专题11
对数及对数函数压轴题（解析版）
1.对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
(2)logaM
N＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
2.换底公式
(1)．logab＝logcb
logca(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
(2)．对数换底公式的重要推论：
(1)logaN＝
1
logNa(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
(2)log
n
m
a b ＝m
nlogab(a>0，且a≠1，b>0)；
3.对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
4.对数函数的图象和性质
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0<a<1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过定点(1,0)，即x＝1 时，y＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝logax 与y＝
1
log
a
x 的图象关于x 轴对称
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
类型一对数的运算
例1(1).已知
18
log 9
a
，18
5
b
，求
18
log 45 .（用,a b 表示）
(2).已知
9
log 4
a
，9
5
b
，求
36
log
45 .（用,a b 表示）
【答案】（1）a
b
；（2）
1
1
b
a
【分析】（1）由指数式与对数式的关系可得
18
log 5
b
，结合对数运算公式化简即可；
（2）由指数与对数关系可得
9
log 5
b
，利用换底公式和对数运算公式化简可得结论.
【详解】（1）因为18
5
b
，所以
18
log 5
b
，
所以
18
18
18
log 45
log 9
log 5
a
b
.
（2）因为9
5
b
，所以
9
log 5
b
，
所以
9
36
log 45
log
45
log36
9
9
log
5 9
log
4 9
9
9
9
9
log 5
log 9
log 4
log 9
1
1
b
a
.
（3）计算下列各式的值．
(1)
2
1
0
2
3
3
4
2
4
8
3
3
16
3
3
7
2
8
；
(2)
2
log 3
3
7
18
18
2
log 7 log 9
log 6
log 3
ln
e
．
【答案】(1)1
(2) 5
2
【分析】（1）利用分数指数幂运算法则进行计算即可；
（2）利用对数运算性质及换底公式计算即可.
【详解】（1）
2
1
0
2
3
3
4
2
4
8
3
3
16
3
3
7
2
8
2
2
3
3
3
4
2
4
2
3
1
2
3
3
2
2
2
3
2
3
1 2
9
3
2
1 8 1 9
1
.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
（2）
2
log 3
3
7
18
18
2
log 7 log 9
log 6
log 3
ln
e
1
2
18
lg 7
lg 9
3
log
6 3
ln e
lg 3
lg 7
lg9
1
3
1
lg3
2
2
9
lg3
2
lg3
9
5
2
2
2
．
（4）已知log 3
a
m
，log 2
a
n
（
0
a
且
1
a ）．
(1)求
2
m
n
a
的值；
(2)若
3
log 2 1
m
n
，解关于x 的不等式：
2
(
1)
6
0
tx
at
x
a
（其中t
R
）．
【答案】(1)12
(2)当
0
t
时，不等式的解集为
1
,
(3,
)
t
；当
0
t
时，不等式的解集为
3,；当
1
0
3
t
时，不等
式的解集为
1
3, t
；当
1
3
t
时，不等式的解集为；当
1
3
t
时，不等式的解集为1,3
t
；
【分析】（1）利用对数式与指数式的互化，及指数幂的运算即可得解；
（2）利用对数的运算可得
3
a
，再分类讨论
0
t
，
0
t
，
1
0
3
t
，
1
3
t
和
1
3
t
，解不等式即可得解.
(1)
由log 3
a
m
，log 2
a
n
，得
3
m
a
，
2
n
a
2
2
2
3
2
12
m
n
m
n
a
a
a
(2)
3
log 2
1
m
n
，
3
3
log 3
log 2
log 6
log 2
1
log 6
a
a
a
，
3
a
不等式
2
2
(
1)
6
0
(3
1)
3
0
tx
at
x
a
tx
t
x
（1）当
0
t
时，不等式为：
3
0
x
，解得
3
x
，不等式的解集为
3,；
（2）当
0
t
时，方程
2
(3
1)
3
0
tx
t
x
的两个根为
1
3
x
和
2
1
x
t
①当
0
t
时，1
3
t ，二次函数开口向下，不等式的解集为
1
,
(3,
)
t
；
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
②当
1
0
3
t
时，1
3
t
，二次函数开口向上，不等式的解集为
1
3, t
；
③当
1
3
t
时，二次函数开口向上，不等式的解集为；
④当
1
3
t
时，1
3
t 二次函数开口向上，不等式的解集为1,3
t
；
综上可知，当
0
t
时，不等式的解集为
1
,
(3,
)
t
；
当
0
t
时，不等式的解集为
3,；
当
1
0
3
t
时，不等式的解集为
1
3, t
；
当
1
3
t
时，不等式的解集为；
当
1
3
t
时，不等式的解集为1,3
t
；
练习题
（1）求下列式子的值：
(1)
1
2
6
2
0
3
3
1
2
9.6
8
1.5
4
.
(2)
ln3
3
4
lg25
2lg2
log 16 log 3
e
.
(3)
1
1
1
0
2
2
3
2
4
4
3
1
3
7
4
2
3
8
(π
3)
4
8
8
9
(4)
2
1
2
log 4
lg1
2
2
3
7
1
log 7 log 8 log 3
2
2
( 2
1)
(lg5)
lg2 lg50
4
【答案】【答案】(1) 0 ;
(2) 3 ;
(3) π
5
3
；
(4)15
2 .
【详解】（1）
1
2
6
2
0
3
3
1
2
2
3
3
2
1
2
9.6
8
1.5
9
3
1
9
1
2
4
1
2
1.
0
5
4
4
4
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
（2）
ln3
3
4
3
4
lg25
2lg2
log 16 log 3
e
lg25
lg4
2log
log 3
3
lg100
2
3
2
4
2
3
3
（3）（3）
1
1
1
0
2
2
3
2
4
4
3
1
3
7
4
2
3
8
(π
3)
4
8
8
9
1
1
1
2
3
2
2
2
3
2
3
3
2
1
3
3
2
2
2
3
3
π
2
2
1
π
3
3
2
2
2
3
3
5
π
3
（4）
2
1
2
log 4
lg1
2
2
3
7
1
log 7 log 8 log 3
2
2
( 2
1)
(lg5)
lg2 lg50
4
1
2
2
2
2
7
0
3
log 7 log 3 log 8
4
( 2
1)
(lg5)
lg 2
2l
2
3
g5
g
2
l
2
2
log 8
4
1
(lg5
l 2)
2
g
3
3
3
1
4
1
2
15
2
(2).求下列各式中x 的值．
(1)
3
log 27
2
x
；
(2)
2
2
log
3
x
；
(3)
27
1
log
9
x
【答案】(1)9；
(2)
3 2
2
；
(3)
2
3
x
.
【分析】（1）根据对数式与指数式的关系可得
3
2
27
x
，由此可求x ；
（2）根据对数式与指数式的关系可得
2
3
2
x
，化简可得结论；
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
（3）根据对数式与指数式的关系可得
1
27
9
x
，解指数方程可得x .
【详解】（1）由
3
log 27
2
x
，可得
3
2
27
x
，
∴
2
2
3
2
3
3
27
3
3
9
x
.
（2）由
2
2
log
3
x
，可得
2
3
2
x
.
∴
2
3
3
3
1
1
2
2
4
2
x
.
（3）由
27
1
log
9
x
，可得
1
27
9
x
，
∴
3
2
3
3
x
，
∴
2
3
x
.
(3).设,
,
1,
1
x y
a
b
R
，若
6,2
16
x
y
a
b
a
b
，则1
1
x
y
的最大值为
.
【答案】
6
log 32
【分析】由已知可解得
log 6,
log 6
a
b
x
y
，根据换底公式可得
6
6
1
1
log
,
log
a
b
x
y
，根据基本不等式得出
32
ab
，然后根据对数运算性质即可得出答案.
【详解】因为
6
x
y
a
b
，所以
log 6,
log 6
a
b
x
y
，
又
6
6
lg6 lg
lg6 lg
log 6 log
1,log 6 log
1
lg
lg6
lg
lg6
a
b
a
b
a
b
a
b
，
所以
6
6
1
1
log
,
log
a
b
x
y
.
因为
1,
1
a
b
，根据基本不等式有
2
2
2
64
2
a
b
ab
，
当且仅当2a
b
，即
4,
8
a
b
=
=
时等号成立，
所以
32
ab
.
则
6
6
6
6
1
1
log
log
log
log 32
a
b
ab
x
y
，
所以1
1
x
y
的最大值为
6
log 32.
故答案为：
6
log 32.
(4).已知定义在R 上的函数
f
x 满足：
f
x 为奇函数，
1
f x
为偶函数，当0
1
x
时，
2
1
x
f x
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
则
2
log 2023
f
（
）
A．
999
1024
B．
25
2048
C．
1024
2023
D．
512
999
【答案】A
【分析】由
f
x 为奇函数，
1
f x
为偶函数可知
f
x 为以4 位周期的周期函数，且关于(2 ,0)
Z
k
k
点对
称，关于
1 2 ,
Z
x
k k
轴对称，利用周期性与对称性可化简
2
2
2023
log 2023
log 1024
f
f
代入
2
1
x
f x
即可得出答案.
【详解】因为
1
f x
为偶函数，
所以
(
1)
1
f
x
f
x
，
所以
(
2)
f
x
f x
，
又
f
x 为奇函数，即
( )
f
x
f x
所以
2
4
2
f x
f x
f x
f x
f x
，
所以
f
x 的周期为4，
2
2
2
2
2
2023
4096
4096
log 2023
log 2023 12
log
log
2
log
4096
2023
2023
f
f
f
f
f
2
2023
log 1024
2
2023
2023
999
log
2
1
1
1024
1024
1024
f
.
故选：A.
类型二
比较值的大小
例2.（1）已知
ln6
a
，
2
e
5
e
1
b
，
3
2
c
，则（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．c
a
b
D．c
b
a
【答案】B
【分析】根据
3
3
2
2
e
3
6
的放缩得到a
c
；通过作差法比较b 和c ，构造
2
3
2
13
f
x
x
x
，利用
5
e
0
2
f
f
，即
2
3e
2e 13
0
即可得到答案.
【详解】对于a 和c ，因为
3
3
2
2
e
3
6
，所以
3
ln 6
2
，即a
c
．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
对于b 和c ，
2
2
2
3
e
5
3e
2e 13
2
e
1
2 e
1
，
2
2 e
1
0
．
令函数
2
3
2
13
f
x
x
x
，
f
x 在1,
3
上单调递增，
因为
2
5
5
5
3
3
2
13
0
2
2
2
4
f
，所以
5
e
0
2
f
f
，
即
2
3e
2e 13
0
，所以
2
3
e
5
0
2
e
1
，即c
b
，
故a
c
b
．
故选：B
【点睛】方法点睛：本题考查构造函数比较大小问题.比较大小的常见方法有：
（1）利用作差法或者作商法与特殊值比较；
（2）构造相关函数，利用导数研究其单调性进而比较函数值；
（3）利用中间量进行放缩比较.
(2).设
3
4
log 4
log 3,3
4
5
a
a
b
a
，则（
）
A．
2
a
b
B．
2
a
b
C．
2
b
a
D．
2
b
a
【答案】A
【分析】根据基本不等式，结合指数函数的单调性、函数单调性的性质进行判断即可.
【详解】因为
3
4
log 4
0,log 3
0
，且
3
4
log 4
log 3
，
所以
3
4
3
4
log 4
log 3
log 4 lo
lg4
lg3
2
2
2
l
g
g3
g4
3
l
，即
2
a
，
因为函数
3 ,
4
x
x
y
y
是单调递增函数，
所以函数
3
4
x
x
y
是单调递增函数，
所以当
2
a
时，有
2
2
3
4
3
4
25
a
a
，
因为3
4
5
a
a
b
，
所以有
2
25
5
2
5b
b
，
由
3
5
5
4
4
5
3
5
a
a
b
a
b
a
a
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
因为函数
3
4
,
5
5
x
x
y
y
是单调递减函数，
所以函数
3
4
5
5
x
x
f x
是单调递减函数，
因为
2
a
，所以
3
4
2
1
5
1
0
5
5
a
a
b a
f a
f
b
a
b
a
，
因此
2
a
b
，
故选：A
【点睛】关键点睛：根据等式的形式构造函数，利用指数函数的单调性是解题的关键.
(3).已知正实数x，y，z 满足2
3
6
x
y
z
，则不正确的是（
）
A．1
1
1
x
y
z
B．2
3
6
x
y
z
C．2
3
6
x
y
z
D．
2
4
xy
z
【答案】B
【分析】首先把指数式化成对数式，表示出x
y
z
，，.选项A，取倒数再根据换底公式可以判断A；选项B，根据换底公式转
化为比较
3
6
2
3
6
，，
的大小关系；选项C，同样根据换底公式转化为比较底数的大小关系；选项D，把xy 利用换底公式进行
化简，再结合基本不等式得出结果.
【详解】设2
3
6
x
y
z
t
，
1
t ，则
2
log
x
t
，
3
log
y
t
，
6
log
z
t
.
选项A，1
log 2
t
x
，1
log 3
t
y
，1
log 6
t
z
，则1
1
1
log 2
log 3
log 6
t
t
t
x
y
z
，故A 正确；
选项B，
2
2
2
2log
log
x
t
t
，
3
3
3
3
3log
log
y
t
t
，
6
6
6
6
6log
log
z
t
t
，
下面比较
3
6
2
3
6
，，
的大小关系，
因为
6
2
8
，
6
3 3
9
，
6
6 6
6
，所以
6
6
6
6
3
6
2
3
，即6
3
6
2
3
，又
1
t ，
所以
3
6
3
2
6
3
6
lg
lg
lg
log
log
log
lg 3
lg
2
lg
6
t
t
t
t
t
t
，即3
2
6
y
x
z
，故B 不正确；
选项C，
2
4
1 log
log
2
2
x
t
t
，
3
27
1 log
log
3
3
y
t
t
，
6
6
6
1 log
log
6
6
z
t
t
，
因为
6
4
27
6
，又
1
t ，所以
6
4
27
6
6
lg
lg
lg
log
log
log
lg 4
lg 27
lg6
t
t
t
t
t
t
，即2
3
6
x
y
z
，故C 正确；
选项D，
2
2
3
lg
lg
lg
log
log
lg 2
lg3
lg 2 lg3
t
t
t
t
t
xy
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
因为
2
2
lg6
lg 2
lg3
lg 2 lg3
2
4
，所以
2
2
4 lg
lg6
t
xy
，
又
2
6
2
2
2
4
4 lg
log
lg6
4
t
z
t
，所以
2
4
xy
z
，故D 正确；
故选：B.
(4)已知
1
3
8
27
a
，
5
6
1
9
log 6
log 5
2
8
b
，
5
6
18
4log 6
9log 5
c
，则（
）
A．b
a
c
B．b
c
a
C．a
b
c
D．a
c
b
【答案】A
【分析】解得
3
2
a
，又利用对数运算可判断
5
3
log 6
2
，结合基本不等式可判断,b c 与3
2 的大小，即可得, ,
a b c
的大小关系.
【详解】解：
1
1
1
3
3
3
3
8
27
3
3
27
8
2
2
a
，
由于
3
2
5
5
5
5
3
log 5
log
125
log
36
log 6
2
，
5
6
5
5
5
5
1
9
1
9
1
9
3
log 6
log 5
log 6
2
log 6
2
8
2
8log 6
2
8log 6
2
b
，取等条件应为
5
5
1
9
log 6
2
8log 6
，即
5
3
log 6
2
，
而
5
3
log 6
2
，故
3
2
b
，
5
6
5
5
5
5
18
18
18
18
3
9
4log 6
9log 5
12
2
9
4log 6
2 4log 6
log 6
log 6
c
，取等条件为
5
5
9
4log 6
log 6
，即
5
3
log 6
2
，
而
5
3
log 6
2
，故
3
2
c
，所以b
a
c
.
故选：A.
练习题
(1)已知定义在R 上的奇函数
f
x 满足
2
f x
f
x
，当
[0,1]
x
时，( )
3
1
x
f x
，设
1
ln
a
，
2
ln 5
e
b
，
0.1
1
3
c
，则（
）
A．
( )
( )
( )
f c
f b
f a
B．
( )
( )
( )
f b
f c
f a
C．
( )
( )
( )
f b
f a
f c
D．
( )
( )
( )
f a
f b
f c
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【答案】D
【分析】利用函数的性质，将a
b
c
、、化到[0,1] 这个区间，再利用
( )
3
1
x
f x
在[0,1] 上单调递增，即可判
断
( )
( )
( )
f a
f b
f c
、
、
的大小关系.
【详解】
1
( )
ln
(ln
)
(2
ln
)
0
f a
f
f
f
，
2
ln 5
5
5
1
( )
e
2
0
2
2
2
f b
f
f
f
f
，
0.1
0.1
0.1
1
( )
3
2
3
0
3
f c
f
f
f
，
又
2
3
2
1
3
3
ln
1
2
ln
ln
ln
0
2
2
2
2
e
即
1
2
ln
2
，2
ln
，1
(0,1)
2
，
且
( )
3
1
x
f x
在[0,1] 上单调递增，
1
(2
ln
)
2
f
f
，
即
( )
( )
f a
f b
.
综上可得
( )
( )
( )
f a
f b
f c
.
故选:D.
(2)已知
( )
f x 是定义在(1,
)
上的单调函数，( )
g x 是(0,
)
上的单调减函数，且
2
3
5
x
y
z
f
f
f
，则
（
）
A．(2 )
(3 )
(5 )
g
x
g
y
g
z
B．(5 )
(2 )
(3 )
g
z
g
x
g
y
C．(3 )
(5 )
(2 )
g
y
g
z
g
x
D．(3 )
(2 )
(5 )
g
y
g
x
g
z
【答案】B
【解析】
( )
f x 是定义在(1,
)
上的单调函数可推知2
3
5
1
x
y
z
k
，表示出, ,
x y z ，再作商法，运用换底
公式变形，比较出2 ,3 ,5
x
y
z 的大小即可求解.
【详解】由已知得2
3
5
1
x
y
z
k
，则, ,
(0,
)
x y z
，所以
2
log
x
k
，
3
log
y
k ，
5
log
z
k ，
所以2
2lg
lg3
lg9
1
3
lg 2
3lg
lg8
x
k
y
k
，则2
3
x
y
，2
2lg
lg5
lg 25 1
5
lg 2
5lg
lg32
x
k
z
k
，则2
5
x
z
，
所以0
3
2
5
y
x
z
．又因为( )
g x 是(0,
)
上的单调减函数，所以(3 )
(2 )
(5 )
g
y
g
x
g
z
故选：B．
(3).已知10
11,
11
12,
9
10
m
m
m
a
b
则（
）
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
A．
0
a
b
B．
0
a
b
C．
0
b
a
D．
0
b
a
【答案】A
【分析】根据指对互化可得
lg11
lg10
m
，再利用基本不等式与换底公式可得
11
log 12
m
与
9
log 10
m
，从而利
用指数函数的单调性即可得解．
【详解】因为10
11
m
，所以
lg11
lg11
lg10
m
，
因为
2
2
2
2
lg10
lg12
lg120
lg121
lg10lg12
lg11
2
2
2
，
所以lg11
lg12
lg10
lg11
，则
11
log 12
m
，
所以
11
log 12
11
12
11
12
0
m
a
；
因为
2
2
2
2
lg9
lg11
lg99
lg100
lg9lg11
lg10
2
2
2
，
所以lg11
lg10
lg10
lg9
，则
9
log 10
m
，
所以
9
log 10
9
10
0
9
10
m
b
；
综上，
0
a
b
.
故选：A.
(4)已知函数
f
x 在
1
0, 2
上单调递减，
1
f x
f
x
，
1
y
f x
为偶函数，当
2, 1
x
时，
1
f x
x
，若
3
3
a
f
，
(ln 2)
b
f
，
3
log 1458
c
f
，则a，b，c 的大小关系是（
）
A．b<c<a
B．c
b
a
C．a
b
c
D．a
c
b
【答案】A
【分析】先由已知确定函数的对称性、单调性、周期性，然后把“ f ”后面自变量的值转化为同一单调区间上，
比较自变量大小即得函数值的大小关系.
【详解】因为函数
(
1)
y
f x
为偶函数，得
( )
y
f x
的图象关于直线= 1
x 对称，
且
(
1)
(
1)
f
x
f x
，由
1
f x
f
x
得
(
2)
(
1)
f x
f
x
，
所以
(
2)
(
1)
f x
f x
，即
(
3)
( )
f x
f x
，则
(
6)
(
3)
( )
f x
f x
f x
，
所以函数
( )
y
f x
的一个周期为6，则
3
3
3
log 1458
6
log 2
log 2
c
f
f
f
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
当
2, 1
x
时，
1
f x
x
，又
( )
y
f x
的图象关于直线= 1
x 对称，
所以
3
3
3
3
2
( 2
) 1
1
0
3
3
3
3
a
f
f
，
由
1
f x
f
x
得
1
0
2
f
，
( )
y
f x
的图象关于点1
( ,0)
2
对称，
又函数
f
x 在
1
0, 2
上单调递减，所以函数
f
x 在
0,1 上单调递减，
又
3
3
1
log
3
log 2
ln 2
1
2
，
所以
3
3
(ln 2)
log 2
log 1458
0
b
f
f
f
c
，
所以b<c<a .
故选：A
(5)已知函数
2
2
1
2
x
x
f x
，
g x
xf x
，若
ln3
a
g
，
1
3
0.5
b
g
，
3
2
c
g
，则a ，b ，c 的大小
关系为（
）
A．b
a
c
B．c
b
a
C．c
a
b
D．a
b
c
【答案】A
【分析】判断出函数
g x
xf x
是偶函数，且在区间
0,
上单调递增，然后比较ln3 、
1
3
0.5 、3
2 三个数
的大小，由此可得出a 、b 、c 的大小关系.
【详解】因为
2
2
x
x
x
g x
xf
x
，该函数的定义域为R ，
2
2
x
x
g
x
x
g x
，所以函数
y
g x
为偶函数，故
3
3
2
2
g
g
，
当
0
x
时，
2
2
1
2
2
0
2
x
x
x
x
f x
，
任取
1
2
0
x
x
，
1
2
x
x
，则
1
2
2
2
x
x
，
1
2
2
2
x
x
，所以
1
1
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
，
所以
1
2
0
f x
f x
，
1
1
2
2
x f x
x f x
，即
1
2
g x
g x
，
所以函数
y
g x
在
0,
上单调递增，
又
1
0
3
0
0.5
0.5
1
，由
2
3
3
e
可得
3
ln3
2
，故
3
1
ln3
2
，
则
1
3
3
0.5
ln3
2
g
g
g
，即b
a
c
.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
故选：A.
类型三
与对数有关的求参数
例3（1）.已知定义在R 上的函数
f
x ，若函数
1
y
f x
是偶函数，且
f
x 对任意
1
2
1
2
,
1,
x x
x
x
，
都有
2
1
2
1
0
x
x
f x
f x
，若
ln
1
f
a
f
，则实数a 的取值范围是（
）
A．
1
0, e
B．1,e
e
C．
3
1 ,e
e
D．
3e ,
【答案】C
【分析】根据函数的对称性以及单调性即可求解.
【详解】∵函数
1
y
f
x
为偶函数，∴定义在R 上的函数
f
x 的图象关于直线
1
x 对称，
∵对任意
1
2
1
2
,
1,
x x
x
x
，都有
2
1
2
1
0
x
x
f x
f x
，
∴函数
f
x 在
1,上单调递减，在
,1
上单调递增，
又函数
f
x 的图象关于直线
1
x 对称，且
ln
1
f
a
f
，
∴ln
1
1 1
a
，即1
ln
3
a
，解得
3
1
e
e
a
，即实数a 的取值范围是
3
1 ,e
e
.
故选：C.
(2)函数
1
2
2
log
1
f x
ax
ax
的定义域为R，则实数a 的取值范围是（
）．
A．
0,4
B．
0,4
C．
4,
D．
0,
【答案】A
【分析】根据题意，分
0
a
与
0
a
讨论，即可得到结果.
【详解】当
0
a
时，
0
f
x
，符合题意；
当
0
a
时，由
2
0
Δ
4
0
a
a
a
，得0
4
a
．综上所述，
0,4
a
．
故选：A
(3)若函数
2
lg
4
5
f
x
x
x
在
,
1
t t
上单调，则实数t 的取值范围是（
）
A．
1,1
2,4
B．
11
2 4
,
,
C．
,1
2,
D．
, 2
5,
【答案】D
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【分析】由对数函数的定义域可得
, 1
5,
，再根据二次函数的单调性可知
1
1
t 或
5
t
，从而
解出t 的范围．
【详解】由题意可得，
2
4
5
0
x
x
，解得
1
x 或
5
x
.
所以函数
f
x 的定义域为
, 1
5,
.
令
2
4
5
m x
x
x
，函数
m x 的对称轴为
2
x
，且开口向上，
函数
m x 在
5,上单调递增，在
, 1
上单调递减，
由外层函数
lg
y
m
是其定义域内单调递增，
所以要使函数
2
lg
4
5
f
x
x
x
在
,
1
t t
上单调，
则
1
1
t 或
5
t
，
解得
2
t 或
5
t
，则实数t 的取值范围是
, 2
5,
.
故选：D．
(4).已知命题p ：任意
1 ,2
2
x
，使
2
2
2
log
log
3
0
x
m
x
为真命题，则实数m 的取值范围为（
）
A．
,2
B．
, 2
C．
2 2
,
D．
2,
【答案】C
【分析】设
2
log
t
x
，由题意可得任意
1,1
t
，2
3
0
t
mt
恒成立，结合二次函数性质列不等式求m
的取值范围.
【详解】设
2
log
t
x
，则
1,1
t
，
原命题等价于：任意
1,1
t
，使
2
3
0
t
mt
为真命题，
所以
2
3
0
t
mt
max
，其中
1,1
t
设
2
3
1
1
f t
t
mt
t
，则
函数
2
3
f t
t
mt
，
1,1
t
的最大值为
1
f
与
1
f
中的较大者，
所以
1
0
1
0
f
f
，
∴
1
3
0
1
3
0
m
m
，解得2
2
m
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
故选：C.
(5).已知
f
x 是定义在R 上的函数，且
1
f x
关于直线= 1
x 对称.当
0
x
时，
2
1
1
4
2
2
,0
2
2
log
,
2
x
x
f
x
x x
，
若对任意的
,
1
x
m m
，不等式
2
2
f
x
f x
m
恒成立，则实数m 的取值范围是（
）
A．
1 ,0
4
B．1 ,1
2
C．
1,
D．1 ,
2
【答案】D
【分析】结合复合函数的单调性，可知
f
x 在
0,上单调递减，由
1
f x
关于直线= 1
x 对称，可知
f
x
为偶函数，从而可将题中不等式转化为2
2x
x
m
，整理得
2
2
3
(8
2 )
4
0
x
m x
m
对任意的
,
1
x
m m
恒成立，进而结合二次函数的性质，可求出m 的取值范围.
【详解】当0
2
x
时，
2
1
1
4
2
x
f x
，
函数
2
1
1
4
y
x
在
0,2 上单调递减，且
2x
y
是R 上的增函数，
根据复合函数的单调性可知，函数
f
x 在
0,2 上单调递减，且
2
1 2
1
4
2
1
f x
；
当
2
x
时，
2
2
log
f x
x
，易知函数
f
x 在
2,上单调递减，且
2
2
log 2
2
1
f
x
f
.
∴函数
f
x 在
0,上单调递减.
∵
1
f x
关于直线= 1
x 对称，∴
f
x 关于
0
x
对称，即
f
x 为偶函数，
∴不等式
2
2
f
x
f
x
m
可化为
2
2
f
x
f
x
m
，
∴2
2x
x
m
恒成立，
即
2
2
2
2x
x
m
，整理得
2
2
3
(8
2 )
4
0
x
m x
m
，
令
2
2
3
(8
2 )
4
g x
x
m x
m
，
∴对任意的
,
1
x
m m
，
0
g x
恒成立，
∴
2
2
2
2
( )
3
(8
2 )
4
0
(
1)
3(
1)
(8
2 )(
1)
4
0
g m
m
m m
m
g m
m
m m
m
，
即
8
4
0
4
1
0
m
m
，解得
1
2
m
.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
故选：D.
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查学生的推理能力与计算能
力，属于较难题.
练习题
（1）已知
(3
2)
3 ,
1
( )
log
,
1
a
a
x
a x
f x
x x
在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是
.
【答案】1 2
,
3 3
【分析】利用函数的单调性的性质，求得a 的范围，即得所求．
【详解】若函数
(3
2)
3 ,
1
( )
log
,
1
a
a
x
a x
f x
x x
在R 上是单调减函数，
则
3
2
0
0
1
(3
2)
3
0
a
a
a
a
，解得1
2
3
3
a
，
即
1 2
,
3 3
a
，
故答案为：1 2
,
3 3
．
(2).若函数
2
2
log
3
f x
x
ax
a
在区间
2,上是增函数，则实数a 的取值范围是
．
【答案】
4,4
【分析】令
2
3
t
x
ax
a
，由题设易知t 在
2,上为增函数且恒大于零，根据二次函数的性质列不等式
组求a 的取值范围.
【详解】由题设，令
2
3
t
x
ax
a
，而
2
log
y
t
为增函数，
∴要使
( )
f x 在
2,上是增函数，即
2
3
t
x
ax
a
在
2,上为增函数且恒大于零，
2
2
4
0
a
a
，可得4
4
a
，
∴a 的取值范围是
4,4
.
故答案为：
4,4
(3).设函数
1
2
3
49
50
lg
50
x
x
x
xa
f x
，其中a R ，如果不等式
1 lg50
f
x
x
在区间
1,有
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
解，则实数a 的取值范围为
．
【答案】
47
2
a
【分析】根据题意，将原不等式等价变形为：(1
)50
1
2
3
49
x
x
x
x
x
a
，再变量分离得到
1
2
3
49
1
(
)
(
)
(
)
(
)
50
50
50
50
x
x
x
x
a
，原不等式在区间[1，
)
上有解，即1
a
小于右边的最大值．根据指数
函数的单调性得到右边的最大值即可得到实数a 的取值范围．
【详解】不等式
( )
(
1)lg50
f x
x
，即
1
1 2
3
49
50
lg
1 lg50
lg50
50
x
x
x
x
x
a
x
，
原不等式可化为1 2
3
49
50
50
x
x
x
x
x
a
，
移项得(1
)50
1
2
3
49
x
x
x
x
x
a
，
两边都除以50x ，得
1
2
3
49
1
(
)
(
)
(
)
(
)
50
50
50
50
x
x
x
x
a
(*)
不等式
1 lg50
f
x
x
在区间
1,有解，即(*)式的右边的最大值大于1
a
1
2
3
49
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
50
50
50
50
x
x
x
x
g x
在[1,
)
上是一个减函数
当
1
x 时，( )
g x 的最大值为1
2
3
49
1
50
49
49
50
50
50
50
50
2
2
因此
49
1
2
a
，得实数a 的取值范围是
47
2
a
，
故答案为：
47
2
a
(4).已知函数
2
2
log
,0
2,
log
4
,2
4,
x
x
f x
x
x
若
1
2
f a
f
a
，则a 的取值范围是（
）
A．
1
7
0,
2,
2
2
B．
1
7 7
0,
,
2
4 2
C．
17
1
7
0,
2,
4
2
D．
17
1
7 7
0,
,
4
4 2
【答案】D
【分析】作出函数
( )
y
f x
及
1
(
)
2
y
f x
的图象，通过解方程的方法求得函数图象的交点的横坐标，然后
利用数形结合即得.
【详解】画出函数
( )
y
f x
的图象，则函数
( )
y
f x
的图象向左平移1
2 个长度单位，得到函数
1
(
)
2
y
f x
的
图象，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
设两图象交于点
,
A B ，且横坐标分别为
1
2
,
a a ，
由图象可得满足
1
2
f a
f
a
的实数a 的取值范围为
1
2
7
0,
, 2
a
a
，
对于
1a ，由
2
1
2
1
1
log
log (
)
2
a
a
，解得
1
1
1
1
2
a
a
，
所以
2
1
1
2
2
0
a
a
，解得
1
1
17
4
a
或
1
1
17
4
a
（舍去），
对于
2a ，由
2
2
2
2
1
log
log
4
2
a
a
，解得
2
7
4
a
，
综上，可得实数a 的取值范围为
17
1
7 7
0,
,
4
4 2
．
类型四对数函数的综合应用
例4（1）.设
f
x 是定义在R 上的偶函数，对任意的xR ，都有
2
2
f x
f x
，且当
2,0
x
时，
1
1
2
x
f
x
．若在区间
2,6
内关于x 的方程
log
2
0(
0,
1)
a
f x
x
a
a
，恰有3 个不同的实数根，
则实数a 的取值范围是
．
【答案】
3 4,2
【分析】依题意，
( )
f x 是周期为4 的周期函数，
log
2
0
0,
1
a
f x
x
a
a
有3 个不同的实数根，所
以
( )
f x 与
log
2
a
g x
x
在区间( 2,6]
上有3 个交点，其中
1
a ，由此画出
( )
f x ，( )
g x 在区间( 2,6]
上
的图象，由图列出不等式求解即可.
【详解】依题意，
( )
f x 是偶函数，图象关于y 轴对称.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
对任意的xR ，都有
(
2)
(
2)
f x
f x
，故
( )
(
4)
f x
f x
，
所以
( )
f x 是周期为4 的周期函数.
log
2
0
0,
1
a
f x
x
a
a
有3 个不同的实数根，
所以
( )
f x 与
log
2
a
g x
x
在区间( 2,6]
上有3 个交点，其中
1
a （0
1
a
时不符合题意）.
由此画出
( )
f x ，( )
g x 在区间( 2,6]
上的图象如下图所示，
由图可知
3
3
3
log 4
(2)
(2)
log
log 4
3
log 8
(6)
(6)
log
log 8
a
a
a
a
a
a
f
g
a
f
g
a
，
解得
3
4
8
a
，即3 4
2
a
.
则实数a 的取值范围是
3 4,2 .
故答案为：
3 4,2 .
(2)设0
a
b
，若函数
2
log
1 ,
,
y
x
x
a b
的值域为
0,1 ，则a
b
的取值范围是
.
【答案】
3,6
【分析】根据函数图像，分析函数的单调性，结合题目中函数的值域为
0,1 ，分析特殊点的横坐标，分类
讨论即可得解.
【详解】作出函数图像，
根据题意
2
( )
log
1
0
y
f x
x
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
得
2
x
，
令
2
( )
log
1
1
y
f x
x
，
解得
1
x 或
4
x
，
所以结合0
a
b
①若
2
a
，则不合题意，舍去，
②若
2
a
，则
4
b
，此时
6
a
b
；
③若1
2
a
，则
4
b
，此时5
6
a
b
；
④若
1
a ，则2
4
b
，3
5
a
b
综上所述，3
6
a
b
，
故答案为：
3,6
（3）.已知函数
f
x 在定义域D 上是严格增函数.
(1)若
2
2
1
f
x
x
x
，求
f
x 的值域；
(2)若
1
2
2
4
1
log
,
,
(0
4)
2
1
4
x
x
x
f x
D
t t
t
x
的值域为
,
m n ，求m
n
的值；
(3)若
0,
D
，且对定义域D 内任意自变量x 均有
1
1
f
x
f
f
x
x
成立，试求
f
x 的解析式.
【答案】(1)[
2,2]
；
(2)4；
(3)
1
5
2
f
x
x
.
【分析】（1）先求出函数的定义域，然后根据函数的单调性可求出函数的最值，从而可求出函数的值域；
（2）根据函数在D 上是严格增函数，可得
1
2
2
4
1
log
2
1
4
t
t
t
m
f
t
t
，
1
2
2
4
1
log
2
1
4
t
t
t
n
f t
t
，
然后相加化简可得答案；
（3）由已知可得
1
1
1
( )
( )
1
1
( )
f
f x
f
f
f x
x
x
f x
x
，则有
1
1
( )
1
( )
f
f
f x
f x
x
f x
x
，再
根据其单调性和已知条件可得
1
1
1
( )
x
f
x
f x
x
，从而可求出
f
x 的解析式.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【详解】（1）由
2
2
0
1
0
x
x
，解得1
1
x
，
因为
2
2
y
x
和
1
y
x
在[ 1,1]
上均为增函数，
所以
2
2
1
f
x
x
x
在[ 1,1]
上为增函数，
所以
min
( )
( 1)
2
2
1 ( 1)
2
f x
f
，
max
( )
(1)
2
2
2
f x
f
，
所以
f
x 的值域为[
2,2]
；
（2）因为
1
2
2
4
1
log
,
,
(0
4)
2
1
4
x
x
x
f x
D
t t
t
x
的值域为
,
m n ，且
f
x 在定义域D 上是严格增
函数，
所以
1
2
2
4
1
log
2
1
4
t
t
t
m
f
t
t
，
1
2
2
4
1
log
2
1
4
t
t
t
n
f t
t
，
所以
(
)
( )
m
n
f
t
f t
1
1
2
2
2
4
2
4
1
log
1
log
2
1
4
2
1
4
t
t
t
t
t
t
t
t
1
2
2
2
4
4
2
log
2
1
2
1
4
4
t
t
t
t
t
t
t
2
2(2
1)
2
log
2
1
1
t
t
2
2
4
；
（3）因为对定义域D 内任意自变量x 均有
1
1
f
x
f
f
x
x
成立，
所以
1
1
1
( )
( )
1
1
( )
f
f x
f
f
f x
x
x
f x
x
，
所以
1
1
1
( )
( )
1
( )
f x
f
f x
f
f
f x
f x
x
x
f x
x
，
所以
1
1
( )
1
( )
f
f
f x
f x
x
f x
x
，
因为函数
f
x 在定义域D 上是严格增函数，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
所以
1
1
( )
1
( )
f
f x
x
x
f x
x
，
所以
1
1
1
( )
x
f
x
f x
x
，
所以
2
1
1
f
x
f
x
xf
x
f
x
xf
x
f
x
x
x
，
所以
2
1
0
xf
x
f
x
x
，解得
1
5
2
f
x
x
，
因为函数
f
x 在定义域D 上是严格增函数，
所以
1
5
2
f
x
x
.
练习题
（1）设方程
3
lg
x
x
的两个根为
1
2
,
x x ，则(
)
A．
1
2
0
x x
B．
1
2
1
x x
C．
1
2
1
x x
D．
1
2
0
1
x x
【答案】D
【分析】由已知，画出函数
3x
y
和
lg
y
x
的图像，结合图像，确定两函数图像交点横坐标
1
2
,
x x 的范围
以及满足的等量关系，然后化简整理即可确定
1
2
x x 的范围.
【详解】由已知，分别画出函数
3x
y
和
lg
y
x
的图像如图，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
由图像可知方程
3
lg
x
x
的两根为
1
2
,
x x ，
不妨设
1
2
x
x
，则两根满足是
1
2
2
1, 1
0
x
x
，
1
1
1
3
lg
lg
x
x
x
，①
2
2
2
3
lg
lg
x
x
x
，②且
1
2
3
3
x
x
，
①②得
1
2
1
2
1
2
3
3
lg
lg
lg
x
x
x
x
x x
，
1
2
3
3
x
x
，
1
2
1
2
lg
3
3
0
x
x
x x
，
即
1
2
0
1
x x
.
故选:D.
(2)（多选题）已知函数
5
2
3
ln
1
3
f x
x
x
x
，函数
g x 满足
6
g
x
g x
，则（
）
A．
1
lg3
lg
3
3
f
f
B．函数
f x
g x
的图象关于点
0,6 中心对称
C．若实数a 、b 满足
6
f a
f b
，则
0
a
b
D．若函数
f
x 与
g x 图象的交点为
1
1
2
2
3
3
n
n
x y
x
y
x
y
x
y
,
,
,
,
,
, ,
,
，则
1
1
2
2
3
N*
n
n
x
y
x
y
x
y
n n
【答案】BD
【分析】计算得出
6
f
x
f x
，可判断A 选项；利用函数对称性的定义可判断B 选项；举出反例，
可判断C 选项；利用函数的对称性可判断D 选项.
【详解】对任意的xR ，
2
1
0
x
x
x
x
，
所以函数
5
2
3
ln
1
3
f x
x
x
x
的定义域为R ，
因为
5
5
2
2
3
3
ln
1
3
ln
1
3
f
x
f x
x
x
x
x
x
x
2
2
ln
1
6
6
x
x
，
所以
1
lg3
lg
lg3
lg3
6
3
f
f
f
f
，故A 错误；
因为
6
g
x
g x
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
所以
12
f
x
g
x
f x
g x
，
所以函数
f x
g x
的图象关于点
0,6 中心对称，故B 正确；
对于C，由
1
ln
2
1
4
4,
0
3
f
f
，
则
1
0
6
f
f
，此时1 0
1
6
，故C 错误；
对于D 选项，由上可知，函数
f
x 与
g x 图象都关于点
0,3 对称，
若函数
f
x 与
g x 图象的交点个数为偶数，
且
1
1
,
x
y
与
,
n
n
x
y
，
2
2
,
x
y
与
1
1
,
,
n
n
x
y
都关于点
0,3 对称，
所以
1
2
1
1
2
1
0,
6
n
n
n
n
x
x
x
x
y
y
y
y
，
所以
1
1
2
2
6
3
N*
2
n
n
n
x
y
x
y
x
y
n n
，
若函数
f
x 与
g x 图象的交点个数为奇数，
且
1
1
,
x
y
与
,
n
n
x
y
，
2
2
,
x
y
与
1
1
,
,
n
n
x
y
都关于点
0,3 对称，
则
1
1
2
2
0,
3
n
n
x
y
，且
1
2
1
1
2
1
0,
6
n
n
n
n
x
x
x
x
y
y
y
y
，
所以
1
1
2
2
1
6
3
3
N*
2
n
n
n
x
y
x
y
x
y
n n
，
故D 正确.
故选：BD.
（3）已知函数
3
2
ln
1
3
f
x
x
x
x
，
[ 2023,2023]
x
的最大值为M ，最小值为m ，则
M
m
.
【答案】6
【分析】构造
( )
( )
3
g x
f x
，定义判断奇偶性，利用对称性有
max
min
( )
( )
0
g x
g x
，即可求结果.
【详解】令
3
2
( )
( )
3
ln
1
g x
f x
x
x
x
，且xR ，
3
2
3
2
3
2
( )
(
)
ln[ (
)
1
(
)]
ln(
1
)
ln(
1
)
( )
g x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
g x
，
所以( )
g x 为奇函数，且在
[ 2023,2023]
x
上连续，
根据奇函数的对称性：( )
g x 在
[ 2023,2023]
x
上的最大、最小值关于原点对称，
则
max
min
( )
( )
3
3
0
g x
g x
M
m
，故
6
M
m
.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
故答案为：6
（4）已知函数
1
2
2
x
x
f x
．
(1)用定义法证明
f
x 在
0,
上单调递增；
(2)求不等式
2
1
2
f
x
f x
的解集；
(3)若
1
3.5,4
x
，对
2
0,
x
使不等式
2
2
1
1
2
2
log
2
4
1
2
x
x
m
f
x
m f
x
成立，求实数m
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
1
{ |
3
x x
或
3}
x
(3)
8 8
,
9 9
【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性；
（2）利用奇偶性和单调性解不等式；
（3）令
2
2
log
2
4
x
x
x
，利用复合函数法求出max
2
x
，转化为
2
2
2
1
2
m
f
x
m f
x
恒
成立，即
2
2
2
2
2
2
4
4
2
2
4
4
2
x
x
x
x
x
x
m
，
2
0
x
，利用分离参数法和换元法转化为
2
2
,
2
2
t
m
t
t
t
恒成立.令
2
2
1
1
h t
t
t
，利用二次函数的性质求出
h t 的最大值，进而求出m 的取
值范围．
【详解】（1）设
1
2
0
x
x
，
则
2
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
2
x
x
x
x
f x
f x
，
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
1
1
2 2
1
2
2
2
2
2
2
2 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，
1
2
0
x
x
，
2
2
1
x
，
1
2
1
x ，
2
1
2
2
0
x
x
,
2
1
2 2
1
x
x
2
1
0
f x
f x
，
2
1
f x
f x
，
故
f
x 在
0,
上单调递增．
（2）由于
f
x
f x
，所以
f
x 是偶函数，且在
0,
上单调递增，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
2
1
2
2
1
2
f
x
f x
x
x
，
两边同时平方可得
2
3
8
3
0
x
x
，
解得
1
3
x
或
3
x
所以原不等式的解集为
1
{ |
3
x x
或
3}
x
．
（3）由于
1
3.5,4
x
，使得
2
2
1
1
2
2
log
2
4
1
2
x
x
m
f
x
m f
x
成立，
令
2
2
log
2
4
x
x
x
，可知
max
2
2
( )
1
2
x
m
f
x
m f
x
，
由于
2
log
y
t
单调递增，
2
2
4
t
x
x
，t 在
3.5, 4 上单调递增，则由复合函数单调性知
函数
x
在
3.5,4 上单调递增，
4
2
x
，
故
2
2
2
1
2
m
f
x
m f
x
，
即
2
2
2
2
2
2
4
4
2
2
4
4
2
x
x
x
x
x
x
m
，
2
0
x
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
m
，
令
2
2
2
2
x
x
t
，则
2
2
2 2 2
2
x
x
t
，当
2
0
x
时等号成立，
则
2
2
2
m t
t
t
，
则
2
2
2
1
2
1
2
1
t
m
t
t
t
t
，
令
2
2
2
1
1
1
9
1
2
2
4
8
h t
t
t
t
t
，
所以当
4
t
时，
h t 取得最大值9
8 ，
则
8
8
8
9
9
9
m
m
，
即m 的取值范围为
8 8
,
9 9
．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数
,
,
y
f x
x
a b
，
,
,
y
g x
x
c d
（1）相等关系
记
,
,
y
f x
x
a b
的值域为A,
,
,
y
g x
x
c d
的值域为B,
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
①若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
=
f x
g x
成立，则有A
B
；
②若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
=
f x
g x
成立，则有A
B
；
③若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
=
f x
g x
成立，故A
B
；
（2）不等关系
①若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，总有
1
2
f x
g x
成立，故
2
max
min
f x
g x
；
②若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
2
max
max
f x
g x
；
③若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
2
min
min
f x
g x
；
④若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
2
min
max
f
x
g x
．
（5）已知函数
log
log
2
(
0
1)
m
m
f x
x
m
x
m
m
m
且
.
(1)当
1
2
m
时，解不等式
2
log 5
0
f x
；
(2)若对于任意的
3 ,4
x
m m
，都有
( )
1
f x ，求实数m 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在
5
,
,
2
m
，使
f
x 在区间[，β]上的值域是
log
,log
m
m
？若
存在，求实数m 的取值范围:若不存在，说明理由.
【答案】(1)
1
3
x
x
(2) 1
1
2
m
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据对数函数性质把对数不等式化为一元二次不等式后求解，注意对数函数的定义域；
（2）根据对数函数性质求得
( )
f x 在[3 ,4 ]
m
m 上的最大值
max
( )
f x
，由
max
( )
1
f x
可得；
（3）由对数函数单调性问题转化为一元二次方程在5
(
,
)
2
m 上有两个不等实根，由一元二次方程根的分布
知识求解可得．
【详解】（1）∵
1
2
m
∴
1
1
2
2
1
log
log
1
2
f x
x
x
的定义域为（1，+∞）.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
由
1
2
1
1
2
2
2
1
1
1
log
1
log 5
log
1
log
0
2
2
5
x
x
x
x
，
化简得
1
1
5
2
x
x
，解得
3
3
2
x
，又
1
x ，
∴所求不等式的解集为
1
3
x
x
.
（2）对于任意的
3 ,4
x
m m
，都有
( )
1
f x ，等价于
max
( )
1
f x
，
∵
2
2
log
2
log
3
2
(
[3 ,4 ])
m
m
f
x
x
m
x
m
x
mx
m
x
m
m
设
2
2
2
2
3
3
2
3 ,4
2
4
m
t
x
mx
m
x
m
x
m
m
则t 在[3 ,4 ]
m
m 上是增函数，下面按照
logm
y
t
的单调性分类讨论:
当0
1
m
时，
( )
f x 在[3 ,4 ]
m
m 上递减，则
2
max
3
log
2
1
m
f
x
f
m
m
，解得1
1
2
m
，
当
1
m
时，( )
f x 在[3 ,4 ]
m
m 上递增，则
2
max
4
log
6
1
m
f
x
f
m
m
，解得
1
0
6
m
与
1
m
矛盾，故
舍去.
综上，1
1
2
m
.
（3）∵1
1
2
m
，
∴
( )
f x 在( 5
2
m ,+∞)上递减，
∴
log
log
m
m
f
f
，即
2
2
a
m
a
m
m
m
，即关于x 方程
2
x
m
x
m
x
在( 5
2
m ,+∞)上有两个不等的
实根，
设
2
2
2
3
1
2
h x
x
m
x
m
x
x
m
x
m
，
则
2
2
1
1
2
Δ
(3
1)
8
0
3
1
5
2
2
5
(
)
0
2
m
m
m
m
m
m
h
，即
2
1
1
2
6
1
0
1
2
10
3
m
m
m
m
m
m
．
综上，不存在这样的α，β满足条件.
【点睛】结论点睛：一元二次方程根的分布：
2
0
ax
bx
c
(
0)
a
，记
2
( )
f x
ax
bx
c
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
（1）方程
2
0
ax
bx
c
的两根都大于m
Δ
0
2
( )
0
b
m
a
f m
；
（2）方程
2
0
ax
bx
c
的两根都小于m
Δ
0
2
( )
0
b
m
a
f m
；
（3）方程
2
0
ax
bx
c
的一根大于m ，一根小于m
( )
0
f m
；
（4）方程
2
0
ax
bx
c
的两根都都在区间( , )
m n 上
Δ
0
2
( )
0
( )
0
b
m
n
a
f m
f n
．
类型五能力提升创新题
(1).已知正数, ,
a b c 满足, ,
1,
a b c
a
b
c
，且a
b
c
，记
log
,
log
x
x
x
x
c
b
m
a
b
n
c
a
，现有如下说法：
（1）若
, ,
1,
a b c
，则
1,
x
，都有m
n
x
；
（2）若
, ,
1,
a b c
，则
0,1
x
，都有n
x
m
；
（3）若
, ,
1,
a b c
，则
0,
x
，都有m
x
n
x
m
n
；
（4）若
, ,
0,1
a b c
，则
1,
x
，都有n
x
m
x
m
n
．
则正确说法的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据题意，构造函数
f x
m
x
可得其单调性，得到m
x
，同理可得
g x
n
x
的单调性，即
可判断①②，然后由其推论，即可判断③④.
【详解】令
log
log
log
x
x
x
x
x
c
c
c
a
b
m
x
a
b
c
f x
c
c
，因为
x
x
a
b
y
c
c
在定义域上单调
递减，
logc
y
x
在定义域上单调递增，故
f
x 在
1,上单调递减，故
1
log 1
0
c
f
x
f
，故
0
m
x
，
即m
x
；
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
令
log
log
log
x
x
x
x
x
b
b
b
c
a
n
x
c
a
b
g x
b
b
，
因为
x
x
c
a
y
b
b
在定义域上单调递增，
logb
y
x
在定义域上单调递增，故
g x 在
1,上单调递增，
故
1
log 1
0
b
g x
g
，故
0
n
x
，即n
x
．综上所述，若
, ,
1,
a b c
，则
1,
x
，都有
1
m
x
n
，故①错误；同理可得，②正确；
若
1
x ，则
0
m
x
n
x
m
n
；若
1
x ，由①的推论可知，
1
n
x
m
，则n
x
m
n
，而
m
x
x
n
x
c
b
c
b
a
，故
m
x
x
n
m
x
c
b
c
b
b
b
，则
m
x
x m
n x
c
c
b
b
b
b
，故
x m
n x
b
b
，故0
x
m
n
x
，
故m
x
n
x
m
n
；若0
1
x
，同理可得，m
x
n
x
m
n
；
故若
, ,
1,
a b c
，则
0,
x
，都有m
x
n
x
m
n
，当且仅当
1
x 时等号成立，则③正确；
同理可得，④正确．
故选：C．
(2).（多选题）已知正数a，b，c 满足, ,
1
a b c ，a
b
c
，且a
b
c
，记
log
x
x
c
m
a
b
，
log
x
x
b
n
c
a
，
则下列说法正确的是（
）
A．若
, ,
1,
a b c
，则
1,
x
，都有m
n
x
B．若
, ,
1,
a b c
，则
0,1
x
，都有n
x
m
C．若
, ,
1,
a b c
，则
0,
x
，都有m
x
n
x
m
n
D．若
, ,
0,1
a b c
，则
1,
x
，都有n
x
m
x
m
n
【答案】BCD
【分析】对于选项
,
A B ，用m 与x 作差，n 与x 作差，根据差式，构造新函数，根据复合函数单调性判断规
则即可求解；对于选项
,
C D ，讨论x 的范围，再构造指数不等式，根据指数函数单调性即可判断.
【详解】令
log
log
log
x
x
x
x
x
c
c
c
a
b
m
x
a
b
c
f
x
c
c
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
因为
x
x
a
b
y
c
c
在定义域上单调递减，
logc
y
x
在定义域上单调递增，
故
f
x 在
1,上单调递减，
故
1
log 1
0
c
f
x
f
，
故
0
m
x
，即m
x
；
令
log
log
log
x
x
x
x
x
b
b
b
c
a
n
x
c
a
b
g x
b
b
，
因为
x
x
c
a
y
b
b
在定义域上单调递增，
logb
y
x
在定义域上单调递增，
故
g x 在
1,上单调递增，
故
1
log 1
0
b
g x
g
，
故
0
n
x
，即n
x
.
综上所述，若
, ,
1,
a b c
，则
1,
x
，都有1
m
x
n
，故A 错误；
同理可得，B 正确；
若
1
x ，则
0
m
x
n
x
m
n
；
若
1
x ，由①的推论可知，
1
n
x
m
，则n
x
m
n
，
而
m
x
x
n
x
c
b
c
b
a
，
故
m
x
x
n
m
x
c
b
c
b
b
b
，则
m
x
x m
n x
c
c
b
b
b
b
，
故
x m
n x
b
b
，故0
x
m
n
x
，
故m
x
n
x
m
n
；
若0
1
x
，同理可得，m
x
n
x
m
n
；
故若
, ,
1,
a b c
，则
0,
x
，都有m
x
n
x
m
n
，
当且仅当
1
x 时等号成立，则C 正确；
同理可得，D 正确.
故选：BCD.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【点睛】本题考查指对数函数的图象与性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.
(3).已知函数
( )
y
f x
，若在定义域内存在实数x，使得
(
)
( )
f
x
f x
，则称函数
( )
y
f x
为定义域上的局部
奇函数．若函数
3
( )
log (
)
f x
x
m
是[ 2,2]
上的局部奇函数，则实数m 的取值范围是
．
【答案】2, 5
【分析】有函数有意义，及局部奇函数的定义，列出不等式求解.
【详解】由
3
( )
log (
)
f x
x
m
是
2 2
, 上的局部奇函数，所以
0
x
m
在
2 2
, 上恒成立，所以
2
0
m
，
即m>2 ，
由局部奇函数的定义，存在
2,2
x
，使得
3
3
log (
)
log (
)
x
m
x
m
，
即存在
2,2
x
，使得
2
2
3
3
3
log (
)
log (
)
log (
)
0
x
m
x
m
m
x
，
所以存在
2,2
x
，使得
2
2
1
m
x
，即
2
2
1
m
x
，
又因为
2,2
x
，所以
2
1
1,5
x
，所以
2
1,5
m
，即
5, 1
1, 5
m
，
综上
2, 5
m
.
故答案为：2, 5.
【点睛】关键点点睛：本题注意隐含条件，
3
( )
log (
)
f x
x
m
是
2 2
, 上的局部奇函数，必须
3
( )
log (
)
f x
x
m
在
2 2
, 上有意义恒成立.
(4).某中学高一学生组建了数学研究性学习小组．在一次研究活动中，他们定义了一种新运算“”：
ln e
e
x
y
x
y
（e 为自然对数的底数，e
2.718
），x ，y R ．进一步研究，发现该运算有许多奇妙的
性质，如：x
y
y
x
，
x
y
z
x
y
z
等等．
(1)对任意实数a ，b ，c ，请判断
a
b
c
a
c
b
c
是否成立？若成立请证明；若不成立，请举反
例说明．
(2)若
2
a
tx
（
0
t
），
1
b
x
，
2
2
c
tx
，
2
ln e
1
f
x
a
b
b
c
．定义闭区间
1
2
,
x x （
1
2
x
x
）
的长度为
2
1
x
x
，若对任意长度为1 的区间D ，存在m ，n
D
，
1
f m
f n
，求正数t 的最小值．
【答案】(1)成立，证明见解析
(2)4
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【分析】（1）根据新定义以及对数运算证得
a
b
c
a
c
b
c
成立.
（2）先求得
f
x 的解析式，结合差比较法列不等式，由此求得t 的取值范围，进而求得正数t 的最小值.
【详解】（1）由定义得：
ln e
e
a
b
a
b
，
∴
ln e
e
a
b
b
c
a
．
∵
ln e
e
ln
e
e
e
ln e
e
ln e
ln e
e
a c
b c
a
b
c
a
b
c
a
b
a
c
b
c
c
．
∴
a
b
a
c
b
c
．
（2）
2
2
1
3
ln e
e
ln e
e
a b
b c
tx
x
tx
x
a
b
b
c
2
2
1
2
1
2
ln e
1
e
ln e
ln e
1
tx
x
tx
x
，
∴
2
1
2
ln e
1
tx
x
f
x
tx
x
（
0
t
）．
∴
2
1
f
x
tx
x
开口向上，对称轴为：
1
2
x
t
．
∵
2
1
1
x
x
，根据二次函数的对称性不妨设
1
2
1
x
x
t
，
当
1
1
2
x
t
时，
f
x 在
1
2
,
x x
内单调递增，
则
2
2
2
1
2
2
1
1
1
1
f x
f x
tx
x
tx
x
2
2
1
1
1
1
1
2
1
1
t
x
x
tx
t
，即
1
2
1
1
2
t
t
t
，可得
1
t ．
当
1
1
2
x
t
，即
2
1
2
x
t
时，
f
x 在
1
1
,
2
x
t
内单调递减，
2
1 ,
2
x
t
内单调递增．
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
4
2
f
x
f
tx
x
t x
t
t
t
，
由
2
1
1
2
1
1
x
x
x
x
t
，则
2
2
2
1
1
2
1
x
x
x
t
，即
2
1
1
2
2
x
t
，故
2
2
1
1
2
4
x
t
．
∴1
1
4 t ，
4
t
，
∴正数t 的最小值为4．
【点睛】关键点点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归
与转化的数学思想方法，将不熟悉的问题，转化为熟悉的问题来进行求解.如本题中的新定义运算，涉及的
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
是对数运算以及指数运算.
(5).定义一种新的运算“”：
,x y
R ，都有
lg 10
10
x
y
x
y
.
(1)对于任意实数a，b，c，试判断
a
b
c
与
a
c
b
c
的大小关系；
(2)若关于x 的不等式
2
2
2
2
2
1
lg2
x
a x
a x
的解集中的整数恰有3 个，求实数a 的取值范围；
(3)已知函数
lg
4
4
2
3
lg2
f x
x
x
x
，
1
g x
x
x
，若对任意的
1
R
x
，总存在
2
3
2
x
,
，使得
1
2
lg 3
2
g x
m
f
x
，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
a
b
c
a
c
b
c
(2)
3
4
2
3
a
或4
3
3
2
a
(3)
4
8
3
3
m
且
2
3
m
【分析】（1）根据题意，由函数新定义运算即可得解；
（2）由函数新定义运算即可得解，再利用函数零点的概念解不等式即可；
（3）用换元法可判断出
lg 2
f
x
，先由
1
(
)
lg 3
2
g x
m
f
x
的值域为
lg 3
2
lg 2,
A
m
，可得
出
g x 的值域为
lg12,
B
，再由B
A
可解得实数m 的取值范围.
【详解】（1）
,x y
R ，
lg 10
10
x
y
x
y
lg 10
10
a
b
a
b
c
c
，
lg 10
10
lg 10
10
10
a c
b c
c
a
b
a
c
b
c
lg 10
10
a
b
c
a
b
c
a
c
b
c
（2）
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
lg 10
10
lg 2 10
lg 2
a x
a x
a x
a x
a x
a x
原不等式可化为：
2
2
2
1
x
a x
，即
2
2
1
2
1
0
a
x
x
，
为满足题意，必有
2
1
0
a
，即
1
a 或
1
a ①
令
2
2
1
2
1
h x
a
x
x
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
由于
0
1
0
h
，
2
1
h
a
，结合①可得：1
0
h
，
h x 的一个零点在区间
0,1 ，另一个零点在区间
3, 2
，
从而
3
0
2
0
h
h
，即
2
2
2
2
1
3
2
3
1
0
1
2
2
2
1
0
a
a
②
由①②可得：
3
4
2
3
a
或4
3
3
2
a
（3）
lg
4
2
3
f x
x
x
，
lg 10
10
10
x
x
g x
设
4
2
3
t
x
x
，
3 ,
2
x
令
2
3
x
r
，
0,
r
，则
2
1
3
2
x
r
，
2
2
2
1
1
5
1
3
4
1
2
2
2
2
2
2
t
r
r
r
r
r
，
lg 2
f
x
，
1
(
)
lg 3
2
g x
m
f
x
的值域为
lg 3
2
lg 2,
A
m
10
10
10
2 10
10
10
12
x
x
x
x
，
lg12
g x
g x 的值域为
lg12,
B
根据题意可知：B
A
，lg 3
2
lg 2
lg12
m
解之得：
4
8
3
3
m
且
2
3
m
【点睛】关键点睛：理解函数新定义，用对数运算知识得出函数解析式是关键，从而用函数的性质、不等
式的性质以及零点的概念解之.
1.已知定义在R 上的函数
f
x 满足：
( )
0
f
x
f x
，
2
( )
f
x
f x
，当0
1
x
时，
2
1
x
f x
，则
2
log 2023
f
（
）
A．
25
2048
B．
999
1024
C．
1024
2023
D．
512
999
【答案】B
【分析】由题意，可得函数的对称性，进而得到周期性，整理函数值，可得答案.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【详解】
0
f
x
f x
，
( )
f
x
\
为奇函数，即图象关于原点对称，
2
f
x
f x
，
( )
f
x
\
的图象关于直线
1
x 对称，
则函数
f
x 的周期
4
1 0
4
T
，由
2
10
log 2023
11
，
则
2
0
log 2023 10
1
，即
2
2023
0
log
1
1024
，
则
2
2
2
2023
2023
log 2023
log
10
log
2
1024
1024
f
f
f
，
由
2
2
f
x
f x
f x
，则
2
f x
f x
，
即
2
2023
log 1024
2
2
2023
2023
2023
999
log
2
log
2
1
1
1024
1024
1024
1024
f
f
，
故选：B.
2.函数
( )
f x 的定义域为D，若满足：①在D 内是单调函数；②区间[ , ]
a b
D
，使
( )
f x 在[ , ]
a b 上的值域是
,
2 2
a b
，那么
( )
y
f x
就称为“和谐函数”，若函数
( )
log
x
c
f x
c
t (
0
1)
c
c
，
是“和谐函数”，则t 的取
值范围是（
）
A．(0,
)
B．
1
, 4
C．1 ,
4
D．
1
0, 4
【答案】D
【分析】因为
( )
log (
)(
0,
1)
x
c
f x
c
t c
c
是“和谐函数”，所以由题意
1
log (
)
2
x
c c
t
x
有两个不相等的实数根，
即
2
0
x
xc
c
t
有两个不相等的实数根，由此即可求出t 的取值范围．
【详解】解：由题意，因为
( )
log (
)(
0,
1)
x
c
f x
c
t c
c
是“和谐函数”，
所以
( )
f x 在其定义域内为增函数，且
( )
f x 在[ , ]
a b 上的值域是
,
2 2
a b
，
( )
2
( )
2
a
f a
b
f b
，即
log (
)
2
log (
)
2
a
c
b
c
a
c
t
b
c
t
，
1
log (
)
2
x
c c
t
x
有两个不相等的实数根，即
2
0
x
xc
c
t
有两个不相等的实数根，
令
2
x
a
c
，则
0
a
，
2
0
a
a
t
有两个不相等的正实数根，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
1
4
0
0
t
t
，解得
1
0, 4
t
．
故选：D．
3.函数
f
x 在
,
单调递减，且为奇函数.
1
3
f
，则满
3
3 ln
1
0
2
f
x
x
的x 取值范围是
（
）
A．
1
1,0
,
2
B．
3
1,0
,
2
C．
3
0,
3,
2
D．
1,
【答案】A
【分析】根据函数的单调性，奇偶性以及
1
3
f
可解不等式组
3
3
2
ln
1
0
f
x
x
或
3
3
2
ln
1
0
f
x
x
，分别解两
个不等式组即可得出结论.
【详解】由已知，使不等式成立的x 满足
3
3
2
ln
1
0
f
x
x
或
3
3
2
ln
1
0
f
x
x
，
因为
f
x 为奇函数.且
1
3
f
，所以
1
3
f
，
将
f
x 的图象右移3
2 个单位后，由
3
3
2
f
x
得
1
2
x
，
又
ln
1
0
x
得0
1 1
x
，即1
0
x
，
所以满足
3
3
2
ln
1
0
f
x
x
的x 范围为1
0
x
，
同理，满足
3
3
2
ln
1
0
f
x
x
的x 范围为
1
2
x
.
综上，x 的取值范围为
1
1,0
,
2
，
故选：A.
【点睛】关键点睛：通过函数的单调性，奇偶性，以及
1
3
f
，从而解出
3
3
2
f
x
得
1
2
x
，以及
ln
1
0
x
得1
0
x
，是解题关键.本题考查函数的基本性质的综合应用，属于较难题.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
4.若
ln3
ln 2
a
，
ln 2
ln3
b
，
ln3 ln 2
c
，则（
）
A．a
c
b
B．a
b
c
C．< <
b c a
D．b
a
c
【答案】B
【分析】根据对数的运算性质可得
1
1
0,
,
,1
2
2
a
b
，即可得a
b
，由作差法即可判断b
c
.
【详解】
3
9
1
1
ln3
ln 2
ln
ln
ln
e
,
0,
2
4
2
2
a
a
，
ln 2
ln
3
1
1
,
,1
ln3
ln3
2
2
b
b
，故a
b
，
2
ln 2
ln3 ln 2
ln 2
ln3
ln 2
,
ln3
ln3
ln
l
3
1
1
n 3
b
c
由于1
ln 2
0,ln 3
1
，所以
2
1 ln 3
ln 2
0
ln3
b
c
，故b
c
，
因此a
b
c
，
故选：B
5.已知函数
2
3
1
ln
1
1
f x
x
x
x
且
2
3
2
f
a
f
a
，则实数a 的取值范围为（
）
A．
1,
B．
3,
C．3 ,
2
D．
4,
【答案】B
【分析】易知函数
1
g x
f x
为奇函数，且在R 上为增函数，则
2
3
2
f
a
f
a
可化为
2
3
g
a
g
a
，则2
3
a
a
即可解得a 的范围.
【详解】函数
2
3
1
ln
1
1
f x
x
x
x
，定义域为
0
x
，
满足
2
2
3
3
1
1
ln
1
1
ln
1
1
f
x
x
x
x
x
x
x
，
∴
2
f x
f
x
，令
1
g x
f x
，∴
0
g x
g
x
，∴
g x 为奇函数，
2
3
2
2
3
0
2
3
f
a
f
a
g
a
g
a
g
a
g
a
，
∵函数
2
ln
1
y
x
x
，
3
1
1
y
x
在
0,
均为增函数，
∴
2
3
1
ln
1
1
f x
x
x
x
在
0,
为增函数，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
∴
g x 在
0,
为增函数，
∵
g x 为奇函数，∴
g x 在R 为增函数，∴2
3
a
a
，解得
3
a .
故选：B.
6.已知
1
2
,
x x 是函数
( )
| ln
|
x
f x
e
x
的两个零点，则（
）
A．
1
2
1
1
x x
e＜
＜
B．
1
2
1
x x
e
C．
1
2
1
10
x
x
D．
1
2
10
e
x x
【答案】A
【分析】将问题转化为函数
x
y
e
与
| ln
|
y
x
的图象的交点问题，设两函数图象的交点
1
1
2
2
,
ln
,
,ln
A x
x
B x
x
，然后设法得出
1
2
x x 的表达式去分析.
【详解】
( )
| ln
| 0
| ln
|
x
x
f x
e
x
e
x
，在同一直角坐标系中作出
x
y
e
与
| ln
|
y
x
的图象，
设两函数图象的交点
1
1
2
2
,
ln
,
,ln
A x
x
B x
x
，
则
1
0
ln
1
x
，即
1
1
ln
0
x
，
又
2
0
ln
1
x
，
所以，
1
2
1
ln
ln
1
x
x
，即
1
2
1
ln
1
x x
，
所以
1
2
1
x x
e
e
①；
又
1
2
ln
ln
x
x
，故
1
2
ln
0
x x
，即
1
2
1
x x ②，
由①②得：
1
2
1
1
x x
e
，
故选：A.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
7.定义域是R 上的函数
f
x 满足
2
2
f x
f x
，当
0,2
x
时，
2
2
,
0,1
log
,
1,2
x
x x
f
x
x x
，若
4, 2
x
时，
1
4
2
t
f
x
t
有解，则实数t 的取值范围是（
）
A．
2,0
0,1
B．
2,0
1,
C．
2,1
D．
, 2
0,1
【答案】B
【分析】由题可得
min
1
4
2
t
f x
t
，结合条件求分段函数的最值，然后解不等式即得.
【详解】∵
2
2
f x
f x
，
∴
1
( )
(
2)
2
f x
f x
，
当
4, 2
x
时，
4
0,2
x
，
∴
2
2
1 (
7
12), 4
3
1
1
4
( )
(
2)
(
4)
1
2
4
log (4
), 3
2
4
x
x
x
f x
f x
f x
x
x
,
当4
3
x
时，
2
2
1
1
7
(
7
12)
4
4
1
1 ,0
1
2
6
16
f x
x
x
x
，
当3
2
x
时，
2
1
1
log (4
)
,0
4
4
f x
x
，
所以当
4, 2
x
时，
min
1
( )
4
f x
，
∵当
4, 2
x
时，
1
4
2
t
f
x
t
有解，
∴
1
1
4
2
4
t
t
，整理得
2
2
(
2)(
1)
0
4
4
t
t
t
t
t
t
，
解得2
0
t
或
1
t ．
∴实数t 的取值范围是
2,0
1,
．
故选：B．
8.已知
2
2
log
,0
2
8
14,
2
x
x
f x
x
x
x
，若存在互不相同的四个实数0
a
b
c
d
满足
f a
f b
f c
f d
，则
2
ab
c
d
的取值范围是（
）
A．
13
2,13
2
B．
13
2,15
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
C．13
2,15
D．
13
2,15
【答案】D
【分析】根据对数的运算及二次函数的对称性可得
1
ab ，
8
c
d
，再结合分段函数各段各部分值域可得d
的范围，进而得解.
【详解】
如图所示；
函数
2
2
log
,0
2
8
14,
2
x
x
f x
x
x
x
，
可知
1
2
6
2
2
f
f
f
，且
1
4
2
4
2
0
f
f
f
，
又
f a
f b
f c
f d
，则1
1
4
2
4
2
6
2
a
b
c
d
，
由
f
x 在
0,2 上有a ，b ，有
f a
f b
，即
2
2
log
log
a
b
，
2
2
log
log
a
b
，化简得
1
ab ，
又函数
f
x 在
2,上有c ，d ，且
f c
f d
，
由二次函数的性质知对称轴为
4
x
，
8
c
d
，且
4
2,6
d
，
2
1 8
9
13
2,15
ab
c
d
d
d
，
故选：D.
9.已知函数
log
2
3
4(
0
a
y
x
a
且
1)
a
过定点P ，且定点P 在直线:
7
0(
0)
l ax
by
b
上，则
1
1
2
4
a
b
的最小值为
．
【答案】4
9
【分析】根据对数函数的性质得
( 1, 4)
P
，代入直线方程得
2
4
9
a
b
，再根据基本不等式可求出结果.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【详解】令2
3
1
x
，即= 1
x ，得
4
y ，故
( 1, 4)
P
，
由
( 1, 4)
P
在直线:
7
0(
0)
l ax
by
b
上，得
4
7
0
a
b
，即
2
4
9
a
b
，
因为
0
a
且
1
a ，
0
b
，所以
2
2
a
且
2
3
a+
¹
，4
0
b
，
所以
1
1
2
4
a
b
1
1
2
4
2
4
9
a
b
a
b
1
4
2
(2
)
9
2
4
b
a
a
b
1
4
2
4
(2
2
)
9
2
4
9
b
a
a
b
.
当且仅当4
2
2
4
b
a
a
b
，即
9
2
4
2
a
b
，即
5
2
a
，
9
8
b
时，等号成立.
故
1
1
2
4
a
b
的最小值为4
9 .
故答案为：4
9
10.已知函数
3
3
1
9log
log
f x
x
x
，
1
9
3
1
x
x
g x
m
，
0
m
．
(1)求函数
f
x 在区间
1,上的最小值；
(2)若对
1
1,
x
，
2
1,2
x
，使得
1
2
2
f x
g x
成立，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)6
(2)0
2
m
【分析】（1）令
3
log x
t
，将函数化为
1
9
y
t
t
，利用基本不等式求最值；
（2）独立m，将问题转化为
1 1
,
9 3
a
，使得
2
9
3
m
a
a
成立，求
2
9
3
a
a
的最大值，得m 的取值范围.
【详解】（1）令
3
log x
t
，因为
1,
x
，所以
0,
t
，
则
3
3
1
( )
9log
log
f x
x
x
可化为
1
9
y
t
t
，
0,
t
，
因为
1
1
9
2 9
6
t
t
t
t
，当且仅当
1
9t
t
，即
1
3
t
，
1
3
x
3
时，等号成立，
所以
1
3
x
3
时，
( )
f x 取最小值6.
（2）由（1），
1
(
)
6,
f x
，
因为
1
1,
x
，
2
1,2
x
，使得
1
2
(
)
(
)
2
f x
g x
成立，
所以
2
1,2
x
，使得
2
(
)
6
2
8
g x
成立，
即
1,2
x
，使得
2
1
1
9
3
3
3
x
x
m
成立，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
令1
3
x
a
，因为
1,2
x
，
1 1
,
9 3
a
，
所以
1 1
,
9 3
a
，使得
2
9
3
m
a
a
成立，
因为当
1 1
,
9 3
a
，
2
2
2
1
1
1
1
1
9
3
3
3
2
2
4
3
2
4
a
a
a
，
当
1
3
a
，即
1
x 时，
2
9
3
a
a
取最大值2，
所以0
2
m
.
11.已知f(x)+g(x)＝log2（2﹣x），其中f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．
(1)求f(x)与g(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在其定义域上的单调性；
(3)解关于t 不等式f（t﹣1）+f（2t+1）﹣3t＞0．
【答案】(1)f(x)=
1
2 log2 2
2
x
x
，g(x)=
1
2 log2（4-x2）
(2)f(x)在（-2，2）上单调递减
(3)（-1，0）
【分析】（1）由
( )
f x ，( )
g x 分别是奇偶函数，将“
x
”代入，利用奇偶函数的性质，解方程得
( )
f x ，( )
g x 的
解析式；
（2）求
( )
f x 的定义域，整理内层函数，利用复合函数的单调性原则判断单调性；
（3）观察不等式，构造函数( )
( )
h x
f x
x
，易得( )
h x 的奇偶性和单调性，解不等式.
【详解】（1）由于函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
可得f（-x）=-f(x)，g（-x）=g(x)，
因为f(x)+g(x)=log2（2-x），
所以f（-x）+g（-x）=log2（2+x），
即-f(x)+g(x)=log2（2+x），
解得
2
1
2
( )
log
2
2
x
f x
x
，
2
2
1
( )
log
4
2
g x
x
．
（2）
2
1
2
( )
log
2
2
x
f x
x
的定义域为（-2，2），
且
2
2
1
2
1
4
( )
log
log
1
2
2
2
2
x
f x
x
x
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
因为
4
1
2
u
x
在（-2，2）上单调递减，
2
1 log
2
y
u
是增函数，
由复合函数的单调性可知f(x)在（-2，2）上单调递减．
（3）令h(x)=f(x)-x，
2,2
x
，
由h（-x）=f（-x）+x=-f(x)+x=-h(x)，
可得h(x)为奇函数，且在（-2，2）上单调递减，
因为f（t-1）+f（2t+1）-3t＞0，
所以f（t-1）-（t-1）+f（2t+1）-（2t+1）＞0，
即h（t-1）+h（2t+1）＞0，即h（t-1）＞-h（2t+1）=h（-2t-1），
所以
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
t
t
t
t
，解得-1＜t＜0，
不等式解集为
1,0
.
12.函数
( )
lg 9
3
x
x
f x
a
．
(1)若
( )
f x 的定义域为R，求实数a 的取值范围；
(2)当
0
a
时，若
( )
f x 的值域为R，求实数a 的值；
(3)在（2）条件下，( )
g x 为定义域为R 的奇函数，且
0
x
时，
( )
( )
10
9
f x
x
g x
，对任意的
R
t
，解关于
x 的不等式
3
2
( )
2
|
( ) |
g
x
g x
tx
t
g x
．
【答案】(1)
0
a
；
(2)
0
a
；
(3)答案详见解析.
【分析】（1）由9
3
0
x
x
a
恒成立分离常数a ，结合指数函数、二次函数的性质求得正确答案；
（2）令
9
3
x
x
h x
a
，结合
h x 的值域包含
0,
列不等式，由此求得正确答案；
（3）先求得
g x 的解析式，由此化简不等式
3
2
( )
2
| ( ) |
g
x
g x
tx
t
g x
.对t 进行分类讨论，由此求得正确答案.
【详解】（1）由题9
3
0
x
x
a
恒成立，则
9
3
x
x
a
恒成立，
由于
1
1
3
0,3
2
2
x
x
，所以
2
1
1
9
3
3
0
2
4
x
x
x
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
所以
0
a
；
（2）令
9
3
x
x
h x
a
，则
h x 的值域包含
0,
，
因为
2
1
1
9
3
3
2
4
x
x
x
a
a
a
，
所以
0
a
，即
0
a
,
又因为
0
a
，
所以
0
a
；
（3）当
0
x
时，
10
9
3
f x
x
x
g x
；若
0
x
，
0
x
，
3 x
g
x
，
又因为
g x 为定义域为R 的奇函数，
所以当
0
x
时，
3 x
g x
，
所以
3 ,
0
0,
0
3 ,
0
x
x
x
g x
x
x
，
3
g
x
g x
2
0
g
x
x
，
不等式
3
2
2
g
x
g x
tx
t
g x
等价于
2
2
2
0
g x
tx
t
g
x
x
，
由于
3 ,
0
0,
0
3 ,
0
x
x
x
g x
x
x
在
,0
0,
上是单调递增函数，
所以原不等式等价于
2
2
2
0
x
tx
t
x x
，即：
2
0
0
x
x
t
x
，
当
2
t 时，解集为|
2
x x
且
0
x
或
x
t
；
当
2
t 时，解集为
0
x x
；
当2
0
t
时，解集为|
x x
t
且
0
x
或
2
x
；
当
0
t
时，解集为|
x x
t
或
2
x
.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
