，常忘记面积等于| k|，直接把面积当作k，忽略绝对值造成符号出错。部分学生分
不清矩形、三角形对应面积公式，计算三角形时漏乘2。求出k 后需结合双曲线所在象限判断正负，两步
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结合才能得到正确比例系数。
题型10 求反比例函数解析式
46．已知点
3,4
在反比例函数
0
k
y
k
x
的图象上，则�的值为（
）
A．6
B．6
C．12
D．12
47．若点
2, 4
在反比例函数
k
y
x
（k 为常数且
0
k
）的图象上，则k 的值为（
）
A．8
B．8
C．2
D．2
48．已知一个反比例函数的图象经过点
1,4
，若该反比例函数的图象也经过点
m,2 ，则�的值为_________．
49．在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
1,4
A
和点
2,
B
m
，则�的值为
_________．
50．如图，反比例函数
1
(
0)
m
y
m
x
与一次函数
(
0)
y
kx
b k
的图像相交于�、�两点，点�的坐标为( 6,2)
，
点�的坐标为(3, )
n ．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)连接AO 、BO，求AOB
的面积．
题型11 反比例函数与一次函数图象判断问题
51．函数y
kx
k
与
k
y
x
在同一坐标系中的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
52．若a ，b 互为相反数，则函数y
ax
b
与
a
y
x
在同一平面直角坐标系中的大致图象是（
）
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A．
B．
C．
D．
53．如图，在同一平面直角坐标系中，直线
1
1
y
x
与双曲线
2
2
y
x
相交于点
,
A B ，则当
1
2
y
y
时，�的取
值范围是___________．
54．如图是函数
1
y
k x
，y
2k
x 和y
3k
x 在同一个平面直角坐标系中的部分图象，根据图象的位置判断
1
2
k
k
、
和
3k 间的大小关系为_____________．
55．如图，已知直线
4
y
x
与反比例函数
k
y
x
的图象相交于点
2
A
a
，
，并且与x 轴相交于点B．
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(1)求反比例函数的表达式；
(2)求AOB
的面积；
(3)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．
题型12 反比例函数与一次函数图象交点问题
56．若正比例函数
4
y
x
与反比例函数
k
y
x
的一个交点为
, 4
A n
，则反比例函数的解析式为（
）
A．
4
y
x
B．
2
y
x
C．
4
y
x
D．
2
y
x
57．若双曲线
k
y
x
与直线y
mx
n
交于
2,
0
A
a
a
，
3
0
B
b
b
,
两点，则不等式k
mx
n
x
的解集
是（
）
A．无法确定
B．
2
x
或
3
x
C．3
2
x
D．
2
x
或3
0
x
58．如图，已知直线
1
y
k x
与双曲线
2k
y
x
的一个交点坐标为
2,4 ，则不等式
2
1
k
k x
x
＜
的解集为______．
59．如图所示，一次函数
0
y
mx
n m
的图象与反比例函数
0
k
y
k
x
的图象交于第二、四象限的点
2,
A
a
和点
, 1
B b
，过�点作�轴的垂线，垂足为点C ，AOC
的面积为4．
(1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式；
(2)求AOB
的面积．
(3)结合图象直接写出
0
k
mx
n
x
中�的取值范围．
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60．如图，一次函数
1
y
k x
b
（
1
0
k
）的图象与反比例函数
2k
y
x
（
2
0
k
）的图象交于点
(2,3)
A
，( , 1)
B n
．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)直接写出不等式
2
1
k
k x
b
x
的解集．
【易错警示】
联立两函数求交点易忽略交点个数，忘记两交点关于原点对称简化计算。比较函数值大小时，漏分区间讨
论x 取值范围，混淆图象上下位置。求解面积时分割图形出错，未结合象限判断坐标正负，最终导致解集、
面积计算出现失误。
题型13 反比例函数与一次函数综合
61．如图，直线
(
0)
y
kx
b k
与双曲线
0
m
y
m
x
交于点
2,2
A
，点
4,
B
a
．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)点P 在x 轴上，
3
AOP
S
△
，求点P 的坐标．
62．如图，直线y
x
b
与反比例函数
k
y
x
的图像相交于
1,4
4,
A
B
n
，
两点，连接OA和OB ．
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(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图像直接写出
0
k
x
b
x
的解集；
(3)求AOB
的面积．
63．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线
3
y
x
与双曲线
0
k
y
x
x
交于点
2,
A
m ．
(1)求双曲线的表达式；
(2)已知�是双曲线
0
k
y
x
x
上一点，且到y 轴的距离是12，直线
2
12
x
n
n
与直线
3
y
x
交于点C ，
与双曲线
0
k
y
x
x
交于点D ．如果
1
15
6
ACD
BCD
S
S
△
△
，求�的值．
64．如图，一次函数y
x
b
的图象与反比例函数
0
k
y
x
x
的图象交于点
1,3
A
，与x 轴交于点B．
(1)求反比例函数
k
y
x
与一次函数y
x
b
的表达式：
(2)过点A 作AC
x
轴于点C，求ABC
的面积．
65．如图，一次函数
2
1
y
x
与反比例函数
k
y
x
的图像在第二象限交于点A，且点A 的横坐标为1
．
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(1)求反比例函数的解析式；
(2)点B 的坐标是
2,0
，若点P 在y 轴上，
AOP
AOB
S
S
△
△
，求点P 的坐标．
题型14 反比例函数与几何综合
66．如图，在平面直角坐标系中，线段MN 端点的坐标为
,0
M m
，
,6
N m
，其中
0
m
，反比例函数
12
0
y
x
x
的图象交线段MN 于点P．当MP
NP
时，m 的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
67．如图，点A 在反比例函数
(
0)
k
y
k
x
的图象上，AB
x
轴于点B，AC
y
轴于点C，
1
3
OD
OB
，
1
3
OE
OC
，连接
,
AE AD ．若四边形ODAE 的面积为3，则k 的值为_________．
68．在平面直角坐标系中，直角三角板AOB 按如图位置摆放，直角顶点与原点O 重合，点A 在反比例函数
0
k
y
x
x
的图像上，
30
B
．若点B 坐标为
1, 3
，则k 的值是______．
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69．如图，在平面直角坐标系中，正方形边框ABCD的边BC 在x 轴正半轴上，顶点A，D 在第一象限内，
反比例函数
0
k
y
x
x
的图象与AD 交于点E，已知点E 的坐标为
4,5 ．
(1)求k 的值．
(2)若BC 边不动，将正方形边框ABCD向左下方推动，使点�落在y 轴的点A处．点D 落在点D处．若点D
在反比例函数
0
k
y
x
x
的图象上，求点D的坐标．
70．如图，四边形OBAC 是矩形，
2
OC
，
6
OB
，反比例函数
k
y
x
的图象过点A．
(1)求k 的值．
(2)点P 为反比例图象上的一点，作PD 直线AC ，PE
x
轴，当四边形PDCE 是正方形时，求点P 的坐
标．
题型15 反比例函数的新定义问题
71．定义新运算：
0
n
m
n
m
m
，则对于函数
4
y
x
，下列说法正确的是（
）
A．函数图象经过点
4,1
B．函数图象位于第一、三象限
C．当4
1
x
时，4
1
y
D．当
0
x
时，y 随x 的增大而增大
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72．定义：在平面直角坐标系xOy 中，当点N 在图形M 的内部，或在图形M 上，且点N 的横坐标和纵坐
标相等时，则称点N 为图形M 的“梦之点”．点
2,2
G
是反比例函数
1
k
y
x
图象上的一个“梦之点”，该函数
图象上的另一个“梦之点”为点H，直线GH 为
2y
mx
n
，当
1
2
y
y
时，x 的取值范围是____．
73．定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数
0
k
y
x
x
的图象与直线1l ：y
x
交
于整点�，与直线2 :
2
l
y
x
t
交于整点�和整点C ，直线1l 与2l 交于整点D ，若线段��上有7 个整点（包
括端点），且
2
AD
，则t 的值为______．
74．定义：直线与双曲线的一支两个交点之间的距离叫做双曲线关于直线的“割距”．如图，直线
4
y
x
与
双曲线
3 (
0)
y
x
x
交于点A、B 两点．那么双曲线关于直线的割距是______________
75．【阅读材料】给出如下定义：在平面直角坐标系中，点
,
A x y 的纵坐标y 与横坐标�的差“ y
x
”称为
点�的“纵横差”．在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．例
如：点
8,1
A
的“纵横差”为
1
8
9
；函数
2
1
y
x
图象上所有点的“纵横差”可以表示为
2
1
1
y
x
x
x
x
；当3
6
x
时，
1
x 的最大值为6 1
7
，所以函数
2
1
y
x
（3
6
x
）的“纵横
极差”为7 ．
【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题：
(1)求点
4,9
B
的“纵横差”；
(2)求函数
4
5
1
y
x
x
x
的“纵横极差”；
(3)若ℎ为实数，函数
1
5
h
y
x
x
x
的“纵横极差”为4 ，求ℎ的值．
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1．已知反比例函数
3
m
y
x
的图象位于第二、四象限，则m 的值可能为（
）
A．0
B．3
C．2
D．5
2．关于反比例函数
2
y
x
，下列说法中错误的是（
）
A．当
0
x
时，y 随x 的增大而减小
B．图象位于第一、三象限
C．点
4, 0.5
在函数图象上
D．当
1
x
时，
2
y
3．反比例函数
6
y
x
的图象上三个点的坐标分别是
1
( 2,
)
y
，
2
3, y
，
3
(6,
)
y
，则
1y ，
2y ，
3y 的大小关系为
（
）
A．
1
2
3
y
y
y
B．
1
3
2
y
y
y
C．
2
1
3
y
y
y
D．
3
2
1
y
y
y
4．如图，B
C
、
两点分别在函数
5
0
y
x
x
和
1
0
y
x
x
的图像上，线段BC
y
轴，点A 在x 轴上，
则△���的面积为（
）
A．3
B．4
C．6
D．9
5．如图，过点
4,5
P
分别作PC
x
轴于点C，PD
y
轴于点D，PC 、PD 分别交反比例函数
8
0
y
x
x
的图象于点A、B，则四边形BOAP 的面积为（
）．
A．8
B．10
C．12
D．16
6．如图，正比例函数
1
2
y
x
的图象与反比例函数
2
2
y
x
的图象相交于A、B 两点，点A 的横坐标为1
，当
1
2
y
y
时，x 的取值范围为（
）
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A．
1
x
或
1
x
B．1
0
x
或
1
x
C．
1
x
或0
1
x
D．1
0
x
或0
1
x
7．已知反比例函数
2
1
m
y
x
（m 为常数），当1
2
x
时，函数y 的最大值为a（a 为常数），则当4
2
x
时，函数y 有（
）
A．最小值
1
2 a
B．最大值
1
2 a
C．最小值a
D．最大值2a
8．如图，点A 在反比例函数
8
y
x
（
0
x
）的图像上，过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线交x 轴、y 轴于点B 、
C ，线段AB 、AC 与反比例函数
4
y
x
（
0
x
）的图像相交于点M 、N ，连接MN ．则MAN
的面积为
（
）
A．1
2
B．3
4
C．1
D．2
9．一次函数
0
y
x
b b
与反比例函数
0
k
y
k
x
的部分图象如图所示，M 是它们的一个交点，N 是
它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M 作MA
x
轴，MB
y
轴，垂足分别为A，B；过点N 作
NC
x
轴，ND
y
轴，垂足分别为C，D．记矩形MAOB的面积为
1S ，周长为
1
C ，记矩形NCOD 的面积
为
2
S ，周长为
2
C ，下列结论正确的是（
）
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A．
1
2
S
S
，
1
2
C
C
B．
1
2
S
S
，
1
2
C
C
C．
1
2
S
S
，
1
2
C
C
D．
1
2
S
S
，
1
2
C
C
10．如图，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点D 在AB 上，且
1
4
AD
AB
，反比例
函数
(
0)
k
y
k
x
的图象经过点D 及矩形OABC 的对称中心M ，连接OD ，OM ，DM ．若ODM
的面积
为3，则k 的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
11．反比例函数
4
y
x
，当
0
x
时，y 随x 的增大而_______．（填“增大”或“减小”）
12．已知反比例函数
k
y
x
的图象与一次函数
3
y
x
的图象的一个交点的横坐标是1，则反比例函数的表达
式为________．
13．在平面直角坐标系xOy 中，点
1
1
2
2
,
,
,
,
2,3
A x y
B x
y
C
均在函数
0
k
y
k
x
的图象上，且
1
2
x
x
0，
则
1y _____
2y （填“＞”“＝”或“＜”）．
14．已知点
1
1,
A
y
，
2
2,
B
y
，
3
3,
C
y
都在反比例函数
1
y
x
的图象上，则用“ ”将
1y ，
2y ，
3y 按从大
到小的顺序排列为____________．
15．在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数
3
m
y
x
的图象位于第一、三象限，则m 的取值范围是
____________
16．函数
1
y
x
与
3
y
x
图象的一个交点坐标为
,a b ，则1
1
a
b
的值为_________．
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17．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OC 在x 轴负半轴上，函数
(
0)
k
y
x
x
的图象经过顶点
A 和对角线OB 的中点D ，AE
OB
∥
交y 轴于点E ，若AOE
的面积为5，则k 的值为______．
18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，两个反比例函数
6
y
x
和
2
y
x
在第二象限内的图象依次为
1
C ，
2
C ．已知点P 在
1
C 上，点A，B 在
2
C 上，且PA
x
轴，PB
y
轴，则四边形OAPB的面积为____．
19．如图，将反比例函数
0
k
y
k
x
图象在第一象限的分支向左平移4 个单位长度后与y 轴相交于点A ，D
为x 轴上一点，作点A 关于点D 的对称点B ，再以线段AB 为斜边向下作等腰直角三角形
.
ABC 若点B 和点C
恰好都落在反比例函数
0
k
y
k
x
图象在第三象限的分支上，则k __________．
20．如图，已知反比例函数
2
y
x
的图象上有一组点
1B 、
2
B 、……、
n
B ，它们的横坐标依次增加1，且点
1B
横坐标为1．“①、②、③……”分别表示如图所示的三角形的面积，记
1
①
②
S
，
2
②
③
S
，……，则
1
2
2025
S
S
S
__________．
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21．如图，正比例函数
2
y
x
的图象与反比例函数
k
y
x
的图象有一个交点
2,
P
m ．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当4
2
x
时，求反比例函数
k
y
x
的y 的取值范围．
22．如图，反比例函数
1
m
y
x
的图象与一次函数
2y
kx
b
的图象交于A、B 两点．已知
2,
A
n ，
1 , 2
2
B
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求△AOB 的面积；
23．已知函数
2
8
2
m
y
m
x
．
(1)当m 为何值时，此函数为正比例函数，且y 随x 的增大而增大？
(2)当m 为何值时，此函数为反比例函数，且图象经过第一、三象限？
24．如图所示，一次函数y
kx
b
的图象与反比例函数
m
y
x
的图象相交于两点
1,
,
3, 1
A
n
B
，与y 轴
相交于点C ．
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(1)求反比例函数和一次函数的函数表达式：
(2)直接写出：不等式
m
kx
b
x
的解集是______；
(3)求AOB
的面积．
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线OB 、AC 相交于点D ，且BE
AC
，CE
OB
∥
．
(1)求证：四边形CDBE 是菱形；
(2)如果
4
OA
，
3
OC
，求出经过点E 的反比例函数解析式．
26．如图，一次函数y
ax
b
的图像经过点
4,0
A
，
0,2
B
，点P 在一次函数的图像上，过点P 分别作
x 轴和y 轴的平行线交反比例函数
(
0,
0)
k
y
k
x
x
的图像于M，N 两点，连接MN ．
(1)求a，b 的值；
(2)若PMN
是腰长为3 的等腰直角三角形，求点P 的坐标和k 的值．
27．如图，矩形OABC 的顶点O与坐标原点重合，点B 的坐标为
4,2 ，点A ，C 分别在坐标轴上，反比例
函数
k
y
x
的图象与AB ，BC 分别交于点D ，E ，且
:
3:5
AD BD
．
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(1)求反比例函数的解析式．
(2)连接DE ，将BDE
沿DE 翻折，点B 的对应点F 落在x 轴上，求点F 的坐标．
28．【阅读理解】对于任意正实数a、b，
∵
2
0
a
b
，
∴
2
0
a
b
ab
，
∴
2
a
b
ab
，
只有当a
b
时，等号成立．
【数学认识】在
2
a
b
ab
（a、b 均为正实数）中，若ab 为定值k，则
2
a
b
k
，只有当a
b
时，a
b
有最小值2 k ．
【解决问题】
(1)若
0
x
，
1
4
9
x
x
有最小值为，此时x ．
(2)如图，已知直线
1
1
1
2
L
y
x
：
与x 轴交于点A，过点A 的另一直线
2
L 与双曲线
8
0
y
x
x
相交于B，
若点C 为双曲线上任意一点，作CD
y
轴交直线
1L 于点D，试求当线段CD最短时，求ACD
面积．
29．如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，
10,0 ,
0,8
A
C
，点P 在边��上以每秒1 个单位长的速
度由点C 向点B 运动，同时点Q 在边AB 上以每秒a 个单位长的速度由点A 向点B 运动，运动时间为t 秒
（
0
t
）．
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(1)若反比例函数
m
y
x
图像经过P 点、Q 点，求a 的值；
(2)若OPQ
是以OQ 为底的等腰直角三角形，求a 的值；
(3)若OQ 垂直平分AP ，求a 的值；
(4)当Q 点运动到AB 中点时，是否存在a 使OPQ
为直角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，请说
明理由；
30．如图，反比例函数
0
m
y
m
x
与一次函数y
kx
b
0
k
的图象交于点
1,3
A
，点
,1
B n
，一次函
数
0
y
kx
b k
与y 轴相交于点C ．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)点E 是反比例函数图象上A 点右侧一点，连接AE ，以点A 为直角顶点作等腰Rt AEF
，若点F 恰好也落
在这个反比例函数的图象上，求点E 的坐标．
