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第14 讲二次函数图像与性质（知识点+11 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 ݕ=ܽ
ݔ2的图象和性质
题型2 ݕ=ܽ
ݔ2 +݇
的图象和性质
题型3 ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2的图象和性质
题型4 ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2 +݇
的图象和性质
题型5 把ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
化成顶点式
题型6 ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
的图象与性质
题型7 根据二次函数的图象判断式子符号
题型8 一次函数、二次函数图象综合判断
题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴
题型10 二次函数图象的平移
题型11 根据交点确定不等式的解集
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
二次函数的图像（抛物
线）
抛物线的开口方向、顶
1. 经历用描点法绘制二次函数图像的过程，知道二次函数的图像是抛物线，
认识抛物线的开口方向、顶点、对称轴等基本特征，能准确指出抛物线的顶
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点、对称轴
ݕ=ܽ
ݔ2的图像与性质
ݕ=ܽ
ݔ2 +݇
的图像与
性质
ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2的图像
与性质
ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2 +݇
的
图像与性质二次函数
图像的平移规律
点坐标和对称轴。
2. 掌握ݕ=ܽ
ݔ2(ܽ
≠Ͳ)形式的二次函数的图像与性质，理解系数ܽ
对抛物线
开口方向、开口大小的影响，能根据图像判断函数的增减性和最值。
3. 掌握ݕ=ܽ
ݔ2 +݇、ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2、ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2 +݇(ܽ
≠Ͳ)形式的二次函
数的图像与性质，理解ܽ
、݄、݇
三个系数分别对抛物线位置和形状的影响。
4. 掌握二次函数图像的平移规律（"上加下减常数项，左加右减自变量"），
能利用平移规律由ݕ=ܽ
ݔ2的图像快速得到其他形式二次函数的图像。
5. 能根据二次函数的图像分析函数的性质，解决简单的实际问题，体会数形
结合的数学思想，发展几何直观能力。
学习重点：ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2 +݇
形式二次函数的图像与性质，二次函数图像的平移规律，利用图像分析
函数的增减性和最值。
学习难点：理解系数h、k 对抛物线位置的影响，准确把握平移规律，数形结合思想在函数问题中的
灵活应用。
知｜识｜框｜架
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知｜识｜精｜讲
知识点01 二次函数࢟
= ࢇ࢞的图像与性质
图像形状：二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形。
核心性质：
ࢇ的符
号
开口方
向
对称轴
顶点坐
标
增减性
最值ܽ
> Ͳ
向上
ݕ轴（直线
ݔ= Ͳ）
(Ͳ,Ͳ)
ݔ< Ͳ 时，ݕ随ݔ增大而减小；ݔ> Ͳ 时，
ݕ随ݔ增大而增大
当ݔ= Ͳ 时，
ݕ最小值= Ͳܽ
< Ͳ
向下
ݕ轴（直线
ݔ= Ͳ）
(Ͳ,Ͳ)
ݔ< Ͳ 时，ݕ随ݔ增大而增大；ݔ> Ͳ 时，
ݕ随ݔ增大而减小
当ݔ= Ͳ 时，
ݕ最大值= Ͳ
重要结论：|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
即时即练
1．与抛物线ݕ=
ͳ
ͺ ݔ2形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________．
【易错提醒】ܽ
的符号决定开口方向，ܽ
> Ͳ 向上，ܽ
< Ͳ 向下，切勿记反
不要混淆开口大小与ܽ
的大小关系，是|ܽ|决定开口大小，不是ܽ
本身
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顶点在原点，对称轴是ݕ轴，不是ݔ轴
知识点02
二次函数࢟
= ࢇ࢞+ ࢉ的图像与性质
图像关系：ݕ=ܽ
ݔ2 +ܿ
的图像是由ݕ=ܽ
ݔ2的图像上下平移得到的
平移规律：ܿ> Ͳ 时，向上平移ܿ
个单位；ܿ< Ͳ 时，向下平移|ܿ|个单位（简称“上加下减”）
核心性质：
对称轴：ݕ轴（直线ݔ= Ͳ）
顶点坐标：(Ͳ,ܿ)
开口方向、增减性与ݕ=ܽ
ݔ2完全相同
最值：当ܽ
> Ͳ 时，ݕ最小值=ܿ；当ܽ
< Ͳ 时，ݕ最大值=ܿ
即时即练
2．已知函数ݕ=−
ͳ
͵ ݔ2和ݕ=−
ͳ
͵ ݔ2 −2．
(1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
ݔ
ڮ
−2
−ͳ
Ͳ
ͳ
2
ڮ
ݕ=−ͳ
͵ ݔ2
ڮ
−Ͷ
͵
−ͳ
͵
Ͳ
−ͳ
͵
−Ͷ
͵
ڮ
ݕ=−ͳ
͵ ݔ2 −2
ڮ
−ͳͲ
͵
−
͵
−2
−
͵
−ͳͲ
͵
ڮ
【易错提醒】
上下平移只改变常数项ܿ，二次项系数ܽ
不变
平移是针对整个函数值，不是针对自变量ݔܿ
的正负决定顶点在ݕ轴的正半轴还是负半轴，ܿ= Ͳ 时顶点在原点
知识点03
二次函数࢟
= ࢇ(࢞−ࢎ)的图像与性质
图像关系：ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2的图像是由ݕ=ܽ
ݔ2的图像左右平移得到的
平移规律：݄
> Ͳ 时，向右平移݄
个单位；݄
< Ͳ 时，向左平移|݄|个单位（简称“左加右减”）
核心性质：
对称轴：直线ݔ=݄
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顶点坐标：(݄,Ͳ)
开口方向、增减性与ݕ=ܽ
ݔ2类似，以直线ݔ=݄
为界
即时即练
3．若点ܣ−͵,ݕͳ 、ܤ−2,ݕ2 、ܥ−ͳ,ݕ͵ 三点在抛物线ݕ=ܽ
ݔ+ ͳ 2ܽ
> Ͳ 的图象上，则ݕͳ,ݕ2,ݕ͵的大小
关系是________________（用“>”连接）．
【易错提醒】
最高频易错点：左右平移方向极易搞反！记住“左加右减”是针对自变量ݔ本身，不是针对ܽ
ݔ
顶点坐标是(݄,Ͳ)，不是( −݄
,Ͳ)，如ݕ= (ݔ+ 2)2的顶点是( −2,Ͳ)，不是(2,Ͳ)
左右平移不改变抛物线的开口方向和大小
知识点04
二次函数࢟
= ࢇ(࢞−ࢎ)+ 的图像与性质（顶点
式）
图像关系：ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2 +݇
的图像是由ݕ=ܽ
ݔ2的图像先左右平移|݄|个单位，再上下平移|݇|个单位得到
的
核心性质：
对称轴：直线ݔ=݄
顶点坐标：(ܐ,ܓ)（抛物线的最高点或最低点）
开口方向：由ܽ
决定，ܽ
> Ͳ 向上，ܽ
< Ͳ 向下
增减性：ܽ
> Ͳ 时，ݔ<݄
，ݕ随ݔ增大而减小；ݔ>݄
，ݕ随ݔ增大而增大ܽ
< Ͳ 时，ݔ<݄
，ݕ随ݔ增大而增大；ݔ>݄
，ݕ随ݔ增大而减小
最值：当ܽ
> Ͳ 时，ݔ=݄
，ݕ最小值=݇
；当ܽ
< Ͳ 时，ݔ=݄
，ݕ最大值=݇
即时即练
4．当两条曲线关于某直线݈
对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线݈
的对称曲线．如果抛物线ܥͳǣݕ= ݔ2 −
2ݔ与抛物线ܥ2ǣݕ= ݔ−݄
2 +ܾ
是关于ݕ轴的对称曲线，则݄
+ܾ
的值为（
）
A．3
B．0
C．−1
D．−2
【易错提醒】
顶点式中݄
和݇
的符号是易错重灾区，݄
前面是减号，݇
前面是加号
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最值是݇
，不是−݇，如ݕ= 2(ݔ−ͳ)2 + ͵ 的最小值是3，不是-3
增减性一定要结合对称轴ݔ=݄
来判断，不能死记硬背
知识点05
二次函数一般式࢟
= ࢇ࢞
+ ࢈࢞+ ࢉ的图像与性质
转化方法：用配方法将一般式转化为顶点式
ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
=ܽ
ݔ+ܾ2ܽ
2
+ Ͷܽܿ
−ܾ
2
Ͷܽ
核心性质：
对称轴：直线ܠ=−
܊
2܉
顶点坐标：−
܊
2܉,
Ͷ܉܋−܊2
Ͷ܉
开口方向、增减性、最值与顶点式一致
即时即练
5．在平面直角坐标系中，将抛物线C 关于原点中心对称后得到抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 −Ͷܽݔ+ ͷ（a 为常数，ܽ> Ͳ），
若抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 −Ͷܽݔ+ ͷ 的最小值为1，则抛物线C 的顶点坐标为（
）
A．( −2,ͳͲ)
B．( −2, −͵)
C．( −2, −2)
D．( −2, −ͳ)
【易错提醒】
配方法步骤错误：二次项系数不为ͳ 时，必须先将二次项系数提出来，再进行配方
对称轴公式中负号不能漏掉，如ݕ= ݔ2 −2ݔ+ ͵ 的对称轴是ݔ= ͳ，不是ݔ=−ͳ
顶点纵坐标计算错误：分子是Ͷܽܿ
−ܾ
2，不是ܾ2 −Ͷܽܿ
不要直接用一般式判断增减性，必须先求出对称轴
知识点06
抛物线的平移规律总结
通用规律：左加右减自变量，上加下减常数项
左右平移：只改变自变量ݔ，在ݔ上加减，加向左，减向右
上下平移：只改变常数项，在整个式子后加减，加向上，减向下
数学语言：将抛物线ݕ=ܽ
ݔ2平移得到ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2 +݇，平移过程中ܽ
不变。
即时即练
6．在平面直角坐标系ݔRݕ中，已知抛物线为ݕ=ܽ
ݔ2 −ܽݔ+ ͷܽ−2（ܽ
为常数，ܽ
> Ͳ）．
(1)当ܽ
= ͳ 时，求抛物线的顶点坐标；
(2)将抛物线向上平移2 个单位后与ݔ轴交于ܣ，ܤ两点，求ܣܤ的长；
(3)当ݐݔݐ+ ͵（Ͳ ݐͳ）时，ݕ的最大值与最小值之差为5，求ܽ
的取值范围．
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【易错提醒】
平移是针对ݔ本身，不是针对ܽ
ݔ，如ݕ= 2ݔ2向右平移ͳ 个单位是ݕ= 2(ݔ−ͳ)2，不是ݕ= 2ݔ2 −ͳ
多次平移要分步进行，先左右后上下，或先上下后左右，结果相同
不要将平移方向与݄
、݇
的正负搞反
题型1࢟
= ࢇ࢞
的图象和性质
【例1】知二次函数ݕ=ܽ
ݔ2的图像经过点ܲ
(2,͵)，则ܽ
的值为（
）
A．
͵
Ͷ
B．
Ͷ
͵
C．
2
ͻ
D．
ͻ
2
【技巧归纳】
顶点：(Ͳ,Ͳ)，对称轴：y 轴（ݔ= Ͳ）ܽ
> Ͳ：开口向上，顶点是最低点，ݔ< Ͳ 时ݕ随ݔ增大而减小，ݔ> Ͳ 时ݕ随ݔ增大而增大ܽ
< Ͳ：开口向下，顶点是最高点，增减性与ܽ
> Ͳ 相反
|ܽ|越大，抛物线开口越小；|ܽ|越小，开口越大
【变式1-1】
1．若点ܣ−ͳ,ݕͳ ，ܤͶ,ݕ2 在二次函数ݕ=ܽ
ݔ2ܽ
< Ͳ 的图象上，则ݕͳ，ݕ2的大小关系是（
）
A．ݕͳ < ݕ2
B．ݕͳ > ݕ2
C．ݕͳ = ݕ2
D．无法确定
【变式1-2】
2．二次函数ݕ=ܽ
ݔ2的图象经过点2, −2 ，则ܽ
的值为（
）
A．−
ͳ
2
B．−ͳ
C．ͳ
D．2
题型2࢟
= ࢇ࢞
+ 的图象和性质
【例2】已知点ܣݔͳ,ݕͳ ，ܤݔ2,ݕ2 在抛物线ݕ=−ݔ2 −ͳ 上，且ݔ2 > ݔͳ > Ͳ，则ݕͳ__________ݕ2（填“>”“<”
或“=”）．
【技巧归纳】
顶点：(Ͳ,݇)，对称轴：y 轴（ݔ= Ͳ）
平移规律：上加下减（݇
> Ͳ 向上移݇
个单位，݇
< Ͳ 向下移|݇|个单位）
开口方向、大小、增减性与ݕ=ܽ
ݔ2完全相同
最值：ܽ
> Ͳ 时最小值为݇
，ܽ
< Ͳ 时最大值为݇
【变式2-1】
1．若抛物线ݕ=݉
−2 ݔ2 −͵ 的开口向上，则݉
的取值范围是___________．
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【变式2-2】
2．抛物线ݕ=−2ݔ2 + Ͷ 的开口方向__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________．
题型3࢟
= ࢇ(࢞
−ࢎ)的图象和性质
【例3】如图，抛物线ݕ=ܽ
ݔ−2 2与ݕ轴交于点ܣ，顶点ܤ在ݔ轴的正半轴上，连接ܣܤ，若ᇞܣRܤ是等
腰直角三角形，则ܽ
的值为___．
【技巧归纳】
顶点：(݄,Ͳ)，对称轴：直线ݔ=݄
平移规律：左加右减（݄
> Ͳ 向右移݄
个单位，݄
< Ͳ 向左移|݄|个单位）
开口方向、大小与ݕ=ܽ
ݔ2完全相同
增减性以对称轴ݔ=݄
为界，最值为0
【变式3-1】
1．已知二次函数ݕ= 2(ݔ−݄
)2，当ݔ> ͵ 时，ݕ随ݔ的增大而增大，则݄
的取值范围是（
）
A．݄
= ͵
B．݄
< ͵
C．݄
͵
D．݄
͵
【变式3-2】
2．已知抛物线ݕ= ݔ−݄
2，其中݄
> Ͳ，该抛物线示意图是（
）
A．
B．
C．
D．
题型4࢟
= ࢇ(࢞
−ࢎ)+ 的图象和性质
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【例4】在平面直角坐标系中，将抛物线ݕ= ͵ݔ2 + 2 先向左平移2 个单位，再向上平移6 个单位后所得到
的抛物线的顶点坐标是（
）
A．−2,
B．−2,ͺ
C．−2, −ͺ
D．2, −ͺ
【技巧归纳】顶点：(݄,݇)，对称轴：直线ݔ=݄
由ݕ=ܽ
ݔ2先左右平移|݄|个单位，再上下平移|݇|个单位得到ܽ
> Ͳ 时，最小值为݇
；ܽ
< Ͳ 时，最大值为݇
增减性：以ݔ=݄
为界，左减右增（ܽ
> Ͳ）或左增右减（ܽ
< Ͳ）
【变式4-1】
1．对于二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ（ܽ、ܾ、ܿ为常数，ܽ≠Ͳ），定义其图象上点(ݔ,ݕ)的“点值”ݐ= ݕ−ݔ．已
知二次函数ݕ=݉
ݔ−2 2 + ͵݉
−ͷ（݉
为常数，且݉
≠Ͳ）图象的顶点的“点值”为−ͳ，则݉
的值为（
）
A．2
B．
2
͵
C．
ͺ
͵
D．
Ͷ
͵
【变式4-2】
2．已知二次函数ݕ= 2 ݔ−ͳ 2 + ͵，其顶点坐标为（
）
A．−ͳ,͵
B．ͳ, −͵
C．−ͳ, −͵
D．ͳ,͵
题型5 把࢟
= ࢇ࢞
+ ࢈࢞+ ࢉ化成顶点式
【例5】通过配方，写出函数ݕ=−2ݔ2 −͵ݔ+ ͷ 的顶点式，并写出其开口方向、对称轴和顶点坐标．
【技巧归纳】
四步走：提→配→整→写
提：提取二次项系数ܽ
（只提前两项）
配：括号内加一次项系数一半的平方，同时减这个平方
整：将括号内写成完全平方，合并常数项
写：整理成顶点式
示例：ݕ= 2ݔ2 −Ͷݔ+ ͳ = 2(ݔ2 −2ݔ) + ͳ = 2(ݔ2 −2ݔ+ ͳ −ͳ) + ͳ = 2(ݔ−ͳ)2 −ͳ
【变式5-1】
1．对于抛物线ݕ= ݔ2 −Ͷݔ+ ͳ，下列说法正确的是（
）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标为2, −͵
C．抛物线的对称轴为直线ݔ=−2
D．当ݔ>−2 时，ݕ随ݔ的增大而增大
【变式5-2】
2．已知二次函数ݕ= ݔ2 + 2ݔ−͵．
(1)将ݕ= ݔ2 + 2ݔ−͵ 写成ݕ=ܽ
(ݔ−݄
)2 +݇
的形式，并写出它的顶点坐标；
(2)当−Ͷ < ݔ< Ͳ 时，直接写出函数值ݕ的取值范围；
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题型6࢟
= ࢇ࢞
+ ࢈࢞+ ࢉ的图象与性质
【例6】已知二次函数ݕ= ݔ2 −2ܾݔ+ܿ（ܾ，ܿ为常数），当ܾ
−ͳ ݔܾ
+ 2 时，该函数的最大值与最小
值的差是−2݇，求݇
的值．
【技巧归纳】
对称轴公式：ܠ=−
܊
2܉（必须背熟）
顶点坐标公式：−
܊
2܉,
Ͷ܉܋−܊2
Ͷ܉
开口方向由ܽ
决定，增减性以对称轴为界
与ݕ轴交点：(Ͳ,ܿ)；与ݔ轴交点：令ݕ= Ͳ 解一元二次方程
【变式6-1】
若对于实数ݎ，ݏ，满足ݎ< ݏ，且当ݎݔݏ时，对应的函数值ݕ的取值范围也为ݎݕݏ，则称区间ݎ,ݏ
为该函数的一个“保值区间”．
(1)若二次函数ݕ= ݔ2存在“保值区间”，且当ݔͲ 时的一个“保值区间”为Ͳ,ݐ，求ݐ的值；
(2)已知ܽ
,ܾ
为二次函数ݕ= ݔ2 −Ͷݔ+ ͷ 的“保值区间”，且ܽ
<ܾ
，求ܽܽ
−ܾ
+ ͷܾ+ ͳ 的值．
题型7 根据二次函数的图象判断式子符号
【例7】二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①ܽ
< Ͳ ；
②ܿ> Ͳ；③ܾ2 −Ͷܽܿ
> Ͳ ；④͵ܽ+ܾ
= Ͳ ，其中，正确的有（
）．
A．ͳ 个
B．2 个
C．͵ 个
D．Ͷ 个
【技巧归纳】ܽ
：开口向上ܽ
> Ͳ，向下ܽ
< Ͳܾ
：左同右异（对称轴在ݕ轴左侧，ܽ、ܾ
同号；右侧则异号）ܿ
：与ݕ轴正半轴相交ܿ
> Ͳ，负半轴ܿ
< Ͳ
Δ =ܾ
2 −Ͷܽܿ
：与ݔ轴2 个交点Δ > Ͳ，1 个交点Δ = Ͳ，0 个交点Δ < Ͳ
特殊值：ݔ= ͳ 时ݕ=ܽ
+ܾ
+ܿ，ݔ=−ͳ 时ݕ=ܽ
−ܾ
+ܿ，看对应点在ݔ轴上下判断符号
【变式7-1】
1．知二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 的图象如图所示，则下列结论错误的是（
）
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A．ܽ
>
ͳ
2
B．ܾ
< ͳͲ
C．ܾܽܿ
< Ͳ
D．ܽ+ܾ
+ܿ
= 2
【变式7-2】
2．如图，二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 的图像与x 轴交于点ܣ͵,Ͳ ，与y 轴交于点B，对称轴为直线ݔ= ͳ，
有下列四个结论：①Ͷܽ−2ܾ+ܿ
> Ͳ；②͵ܽ+ 2ܿ> Ͳ；③ܽݔ2 +ܾݔܽ
+ܾ；④若−͵ <ܿ
<−2，则−Ͷ <ܽ
+ܾ
+ܿ
<−
ͺ
͵；下列选项正确的是（
）
A．②④
B．①③
C．①③④
D．①②③
题型8 一次函数、二次函数图象综合判断
【例8】已知二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 的图象如图所示，则函数ݕ=ܽ
ݔ+ܿ
的图象可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【技巧归纳】
先看二次函数图象，确定ܽ
、ܾ、ܿ的符号
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再看一次函数图象，确定݇
、ܾ
的符号
同一个字母在两个函数中的符号必须一致，不一致的选项直接排除
优先判断ܽ
的符号，再判断ܾ
、ܿ的符号
【变式8-1】
1．一次函数ݕ=ܽ
ݔ+ܽ
与二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 −2ݔ+ ͳ 在同一坐标系中的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】
2．在同一坐标系中画出直线ݕ=ܽ
ݔ+ܾ
与抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾ，有可能是（
）
A．
B．
C．
D．
题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴
【例9】已知抛物线ݕ= 2ݔ2 +ܾݔ+ܿ
经过四个不同的点ܣͳ,݉
，ܤ2,䁡，ܥܾ
,ݕͳ ，Dܿ
−ͳ,ݕ2 ，若ݕͳ = ݕ2，
则݉
+ 䁡的值为(
)
A．6
B．8
C．10
D．12
【技巧归纳】
通用公式：若两点(ݔͳ,ݕ)、(ݔ2,ݕ)纵坐标相同，则对称轴为ܠ=
ܠͳ+ܠ2
2
示例：点(ͳ,͵)和(ͷ,͵)关于对称轴对称，对称轴为ݔ=
ͳ+ͷ
2 = ͵
无论纵坐标是多少，只要两点关于对称轴对称，都适用此公式
【变式9-1】
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1．经研究发现某型号火箭高度݄
m 与时间ݐs 的关系近似满足二次函数，科研人员在测试该型号火箭向上
竖直升空时，获得的部分数据如下表，则下列判断正确的是（
）
时间ݐs
ͳ
ͳͲ
ͳͺ
2Ͳ
火箭高度݄
m
ͳͷͷ
ͳͲͳͲ
ͳͲͻͲ
ͳͲͳͲ
A．火箭在前ͳͺs 持续上升
B．火箭在ͳͺs 后才开始下降
C．火箭在ͳͲs 前可以达到ͳͲͻͲ݉
D．火箭在͵Ͳs 时的高度低于ͳͷͷm
【变式9-2】
2．已知抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿܽ
< Ͳ 过ܣ−Ͷ,ݕͳ ，ܤ2,ݕ2 ，ܥ͵,ݕ͵ ，ܦͷ,ݕͶ 四点．
(1)若ݕ2 = ݕ͵．
（ⅰ）求该抛物线的对称轴；
（ⅱ）比较ݕͳ，ݕ͵的大小．
(2)若ݕ2 =ܿ，ݕ2ݕ͵ < Ͳ，判断ݕͶ < Ͳ 是否成立，并说明理由．
题型10 二次函数图象的平移
【例10】将抛物线ݕ= ݔ2 + ͺݔ+ ͳͷ 向上平移2 个单位长度，再向右平移3 个单位长度后，得到的抛物线
解析式是（
）
A．ݕ= ݔ+ ͳ 2 −͵
B．ݕ= ݔ+ 2 −͵
C．ݕ= ݔ+ ͳ 2 + ͳ
D．ݕ= ݔ+ 2 + ͳ
【技巧归纳】
第一步：将原函数化为顶点式ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2 +݇
第二步：根据平移方向改变݄
和݇
左右平移：左加右减自变量（݄）
上下平移：上加下减常数项（݇）
示例：ݕ= 2(ݔ−ͳ)2 + ͵ 向左平移2 个单位，向下平移1 个单位，得ݕ= 2(ݔ+ ͳ)2 + 2
【变式10-1】
1．将抛物线ݕ= ݔ2 + ͳ 向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位，所得的抛物线解析式是（
）
A．ݕ= (ݔ+ 2)2 −2
B．ݕ= (ݔ+ 2)2 + ͵
C．ݕ= (ݔ−2)2 −2
D．ݕ= (ݔ−ͳ)2 + ͵
【变式10-2】
2．已知抛物线ݕ= ݔ2 +ܾݔ+ܿ（ܾ
为常数）是由抛物线ݕ= ݔ2 −2ݔ+ ͵ 先向左平移2 个单位，再向下平移
3 个单位得到的．
(1)求ܾ
，ܿ的值；
(2)点ܲ
ݔͳ,ݕͳ 在抛物线ݕ= ݔ2 −2ݔ+ ͵ 上，点ܳ
ݔͳ +݉
,ݕͳ + 2݇
在抛物线ݕ= ݔ2 +ܾݔ上．
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①用含ݔͳ与݉
的式子表示݇
；
②若ݔͳ + 2 =݉
+ 䁡（䁡为常数），且݉
> Ͷ，݇
随݉
的增大而增大，求䁡的最小值．
题型11 根据交点确定不等式的解集
【例11】一次函数ݕͳ =݉
ݔ+ 䁡݉
≠Ͳ 与二次函数ݕ2 =ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 的图象如图所示，则不等式ܽ
ݔ2 +ܾ
−݉
ݔ+ܿ
> 䁡的解集为（
）
A．ݔ<−ͳ
B．ݔ> Ͷ
C．−ͳ < ݔ< Ͷ
D．ݔ<−ͳ 或ݔ> Ͷ
【技巧归纳】ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
> Ͳ 的解集：抛物线在ݔ轴上方对应的ݔ的范围ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
< Ͳ 的解集：抛物线在ݔ轴下方对应的ݔ的范围
ݕͳ > ݕ2的解集：抛物线ݕͳ在直线ݕ2上方对应的ݔ的范围
端点是否包含：原不等式有等号则包含，无等号则不包含
【变式11-1】
1．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
的图象如图所示，对称轴为直线ݔ= ͳ，则下列结论正确的是（
）．
A．ܽܿ
> Ͳ
B．方程ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
= Ͳ 的两根是ݔͳ =−ͳ，ݔ2 = ͵
C．不等式ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
< Ͳ 的解集是−ͳ < ݔ< ͵
D．当ݔ> Ͳ 时，ݕ随ݔ的增大而减小
【变式11-2】
2．在平面直角坐标系中，二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܽ
ݔ−2ܽܽ
≠Ͳ 的图象与ݕ轴交于负半轴，则下列关于该函
数的结论正确的是（
）
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A．图象的开口向下
B．当ݔ>−ͳ 时，ݕ的值随ݔ值的增大而增大
C．该函数有最大值−
ͻ
Ͷܽ
D．当ͳ < ݔ< 2 时，ݕ> Ͳ
一、单选题
1．二次函数ݕ=−ݔ+ ͳ 2 + Ͷ 图象的顶点所在的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．对于抛物线ݕ= 2 ݔ−ͳ 2 + ͵，下列说法正确的是（
）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标为ͳ,͵
C．抛物线的对称轴为直线ݔ=−ͳ
D．当ݔ> ͳ 时，ݕ随ݔ的增大而减小
3．抛物线ݕ= ݔ2 + Ͷݔ−͵ 的对称轴是直线（
）
A．ݔ=−Ͷ
B．ݔ=−2
C．ݔ= Ͷ
D．ݔ= 2
4．小明同学在将抛物线表达式化为ݕ=ܽ
ݔ+݉
2 + 䁡形式时，他给出的结果是ݕ= Ͷ ݔ+ 2 2 + Ͷ，那么
这条抛物线的顶点坐标为（
）
A．−2,Ͷ
B．−2, −Ͷ
C．−Ͷ,Ͷ
D．−Ͷ, −Ͷ
5．将抛物线ݕ= ݔ2向左平移2 个单位，再向下平移͵ 个单位，得到的抛物线解析式是(
)
A．ݕ= (ݔ−2)2 −͵
B．ݕ= (ݔ−2)2 + ͵
C．ݕ= (ݔ+ 2)2 −͵
D．ݕ= (ݔ+ 2)2 + ͵
6．在平面直角坐标系中，抛物线ݕ=−ݔ+ ͳ
ݔ−ͳ 经变换后得到抛物线ݕ=−(ݔ+ 2)2 + ͳ，则下列变换
正确的是（）
A．向右平移3 个单位
B．向左平移3 个单位
C．向右平移2 个单位
D．向左平移2 个单位
7．二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
开口向上，与ݕ轴交于负半轴，对称轴在ݕ轴左侧，下列结论正确的是（
）
A．ܽ
< Ͳ
B．ܾ
< Ͳ
C．ܿ> Ͳ
D．ܾ2 −Ͷܽܿ
> Ͳ
8．已知函数的图象经过点ܯͳ,2 ，且在第一象限内y 随x 的增大而增大．下列函数符合要求的是（
）
A．ݕ=݇
ݔ+ ͵
B．ݕ=݇
ݔ−ͳ
C．ݕ=݇ݔ
D．ݕ=ܽ
ݔ2 + ͵
9．若函数ݕ= ݔ2 +ܽ
ݔ+ܾ
在Ͳ ݔͳ 的最大值是ܯ，最小值是݉
，则ܯ−݉
（
）
A．与ܽ
有关，且与ܾ
有关
B．与ܽ
有关，但与ܾ
无关
C．与ܽ
无关，且与ܾ
无关
D．与ܽ
无关，但与ܾ
有关
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10．已知抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ（ܽ
≠Ͳ）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（
）
A．ܾܽܿ
> Ͳ
B．ܾ+ Ͷܽ
= Ͳ
C．ͷܽ+ܿ>Ͳ
D．当ݔ<−ͷ 或ݔ> ͳ 时，ݕ> Ͳ
11．抛物线ݕ= ͵ݔ2向右平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误
的是（
）
A．抛物线开口向上
B．顶点坐标为−ͳ,2
C．若点͵,ݕͳ 和点−ͳ,ݕ2 都在抛物线上，则ݕͳ = ݕ2
D．当ݔ< Ͳ 时，ݕ随ݔ的增大而减小
12．如图，点ܲ
是抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ（ܽ
≠Ͳ）的顶点．下列结论正确的是（
）
A．2ܽ+ܾ
= Ͳ
B．−
͵
Ͷ <ܽ
<−
ͳ
2
C．对任意实数ݐ，ܽݐ2 +ܾݐ< Ͷܽ+ 2ܾ
总成立
D．若点ܣ(ͳ −݉
,ݕͳ)，ܤ(ͳ +݉
,ݕ2)在抛物线上，则ݕͳ < ݕ2
二、填空题
1．已知二次函数ݕ=ܽ
(ݔ−ͷ +ܽ
)2 + 2，当ݔ> 2 时，ݕ随ݔ的增大而增大，则ܽ
的值可以是_______．（写
出一个即可）
2．已知二次函数ݕ= ݔ2 + Ͷݔ+ ͷ ，当−͵ ݔͲ 时，y 的取值范围为________．
3．已知抛物线ݕ= ݔ2 −Ͷݔ+ ͳ，当−ͳ ݔͶ 时，函数ݕ的最大值是_____．
4．如图为二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
的图象，其与ݔ轴交于−͵,Ͳ 和ͳ,Ͳ 两点．①ܾܽܿ
> Ͳ；②ܽ−ܾ
+ܿ
> Ͳ；
③对称轴为直线ݔ=−ͳ；④ܽ+ܿ
< Ͳ：上述结论正确的有________（填序号）．
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5．探究函数ݕ=
2ݔݔͲܽ
ݔ2 +ܾݔݔ> Ͳ 数图象的性质，下列结论正确的有__________（填写序号）
①该函数图象一定过原点；
②若ܽ
= ͳ，ܾ
= Ͳ，则ݕ随ݔ增大而增大；
③若ܽ
< Ͳ，ܾ
Ͳ，则函数有最大值−ܾ
2
Ͷܽ；
④若ݔ大于2 时ݕ随ݔ增大而减小，则ܾ
=−Ͷܽ；
⑤若ܽ
> Ͳ，则函数图象与直线ݕ= ݔ+ ͳ 仅有一个交点．
6．已知点ܲ
ͳ,݉
，ܳ
͵,݉
都在抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 −ܾݔ+ ͳ 上，则ܾ
=______（用含a 的代数式表示）．
7．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܽ
−2 ݔ−2（a 为常数，且ܽ
≠Ͳ）．下列四个结论：
①该函数图象经过点−ͳ,Ͳ ；
②若ܽ
=−ͳ，则当ݔ>−ͳ 时，y 随x 的增大而减小；
③若ܽ
> 2，则关于x 的方程ܽ
ݔ2 +ܽ
−2 ݔ−2 = Ͳ 有一个根大于0 且小于1；
④若ܽ
> 2，则关于x 的方程ܽ
ݔ2 +ܽ
−2 ݔ−2 = 2 的正数根只有1 个．
其中正确的是________．（填序号）．
8．设二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ ͳ（ܽ，ܾ为常数，ܽ≠Ͳ）经过点2,Ͳ 、−ͳ,⸹．若⸹< 2，则ܽ
的取值范围
是______．
9．填写下表：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
ݕ=−͵
Ͷ ݔ2
ݕ= 2ݔ2 −ͳ
Ͷ
ݕ=−ͳǤͷ ݔ+ Ͷ 2
ݕ= ݔ2 −2ݔ+ ͳ
ݕ=−ݔ2 −Ͷݔ+ ͻ
ݕ= ͳ
͵ ݔ2 −2ݔ+ 2
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抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
ݕ=−͵
Ͷ ݔ2
向下
直线ݔ= Ͳ（ݕ轴）
Ͳ,Ͳ
ݕ= 2ݔ2 −ͳ
Ͷ
向上
直线ݔ= Ͳ（ݕ轴）
Ͳ, −ͳ
Ͷ
ݕ=−ͳǤͷ ݔ+ Ͷ 2
向下
直线ݔ=−Ͷ
−Ͷ,Ͳ
ݕ= ݔ2 −2ݔ+ ͳ
向上
直线ݔ= ͳ
ͳ,Ͳ
ݕ=−ݔ2 −Ͷݔ+ ͻ
向下
直线ݔ=−2
−2,ͳ͵
ݕ= ͳ
͵ ݔ2 −2ݔ+ 2
向上
直线ݔ= ͵
͵, −ͳ
三、解答题
1．在同一个平面直角坐标系中，画出函数ݕ=
ͳ
2 ݔ2与ݕ=
ͳ
2 ݔ2 + ͳ 的图象．
ݔ
ڮ
−͵
−2
−ͳ
Ͳ
ͳ
2
͵
ڮ
ݕ
= ͳ
2 ݔ2
ڮ
ͻ
2
2
ͳ
2
Ͳ
ͳ
2
2
ͻ
2
ڮ
ݕ
= ͳ
2 ݔ2
+ ͳ
ڮ
ͳͳ
2
͵
͵
2
ͳ
͵
2
͵
ͳͳ
2
ڮ
2．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标
(1)ݕ= ͵(ݔ+ ͵)2 + Ͷ；
(2)ݕ=−2(ݔ−ͳ)2 −2；
(3)ݕ=
ͳ
2 (ݔ+ ͵)2 −2；
(4)ݕ=−
2
͵ (ݔ−ͳ)2 + ͲǤ．
3．已知抛物线ݕ= ݔ2 −2ܾݔ+ܿ（b，c 为常数）．
(1)当ܾ
= 2，ܿ= ͷ 时，
①求该抛物线的顶点坐标．
②将该抛物线向下平移݄݄
> Ͳ 个单位得到的新抛物线过点䁡,Ͳ ，且−ͳ 䁡͵，请求出h 的取值范围．
(2)当ݔ−ͳ 时，y 的最小值为6；当ݔ>−ͳ 时，y 的最小值为2．求该抛物线的表达式．
4．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔ2图像经过点ܲ
−2，͵ ．
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(1)判断这个函数图像的开口方向；
(2)点ܳ
2,݉
在这个函数图像上，求m 的值．
5．已知：抛物线ݕ= 2ݔ2 + ͺݔ−．
(1)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当ݔ在什么范围内变化时，ݕ随ݔ的增大而增大．
6．已知抛物线ݕ= ݔ2 −2ݔ+ 2．
(1)求抛物线ݕ= ݔ2 −2ݔ+ 2 的顶点坐标；
(2)若点ܣ͵,ݕͳ ,ܤ,ݕ2 在此抛物线上，试比较ݕͳ,ݕ2的大小；
(3)平移抛物线ݕ= ݔ2 −2ݔ+ 2 可以得到抛物线ݕ= ݔ−2 2 + 2，请直接写出平移过程．
7．已知抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 −2ܽݔ+ܽ
2 −2（a 为常数，ܽ
≠Ͳ），设ܶ
=
͵ܽܽ
ͳ2+ͳ．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 −2ܽݔ+ܽ
2 −2 有最小值−ͳ，求T 的值．
8．已知直线݈
交抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 −Ͷܽݔ−͵（常数ܽ
≠Ͳ）于点ݏ,ͺܽ
，ݐ,ͺܽ
，ݏ< ݐ．
(1)求抛物线的对称轴．
(2)当抛物线最高点到直线݈
的距离为9 时，
①求ݐ的值；
②若点ܲ
ݔͳ,ݕͳ ，ܳ
ݔ2,ݕ2 是ܾ
ݔݐ范围内抛物线上的两点，且ܾ
< 2，ݔͳ < ݔ2．当ݕͳ −ݕ2取得最大值
时，记点ܲ
向右平移3 个单位后的点为̵ܲ
，求线段̵ܲܳ
的中点的坐标．
9．已知二次函数ݕ=
ͳ
2 ݔ2 −݉
ݔ+ 2݉
−͵（m 为常数）．
(1)若该函数图象上有两个点ܣ݉
+ 2,ݕͳ 、ܤ݉
−ͳ,ݕ2 ，试比较ݕͳ与ݕ2的大小；
(2)当2 ݔͶ 时，函数有最小值为−2，请直接写出m 的值．
10．在平面直角坐标系ݔRݕ中，已知抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 −Ͷܽ
2ݔܽ
≠Ͳ ．
(1)当ܽ
= ͳ，且−2 ݔ䁡时，y 有最大值32，求n 的值；
(2)已知ܯݔͳ,ݕͳ 和ܰ
ݔ2,ݕ2 是抛物线上的两点．若对于ݔͳ = ͷܽ,ͷ ݔ2 ，都有ݕͳ > ݕ2，求a 的取值范
围．
11．已知二次函数ݕ= ݔ2 −2݉
ݔ+ 2݉
−ͳ．若点ܣܽ
,ݕͳ ，ܤܾ
,ݕ2 都是该二次函数图象上的点．
(1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含݉
的代数式表示）；
(2)若݉
=−͵，ܽ+ܾ
=−Ͷ，求证：ݕͳ + ݕ2 −͵Ͳ；
(3)若ܽ
= + ͳ，ܾ
= 2݉
−，且点ܣ在对称轴的左侧，求证：ݕͳ < ݕ2 −ͳ．
12．已知ܯ=ܽ
2 −ܾ
2，ܰ
= ͵ܽ+ 2ܾ，其中ܽ
，ܾ
为整数．
(1)当ܽ
= 2 时，求ܯ与ܰ
的大小关系；
(2)当ܾ
= ͳ 时，求ܯ+ܰ
的最小值；
(3)是否存在使ܯ+ ͵ = 2ܰ
的ܽ
，ܾ的值，若有请写出ܽ
，ܾ的值；没有则说明理由．
