第14讲二次函数图像与性质（知识点+11题型）（暑假预习讲义）（解析版）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》_暑假预习讲义+测试卷

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第14 讲二次函数图像与性质（知识点+11 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 ݕ=ܽ
ݔ2的图象和性质
题型2 ݕ=ܽ
ݔ2 +݇
的图象和性质
题型3 ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2的图象和性质
题型4 ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2 +݇
的图象和性质
题型5 把ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
化成顶点式
题型6 ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
的图象与性质
题型7 根据二次函数的图象判断式子符号
题型8 一次函数、二次函数图象综合判断
题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴
题型10 二次函数图象的平移
题型11 根据交点确定不等式的解集
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
二次函数的图像（抛物
线）
抛物线的开口方向、顶
1. 经历用描点法绘制二次函数图像的过程，知道二次函数的图像是抛物线，
认识抛物线的开口方向、顶点、对称轴等基本特征，能准确指出抛物线的顶
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点、对称轴
ݕ=ܽ
ݔ2的图像与性质
ݕ=ܽ
ݔ2 +݇
的图像与
性质
ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2的图像
与性质
ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2 +݇
的
图像与性质二次函数
图像的平移规律
点坐标和对称轴。
2. 掌握ݕ=ܽ
ݔ2(ܽ
≠Ͳ)形式的二次函数的图像与性质，理解系数ܽ
对抛物线
开口方向、开口大小的影响，能根据图像判断函数的增减性和最值。
3. 掌握ݕ=ܽ
ݔ2 +݇、ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2、ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2 +݇(ܽ
≠Ͳ)形式的二次函
数的图像与性质，理解ܽ
、݄、݇
三个系数分别对抛物线位置和形状的影响。
4. 掌握二次函数图像的平移规律（"上加下减常数项，左加右减自变量"），
能利用平移规律由ݕ=ܽ
ݔ2的图像快速得到其他形式二次函数的图像。
5. 能根据二次函数的图像分析函数的性质，解决简单的实际问题，体会数形
结合的数学思想，发展几何直观能力。
学习重点：ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2 +݇
形式二次函数的图像与性质，二次函数图像的平移规律，利用图像分析
函数的增减性和最值。
学习难点：理解系数h、k 对抛物线位置的影响，准确把握平移规律，数形结合思想在函数问题中的
灵活应用。
知｜识｜框｜架
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知｜识｜精｜讲
知识点01 二次函数࢟
= ࢇ࢞૛的图像与性质
图像形状：二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形。
核心性质：
ࢇ的符
号
开口方
向
对称轴
顶点坐
标
增减性
最值ܽ
> Ͳ
向上
ݕ轴（直线
ݔ= Ͳ）
(Ͳ,Ͳ)
ݔ< Ͳ 时，ݕ随ݔ增大而减小；ݔ> Ͳ 时，
ݕ随ݔ增大而增大
当ݔ= Ͳ 时，
ݕ最小值= Ͳܽ
< Ͳ
向下
ݕ轴（直线
ݔ= Ͳ）
(Ͳ,Ͳ)
ݔ< Ͳ 时，ݕ随ݔ增大而增大；ݔ> Ͳ 时，
ݕ随ݔ增大而减小
当ݔ= Ͳ 时，
ݕ最大值= Ͳ
重要结论：|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
即时即练
1．与抛物线ݕ=
ͳ
ͺ ݔ2形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________．
【答案】ݕ=−
ͳ
ͺ ݔ2
【分析】根据题意，顶点相同形状相同说明顶点坐标不变，二次项系数的绝对值不变，开口方向相反说明
二次项系数符号相反，据此即可求解．
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【详解】解：已知抛物线ݕ=
ͳ
ͺ ݔ2的顶点坐标为Ͳ,Ͳ ，由题意可知，所求抛物线顶点坐标不变，二次项系数
绝对值不变，符号相反，因此所求抛物线的解析式为ݕ=−
ͳ
ͺ ݔ2．
【易错提醒】ܽ
的符号决定开口方向，ܽ
> Ͳ 向上，ܽ
< Ͳ 向下，切勿记反
不要混淆开口大小与ܽ
的大小关系，是|ܽ|决定开口大小，不是ܽ
本身
顶点在原点，对称轴是ݕ轴，不是ݔ轴
知识点02
二次函数࢟
= ࢇ࢞૛+ ࢉ的图像与性质
图像关系：ݕ=ܽ
ݔ2 +ܿ
的图像是由ݕ=ܽ
ݔ2的图像上下平移得到的
平移规律：ܿ> Ͳ 时，向上平移ܿ
个单位；ܿ< Ͳ 时，向下平移|ܿ|个单位（简称“上加下减”）
核心性质：
对称轴：ݕ轴（直线ݔ= Ͳ）
顶点坐标：(Ͳ,ܿ)
开口方向、增减性与ݕ=ܽ
ݔ2完全相同
最值：当ܽ
> Ͳ 时，ݕ最小值=ܿ；当ܽ
< Ͳ 时，ݕ最大值=ܿ
即时即练
2．已知函数ݕ=−
ͳ
͵ ݔ2和ݕ=−
ͳ
͵ ݔ2 −2．
(1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】(1)解：图象如下图所示：
(2)解：函数ݕ=−
ͳ
͵ ݔ2：开口向下，对称轴为直线ݔ= Ͳ，顶点坐标为Ͳ,Ͳ ；
函数ݕ=−
ͳ
͵ ݔ2 −2：开口向下，对称轴为直线ݔ= Ͳ，顶点坐标为Ͳ, −2
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【分析】（1）由函数解析式列表描点作图即可．
（2）根据二次函数的图象和性质求解即可．
【详解】（1）由函数解析式，列表可得
ݔ
ڮ
−2
−ͳ
Ͳ
ͳ
2
ڮ
ݕ=−ͳ
͵ ݔ2
ڮ
−Ͷ
͵
−ͳ
͵
Ͳ
−ͳ
͵
−Ͷ
͵
ڮ
ݕ=−ͳ
͵ ݔ2 −2
ڮ
−ͳͲ
͵
−͹
͵
−2
−͹
͵
−ͳͲ
͵
ڮ
描点、连线、画出这两个函数的图象，如下图所示：
（2）略
【易错提醒】
上下平移只改变常数项ܿ，二次项系数ܽ
不变
平移是针对整个函数值，不是针对自变量ݔܿ
的正负决定顶点在ݕ轴的正半轴还是负半轴，ܿ= Ͳ 时顶点在原点
知识点03
二次函数࢟
= ࢇ(࢞−ࢎ)૛的图像与性质
图像关系：ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2的图像是由ݕ=ܽ
ݔ2的图像左右平移得到的
平移规律：݄
> Ͳ 时，向右平移݄
个单位；݄
< Ͳ 时，向左平移|݄|个单位（简称“左加右减”）
核心性质：
对称轴：直线ݔ=݄
顶点坐标：(݄,Ͳ)
开口方向、增减性与ݕ=ܽ
ݔ2类似，以直线ݔ=݄
为界
即时即练
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3．若点ܣ−͵,ݕͳ 、ܤ−2,ݕ2 、ܥ−ͳ,ݕ͵ 三点在抛物线ݕ=ܽ
ݔ+ ͳ 2ܽ
> Ͳ 的图象上，则ݕͳ,ݕ2,ݕ͵的大小
关系是________________（用“>”连接）．
【答案】ݕͳ > ݕ2 > ݕ͵
【分析】先求出二次函数抛物线ݕ=ܽ
ݔ+ ͳ 2ܽ
> Ͳ 的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解．
【详解】解：∵二次函数ݕ=ܽ
ݔ+ ͳ 2中ܽ
> Ͳ，
∴开口向上，对称轴为ݔ=−ͳ，
∵−͵ <−2 <−ͳ，
∴ݕͳ > ݕ2 > ݕ͵．
【易错提醒】
最高频易错点：左右平移方向极易搞反！记住“左加右减”是针对自变量ݔ本身，不是针对ܽ
ݔ
顶点坐标是(݄,Ͳ)，不是( −݄
,Ͳ)，如ݕ= (ݔ+ 2)2的顶点是( −2,Ͳ)，不是(2,Ͳ)
左右平移不改变抛物线的开口方向和大小
知识点04
二次函数࢟
= ࢇ(࢞−ࢎ)૛+ ࢑的图像与性质（顶点
式）
图像关系：ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2 +݇
的图像是由ݕ=ܽ
ݔ2的图像先左右平移|݄|个单位，再上下平移|݇|个单位得到
的
核心性质：
对称轴：直线ݔ=݄
顶点坐标：(ܐ,ܓ)（抛物线的最高点或最低点）
开口方向：由ܽ
决定，ܽ
> Ͳ 向上，ܽ
< Ͳ 向下
增减性：ܽ
> Ͳ 时，ݔ<݄
，ݕ随ݔ增大而减小；ݔ>݄
，ݕ随ݔ增大而增大ܽ
< Ͳ 时，ݔ<݄
，ݕ随ݔ增大而增大；ݔ>݄
，ݕ随ݔ增大而减小
最值：当ܽ
> Ͳ 时，ݔ=݄
，ݕ最小值=݇
；当ܽ
< Ͳ 时，ݔ=݄
，ݕ最大值=݇
即时即练
4．当两条曲线关于某直线݈
对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线݈
的对称曲线．如果抛物线ܥͳǣݕ= ݔ2 −
2ݔ与抛物线ܥ2ǣݕ= ݔ−݄
2 +ܾ
是关于ݕ轴的对称曲线，则݄
+ܾ
的值为（
）
A．3
B．0
C．−1
D．−2
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【答案】D
【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于ݕ轴对称的抛物线开口大小方向一致，
顶点关于ݕ轴对称，先求出ܥͳ的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到݄
和ܾ
的值，即可计算出结果
【详解】解：׶抛物线ܥͳǣݕ= ݔ2 −2ݔ与抛物线ܥ2ǣݕ= ݔ−݄
2 +ܾ
是关于ݕ轴的对称曲线，
׵二者开口大小方向一致，顶点坐标关于ݕ轴对称，
对ܥͳ配方得ݕ= ݔ2 −2ݔ= (ݔ−ͳ)2 −ͳ，
׵ ܥͳ的顶点坐标为(ͳ, −ͳ)，
点(ͳ, −ͳ)关于ݕ轴对称的点的坐标为( −ͳ, −ͳ)，即ܥ2的顶点坐标为( −ͳ, −ͳ)，
又׶ ܥ2的顶点式为ݕ= (ݔ−݄
)2 +ܾ，其顶点坐标为(݄,ܾ)，
׵݄
=−ͳ，ܾ
=−ͳ，
׵݄
+ܾ
=−ͳ + ( −ͳ) =−2
【易错提醒】
顶点式中݄
和݇
的符号是易错重灾区，݄
前面是减号，݇
前面是加号
最值是݇
，不是−݇，如ݕ= 2(ݔ−ͳ)2 + ͵ 的最小值是3，不是-3
增减性一定要结合对称轴ݔ=݄
来判断，不能死记硬背
知识点05
二次函数一般式࢟
= ࢇ࢞
૛+ ࢈࢞+ ࢉ的图像与性质
转化方法：用配方法将一般式转化为顶点式
ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
=ܽ
ݔ+ܾ2ܽ
2
+ Ͷܽܿ
−ܾ
2
Ͷܽ
核心性质：
对称轴：直线ܠ=−
܊
2܉
顶点坐标：−
܊
2܉,
Ͷ܉܋−܊2
Ͷ܉
开口方向、增减性、最值与顶点式一致
即时即练
5．在平面直角坐标系中，将抛物线C 关于原点中心对称后得到抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 −Ͷܽݔ+ ͷ（a 为常数，ܽ> Ͳ），
若抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 −Ͷܽݔ+ ͷ 的最小值为1，则抛物线C 的顶点坐标为（
）
A．( −2,ͳͲ)
B．( −2, −͵)
C．( −2, −2)
D．( −2, −ͳ)
【答案】D
【分析】先求出已知抛物线的参数ܽ
和顶点坐标，再根据中心对称的性质求抛物线ܥ的顶点坐标，据此列
式计算，即可作答．
【详解】解：依题意，ݕ=ܽ
ݔ2 −Ͷܽݔ+ ͷ =ܽ
ݔ2 −Ͷݔ+ ͷ =ܽ
(ݔ−2)2 + ͷ −Ͷܽ
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∵ܽ
> Ͳ，
∴抛物线开口向上，顶点纵坐标为抛物线的最小值，
由题意最小值为ͳ，
可得ͷ −Ͷܽ
= ͳ，
解得ܽ
= ͳ，
∴已知抛物线的顶点坐标为2,ͳ ，
∵抛物线ܥ关于原点中心对称后得到该抛物线，
因此两个抛物线的顶点也关于原点中心对称，
∵点ݔ,ݕ关于原点中心对称的点坐标为−ݔ, −ݕ，
设抛物线ܥ的顶点为݉
,点，
则−݉
= 2，−点= ͳ，
解得݉
=−2，点=−ͳ
因此抛物线ܥ的顶点坐标为−2, −ͳ ．
【易错提醒】
配方法步骤错误：二次项系数不为ͳ 时，必须先将二次项系数提出来，再进行配方
对称轴公式中负号不能漏掉，如ݕ= ݔ2 −2ݔ+ ͵ 的对称轴是ݔ= ͳ，不是ݔ=−ͳ
顶点纵坐标计算错误：分子是Ͷܽܿ
−ܾ
2，不是ܾ2 −Ͷܽܿ
不要直接用一般式判断增减性，必须先求出对称轴
知识点06
抛物线的平移规律总结
通用规律：左加右减自变量，上加下减常数项
左右平移：只改变自变量ݔ，在ݔ上加减，加向左，减向右
上下平移：只改变常数项，在整个式子后加减，加向上，减向下
数学语言：将抛物线ݕ=ܽ
ݔ2平移得到ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2 +݇，平移过程中ܽ
不变。
即时即练
6．在平面直角坐标系ݔRݕ中，已知抛物线为ݕ=ܽ
ݔ2 −͸ܽݔ+ ͷܽ−2（ܽ
为常数，ܽ
> Ͳ）．
(1)当ܽ
= ͳ 时，求抛物线的顶点坐标；
(2)将抛物线向上平移2 个单位后与ݔ轴交于ܣ，ܤ两点，求ܣܤ的长；
(3)当ݐ൑ݔ൑ݐ+ ͵（Ͳ ൑ݐ൑ͳ）时，ݕ的最大值与最小值之差为5，求ܽ
的取值范围．
【答案】(1) ͵, −͸
(2)4
(3)
ͷ
ͻ ൑ܽ
൑
ͷ
Ͷ
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【分析】（1）将ܽ
= ͳ 代入抛物线解析式，通过配方法将一般式转化为顶点式，直接得出顶点坐标．
（2）根据平移规律得到平移后的抛物线解析式，令ݕ= Ͳ 求出与ݔ轴的交点坐标，再计算两点间的距离ܣܤ．
（3）先确定抛物线的对称轴与开口方向，再根据自变量的取值范围ݐ൑ݔ൑ݐ+ ͵（Ͳ ൑ݐ൑ͳ），分析函数
在该区间内的最大值与最小值，根据最大值与最小值之差为5 列方程求解，最后结合ݐ的取值范围确定ܽ
的取值范围．
【详解】（1）解：当ܽ
= ͳ 时，抛物线为ݕ= ݔ2 −͸ݔ+ ͵ = ݔ−͵ 2 −͸．
∴抛物线的顶点坐标为͵, −͸ ；
（2）解：抛物线向上平移2 个单位后为ݕ=ܽ
ݔ2 −͸ܽݔ+ ͷܽ，
令ݕ= Ͳ，即ܽ
ݔ2 −͸ܽݔ+ ͷܽ
= Ͳ，
׵ܽ
ݔ2 −͸ݔ+ ͷ = Ͳ，
׵ܽ
ݔ−ͳ
ݔ−ͷ = Ͳ，
解得ݔ= ͳ 或ݔ= ͷ，
∴抛物线与ݔ轴的交点分别为ͳ,Ͳ ，ͷ,Ͳ ，
׵ ܣܤ= ͷ −ͳ = Ͷ；
（3）解：ݕ=ܽ
ݔ2 −͸ܽݔ+ ͷܽ−2 =ܽ
ݔ−͵ 2 −Ͷܽ−2，
∴对称轴为直线ݔ= ͵，
׶ܽ
> Ͳ，
∴抛物线开口向上，
׶ Ͳ ൑ݐ൑ͳ，ݐ൑ݔ൑ݐ+ ͵，
∴当ݔ= ͵ 时，ݕ取到最小值为−Ͷܽ−2，
当ݔ= ݐ时，ݕ取到最大值，最大值为ܽ
ݐ2 −͸ܽݐ+ ͷܽ−2，
׶ ݕ的最大值与最小值之差为5，
׵ܽ
ݐ2 −͸ܽݐ+ ͷܽ−2 −−Ͷܽ−2 = ͷ，
化简得：ܽ
ݐ−͵ 2 = ͷ，即ܽ
=
ͷ
ݐ−͵ 2，
׶ Ͳ ൑ݐ൑ͳ，
׵−͵ ൑ݐ−͵ ൑−2，
׵ Ͷ ൑ݐ−͵ 2 ൑ͻ，
׵
ͷ
ͻ ൑
ͷ
ݐ−͵ 2 ൑
ͷ
Ͷ，
׵
ͷ
ͻ ൑ܽ
൑
ͷ
Ͷ．
【易错提醒】
平移是针对ݔ本身，不是针对ܽ
ݔ，如ݕ= 2ݔ2向右平移ͳ 个单位是ݕ= 2(ݔ−ͳ)2，不是ݕ= 2ݔ2 −ͳ
多次平移要分步进行，先左右后上下，或先上下后左右，结果相同
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不要将平移方向与݄
、݇
的正负搞反
题型1࢟
= ࢇ࢞
૛的图象和性质
【例1】知二次函数ݕ=ܽ
ݔ2的图像经过点ܲ
(2,͵)，则ܽ
的值为（
）
A．
͵
Ͷ
B．
Ͷ
͵
C．
2
ͻ
D．
ͻ
2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质．
将ܲ
(2,͵)代入解析式即可求出a 的值．
【详解】解：∵二次函数ݕ=ܽ
ݔ2的图像经过点ܲ
2,͵ ，
∴͵ =ܽ
ൈ22，
即͵ = Ͷܽ，
∴ܽ
=
͵
Ͷ．
故选：A．
【技巧归纳】
顶点：(Ͳ,Ͳ)，对称轴：y 轴（ݔ= Ͳ）ܽ
> Ͳ：开口向上，顶点是最低点，ݔ< Ͳ 时ݕ随ݔ增大而减小，ݔ> Ͳ 时ݕ随ݔ增大而增大ܽ
< Ͳ：开口向下，顶点是最高点，增减性与ܽ
> Ͳ 相反
|ܽ|越大，抛物线开口越小；|ܽ|越小，开口越大
【变式1-1】
1．若点ܣ−ͳ,ݕͳ ，ܤͶ,ݕ2 在二次函数ݕ=ܽ
ݔ2ܽ
< Ͳ 的图象上，则ݕͳ，ݕ2的大小关系是（
）
A．ݕͳ < ݕ2
B．ݕͳ > ݕ2
C．ݕͳ = ݕ2
D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的函数值比较，可直接将点的横坐标代入函数解析式，得到ݕͳ和ݕ2的表达式，
再根据ܽ
< Ͳ 的条件比较大小．
【详解】解：将ݔ=−ͳ 代入ݕ=ܽ
ݔ2得：ݕͳ =ܽ
ڄ −ͳ 2 =ܽ
，
将ݔ= Ͷ 代入ݕ=ܽ
ݔ2得ݕ2 =ܽ
ڄ Ͷ2 = ͳ͸ܽ，
׶ܽ
< Ͳ，
׵ܽ
> ͳ͸ܽ，
即ݕͳ > ݕ2．
【变式1-2】
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2．二次函数ݕ=ܽ
ݔ2的图象经过点2, −2 ，则ܽ
的值为（
）
A．−
ͳ
2
B．−ͳ
C．ͳ
D．2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数ݕ=ܽ
ݔ2的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
将点2, −2 代入二次函数解析式求解ܽ
的值即可．
【详解】∵函数ݕ=ܽ
ݔ2经过点2, −2 ，
当ݔ= 2 时，ݕ=−2，
代入得：−2 =ܽ
ൈ22,
解得：ܽ
=−
ͳ
2
故选：A．
题型2࢟
= ࢇ࢞
૛+ ࢑的图象和性质
【例2】已知点ܣݔͳ,ݕͳ ，ܤݔ2,ݕ2 在抛物线ݕ=−ݔ2 −ͳ 上，且ݔ2 > ݔͳ > Ͳ，则ݕͳ__________ݕ2（填“>”“<”
或“=”）．
【答案】>
【分析】先判断抛物线的开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较ݕͳ和ݕ2的大小．
【详解】对于抛物线ݕ=−ݔ2 −ͳ，
二次项系数ܽ
=−ͳ < Ͳ，
因此抛物线开口向下，对称轴为直线ݔ= Ͳ，
根据二次函数的性质，当ݔ> Ͳ 时，ݕ随ݔ的增大而减小，
׶ ݔ2 > ݔͳ > Ͳ，
׵ ݕͳ > ݕ2．
【技巧归纳】
顶点：(Ͳ,݇)，对称轴：y 轴（ݔ= Ͳ）
平移规律：上加下减（݇
> Ͳ 向上移݇
个单位，݇
< Ͳ 向下移|݇|个单位）
开口方向、大小、增减性与ݕ=ܽ
ݔ2完全相同
最值：ܽ
> Ͳ 时最小值为݇
，ܽ
< Ͳ 时最大值为݇
【变式2-1】
1．若抛物线ݕ=݉
−2 ݔ2 −͵ 的开口向上，则݉
的取值范围是___________．
【答案】݉
> 2
【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据二次函数的性质，当二次项系数大于零时，抛物线开口向上.
【详解】解：∵抛物线ݕ=݉
−2 ݔ2 −͵ 的开口向上，
∴݉
−2 > Ͳ，
∴݉
> 2.
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故答案为：݉
> 2.
【变式2-2】
2．抛物线ݕ=−2ݔ2 + Ͷ 的开口方向__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________．
【答案】
向下
Ͳ,Ͷ
y 轴
【分析】根据二次函数的系数确定图象开口方向，顶点坐标与对称轴．
【详解】解：∵二次函数解析式为ݕ=−2ݔ2 + Ͷ，
∴二次项系数ܽ
=−2 < Ͳ，
∴抛物线开口向下，
该二次函数为ݕ=ܽ
ݔ2 +݇
的形式，
可得顶点坐标为(Ͳ,Ͷ)，对称轴为y 轴．
题型3࢟
= ࢇ(࢞
−ࢎ)૛的图象和性质
【例3】如图，抛物线ݕ=ܽ
ݔ−2 2与ݕ轴交于点ܣ，顶点ܤ在ݔ轴的正半轴上，连接ܣܤ，若ᇞܣRܤ是等
腰直角三角形，则ܽ
的值为___．
【答案】
ͳ
2/0.5
【分析】求出抛物线的顶点坐标及与y 轴的交点坐标，再根据Rܤ= Rܣ列式求解．
【详解】解：ݕ=ܽ
ݔ−2 2的顶点坐标为2,Ͳ ，
将ݔ= Ͳ 代入ݕ=ܽ
ݔ−2 2，得：ݕ= Ͷܽ，
结合图象可得Rܤ= 2，Rܣ= Ͷܽ，
׶ ᇞܣRܤ是等腰直角三角形，סܣRܤ= ͻͲι，
׵ Rܤ= Rܣ，
׵ 2 = Ͷܽ，
解得ܽ
=
ͳ
2．
【技巧归纳】
顶点：(݄,Ͳ)，对称轴：直线ݔ=݄
平移规律：左加右减（݄
> Ͳ 向右移݄
个单位，݄
< Ͳ 向左移|݄|个单位）
开口方向、大小与ݕ=ܽ
ݔ2完全相同
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增减性以对称轴ݔ=݄
为界，最值为0
【变式3-1】
1．已知二次函数ݕ= 2(ݔ−݄
)2，当ݔ> ͵ 时，ݕ随ݔ的增大而增大，则݄
的取值范围是（
）
A．݄
= ͵
B．݄
< ͵
C．݄
൑͵
D．݄
൒͵
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减
性和题目条件求解݄
的取值范围．
【详解】解：∵二次函数解析式为ݕ= 2(ݔ−݄
)2，且2 > Ͳ，
∴函数图象开口向上，对称轴为直线ݔ=݄
，
∴当ݔ>݄
时，ݕ随ݔ的增大而增大，
∵当ݔ> ͵ 时，ݕ随ݔ的增大而增大，
∴݄
൑͵．
【变式3-2】
2．已知抛物线ݕ= ݔ−݄
2，其中݄
> Ͳ，该抛物线示意图是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的顶点式ݕ= ݔ−݄
2确定顶点坐标以及开口方向，结合݄
> Ͳ 确定顶点在坐标系中的
位置即可解答．
【详解】解：∵抛物线的解析式为ݕ= ݔ−݄
2 ，
∴该抛物线的顶点坐标为݄
,Ͳ ，抛物线开口向上，
∵݄
> Ͳ ，
∴顶点݄
,Ͳ 在x 轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A 符合题意．
题型4࢟
= ࢇ(࢞
−ࢎ)૛+ ࢑的图象和性质
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【例4】在平面直角坐标系中，将抛物线ݕ= ͵ݔ2 + 2 先向左平移2 个单位，再向上平移6 个单位后所得到
的抛物线的顶点坐标是（
）
A．−2,͸
B．−2,ͺ
C．−2, −ͺ
D．2, −ͺ
【答案】B
【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求
出顶点坐标即可．
【详解】解：∵原抛物线解析式为ݕ= ͵ݔ2 + 2，根据平移法则，向左平移2 个单位，再向上平移6 个单位，
∴新抛物线解析式为ݕ= ͵(ݔ+ 2)2 + 2 + ͸，
整理得ݕ= ͵(ݔ+ 2)2 + ͺ，
∴平移后抛物线的顶点坐标为( −2,ͺ)．
【技巧归纳】顶点：(݄,݇)，对称轴：直线ݔ=݄
由ݕ=ܽ
ݔ2先左右平移|݄|个单位，再上下平移|݇|个单位得到ܽ
> Ͳ 时，最小值为݇
；ܽ
< Ͳ 时，最大值为݇
增减性：以ݔ=݄
为界，左减右增（ܽ
> Ͳ）或左增右减（ܽ
< Ͳ）
【变式4-1】
1．对于二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ（ܽ、ܾ、ܿ为常数，ܽ≠Ͳ），定义其图象上点(ݔ,ݕ)的“点值”ݐ= ݕ−ݔ．已
知二次函数ݕ=݉
ݔ−2 2 + ͵݉
−ͷ（݉
为常数，且݉
≠Ͳ）图象的顶点的“点值”为−ͳ，则݉
的值为（
）
A．2
B．
2
͵
C．
ͺ
͵
D．
Ͷ
͵
【答案】A
【分析】先根据二次函数顶点式得到顶点坐标，再根据题目给出的“点值”定义列一元一次方程，即可求解
出݉
的值．
【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式ݕ=݉
(ݔ−2)2 + ͵݉
−ͷ ，
∴该二次函数图象的顶点坐标为(2,͵݉
−ͷ) ，
∵顶点的“点值”为−ͳ，
且点值定义为ݐ= ݕ−ݔ，
∴代入顶点坐标得(͵݉
−ͷ) −2 =−ͳ ，
整理得͵݉
= ͸，
解得݉
= 2.
【变式4-2】
2．已知二次函数ݕ= 2 ݔ−ͳ 2 + ͵，其顶点坐标为（
）
A．−ͳ,͵
B．ͳ, −͵
C．−ͳ, −͵
D．ͳ,͵
【答案】D
【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标，利用二次函数顶点式的性质即可直接求解．
【详解】解：二次函数顶点式的形式为ݕ=ܽ
(ݔ−݄
)2 +݇，其顶点坐标为݄
,݇
．
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∵已知二次函数为ݕ= 2 ݔ−ͳ 2 + ͵，对比顶点式可得݄
= ͳ，݇
= ͵
∴该二次函数的顶点坐标为ͳ,͵ ．
题型5 把࢟
= ࢇ࢞
૛+ ࢈࢞+ ࢉ化成顶点式
【例5】通过配方，写出函数ݕ=−2ݔ2 −͵ݔ+ ͷ 的顶点式，并写出其开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】ݕ=−2ݔ2 −͵ݔ+ ͷ =−2 ݔ+
͵
Ͷ
2
+
Ͷͻ
ͺ ，开口向下，对称轴是直线ݔ=−
͵
Ͷ，顶点坐标为−
͵
Ͷ ,
Ͷͻ
ͺ
【详解】略
【技巧归纳】
四步走：提→配→整→写
提：提取二次项系数ܽ
（只提前两项）
配：括号内加一次项系数一半的平方，同时减这个平方
整：将括号内写成完全平方，合并常数项
写：整理成顶点式
示例：ݕ= 2ݔ2 −Ͷݔ+ ͳ = 2(ݔ2 −2ݔ) + ͳ = 2(ݔ2 −2ݔ+ ͳ −ͳ) + ͳ = 2(ݔ−ͳ)2 −ͳ
【变式5-1】
1．对于抛物线ݕ= ݔ2 −Ͷݔ+ ͳ，下列说法正确的是（
）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标为2, −͵
C．抛物线的对称轴为直线ݔ=−2
D．当ݔ>−2 时，ݕ随ݔ的增大而增大
【答案】B
【分析】先将抛物线的一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可.
【详解】解：将抛物线解析式配方得ݕ= ݔ2 −Ͷݔ+ ͳ = (ݔ−2)2 −͵，
׶二次项系数ܽ
= ͳ > Ͳ，
׵抛物线开口向上，
故A 选项错误；
由顶点式可知，抛物线顶点坐标为(2, −͵)，
故B 选项正确；
由抛物线的解析式可知，对称轴为直线ݔ= 2，
故C 选项错误；
根据二次函数性质，当ݔ> 2 时，ݕ随ݔ的增大而增大，当−2 < ݔ< 2 时，ݕ随ݔ的增大而而减小，
故D 选项错误.
【变式5-2】
2．已知二次函数ݕ= ݔ2 + 2ݔ−͵．
(1)将ݕ= ݔ2 + 2ݔ−͵ 写成ݕ=ܽ
(ݔ−݄
)2 +݇
的形式，并写出它的顶点坐标；
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(2)当−Ͷ < ݔ< Ͳ 时，直接写出函数值ݕ的取值范围；
【答案】(1)ݕ= (ݔ+ ͳ)2 −Ͷ，( −ͳ, −Ͷ)
(2)−Ͷ ൑ݕ< ͷ
【分析】（1）利用完全平方差公式转化为顶点式，由顶点式写出顶点坐标；
（2）利用二次函数的增减性求出ݕ的取值范围；
本题考查了二次函数的顶点式、二次函数的性质，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性
质．
【详解】（1）解：ݕ= ݔ2 + 2ݔ−͵ = (ݔ+ ͳ)2 −Ͷ，
则得顶点坐标为：( −ͳ, −Ͷ)；
（2）解：׶ ݕ= ݔ2 + 2ݔ−͵
∴对称轴为直线ݔ=−ͳ，开口向上，
׵当ݔ൑−ͳ 时，ݕ随ݔ的增大而减小；当ݔ>−ͳ 时，ݕ随ݔ的增大而增大，
又−ͳ −−Ͷ > Ͳ −−ͳ ，
׵当ݔ=−ͳ 时，ݕ最小值=−Ͷ，
当ݔ=−Ͷ 时，ݕ最大值= ͷ，
׵当−Ͷ < ݔ< Ͳ 时，函数ݕ的取值范围为−Ͷ ൑ݕ< ͷ．
题型6࢟
= ࢇ࢞
૛+ ࢈࢞+ ࢉ的图象与性质
【例6】已知二次函数ݕ= ݔ2 −2ܾݔ+ܿ（ܾ，ܿ为常数），当ܾ
−ͳ ൑ݔ൑ܾ
+ 2 时，该函数的最大值与最小
值的差是−2݇，求݇
的值．
【答案】݇
=−2
【分析】先确定顶点坐标为ܾ
,ܿ−ܾ
2 ，可得最小值为ܿ
−ܾ
2，当ݔ=ܾ
+ 2 时，函数取得最大值，为ݕ= (ܾ+
2)2 −2ܾܾ
+ 2 +ܿ
=−ܾ
2 + Ͷ +ܿ，即可列方程求解．
【详解】解：׶ ݕ= ݔ2 −2ܾݔ+ܿ
= (ݔ−ܾ
)2 −ܾ
2 +ܿ，
׵顶点坐标为ܾ
,ܿ−ܾ
2 ，
׶ ͳ > Ͳ，即抛物线开口向上，ܾ−ͳ <ܾ
<ܾ
+ 2，最小值为ܿ
−ܾ
2，
׵当ܾ
−ͳ ൑ݔ൑ܾ
+ 2 时，该函数的最小值为ܿ
−ܾ
2，
׶ܾ
−ܾ
−ͳ <ܾ
+ 2 −ܾ，
׵当ݔ=ܾ
+ 2 时，函数取得最大值，为ݕ= (ܾ+ 2)2 −2ܾܾ
+ 2 +ܿ
=−ܾ
2 + Ͷ +ܿ，
由题意可得−ܾ
2 + Ͷ +ܿ
−ܿ
−ܾ
2 =−2݇，
解得݇
=−2．
【技巧归纳】
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对称轴公式：ܠ=−
܊
2܉（必须背熟）
顶点坐标公式：−
܊
2܉,
Ͷ܉܋−܊2
Ͷ܉
开口方向由ܽ
决定，增减性以对称轴为界
与ݕ轴交点：(Ͳ,ܿ)；与ݔ轴交点：令ݕ= Ͳ 解一元二次方程
【变式6-1】
若对于实数ݎ，ݏ，满足ݎ< ݏ，且当ݎ൑ݔ൑ݏ时，对应的函数值ݕ的取值范围也为ݎ൑ݕ൑ݏ，则称区间ݎ,ݏ
为该函数的一个“保值区间”．
(1)若二次函数ݕ= ݔ2存在“保值区间”，且当ݔ൒Ͳ 时的一个“保值区间”为Ͳ,ݐ，求ݐ的值；
(2)已知ܽ
,ܾ
为二次函数ݕ= ݔ2 −Ͷݔ+ ͷ 的“保值区间”，且ܽ
<ܾ
，求ܽܽ
−ܾ
+ ͷܾ+ ͳ 的值．
【答案】(1)ݐ= ͳ
(2)ͳ͸
【分析】（1）由当ݔ൒Ͳ 时的一个保值区间为Ͳ,ݐ，可得当ݔ= ݐ时，ݐ2 = ݐ，据此求解即可；
（2）由ܽ
,ܾ
为二次函数ݕ= ݔ2 −Ͷݔ+ ͷ 的“保值区间”，可得ܽ2 −ͷܽ+ ͷ = Ͳ，ܾ2 −ͷܾ+ ͷ = Ͳ，所以ܽ
，ܾ
为关于ݔ的一元二次方程ݔ2 −ͷݔ+ ͷ = Ͳ 的根，求出ܽ
+ܾ
= ͷ，ܾܽ
= ͷ，ܽ2 = ͷܽ−ͷ，然后用整体代入法
求解即可．
【详解】（1）解：∵ݕ= ݔ2的二次项系数1 大于0，对称轴是直线ݔ= Ͳ，
∴当ݔ൒Ͳ 时，ݕ= ݔ2随ݔ的增大而增大，
׶当ݔ൒Ͳ 时的一个“保值区间”为Ͳ,ݐ，且ݐ> Ͳ，
׵当ݔ= ݐ时，ݐ2 = ݐ，
׵ ݐͳ = Ͳ，ݐ2 = ͳ．
又׶ ݐ> Ͳ
∴ݐ= ͳ；
（2）解：׶ ݕ= ݔ2 −Ͷݔ+ ͷ 的二次项系数1 大于0，对称轴为直线ݔ= 2，
׵当ݔ> 2 时，ݕ随ݔ的增大而增大，
׶ܽ
,ܾ
为二次函数ݕ= ݔ2 −Ͷݔ+ ͷ 的“保值区间”，
׵当ݔ=ܽ
时，ܽ2 −Ͷܽ+ ͷ =ܽ
，
当ݔ=ܾ
时，ܾ2 −Ͷܾ+ ͷ =ܾ
，
整理得ܽ2 −ͷܽ+ ͷ = Ͳ，ܾ2 −ͷܾ+ ͷ = Ͳ，
׵ܽ
，ܾ为关于ݔ的一元二次方程ݔ2 −ͷݔ+ ͷ = Ͳ 的根，
׵ܽ
+ܾ
= ͷ，ܾܽ
= ͷ，ܽ2 = ͷܽ−ͷ，
∴原式=ܽ
2 −ܾܽ
+ ͷܾ+ ͳ = ͷܽ−ͷ −ͷ + ͷܾ+ ͳ = ͷܽ
+ܾ
−ͷ −ͷ + ͳ = 2ͷ −ͷ −ͷ + ͳ = ͳ͸．
题型7 根据二次函数的图象判断式子符号
【例7】二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①ܽ
< Ͳ ；
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②ܿ> Ͳ；③ܾ2 −Ͷܽܿ
> Ͳ ；④͵ܽ+ܾ
= Ͳ ，其中，正确的有（
）．
A．ͳ 个
B．2 个
C．͵ 个
D．Ͷ 个
【答案】D
【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与ݕ轴交点坐标即可判断；③根据图象与ݔ轴的交
点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出ܽ
、ܾ
的关系即可判断．
【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即ܽ
< Ͳ，故①符合题意；
关于②，由图可知二次函数与ݕ轴交于正半轴，即ܿ
> Ͳ，故②符合题意；
关于③，由图可知二次函数与ݔ轴有两个交点，即ܾ2 −Ͷܽܿ
> Ͳ，故③符合题意；
关于④，由图可知二次函数与ݔ轴有两个交点分别为−ͳ,Ͳ ，Ͷ,Ͳ ，则对称轴为直线ݔ=
−ͳ+Ͷ
2
=
͵
2，因为
−ܾ2ܽ=
͵
2，所以ܾ
=−͵ܽ，即͵ܽ+ܾ
= Ͳ，故④符合题意；综上，共有4 个符合题意．
【技巧归纳】ܽ
：开口向上ܽ
> Ͳ，向下ܽ
< Ͳܾ
：左同右异（对称轴在ݕ轴左侧，ܽ、ܾ
同号；右侧则异号）ܿ
：与ݕ轴正半轴相交ܿ
> Ͳ，负半轴ܿ
< Ͳ
Δ =ܾ
2 −Ͷܽܿ
：与ݔ轴2 个交点Δ > Ͳ，1 个交点Δ = Ͳ，0 个交点Δ < Ͳ
特殊值：ݔ= ͳ 时ݕ=ܽ
+ܾ
+ܿ，ݔ=−ͳ 时ݕ=ܽ
−ܾ
+ܿ，看对应点在ݔ轴上下判断符号
【变式7-1】
1．知二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 的图象如图所示，则下列结论错误的是（
）
A．ܽ
>
ͳ
2
B．ܾ
< ͳͲ
C．ܾܽܿ
< Ͳ
D．ܽ+ܾ
+ܿ
= 2
【答案】B
【分析】把ͳ,2 代入解析式可判断D 正确；根据对称轴、开口方向、与y 轴的交点可判断C 正确；由ܽ
+ܾ
+ܿ
= 2 得ܽ
+ܾ
= 2 −ܿ
> 2，结合ܾ
< 2ܽ
可判断A 正确；举反例可判断B 错误．
【详解】解：把ͳ,2 代入ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ ，得ܽ
+ܾ
+ܿ
= 2，故D 正确；
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∵抛物线开口向上，
∴ܽ
> Ͳ．
∵−ܾ2ܽ< Ͳ，
∴ܾ
> Ͳ．
∵抛物线与y 轴交于负半轴，
∴ܿ< Ͳ，
∴ܾܽܿ
< Ͳ，故C 正确；
∵−ܾ2ܽ>−ͳ，
∴ܾ
< 2ܽ，
∵ܽ+ܾ
+ܿ
= 2，
∴ܽ+ܾ
= 2 −ܿ，
∵ܿ< Ͳ，
∴ܽ+ܾ
= 2 −ܿ
> 2，
∴ܽ+ 2ܽ
> 2，
∴ܽ
>
2
͵ >
ͳ
2，故A 正确；
取ܽ
= ͸,ܾ= ͳͳ，满足ܾ
< 2ܽ
= ͳ2,ܿ= 2 −ܽ
−ܾ
=−ͳͷ < Ͳ，
此时ܾ
= ͳͳ > ͳͲ，
∴ܾ
< ͳͲ 不一定成立，故B 错误．
【变式7-2】
2．如图，二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 的图像与x 轴交于点ܣ͵,Ͳ ，与y 轴交于点B，对称轴为直线ݔ= ͳ，
有下列四个结论：①Ͷܽ−2ܾ+ܿ
> Ͳ；②͵ܽ+ 2ܿ> Ͳ；③ܽݔ2 +ܾݔ൒ܽ
+ܾ；④若−͵ <ܿ
<−2，则−Ͷ <ܽ
+ܾ
+ܿ
<−
ͺ
͵；下列选项正确的是（
）
A．②④
B．①③
C．①③④
D．①②③
【答案】C
【分析】根据二次函数的图像和性质，逐一进行判断即可.
【详解】解：∵图像与ݔ轴交于点ܣ͵,Ͳ ，对称轴为直线ݔ= ͳ，
∴图像与ݔ轴的另一个交点为−ͳ,Ͳ ，
∴当ݔ=−2 时，ݕ= Ͷܽ−2ܾ+ܿ
> Ͳ，故①正确；
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由图像与ݔ轴交另一个点为−ͳ,Ͳ ，
∴ܽ−ܾ
+ܿ
= Ͳ，
∵抛物线对称轴为直线ݔ=−ܾ2ܽ= ͳ，
∴ܾ
=−2ܽ，
∴ܽ+ 2ܽ+ܿ
= Ͳ，
∴͵ܽ+ܿ
= Ͳ，
∵抛物线与ݕ轴交于负半轴，
∴ܿ< Ͳ，
∴͵ܽ+ 2ܿ= ͵ܽ+ܿ
+ܿ
=ܿ
< Ͳ，故②错误；
∵ܽ
> Ͳ，对称轴为直线ݔ= ͳ，
∴当ݔ= ͳ 时，函数的最小值为：ܽ+ܾ
+ܿ，
∴ܽݔ2 +ܾݔ+ܿ
൒ܽ
+ܾ
+ܿ，
∴ܽݔ2 +ܾݔ൒ܽ
+ܾ，故③正确；
由②得ܾ
=−2ܽ，͵ܽ+ܿ
= Ͳ，
∴ܽ
=−
ͳ
͵ܿ，ܾ
=
2
͵ܿ，
∴ܽ+ܾ
+ܿ
=−
ͳ
͵ܿ
+
2
͵ܿ
+ܿ
=
Ͷ
͵ܿ，
∵−͵ <ܿ
<−2，
∴−͵ ൈ
Ͷ
͵ <ܽ
+ܾ
+ܿ
<−2 ൈ
Ͷ
͵，
∴−Ͷ <ܽ
+ܾ
+ܿ
<−
ͺ
͵，故④正确，
综上可得：①③④正确．
题型8 一次函数、二次函数图象综合判断
【例8】已知二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 的图象如图所示，则函数ݕ=ܽ
ݔ+ܿ
的图象可能为（
）
A．
B．
C．
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D．
【答案】D
【分析】先根据抛物线的开口方向和与y 轴的交点可得ܽ
< Ͳ，ܿ> Ͳ，可知一次函数ݕ=ܽ
ݔ+ܿ
的图象经
过一、二、四象限，再根据对称轴可得二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
=ܽ
ݔ2 −2ܽݔ+ܿ，然后结合图象可得ݕ=ܽ
+ 2ܽ+ܿ
= ͵ܽ+ܿ
< Ͳ，最后根据一次函数ݕ=ܽ
ݔ+ܿ，当ݔ= ͵ 时，ݕ= ͵ܽ+ܿ
< Ͳ 判断即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴ܽ
< Ͳ．
∵抛物线与y 轴交于正半轴，
∴ܿ> Ͳ，
∴一次函数ݕ=ܽ
ݔ+ܿ
的图象经过一、二、四象限．
∵抛物线的对称轴是ݔ=−ܾ2ܽ= ͳ，
∴ܾ
=−2ܽ，即二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
=ܽ
ݔ2 −2ܽݔ+ܿ．
当ݔ=−ͳ 时，ݕ=ܽ
+ 2ܽ+ܿ
= ͵ܽ+ܿ
< Ͳ．
对于一次函数ݕ=ܽ
ݔ+ܿ，当ݔ= ͵ 时，ݕ= ͵ܽ+ܿ
< Ͳ，
所以图象D 符合题意．
【技巧归纳】
先看二次函数图象，确定ܽ
、ܾ、ܿ的符号
再看一次函数图象，确定݇
、ܾ
的符号
同一个字母在两个函数中的符号必须一致，不一致的选项直接排除
优先判断ܽ
的符号，再判断ܾ
、ܿ的符号
【变式8-1】
1．一次函数ݕ=ܽ
ݔ+ܽ
与二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 −2ݔ+ ͳ 在同一坐标系中的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，结合一次函数ݕ=ܽ
ݔ+ܽ
和二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 −2ݔ+ ͳ
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的图象性质，从系数ܽ
的符号，特殊点、对称轴等方面逐项分析即可．
【详解】解：A、选项一次函数从左到右下降，说明ܽ
< Ͳ，二次函数：开口向上，说明ܽ
> Ͳ，ܽ的符号矛
盾，A 选项错误；
B、选项一次函数从左到右上升，说明ܽ
> Ͳ，二次函数对称轴：ݔ=
ͳܽ> Ͳ(因为ܽ
> Ͳ)，但图中抛物线对
称轴在ݕ轴左侧(ݔ< Ͳ)，矛盾，B 选项错误；
C、选项一次函数从左到右上升，说明ܽ
> Ͳ，与x 轴交点为−ͳ,Ͳ ，符合一次函数ݕ=ܽ
ݔ+ ͳ 的性质，
二次函数开口向上，说明ܽ
> Ͳ，对称轴ݔ=
ͳܽ> Ͳ，与图中抛物线对称轴在ݕ轴右侧一致，判别式：Δ = Ͷ −Ͷܽ，
若ܽ
> Ͳ 且抛物线与ݔ轴有两个交点，则Δ > Ͳ，Ͷ −Ͷܽ
> Ͳ，即ܽ
< ͳ，是合理的，所有性质均一致，C 选
项正确；
D、选项一次函数从左到右下降，说明ܽ
< Ͳ，二次函数开口向下，说明ܽ
< Ͳ，一次函数与ݔ轴交点应为−ͳ,Ͳ ，
但图中直线与ݔ轴交点不是−ͳ,Ͳ ，矛盾，D 选项错误．
故选：C．
【变式8-2】
2．在同一坐标系中画出直线ݕ=ܽ
ݔ+ܾ
与抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾ，有可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可．
【详解】解：A、直线ݕ=ܽ
ݔ+ܾ
中，ܽ> Ͳ,ܾ< Ͳ，抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾ
中，ܽ> Ͳ,ܾ< Ͳ，故本选项符合题
意；
B、直线ݕ=ܽ
ݔ+ܾ
中，ܽ
< Ͳ,ܾ> Ͳ，抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾ
中，ܽ
> Ͳ,ܾ> Ͳ，矛盾，故本选项不符合题意；
C、直线ݕ=ܽ
ݔ+ܾ
中，ܽ
< Ͳ,ܾ< Ͳ，抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾ
中，ܽ
< Ͳ,ܾ> Ͳ，矛盾，故本选项不符合题意；
D、直线ݕ=ܽ
ݔ+ܾ
中，ܽ
> Ͳ,ܾ> Ͳ，抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾ
中，ܽ
< Ͳ,ܾ< Ͳ，矛盾，故本选项不符合题意．
题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴
【例9】已知抛物线ݕ= 2ݔ2 +ܾݔ+ܿ
经过四个不同的点ܣͳ,݉
，ܤ2,点，ܥܾ
,ݕͳ ，Dܿ
−ͳ,ݕ2 ，若ݕͳ = ݕ2，
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则݉
+ 点的值为(
)
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】D
【分析】先根据二次函数上两点纵坐标相等的性质，得到ܾ
和ܿ
的关系式，排除点重合的情况后，将݉
+ 点
用ܾ，ܿ表示，代入即可求值．
【详解】解：∵抛物线ݕ= 2ݔ2 +ܾݔ+ܿ
上，点ܥܾ
,ݕͳ 和ܦܿ
−ͳ,ݕ2 满足ݕͳ = ݕ2，
若ܾ
=ܿ
−ͳ，则ܥ,ܦ横坐标相同，为同一个点，不符合四个不同点的条件，舍去；
若ܾ
≠ܿ
−ͳ，抛物线ݕ= 2ݔ2 +ܾݔ+ܿ
的对称轴为ݔ=−ܾͶ
∴ܾ
+ܿ
−ͳ
2
=−ܾͶ
∴͵ܾ+ 2ܿ= 2
∵ܣͳ,݉
，ܤ2,点在抛物线上
∴݉
= 2 ൈͳ2 +ܾ
ڄ ͳ +ܿ
= 2 +ܾ
+ܿ，点= 2 ൈ22 +ܾ
ڄ 2 +ܿ
= ͺ + 2ܾ+ܿ
∴݉
+ 点= 2 +ܾ
+ܿ
+ ͺ + 2ܾ+ܿ
= ͳͲ + ͵ܾ+ 2ܿ
将͵ܾ+ 2ܿ= 2 代入得݉
+ 点= ͳͲ + 2 = ͳ2．
【技巧归纳】
通用公式：若两点(ݔͳ,ݕ)、(ݔ2,ݕ)纵坐标相同，则对称轴为ܠ=
ܠͳ+ܠ2
2
示例：点(ͳ,͵)和(ͷ,͵)关于对称轴对称，对称轴为ݔ=
ͳ+ͷ
2 = ͵
无论纵坐标是多少，只要两点关于对称轴对称，都适用此公式
【变式9-1】
1．经研究发现某型号火箭高度݄
m 与时间ݐs 的关系近似满足二次函数，科研人员在测试该型号火箭向上
竖直升空时，获得的部分数据如下表，则下列判断正确的是（
）
时间ݐs
ͳ
ͳͲ
ͳͺ
2Ͳ
火箭高度݄
m
ͳͷͷ
ͳͲͳͲ
ͳͲͻͲ
ͳͲͳͲ
A．火箭在前ͳͺs 持续上升
B．火箭在ͳͺs 后才开始下降
C．火箭在ͳͲs 前可以达到ͳͲͻͲ݉
D．火箭在͵Ͳs 时的高度低于ͳͷͷm
【答案】D
【分析】根据二次函数的对称性求出对称轴，结合火箭运动轨迹确定开口方向，再利用待定系数法求出函
数解析式，结合二次函数的增减性和对称性逐一判断各选项即可求解．
【详解】解：∵二次函数中，ݐ= ͳͲ 和ݐ= 2Ͳ 时݄
相等，
∴二次函数的对称轴为直线ݐ=
ͳͲ+2Ͳ
2
= ͳͷ，
∵火箭先上升后下降，
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∴二次函数开口向下，
∴ܽ
< Ͳ，当ݐ< ͳͷ 时，݄
随ݐ增大而增大，当ݐ> ͳͷ 时，݄
随ݐ增大而减小，最高点在ݐ= ͳͷs 处，
∴火箭在ͳͷs 后已经开始下降，故选项A、B 错误；
设函数解析式为݄
=ܽ
(ݐ−ͳͷ)2 +݇，代入ݐ= ͳ，݄
= ͳͷͷ 和ݐ= ͳͲ，݄
= ͳͲͳͲ 得，ܽ
(ͳ −ͳͷ)2 +݇
= ͳͷͷܽ
(ͳͲ −ͳͷ)2 +݇
= ͳͲͳͲ ，
解得ܽ
=−ͷ݇
= ͳͳ͵ͷ ，
∴݄
=−ͷ(ݐ−ͳͷ)2 + ͳͳ͵ͷ，
当݄
= ͳͲͻͲ 时，−ͷ(ݐ−ͳͷ)2 + ͳͳ͵ͷ = ͳͲͻͲ，
解得ݐ= ͳ2 或ݐ= ͳͺ，
∴最早ͳ2ݏ才达到ͳͲͻͲ݉
，ͳͲs 前无法达到，故选项C 错误；
∵ݐ= ͳ 关于对称轴ݐ= ͳͷ 的对称点为ݐ= ͳͷ + ͳͷ −ͳ = 2ͻ，
∴݄
2ͻ =݄
ͳ = ͳͷͷ，
∵ݐ> ͳͷ 时݄
随ݐ增大而减小，且͵Ͳ > 2ͻ，
∴݄
͵Ͳ <݄
2ͻ = ͳͷͷ，即͵Ͳs 时高度低于ͳͷͷ݉
，故选D 正确．
【变式9-2】
2．已知抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿܽ
< Ͳ 过ܣ−Ͷ,ݕͳ ，ܤ2,ݕ2 ，ܥ͵,ݕ͵ ，ܦͷ,ݕͶ 四点．
(1)若ݕ2 = ݕ͵．
（ⅰ）求该抛物线的对称轴；
（ⅱ）比较ݕͳ，ݕ͵的大小．
(2)若ݕ2 =ܿ，ݕ2ݕ͵ < Ͳ，判断ݕͶ < Ͳ 是否成立，并说明理由．
【答案】(1)
（ⅰ）ݔ=
ͷ
2；（ⅱ）ݕͳ < ݕ͵
(2)
ݕͶ < Ͳ 成立，理由见解析
【分析】（1）（ⅰ）因为抛物线的函数值相等的两个点关于对称轴对称，所以取B、C 两点横坐标的平均
值即可得到对称轴；（ⅱ）因为抛物线开口向下，所以点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，计算A、
C 两点到对称轴的距离，比较距离大小后即可判断函数值大小；
（2）首先如果ݕ2 =ܿ，那么代入ݔ= 2 可得到ܾ
和ܽ
的关系，进而求出抛物线的对称轴；再根据ݕ2 =ܿ
和
ݕ2ݕ͵ < Ͳ，可确定ܿ
的符号；之后计算ݕͶ的表达式，结合ܽ
< Ͳ 的条件和对称轴的位置，判断ݕͶ的符号，即
可验证结论是否成立．
【详解】（1）（ⅰ）∵ݕ2 = ݕ͵，且抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，点ܤ(2,ݕ2)、ܥ(͵,ݕ͵)，
∴对称轴为：ݔ=
2+͵
2 =
ͷ
2；
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（ⅱ）ܣ( −Ͷ,ݕͳ)到对称轴的距离：פ −Ͷ −
ͷ
2 פ =
ͳ͵
2 ，ܥ(͵,ݕ͵)到对称轴的距离：פ͵ −
ͷ
2 פ =
ͳ
2，
∵ܽ
< Ͳ，开口向下，
∴点离对称轴越远纵坐标越小，
∵
ͳ͵
2 >
ͳ
2，
∴ݕͳ < ݕ͵；
（2）解：ݕͶ < Ͳ 成立，理由如下：
∵ݕ2 =ܿ，将ݔ= 2 代入抛物线得：Ͷܽ+ 2ܾ+ܿ
=ܿ，
整理得ܾ
=−2ܽ，
∴对称轴为：ݔ=
−ܾ
2ܽ=
−−2ܽ
2ܽ
= ͳ，
∵ܽ
< Ͳ，开口向下，
∴当ݔ> ͳ 时，ݕ随ݔ增大而减小，
又∵2 < ͵ < ͷ，
∴ݕ2 > ݕ͵ > ݕͶ，
∵ݕ2ݕ͵ < Ͳ，
∴ݕ2,ݕ͵异号，
结合ݕ2 > ݕ͵得：ݕ2 > Ͳ,ݕ͵ < Ͳ，
∴ݕͶ < Ͳ．
题型10 二次函数图象的平移
【例10】将抛物线ݕ= ݔ2 + ͺݔ+ ͳͷ 向上平移2 个单位长度，再向右平移3 个单位长度后，得到的抛物线
解析式是（
）
A．ݕ= ݔ+ ͳ 2 −͵
B．ݕ= ݔ+ ͹ 2 −͵
C．ݕ= ݔ+ ͳ 2 + ͳ
D．ݕ= ݔ+ ͹ 2 + ͳ
【答案】C
【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最
后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变．
【详解】解：∵ݕ= ݔ2 + ͺݔ+ ͳͷ = ݔ+ Ͷ 2 −ͳ，
∴原抛物线的顶点坐标为−Ͷ, −ͳ ，
∵将顶点向上平移2 个单位长度，再向右平移3 个单位长度，
∴平移后顶点的横坐标为−Ͷ + ͵ =−ͳ，纵坐标为−ͳ + 2 = ͳ，
即新顶点坐标为−ͳ,ͳ ，
∵抛物线平移后二次项系数不变，
∴平移后抛物线的解析式为ݕ= ݔ+ ͳ 2 + ͳ．
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【技巧归纳】
第一步：将原函数化为顶点式ݕ=ܽ
(ݔ−݄)2 +݇
第二步：根据平移方向改变݄
和݇
左右平移：左加右减自变量（݄）
上下平移：上加下减常数项（݇）
示例：ݕ= 2(ݔ−ͳ)2 + ͵ 向左平移2 个单位，向下平移1 个单位，得ݕ= 2(ݔ+ ͳ)2 + 2
【变式10-1】
1．将抛物线ݕ= ݔ2 + ͳ 向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位，所得的抛物线解析式是（
）
A．ݕ= (ݔ+ 2)2 −2
B．ݕ= (ݔ+ 2)2 + ͵
C．ݕ= (ݔ−2)2 −2
D．ݕ= (ݔ−ͳ)2 + ͵
【答案】A
【分析】利用二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律，逐步推导即可得到结果．
【详解】解：∵抛物线平移规律为左加右减自变量，上加下减常数项，原抛物线解析式为ݕ= ݔ2 + ͳ，
∴向左平移2 个单位后，解析式变为ݕ= (ݔ+ 2)2 + ͳ，再向下平移3 个单位，解析式整理得ݕ= (ݔ+ 2)2 +
ͳ −͵ = (ݔ+ 2)2 −2，
∴所得抛物线解析式为ݕ= (ݔ+ 2)2 −2．
【变式10-2】
2．已知抛物线ݕ= ݔ2 +ܾݔ+ܿ（ܾ
为常数）是由抛物线ݕ= ݔ2 −2ݔ+ ͵ 先向左平移2 个单位，再向下平移
3 个单位得到的．
(1)求ܾ
，ܿ的值；
(2)点ܲ
ݔͳ,ݕͳ 在抛物线ݕ= ݔ2 −2ݔ+ ͵ 上，点ܳ
ݔͳ +݉
,ݕͳ + 2݇
在抛物线ݕ= ݔ2 +ܾݔ上．
①用含ݔͳ与݉
的式子表示݇
；
②若ݔͳ + 2 =݉
+ 点（点为常数），且݉
> Ͷ，݇
随݉
的增大而增大，求点的最小值．
【答案】(1)ܾ
= 2，ܿ= Ͳ
(2)
①݇
=
ͳ
2݉
2 + (ݔͳ + ͳ)݉
+ 2ݔͳ −
͵
2；②点的最小值为−ͳ͵
【分析】（1）将抛物线一般式化为顶点式，再根据平移规律得到平移后的函数解析式，由此即可求解；
（2）①根据题意，分别把点P，Q 代入计算即可；
②根据题意得到ݔͳ =݉
+ 点−2，代入解析式，结合二次函数图象的性质即可求解．
【详解】（1）解：抛物线ݕ= ݔ2 −2ݔ+ ͵ = ݔ−ͳ 2 + 2 先向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位，
∴ݕ= ݔ−ͳ + 2 2 + 2 −͵ = ݔ+ ͳ 2 −ͳ = ݔ2 + 2ݔ，
∴ܾ
= 2,ܿ= Ͳ；
（2）解：①点ܲ
ݔͳ,ݕͳ 在抛物线ݕ= ݔ2 −2ݔ+ ͵ 上，
∴ݕͳ = ݔͳ2 −2ݔͳ + ͵，
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点ܳ
ݔͳ +݉
,ݕͳ + 2݇
在抛物线ݕ= ݔ2 +ܾݔ上，且ܾ
= 2，
∴ݕͳ + 2݇
= ݔͳ +݉
2 + 2 ݔͳ +݉
，
∴ݔͳ2 −2ݔͳ + ͵ + 2݇
= ݔͳ +݉
2 + 2 ݔͳ +݉
，
整理得，݇
=
ͳ
2݉
2 + ݔͳ + ͳ݉
+ 2ݔͳ −
͵
2；
②∵ݔͳ + 2 =݉
+ 点，
∴ݔͳ =݉
+ 点−2，
∴݇
=
ͳ
2݉
2 + (݉
+ 点−2 + ͳ)݉
+ 2(݉
+ 点−2) −
͵
2，
整理得：݇
=
͵
2݉
2 + (点+ ͳ)݉
+ 2点−
ͳͳ
2 ，
该二次函数二次项系数
͵
2 > Ͳ，开口向上，在对称轴右侧݇
随݉
增大而增大，且对称轴为݉
=−
点+ͳ
2ൈ͵
2
=−
点+ͳ
͵ ，
∵݉
> Ͷ 时，݇
随݉
增大而增大，
∴−
点+ͳ
͵ ൑Ͷ，
解得，点൒−ͳ͵，
∴点的最小值为−ͳ͵．
题型11 根据交点确定不等式的解集
【例11】一次函数ݕͳ =݉
ݔ+ 点݉
≠Ͳ 与二次函数ݕ2 =ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 的图象如图所示，则不等式ܽ
ݔ2 +ܾ
−݉
ݔ+ܿ
> 点的解集为（
）
A．ݔ<−ͳ
B．ݔ> Ͷ
C．−ͳ < ݔ< Ͷ
D．ݔ<−ͳ 或ݔ> Ͷ
【答案】D
【分析】观察图象得，当ݔ<−ͳ 或ݔ> Ͷ 时，二次函数ݕ2 =ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 的图象在一次函数ݕͳ =݉
ݔ+ 点݉
≠Ͳ 图象的上方，由此即可得出结果．
【详解】解：观察图象得，当ݔ<−ͳ 或ݔ> Ͷ 时，二次函数ݕ2 =ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 的图象在一次函数ݕͳ =݉
ݔ+ 点݉
≠Ͳ 图象的上方，
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即当ݔ<−ͳ 或ݔ> Ͷ 时，ܽݔ2 +ܾݔ+ܿ
>݉
ݔ+ 点，
׵不等式ܽ
ݔ2 +ܾ
−݉
ݔ+ܿ
> 点的解集为ݔ<−ͳ 或ݔ> Ͷ．
【技巧归纳】ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
> Ͳ 的解集：抛物线在ݔ轴上方对应的ݔ的范围ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
< Ͳ 的解集：抛物线在ݔ轴下方对应的ݔ的范围
ݕͳ > ݕ2的解集：抛物线ݕͳ在直线ݕ2上方对应的ݔ的范围
端点是否包含：原不等式有等号则包含，无等号则不包含
【变式11-1】
1．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
的图象如图所示，对称轴为直线ݔ= ͳ，则下列结论正确的是（
）．
A．ܽܿ
> Ͳ
B．方程ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
= Ͳ 的两根是ݔͳ =−ͳ，ݔ2 = ͵
C．不等式ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
< Ͳ 的解集是−ͳ < ݔ< ͵
D．当ݔ> Ͳ 时，ݕ随ݔ的增大而减小
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向和与ݕ轴的交点得到ܽܿ
< Ͳ，故A 选项错误；根
据对称轴和一个与ݔ轴的交点可得另一个与ݔ轴的交点，即可得到B 选项正确；根据图象可得不等式ܽ
ݔ2 +ܾ
ݔ+ܿ
< Ͳ 的解集是ݔ<−ͳ 或ݔ> ͵，当Ͳ < ݔ< ͳ 时，ݕ随ݔ的增大而增大，故C、D 选项错误．
【详解】解：根据二次函数的图象和性质，逐一分析各选项，
A 选项：∵抛物线的开口向下，
∴ܽ
< Ͳ，
∵抛物线与ݕ轴的交点在ݕ轴正半轴，
∴ܿ> Ͳ，
∴ܽܿ
< Ͳ，故A 选项错误；
B 选项：∵抛物线的对称轴为ݔ= ͳ，与ݔ轴的一个交点是͵,Ͳ ，
∴抛物线与ݔ轴的另一个交点的横坐标为ͳ ൈ2 −͵ =−ͳ，即另一个交点坐标是−ͳ,Ͳ ，
∴方程ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
= Ͳ 的两根是ݔͳ =−ͳ，ݔ2 = ͵，故B 选项正确；
C 选项：∵由图象可知当ݔ<−ͳ 或ݔ> ͵ 时，抛物线在ݔ轴的下方，
∴不等式ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
< Ͳ 的解集是ݔ<−ͳ 或ݔ> ͵，故C 选项错误；
D 选项：由图象可知，当Ͳ < ݔ< ͳ 时，ݕ随ݔ的增大而增大，故D 选项错误．
【变式11-2】
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2．在平面直角坐标系中，二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܽ
ݔ−2ܽܽ
≠Ͳ 的图象与ݕ轴交于负半轴，则下列关于该函
数的结论正确的是（
）
A．图象的开口向下
B．当ݔ>−ͳ 时，ݕ的值随ݔ值的增大而增大
C．该函数有最大值−
ͻ
Ͷܽ
D．当ͳ < ݔ< 2 时，ݕ> Ͳ
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据图象与y 轴交于负半轴确定ܽ
的取值范围，再配方得到
顶点式，结合开口方向、对称轴、增减性和与x 轴的交点逐一判断选项即可．
【详解】解：∵二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܽ
ݔ−2ܽܽ
≠Ͳ 的图象与ݕ轴交于负半轴，
当ݔ= Ͳ 时，ݕ=−2ܽ，
∴−2ܽ
< Ͳ，
解得ܽ
> Ͳ，抛物线开口向上，故A 错误．
将二次函数配方得：ݕ=ܽ
ݔ2 +ܽ
ݔ−2ܽ
=ܽ
ݔ+
ͳ
2
2
−
ͻ
Ͷܽ，可得对称轴为直线ݔ=−
ͳ
2，顶点坐标为−
ͳ
2 , −
ͻ
Ͷܽ
．
∵ܽ
> Ͳ，开口向上，
∴当ݔ>−
ͳ
2时，ݕ随ݔ的增大而增大，
当−ͳ < ݔ<−
ͳ
2时，ݕ随ݔ的增大而减小，故B 错误．
∵ܽ
> Ͳ，开口向上，
∴二次函数有最小值−
ͻ
Ͷܽ，没有最大值，故C 错误．
令ݕ= Ͳ，则ܽ
ݔ2 +ܽ
ݔ−2ܽ
= Ͳ，
∵ܽ
≠Ͳ，等式两边同除以ܽ
得ݔ2 + ݔ−2 = Ͳ，
因式分解得ݔ+ 2
ݔ−ͳ = Ͳ，
解得ݔͳ =−2，ݔ2 = ͳ．
∵抛物线开口向上，
∴当ݔ> ͳ 时，ݕ> Ͳ，
∵ͳ < ݔ< 2 满足ݔ> ͳ，
∴当ͳ < ݔ< 2 时，ݕ> Ͳ，故D 正确．
一、单选题
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1．二次函数ݕ=−ݔ+ ͳ 2 + Ͷ 图象的顶点所在的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】先根据顶点式得到顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可．
【详解】解：׶ ݕ=−(ݔ+ ͳ)2 + Ͷ 可写为ݕ=−ݔ−( −ͳ) 2 + Ͷ，
׵该二次函数图象的顶点坐标为( −ͳ,Ͷ)，
׶顶点横坐标−ͳ < Ͳ，纵坐标Ͷ > Ͳ，
׵顶点在第二象限．
2．对于抛物线ݕ= 2 ݔ−ͳ 2 + ͵，下列说法正确的是（
）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标为ͳ,͵
C．抛物线的对称轴为直线ݔ=−ͳ
D．当ݔ> ͳ 时，ݕ随ݔ的增大而减小
【答案】B
【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为ݕ= 2 ݔ−ͳ 2 + ͵，
∴ܽ
= 2 > Ͳ，
∴抛物线开口向上，故A 错误；
顶点坐标为ͳ,͵ ，故B 正确；
对称轴为直线ݔ= ͳ，故C 错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线ݔ= ͳ，
∴当ݔ> ͳ 时，ݕ随ݔ的增大而增大，故D 错误．
3．抛物线ݕ= ݔ2 + Ͷݔ−͵ 的对称轴是直线（
）
A．ݔ=−Ͷ
B．ݔ=−2
C．ݔ= Ͷ
D．ݔ= 2
【答案】B
【详解】解：因为抛物线的解析式为ݕ= ݔ2 + Ͷݔ−͵，
所以该抛物线的对称轴为直线ݔ=−ܾ2ܽ=−
Ͷ
2ൈͳ =−2．
4．小明同学在将抛物线表达式化为ݕ=ܽ
ݔ+݉
2 + 点形式时，他给出的结果是ݕ= Ͷ ݔ+ 2 2 + Ͷ，那么
这条抛物线的顶点坐标为（
）
A．−2,Ͷ
B．−2, −Ͷ
C．−Ͷ,Ͷ
D．−Ͷ, −Ͷ
【答案】A
【详解】解：∵ݕ= Ͷ ݔ+ 2 2 + Ͷ，
∴抛物线顶点坐标为−2,Ͷ ．
5．将抛物线ݕ= ݔ2向左平移2 个单位，再向下平移͵ 个单位，得到的抛物线解析式是(
)
A．ݕ= (ݔ−2)2 −͵
B．ݕ= (ݔ−2)2 + ͵
C．ݕ= (ݔ+ 2)2 −͵
D．ݕ= (ݔ+ 2)2 + ͵
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【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则计算即可得
到新抛物线的解析式．
【详解】解：原抛物线解析式为ݕ= ݔ2
∵抛物线向左平移2 个单位，根据平移规则“左加右减自变量”，得平移后解析式为ݕ= (ݔ+ 2)2
再将得到的抛物线向下平移3 个单位，根据平移规则“上加下减常数项”，得最终解析式为ݕ= (ݔ+ 2)2 −͵．
6．在平面直角坐标系中，抛物线ݕ=−ݔ+ ͳ
ݔ−ͳ 经变换后得到抛物线ݕ=−(ݔ+ 2)2 + ͳ，则下列变换
正确的是（）
A．向右平移3 个单位
B．向左平移3 个单位
C．向右平移2 个单位
D．向左平移2 个单位
【答案】D
【分析】先求出变换前后抛物线的顶点坐标，再根据抛物线平移“上加下减，左加右减”的规律，即可判断
平移方向和距离．
【详解】解：∵原抛物线ݕ=−ݔ+ ͳ
ݔ−ͳ =−ݔ2 −ͳ =−ݔ2 + ͳ，
∴原抛物线的顶点坐标为Ͳ,ͳ ，
∵变换后抛物线为ݕ=−(ݔ+ 2)2 + ͳ，
∴变换后抛物线的顶点坐标为−2,ͳ ，
∵顶点纵坐标不变，横坐标从Ͳ 变为−2，
∴原抛物线向左平移2 个单位即可得到变换后的抛物线．
7．二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
开口向上，与ݕ轴交于负半轴，对称轴在ݕ轴左侧，下列结论正确的是（
）
A．ܽ
< Ͳ
B．ܾ
< Ͳ
C．ܿ> Ͳ
D．ܾ2 −Ͷܽܿ
> Ͳ
【答案】D
【分析】本题根据二次函数的基本性质，由开口方向与ܽ
的关系确定a 的正负，对称轴位置与ܽ
,ܾ的关系确
定b 的正负，与ݕ轴交点的位置与ܿ
的关系确定c 的正负，逐一判断选项，即可得到正确结论．
【详解】解：׶ 二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
开口向上，
׵ܽ
> Ͳ ，选项A 错误；
׶ 对称轴在ݕ轴左侧，二次函数对称轴为ݔ=−ܾ2ܽ，
׵−ܾ2ܽ< Ͳ，
又ܽ
> Ͳ，
׵ܾ
> Ͳ，选项B 错误；
׶ 二次函数与ݕ轴交于负半轴，且当ݔ= Ͳ 时，ݕ=ܿ，
׵ܿ
< Ͳ，选项C 错误；
由ܽ
> Ͳ,ܿ< Ͳ，
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得Ͷܽܿ
< Ͳ，
∴−Ͷܽܿ
> Ͳ，
∵ܾ2 > Ͳ，
∴ܾ2 −Ͷܽܿ
> Ͳ，选项D 正确．
8．已知函数的图象经过点ܯͳ,2 ，且在第一象限内y 随x 的增大而增大．下列函数符合要求的是（
）
A．ݕ=݇
ݔ+ ͵
B．ݕ=݇
ݔ−ͳ
C．ݕ=݇ݔ
D．ݕ=ܽ
ݔ2 + ͵
【答案】B
【分析】本题先将已知点代入各选项解析式求出参数，再根据函数增减性，判断是否满足“第一象限内ݕ随
ݔ的增大而增大”的条件，用到一次函数、反比例函数、二次函数的增减性性质．
【详解】解：选项A：∵函数ݕ=݇
ݔ+ ͵ 经过点ܯͳ,2 ，
∴代入坐标得2 =݇
ڄ ͳ + ͵ ，
解得݇
=−ͳ，
∵݇
< Ͳ，
∴ݕ随ݔ的增大而减小，不符合要求，排除A；
选项B：∵函数ݕ=݇
ݔ−ͳ 经过点ܯͳ,2 ，
∴代入坐标得2 =݇
ڄ ͳ −ͳ ，
解得݇
= ͵，
∵݇
> Ͳ，
∴ݕ随ݔ的增大而增大，在第一象限满足条件，符合要求；
验证其余选项：
选项C：∵函数ݕ=݇ݔ经过点ܯͳ,2 ，
∴代入坐标得݇
= ͳ ൈ2 = 2，
∵݇
> Ͳ，反比例函数ݕ=
2
ݔ在第一象限内ݕ随ݔ的增大而减小，不符合要求，排除C；
选项D：∵函数ݕ=ܽ
ݔ2 + ͵ 经过点ܯͳ,2 ，
∴代入坐标得2 =ܽ
ڄ ͳ2 + ͵ ，
解得ܽ
=−ͳ，
∵ܽ
< Ͳ，
∴抛物线开口向下，对称轴为ݕ轴，
在第一象限ݔ> Ͳ 时ݕ随ݔ的增大而减小，不符合要求，排除D．
9．若函数ݕ= ݔ2 +ܽ
ݔ+ܾ
在Ͳ ൑ݔ൑ͳ 的最大值是ܯ，最小值是݉
，则ܯ−݉
（
）
A．与ܽ
有关，且与ܾ
有关
B．与ܽ
有关，但与ܾ
无关
C．与ܽ
无关，且与ܾ
无关
D．与ܽ
无关，但与ܾ
有关
【答案】B
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【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与Ͳ ൑ݔ൑ͳ 的位置关系，计算ܯ−݉
即可判断结果．
【详解】解：对二次函数配方得，ݕ= (ݔ+ܽ2 )2 +ܾ
−ܽ
2
Ͷ ，抛物线开口向上，对称轴为直线ݔ=−ܽ2，
当−ܽ2 ൑Ͳ，即ܽ
൒Ͳ 时，函数在Ͳ ൑ݔ൑ͳ，ݕ随着ݔ的增大而增大，
∴当ݔ= Ͳ 时，ݕ有最小值，ݔ= ͳ 时，ݕ有最大值，
׵ ܯ= ͳ +ܽ
+ܾ
,݉
=ܾ
，
׵ ܯ−݉
= ͳ +ܽ
，结果不含ܾ；
当−ܽ2 ൒ͳ，即ܽ
൑−2 时，函数在Ͳ ൑ݔ൑ͳ，ݕ随着ݔ的增大而减小，
当ݔ= Ͳ 时，ݕ有最大值，ݔ= ͳ 时，ݕ有最小值，
׵ ܯ=ܾ
,݉
= ͳ +ܽ
+ܾ，
׵ ܯ−݉
=−ͳ −ܽ
，结果不含ܾ；
当Ͳ <−ܽ2 ൑
ͳ
2，即−ͳ ൑ܽ
< Ͳ 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在ݔ= ͳ 处取得，
׵݉
=ܾ
−ܽ
2
Ͷ ,ܯ= ͳ +ܽ
+ܾ，
׵ ܯ−݉
= ͳ +ܽ
+ܽ
2
Ͷ ，结果不含ܾ
；
当
ͳ
2 <−ܽ2 < ͳ，即−2 <ܽ
<−ͳ 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在ݔ= Ͳ 处取得，
׵݉
=ܾ
−ܽ
2
Ͷ ,ܯ=ܾ
，
׵ ܯ−݉
=ܽ
2
Ͷ ，结果不含ܾ，
综上，所有情况的ܯ−݉
都只与ܽ
有关，不含ܾ，因此ܯ−݉
与ܽ
有关，与ܾ
无关．
10．已知抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ（ܽ
≠Ͳ）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（
）
A．ܾܽܿ
> Ͳ
B．ܾ+ Ͷܽ
= Ͳ
C．ͷܽ+ܿ>Ͳ
D．当ݔ<−ͷ 或ݔ> ͳ 时，ݕ> Ͳ
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对
称性的特点对选项逐一判断即可．
【详解】解：׶抛物线的开口向上，
׵ܽ
> Ͳ，
׶抛物线与y 轴的交点在x 轴的下方，
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׵ܿ
< Ͳ，
׶抛物线的对称轴ݔ=−ܾ2ܽ=−2 < Ͳ，
׵ܾ
= Ͷܽ,ܾ> Ͳ，
׵ܾܽܿ
< Ͳ，选项A 错误；ܾ
+ Ͷܽ
= Ͷܽ+ Ͷܽ
= ͺܽ
> Ͳ，选项B 错误；
׶抛物线关于对称轴ݔ=−2 对称，
׵ −ͷ,Ͳ 关于ݔ=−2 的对称点为ͳ,Ͳ ，
将ͳ,Ͳ 代入抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ，得ܽ
+ܾ
+ܿ
= Ͳ，
׶ܾ
= Ͷܽ，
׵ܽ
+ Ͷܽ+ܿ
= Ͳ，即ͷܽ+ܿ
= Ͳ，选项C 错误；
由图象可知，当ݔ<−ͷ 或ݔ> ͳ 时，ݕ> Ͳ，选项D 正确．
11．抛物线ݕ= ͵ݔ2向右平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误
的是（
）
A．抛物线开口向上
B．顶点坐标为−ͳ,2
C．若点͵,ݕͳ 和点−ͳ,ݕ2 都在抛物线上，则ݕͳ = ݕ2
D．当ݔ< Ͳ 时，ݕ随ݔ的增大而减小
【答案】B
【分析】先根据抛物线平移规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”，得到平移后的抛物线解析式，再
根据二次函数的性质逐一判断选项，找出错误说法即可．
【详解】解：抛物线ݕ= ͵ݔ2向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位，平移后的抛物线解析式为ݕ= ͵(ݔ−
ͳ)2 −2 ．
∵ܽ
= ͵ > Ͳ，
∴抛物线开口向上，A 说法正确；
抛物线ݕ= ͵(ݔ−ͳ)2 −2 的顶点坐标为ͳ, −2 ，不是−ͳ,2 ，B 说法错误；
抛物线对称轴为直线ݔ= ͳ，点͵,ݕͳ 到对称轴的距离为͵ −ͳ = 2，点−ͳ,ݕ2 到对称轴的距离为−ͳ −ͳ =
2，两点到对称轴距离相等，因此ݕͳ = ݕ2，C 说法正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线ݔ= ͳ，
∴当ݔ< ͳ 时，ݕ随ݔ的增大而减小，
又∵ݔ< Ͳ 满足ݔ< ͳ，
∴当ݔ< Ͳ 时，ݕ随ݔ的增大而减小，D 说法正确．
12．如图，点ܲ
是抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ（ܽ
≠Ͳ）的顶点．下列结论正确的是（
）
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A．2ܽ+ܾ
= Ͳ
B．−
͵
Ͷ <ܽ
<−
ͳ
2
C．对任意实数ݐ，ܽݐ2 +ܾݐ< Ͷܽ+ 2ܾ
总成立
D．若点ܣ(ͳ −݉
,ݕͳ)，ܤ(ͳ +݉
,ݕ2)在抛物线上，则ݕͳ < ݕ2
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与ݕ轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判
断选项．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则ܽ
< Ͳ.
׶ 顶点ܲ
的坐标为(2,͵)，
׵ 对称轴为直线ݔ= 2，即−ܾ2ܽ= 2，
׵ܾ
=−Ͷܽ，即Ͷܽ+ܾ
= Ͳ，故A 错误；
设抛物线的解析式为ݕ=ܽ
(ݔ−2)2 + ͵ .
令ݔ= Ͳ，得ݕ= Ͷܽ+ ͵，即抛物线与ݕ轴的交点坐标为(Ͳ,Ͷܽ+ ͵).
由图象可知，抛物线与ݕ轴的交点在ݔ轴上方且在ݕ= ͳ 的下方，
׵ Ͳ < Ͷܽ+ ͵ < ͳ，解得−
͵
Ͷ <ܽ
<−
ͳ
2，故B 正确；
根据图象得：当ݔ= 2 时，ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
取得最大值为：ݕ= Ͷܽ+ 2ܾ+ܿ，
对任意实数ݐ，ܽݐ2 +ܾݐ+ܿ
൑Ͷܽ+ 2ܾ+ܿ，
∴ܽݐ2 +ܾݐ൑Ͷܽ+ 2ܾ，故C 错误；
∵对称轴为ݔ= 2，
∴ͳ −݉
−2 =݉
+ ͳ ，ͳ +݉
−2 =݉
−ͳ ，
当݉
= Ͳ 时，两点到对称轴的距离相等，ݕͳ = ݕ2，故D 错误．
二、填空题
1．已知二次函数ݕ=ܽ
(ݔ−ͷ +ܽ
)2 + 2，当ݔ> 2 时，ݕ随ݔ的增大而增大，则ܽ
的值可以是_______．（写
出一个即可）
【答案】͵（ܽ
൒͵ 的值即可）
【分析】先确定二次函数的对称轴和开口方向，根据函数增减性得到ܽ
的取值范围，在范围内取一个值即
可．
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【详解】解：二次函数ݕ=ܽ
(ݔ−ͷ +ܽ
)2 + 2 整理为顶点式得ݕ=ܽ
ݔ−ͷ −ܽ
2 + 2，
∴该二次函数的对称轴为直线ݔ= ͷ −ܽ
，
当ܽ
< Ͳ 时，抛物线开口向下，对称轴右侧ݕ随ݔ的增大而减小，不符合题意；
当ܽ
> Ͳ 时，抛物线开口向上，对称轴右侧ݕ随ݔ的增大而增大，
由题意当ݔ> 2 时，ݕ随ݔ的增大而增大，可得对称轴需满足ͷ −ܽ
൑2，
解得ܽ
൒͵；
因此ܽ
的值可以是͵（答案不唯一）．
2．已知二次函数ݕ= ݔ2 + Ͷݔ+ ͷ ，当−͵ ൑ݔ൑Ͳ 时，y 的取值范围为________．
【答案】ͳ ൑ݕ൑ͷ
【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线ݔ=−2，距离对称轴越远函数值越大，即
可求解．
【详解】解：׶ ݕ= ݔ2 + Ͷݔ+ ͷ = ݔ+ 2 2 + ͳ，
׵开口向上，对称轴为直线ݔ=−2，距离对称轴越远函数值越大，
׵当ݔ=−2 时，ݕ有最小值为1，
׵ Ͳ −−2 >−2 −−͵ ，
׵当ݔ= Ͳ 时，ݕ有最大值为ͷ，
׵ y 的取值范围为ͳ ൑ݕ൑ͷ．
3．已知抛物线ݕ= ݔ2 −Ͷݔ+ ͳ，当−ͳ ൑ݔ൑Ͷ 时，函数ݕ的最大值是_____．
【答案】6
【分析】先将抛物线解析式配方，得到抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，在给
定范围内，代入端点计算后比较得到最大值．
【详解】解：对抛物线解析式配方得：ݕ= ݔ2 −Ͷݔ+ ͳ = (ݔ−2)2 −͵，
׶ܽ
= ͳ > Ͳ，
׵抛物线开口向上，对称轴为直线ݔ= 2，
已知ݔ的取值范围为−ͳ ൑ݔ൑Ͷ，
分别代入端点计算函数值：当ݔ=−ͳ 时，ݕ= ( −ͳ −2)2 −͵ = ͻ −͵ = ͸，
当ݔ= Ͷ 时，ݕ= (Ͷ −2)2 −͵ = Ͷ −͵ = ͳ，
比较得͸ > ͳ，
因此ݕ的最大值为͸．
4．如图为二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ܿ
的图象，其与ݔ轴交于−͵,Ͳ 和ͳ,Ͳ 两点．①ܾܽܿ
> Ͳ；②ܽ−ܾ
+ܿ
> Ͳ；
③对称轴为直线ݔ=−ͳ；④ܽ+ܿ
< Ͳ：上述结论正确的有________（填序号）．
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【答案】③④
【分析】对于①，由图可知，ܽ> Ͳ，ܾ> Ͳ，ܿ< Ͳ，则ܾܽܿ
< Ͳ；对于②，结合图可知，当ݔ=−ͳ 时，ݕ< Ͳ，
则ܽ
−ܾ
+ܿ
< Ͳ；对于③，利用对称轴公式ݔ=
ݔͳ+ݔ2
2
进行计算即可；对于④，由ܽ
+ܾ
+ܿ
= Ͳ 和ܾ
= 2ܽ
可得͵ܽ+ܿ
= Ͳ，则ܽ
+ܿ
=−2ܽ
< Ͳ．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴ܽ
> Ͳ，
∵抛物线过点−͵,Ͳ 和ͳ,Ͳ ，
∴对称轴为直线ݔ=
−͵+ͳ
2
=−ͳ，故③正确，
∴−ܾ2ܽ=−ͳ，即ܾ
= 2ܽ
> Ͳ，
∵抛物线交ݕ轴于负半轴，
∴ܿ< Ͳ，
∴ܾܽܿ
< Ͳ，故①错误，
由图可知，当ݔ=−ͳ 时，ݕ< Ͳ，
∴ܽ−ܾ
+ܿ
< Ͳ，故②错误，
∵抛物线过点ͳ,Ͳ ，
∴ܽ+ܾ
+ܿ
= Ͳ，
∵ܾ
= 2ܽ，
∴͵ܽ+ܿ
= Ͳ，即ܽ
+ܿ
=−2ܽ，
∵ܽ
> Ͳ，
∴ܽ+ܿ
< Ͳ，故④正确，
综上，正确的结论为③④．
5．探究函数ݕ=
2ݔݔ൑Ͳܽ
ݔ2 +ܾݔݔ> Ͳ 数图象的性质，下列结论正确的有__________（填写序号）
①该函数图象一定过原点；
②若ܽ
= ͳ，ܾ
= Ͳ，则ݕ随ݔ增大而增大；
③若ܽ
< Ͳ，ܾ
൒Ͳ，则函数有最大值−ܾ
2
Ͷܽ；
④若ݔ大于2 时ݕ随ݔ增大而减小，则ܾ
=−Ͷܽ；
⑤若ܽ
> Ͳ，则函数图象与直线ݕ= ݔ+ ͳ 仅有一个交点．
【答案】①②③⑤
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【分析】①根据过原点，判断ݔ= Ͳ 时对应的方程，即可求解；
②分情况讨论，当ݔ൑Ͳ 时，ݕ= 2ݔ，则可判断一次函数的增减性，当ݔ> Ͳ 时，将ܽ
，ܾ的值代入ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾ
ݔݔ> Ͳ ，再根据二次函数的性质判断即可；
③分情况讨论，当ݔ൑Ͳ 时，ݕ= 2ݔ，则可判断一次函数的最大值，当ݔ> Ͳ 时，根据ܽ
，ܾ
的取值范围，
判断开口方向和对称轴的大小，最后根据二次函数的性质判断即可；
④若ݔ大于2 时ݕ随ݔ增大而减小，判断开口方向，对称轴的取值范围即可求解；
⑤分情况讨论，当ݔ൑Ͳ 时，ݕ= 2ݔ与ݕ= ݔ+ ͳ 没有交点，当ݔ> Ͳ，ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔݔ> Ͳ ，再根据ܽ
> Ͳ，
分别画出ܾ
= Ͳ，ܾ
> Ͳ，ܾ
< Ͳ 与ݕ= ݔ+ ͳ 的草图，即可判断．
【详解】①当ݔ= Ͳ 时，ݕ= 2ݔ= Ͳ，则该函数图象一定过原点，故符合题意；
②∵当ݔ൑Ͳ 时，ݕ= 2ݔ，2 > Ͳ，则ݕ随ݔ增大而增大，
又∵当ݔ> Ͳ 时，若ܽ
= ͳ，ܾ
= Ͳ，ݕ= ݔ2，对称轴为ݕ轴，且ܽ
> Ͳ，则ݕ随ݔ增大而增大，
∴综上，无论ݔ取任何值，ݕ随ݔ增大而增大，故符合题意；
③∵当ݔ൑Ͳ 时，ݕ= 2ݔ，2 > Ͳ，当ݔ= Ͳ 时，存在最大值ݕ= Ͳ，
∵当ݔ> Ͳ 时，若ܽ
< Ͳ，ܾ൒Ͳ，开口向下，那么对称轴直线ݔ=−ܾ2ܽ> Ͳ，则在ݔ> Ͳ 存在最大值
Ͷܽܿ
−ܾ2
Ͷܽ
=−ܾ
2
Ͷܽ൒Ͳ，
∴综上，函数有最大值为−ܾ
2
Ͷܽ，故符合题意；
④若ݔ大于2，则ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔݔ> Ͳ ，当ݕ随ݔ增大而减小，那么对称轴直线ݔ=−ܾ2ܽ൑2，解得ܾ
൑−Ͷܽ，
故不符合题意；
⑤∵若ݔ൑Ͳ，当2ݔ= ݔ+ ͳ 时，此时ݔ= ͳ，
即当ݔ൑Ͳ 时，ݕ= 2ݔ与ݕ= ݔ+ ͳ 没有交点；
∵当ݔ> Ͳ 时，ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔݔ> Ͳ ，ܽ
> Ͳ，
∴（i）如图，ܾ
= Ͳ，
（ii）ܾ
> Ͳ，
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（iii）ܾ
< Ͳ，
综上，若ܽ
> Ͳ，则函数图象与直线ݕ= ݔ+ ͳ 仅有一个交点．
6．已知点ܲ
ͳ,݉
，ܳ
͵,݉
都在抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 −ܾݔ+ ͳ 上，则ܾ
=______（用含a 的代数式表示）．
【答案】Ͷܽ
【分析】根据点的坐标得出两点关于对称轴对称，然后根据对称轴的公式列出关系式．
【详解】解：∵点P 和点Q 的纵坐标都是m，且两点都在抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 −ܾݔ+ ͳ 上，
∴点P 和点Q 关于该抛物线的对称轴对称．
∵抛物线的对称轴为直线ݔ=−
−ܾ
2ܽ=ܾ2ܽ，
∴ܾ2ܽ=
ͳ+͵
2 = 2，
∴ܾ
= Ͷܽ．
7．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܽ
−2 ݔ−2（a 为常数，且ܽ
≠Ͳ）．下列四个结论：
①该函数图象经过点−ͳ,Ͳ ；
②若ܽ
=−ͳ，则当ݔ>−ͳ 时，y 随x 的增大而减小；
③若ܽ
> 2，则关于x 的方程ܽ
ݔ2 +ܽ
−2 ݔ−2 = Ͳ 有一个根大于0 且小于1；
④若ܽ
> 2，则关于x 的方程ܽ
ݔ2 +ܽ
−2 ݔ−2 = 2 的正数根只有1 个．
其中正确的是________．（填序号）．
【答案】①②③④
【分析】根据二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、含绝对值方程的根的个数分别验
证四个结论即可．
【详解】解：当ݔ=−ͳ 时，ݕ=ܽ
−ܽ
+ 2 −2 = Ͳ，
׵该函数图象经过点( −ͳ,Ͳ)，故①正确；
当ܽ
=−ͳ 时，ݕ=−ݔ2 −͵ݔ−2 ，抛物线开口向下，对称轴为直线ݔ=−ܾ2ܽ=−
−͵
2ൈ(−ͳ) =−
͵
2，
׵当ݔ>−
͵
2时，ݕ随ݔ的增大而减小，
׶−ͳ >−
͵
2，
׵当ݔ>−ͳ 时，ݕ随ݔ的增大而减小，故②正确；
对于关于ݔ的方程ܽ
ݔ2 + (ܽ−2)ݔ−2 = Ͳ，由①可知ݔ=−ͳ 是方程的一个根，设方程的另一个根为ݔ2，
由根与系数的关系得：−ͳ൉ݔ2 =
−2ܽ，解得ݔ2 =
2ܽ，
׶ܽ
> 2，
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׵ Ͳ <
2ܽ< ͳ，即方程有一个根大于Ͳ 且小于ͳ，故③正确；
方程ܽ
ݔ2 + (ܽ−2)ݔ−2 = 2 可化为两个方程：
当ܽ
ݔ2 + (ܽ−2)ݔ−2 = 2 时，ܽݔ2 + (ܽ−2)ݔ−Ͷ = Ͳ，
由根与系数的关系，两根之积为
−Ͷܽ< Ͳ，
׵该方程有两个不相等的实数根，且为一正一负；
当ܽ
ݔ2 + (ܽ−2)ݔ−2 =−2 时，ܽݔ2 + (ܽ−2)ݔ= Ͳ，
∴ݔ(ܽݔ+ܽ
−2) = Ͳ，
解得ݔ= Ͳ 或ݔ=
2−ܽܽ，
׶ܽ
> 2，
׵
2−ܽܽ< Ͳ，即此方程没有正根；
综上所述，原方程ܽ
ݔ2 + (ܽ−2)ݔ−2 = 2 只有ͳ 个正数根，故④正确．
8．设二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ ͳ（ܽ，ܾ为常数，ܽ≠Ͳ）经过点2,Ͳ 、−ͳ,⸴．若⸴< 2，则ܽ
的取值范围
是______．
【答案】ܽ
<
ͳ
͸且ܽ
≠Ͳ
【分析】将已知两点代入二次函数解析式，对式子变形整理得到⸴关于ܽ
的表达式，结合⸴< 2 的条件，
解不等式即可得到ܽ
的取值范围，再结合ܽ
≠Ͳ 即可得解．
【详解】׶二次函数ݕ=ܽ
ݔ2 +ܾݔ+ ͳ 经过点2,Ͳ 、−ͳ,⸴，
׵ Ͳ = Ͷܽ+ 2ܾ+ ͳ①
⸴=ܽ
−ܾ
+ ͳ②，
①+ 2 ൈ②得，2⸴= ͸ܽ+ ͵，
׵ ⸴= ͵ܽ+
͵
2，
׶ ⸴< 2，
׵ ͵ܽ+
͵
2 < 2，解得ܽ
<
ͳ
͸，
׶ܽ
≠Ͳ，
׵ܽ
的取值范围是ܽ
<
ͳ
͸且ܽ
≠Ͳ．
9．填写下表：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
ݕ=−͵
Ͷ ݔ2
ݕ= 2ݔ2 −ͳ
Ͷ
ݕ=−ͳǤͷ ݔ+ Ͷ 2
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ݕ= ݔ2 −2ݔ+ ͳ
ݕ=−ݔ2 −Ͷݔ+ ͻ
ݕ= ͳ
͵ ݔ2 −2ݔ+ 2
【答案】
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
ݕ=−͵
Ͷ ݔ2
向下
直线ݔ= Ͳ（ݕ轴）
Ͳ,Ͳ
ݕ= 2ݔ2 −ͳ
Ͷ
向上
直线ݔ= Ͳ（ݕ轴）
Ͳ, −ͳ
Ͷ
ݕ=−ͳǤͷ ݔ+ Ͷ 2
向下
直线ݔ=−Ͷ
−Ͷ,Ͳ
ݕ= ݔ2 −2ݔ+ ͳ
向上
直线ݔ= ͳ
ͳ,Ͳ
ݕ=−ݔ2 −Ͷݔ+ ͻ
向下
直线ݔ=−2
−2,ͳ͵
ݕ= ͳ
͵ ݔ2 −2ݔ+ 2
向上
直线ݔ= ͵
͵, −ͳ
【分析】根据二次函数顶点式ݕ=ܽ
ݔ−݄
2 +݇
的性质，由ܽ
的符号判断开口方向，由݄
确定对称轴，由݄
，݇
确定顶点坐标，将一般式通过配方化为顶点式后对应求解即可．
【详解】二次函数顶点式为：ݕ=ܽ
(ݔ−݄
)2 +݇；
对于抛物线ݕ=−
͵
Ͷ ݔ2，可变形为ݕ=−
͵
Ͷ ݔ−Ͳ 2 + Ͳ，其中ܽ
=−
͵
Ͷ < Ͳ，݄
= Ͳ，݇
= Ͳ，
׵开口向下，对称轴为直线ݔ= Ͳ（ݕ轴），顶点坐标为Ͳ,Ͳ ；
对于抛物线ݕ= 2ݔ2 −
ͳ
Ͷ，可变形为ݕ= 2 ݔ−Ͳ 2 −
ͳ
Ͷ，其中ܽ
= 2 > Ͳ，݄
= Ͳ，݇
=−
ͳ
Ͷ，
׵开口向上，对称轴为直线ݔ= Ͳ（ݕ轴），顶点坐标为Ͳ, −
ͳ
Ͷ ；
对于抛物线ݕ=−ͳǤͷ ݔ+ Ͷ 2，可变形为ݕ=−ͳǤͷ ݔ−−Ͷ
2 + Ͳ，其中ܽ
=−ͳǤͷ < Ͳ，݄
=−Ͷ，݇
= Ͳ，
׵开口向下，对称轴为直线ݔ=−Ͷ，顶点坐标为−Ͷ,Ͳ ；
对于抛物线ݕ= ݔ2 −2ݔ+ ͳ，配方得ݕ= ݔ−ͳ 2 + Ͳ，其中ܽ
= ͳ > Ͳ，݄
= ͳ，݇
= Ͳ，
׵开口向上，对称轴为直线ݔ= ͳ，顶点坐标为ͳ,Ͳ ；
对于抛物线ݕ=−ݔ2 −Ͷݔ+ ͻ，配方得ݕ=−ݔ2 + Ͷݔ+ ͻ =−ݔ2 + Ͷݔ+ Ͷ + ͻ + Ͷ =−ݔ+ 2 2 + ͳ͵，其
中ܽ
=−ͳ < Ͳ，݄
=−2，݇
= ͳ͵，
׵开口向下，对称轴为直线ݔ=−2，顶点坐标为−2,ͳ͵ ；
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对于抛物线ݕ=
ͳ
͵ ݔ2 −2ݔ+ 2，配方得ݕ=
ͳ
͵ ݔ2 −͸ݔ+ 2 =
ͳ
͵ ݔ2 −͸ݔ+ ͻ + 2 −͵ =
ͳ
͵ ݔ−͵ 2 −ͳ，其中ܽ
=
ͳ
͵ > Ͳ，݄
= ͵，݇
=−ͳ，
׵开口向上，对称轴为直线ݔ= ͵，顶点坐标为͵, −ͳ ．
三、解答题
1．在同一个平面直角坐标系中，画出函数ݕ=
ͳ
2 ݔ2与ݕ=
ͳ
2 ݔ2 + ͳ 的图象．
【答案】
【分析】由函数解析式列表描点作图即可．
【详解】解：由函数解析式，列表可得
ݔ
ڮ
−͵
−2
−ͳ
Ͳ
ͳ
2
͵
ڮ
ݕ
= ͳ
2 ݔ2
ڮ
ͻ
2
2
ͳ
2
Ͳ
ͳ
2
2
ͻ
2
ڮ
ݕ
= ͳ
2 ݔ2
+ ͳ
ڮ
ͳͳ
2
͵
͵
2
ͳ
͵
2
͵
ͳͳ
2
ڮ
描点、连线、画出这两个函数的图象，图略．
2．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标
(1)ݕ= ͵(ݔ+ ͵)2 + Ͷ；
(2)ݕ=−2(ݔ−ͳ)2 −2；
(3)ݕ=
ͳ
2 (ݔ+ ͵)2 −2；
(4)ݕ=−
2
͵ (ݔ−ͳ)2 + ͲǤ͸．
【答案】(1)开口方向向上，对称轴为直线ݔ=−͵，顶点坐标为−͵,Ͷ ．
(2)开口方向向下，对称轴为直线ݔ= ͳ，顶点坐标为ͳ, −2 ．
(3)开口方向向上，对称轴为直线ݔ=−͵，顶点坐标为−͵, −2 ．
(4)开口方向向下，对称轴为直线ݔ= ͳ，顶点坐标为ͳ,ͲǤ͸ ．
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【分析】利用抛物线ݕ=ܽ
(ݔ−݄
)2 +݇（ܽ
≠Ͳ，h、k 为常数）是由ݕ=ܽ
ݔ2向左或向右平移݄
个单位长度，
向上或向下平移݇
个单位长度平移得到，先由ܽ
的符号判断开口方向，ܽ> Ͳ 时开口向上，ܽ< Ͳ 时开口向
下；然后根据平移的性质得到对称轴为直线ݔ=݄
和顶点坐标݄
,݇
，即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
（4）略
3．已知抛物线ݕ= ݔ2 −2ܾݔ+ܿ（b，c 为常数）．
(1)当ܾ
= 2，ܿ= ͷ 时，
①求该抛物线的顶点坐标．
②将该抛物线向下平移݄݄
> Ͳ 个单位得到的新抛物线过点点,Ͳ ，且−ͳ ൑点൑͵，请求出h 的取值范围．
(2)当ݔ൑−ͳ 时，y 的最小值为6；当ݔ>−ͳ 时，y 的最小值为2．求该抛物线的表达式．
【答案】(1)①2,ͳ ；②ͳ ൑݄
൑ͳͲ
(2)ݕ= ݔ2 −2ݔ+ ͵
【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键．
（1）①将ܾ
= 2，ܿ= ͷ 代入抛物线，将其改写为顶点式，进而得到顶点坐标；
②先根据平移规律得到新抛物线的表达式，再将点点,Ͳ 代入，得到h 关于n 的表达式，最后根据n 的取值
范围求出h 的取值范围；
（2）先确定抛物线的对称轴，再结合已知条件分情况讨论，根据二次函数的单调性求出b、c 的值，进而
得到抛物线的表达式．
【详解】（1）①解：当ܾ
= 2，ܿ= ͷ 时，抛物线ݕ= ݔ2 −Ͷݔ+ ͷ = ݔ−2 2 + ͳ，
则抛物线的顶点坐标为2,ͳ ；
②解：由①知抛物线ݕ= ݔ−2 2 + ͳ，
将该抛物线向下平移݄݄
> Ͳ 个单位得到的新抛物线为：ݕ= ݔ−2 2 + ͳ −݄
，
将点点,Ͳ 代入新抛物线得：点−2 2 + ͳ −݄
= Ͳ，即݄
= 点−2 2 + ͳ，
由于−ͳ ൑点൑͵，
则当点= 2 时，݄
有最小值，最小值为1，
当点=−ͳ 时，݄
= −ͳ −2 2 + ͳ = ͳͲ，
当点= ͵ 时，݄
= ͵ −2 2 + ͳ = 2，
因此，h 的取值范围为ͳ ൑݄
൑ͳͲ；
（2）解：抛物线ݕ= ݔ2 −2ܾݔ+ܿ
开口向上，对称轴为ݔ=−
−2ܾ
2ൈͳ =ܾ
，
当ݔ൑−ͳ 时，y 的最小值为6；当ݔ>−ͳ 时，y 的最小值为2，
则ܾ
>−ͳ
即当ݔ=−ͳ 时，ݕ= ͸；ݔ=ܾ
时，ݕ= 2，
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代入抛物线得
ͳ + 2ܾ+ܿ
= ͸ܾ
2 −2ܾ2 +ܿ
= 2 ，
解得ܾ
= ͳܿ
= ͵ 或ܾ
=−͵ܿ
= ͳͳ （舍去），
则该抛物线的表达式为ݕ= ݔ2 −2ݔ+ ͵．
4．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔ2图像经过点ܲ
−2，͵ ．
(1)判断这个函数图像的开口方向；
(2)点ܳ
2,݉
在这个函数图像上，求m 的值．
【答案】(1)开口向上
(2)݉
= ͵
【分析】本题考查了二次函数的性质．
（1）先将点ܲ
的坐标代入二次函数解析式求出ܽ
的值，根据ܽ
的正负判断函数图像的开口方向；
（2）将点ܳ
的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出݉
的值.
【详解】（1）解：将点ܲ
( −2,͵)代入ݕ=ܽ
ݔ2中
得͵ =ܽ
ൈ( −2)2
即Ͷܽ
= ͵
解得ܽ
=
͵
Ͷ
因为ܽ
=
͵
Ͷ > Ͳ 所以这个函数图像的开口向上
（2）解：由（1）可知二次函数解析式为ݕ=
͵
Ͷ ݔ2
将点ܳ
(2,݉
)代入ݕ=
͵
Ͷ ݔ2中
得݉
=
͵
Ͷ ൈ22
解得݉
= ͵.
5．已知：抛物线ݕ= 2ݔ2 + ͺݔ−͸．
(1)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当ݔ在什么范围内变化时，ݕ随ݔ的增大而增大．
【答案】(1)开口向上，对称轴为直线ݔ=−2，顶点坐标为−2, −ͳͶ ；
(2)当ݔ>−2 时，ݕ随ݔ的增大而增大
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）先配方成顶点式，再根据二次项系数可判断开口方向，根据顶点式确定顶点坐标及对称轴即可；
（2）利用开口方向和对称轴即可解答．
【详解】（1）解：׶二次函数ݕ= 2ݔ2 + ͺݔ−͸ = 2 ݔ+ 2 2 −ͳͶ 中，ܽ
= 2 > Ͳ，
׵二次函数开口向上，
对称轴为直线ݔ=−2，顶点坐标为−2, −ͳͶ ；
（2）解：׶二次函数开口向上，
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׵在对称轴的右侧ݕ随ݔ的增大而增大，
׶二次函数的对称轴为ݔ=−2，
׵当ݔ>−2 时，ݕ随ݔ的增大而增大．
6．已知抛物线ݕ= ݔ2 −2ݔ+ 2．
(1)求抛物线ݕ= ݔ2 −2ݔ+ 2 的顶点坐标；
(2)若点ܣ͵,ݕͳ ,ܤ͸,ݕ2 在此抛物线上，试比较ݕͳ,ݕ2的大小；
(3)平移抛物线ݕ= ݔ2 −2ݔ+ 2 可以得到抛物线ݕ= ݔ−2 2 + 2，请直接写出平移过程．
【答案】(1) ͳ,ͳ
(2)ݕͳ < ݕ2
(3)先向右平移1 个单位，再向上平移1 个单位
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）将一般式化为顶点式，即可得出结果；
（2）根据二次函数的增减性进行判断即可；
（3）根据平移前后的解析式，判断平移过程即可．
【详解】（1）解：ݕ= ݔ2 −2ݔ+ 2 = ݔ−ͳ 2 + ͳ，
∴抛物线的顶点坐标为ͳ,ͳ ；
（2）解：∵ݕ= ݔ2 −2ݔ+ 2 = ݔ−ͳ 2 + ͳ，
∴抛物线的对称轴为直线ݔ= ͳ，抛物线的开口向上，
∴当ݔ> ͳ 时，ݕ随着ݔ的增大而增大，
∵点ܣ͵,ݕͳ ,ܤ͸,ݕ2 在此抛物线上，ͳ < ͵ < ͸，
∴ݕͳ < ݕ2；
（3）解：∵抛物线ݕ= ݔ2 −2ݔ+ 2 = ݔ−ͳ 2 + ͳ 平移后得到抛物线ݕ= ݔ−2 2 + 2，
∴新的抛物线是由原抛物线先向右平移1 个单位，再向上平移1 个单位得到．
7．已知抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 −2ܽݔ+ܽ
2 −2（a 为常数，ܽ
≠Ͳ），设ܶ
=
͵͸ܽ͸ܽ
ͳ2+ͳ．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 −2ܽݔ+ܽ
2 −2 有最小值−ͳ，求T 的值．
【答案】(1)直线ݔ= ͳ
(2)ܶ
= 2
【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式，代入系数即可求出对称轴；
（2）先根据抛物线有最小值确定ܽ
> Ͳ，再将顶点纵坐标用ܽ
表示，结合最小值为−ͳ 得到ܽ
的关系式，
再通过整式变形化简ܶ
，即可求出ܶ
的值．
【详解】（1）解：由抛物线为ݕ=ܽ
ݔ2 −2ܽݔ+ܽ
2 −2，
抛物线对称轴为直线ݔ=−ܾ2ܽ
=−
−2ܽ
2ܽ
= ͳ；
（2）解：∵抛物线有最小值−ͳ，
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∴抛物线开口向上，即ܽ
> Ͳ，抛物线的最小值为顶点纵坐标，顶点横坐标为ݔ= ͳ，
将ݔ= ͳ 代入解析式得：
ݕ=ܽ
ڄ ͳ2 −2ܽ
ڄ ͳ +ܽ
2 −2 =ܽ
2 −ܽ
−2，
由最小值为−ͳ 得，ܽ
2 −ܽ
−2 =−ͳ，
整理得ܽ2 =ܽ
+ ͳ，
∵ܽ
≠Ͳ，
׵ܽ
͵ =ܽ
2 +ܽ
=ܽ
+ ͳ +ܽ
= 2ܽ+ ͳ
׵ܽ
͸ = 2ܽ+ ͳ 2 = Ͷܽ
2 + Ͷܽ+ ͳ = Ͷܽ
+ ͳ + Ͷܽ+ ͳ = ͺܽ+ ͷ，
׵ܽ
ͳ2 = ͺܽ+ ͷ 2 = ͸Ͷܽ2 + ͺͲܽ+ 2ͷ = ͸Ͷܽ
+ ͳ + ͺͲܽ+ 2ͷ = ͳͶͶܽ+ ͺͻ，ܶ
=
͵͸ܽ͸ܽ
ͳ2 + ͳ =
͵͸ ͺܽ+ ͷ
ͳͶͶܽ+ ͺͻ + ͳ = Ͷ ͺܽ+ ͷ
2 ͺܽ+ ͷ = 2
8．已知直线݈
交抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 −Ͷܽݔ−͵（常数ܽ
≠Ͳ）于点ݏ,ͺܽ
，ݐ,ͺܽ
，ݏ< ݐ．
(1)求抛物线的对称轴．
(2)当抛物线最高点到直线݈
的距离为9 时，
①求ݐ的值；
②若点ܲ
ݔͳ,ݕͳ ，ܳ
ݔ2,ݕ2 是ܾ
൑ݔ൑ݐ范围内抛物线上的两点，且ܾ
< 2，ݔͳ < ݔ2．当ݕͳ −ݕ2取得最大值
时，记点ܲ
向右平移3 个单位后的点为̵ܲ
，求线段̵ܲܳ
的中点的坐标．
【答案】(1)ݔ= 2；
(2)①ݐ= ͷ；②ͷ, −
͹
2 ．
【分析】（1）代入抛物线对称轴公式ݔ=−ܾ2ܽ求解即可；
（2）①利用抛物线最高点到直线݈的距离为ͻ 这个条件结合抛物线顶点坐标与直线݈的表达式列出−Ͷܽ−
͵ −ͺܽ
= ͻ 且ܽ
< Ͳ 可求出ܽ
的值，联立抛物线和直线݈
结合ݏ< ݐ即可得到ݐ的值；②ݕͳ −ݕ2取得最大
值，在ܾ
൑ݔ൑ݐ内先让ݕͳ尽可能大，取顶点纵坐标时最大，再让ݕ2尽可能小，从而可得到点ܲ
ݔͳ,ݕͳ ，ܳݔ2,ݕ2
的坐标，由平移性质得到̵ܲ
的坐标，再利用中点坐标公式求得线段̵ܲܳ
的中点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为ݔ=−
−Ͷܽ
2ܽ
= 2；
（2）解：①׶直线݈
过点ݏ,ͺܽ
，ݐ,ͺܽ
，
׵直线݈
的表达式为ݕ= ͺܽ，
׶ ݕ=ܽ
ݔ2 −Ͷܽݔ−͵ =ܽ
ݔ2 −Ͷݔ−͵ =ܽ
ݔ2 −Ͷݔ+ Ͷ −Ͷܽ−͵ =ܽ
ݔ−2 2 −Ͷܽ−͵，
׵该抛物线的顶点为2, −Ͷܽ−͵ ，
׶抛物线最高点到直线݈
的距离为ͻ，
׵
−Ͷܽ−͵ −ͺܽ
= ͻ，ܽ
< Ͳ，
׵ −ͳ2ܽ−͵ = ͻ，即ͳ2ܽ+ ͵ = ͻ，解得ܽ
=−ͳ 或ܽ
=
ͳ
2（舍去），
׵抛物线为ݕ= −ݔ2+Ͷݔ−͵，直线݈
为ݕ=−ͺ，
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联立抛物线和直线݈
得−ݔ2 + Ͷݔ−͵ =−ͺ，
化简得ݔ2 −Ͷݔ−ͷ = Ͳ，即ݔ−ͷ
ݔ+ ͳ = Ͳ，
解得ݔͳ = ͷ，ݔ2 =−ͳ，
׶ ݏ< ݐ，
׵ ݐ= ͷ；
②׶ ݕͳ −ݕ2取得最大值，
׵ ݕͳ最大为当ݔͳ = 2 时，ݕͳ = ͳ，
׶ ݔͳ < ݔ2，
׵ ݕ2最小为当ݔ2 = ͷ 时，ݕ2 =−ͺ，
׵ܲ
2,ͳ ，ܳ
ͷ, −ͺ ，
׶点ܲ
向右平移͵ 个单位后的点为̵ܲ
，
׵̵ܲ
2 + ͵,ͳ ，即̵ܲ
ͷ,ͳ ，
׵线段̵ܲܳ
的中点的坐标为
ͷ+ͷ
2 ,
ͳ+ −ͺ
2
，即ͷ, −
͹
2 ．
9．已知二次函数ݕ=
ͳ
2 ݔ2 −݉
ݔ+ 2݉
−͵（m 为常数）．
(1)若该函数图象上有两个点ܣ݉
+ 2,ݕͳ 、ܤ݉
−ͳ,ݕ2 ，试比较ݕͳ与ݕ2的大小；
(2)当2 ൑ݔ൑Ͷ 时，函数有最小值为−2，请直接写出m 的值．
【答案】(1)ݕͳ > ݕ2．
(2)݉
= 2 +
2
【分析】（1）先求二次函数对称轴，利用二次函数开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大的性质比
较ݕͳ和ݕ2；
（2）对于范围2 ൑ݔ൑Ͷ 内的最值问题，先确定对称轴为ݔ=݉
，因为二次函数开口向上，所以分三种情
况讨论：如果对称轴在范围左侧，那么最小值在处取得；如果对称轴在区间内，那么最小值在顶点处取得；
如果对称轴在区间右侧，那么最小值在ݔ= Ͷ 处取得，分别列方程求解后验证是否符合对应范围条件．
【详解】（1）解：已知二次函数ݕ=
ͳ
2 ݔ2 −݉
ݔ+ 2݉
−͵，二次项系数ܽ
=
ͳ
2 > Ͳ，抛物线开口向上．
根据对称轴公式得对称轴为：ݔ=−ܾ2ܽ=݉
2ൈͳ
2
=݉
，
点ܣ(݉
+ 2,ݕͳ)到对称轴的距离：(݉
+ 2) −݉
= 2，
点ܤ(݉
−ͳ,ݕ2)到对称轴的距离：(݉
−ͳ) −݉
= ͳ，
开口向上的二次函数，点离对称轴越远，函数值越大，
因为2 > ͳ，
因此ݕͳ > ݕ2．
（2）解：根据对称轴位置分三种情况讨论：
当݉
൑2 时：在2 ൑ݔ൑Ͷ 上y 随x 的增大而增大，最小值在ݔ= 2 处取得：ݕmin =
ͳ
2 ൈ22 −2݉
+ 2݉
−͵ =
−ͳ ≠−2，此情况无解．
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当2 <݉
< Ͷ 时：函数最小值在顶点取得：ݕmin =
ͳ
2݉
2 −݉
ڄ݉
+ 2݉
−͵ =−
ͳ
2݉
2 + 2݉
−͵ =−2，整理
得݉
2 −Ͷ݉
+ 2 = Ͳ，
解得݉
= 2 േ
2，只有݉
= 2 +
2满足条件；
当݉
൒Ͷ 时：在2 ൑ݔ൑Ͷ 上y 随x 的增大而减小，最小值在ݔ= Ͷ 处取得：ݕmin =
ͳ
2 ൈͶ2 −Ͷ݉
+ 2݉
−͵ =
ͷ −2݉
=−2，
解得݉
=
͹
2 = ͵Ǥͷ，不满足݉
൒Ͷ，舍去．
综上，݉
= 2 +
2．
10．在平面直角坐标系ݔRݕ中，已知抛物线ݕ=ܽ
ݔ2 −Ͷܽ
2ݔܽ
≠Ͳ ．
(1)当ܽ
= ͳ，且−2 ൑ݔ൑点时，y 有最大值32，求n 的值；
(2)已知ܯݔͳ,ݕͳ 和ܰ
ݔ2,ݕ2 是抛物线上的两点．若对于ݔͳ = ͷܽ,ͷ ൑ݔ2 ൑͸ ，都有ݕͳ > ݕ2，求a 的取值范
围．
【答案】(1)点= ͺ
(2)ܽ
>
͸
ͷ或−ͷ <ܽ
< Ͳ
【分析】（1）将ܽ
= ͳ 代入即可求出抛物线的对称轴，结合−2 ൑ݔ൑点时，y 有最大值32，可得当ݔ= 点
时，ݕ取得最大值32，建立方程求解即可；
（2）根据ܽ
> Ͳ 和ܽ
< Ͳ 分两种情况讨论，再根据范围取舍即可．
【详解】（1）解：当ܽ
= ͳ 时，ݕ= ݔ2 −Ͷݔ，
此时抛物线的对称轴为直线ݔ=−ܾ2ܽ=−
−Ͷ
2ൈͳ = 2．
对于ݕ= ݔ2 −Ͷݔ，当ݔ= 2 时，ݕ=−Ͷ，
当ݔ=−2 时，ݕ= ͳ2，
∴当ݔ= 点时，ݕ取得最大值32，
∴点2 −Ͷ点= ͵2，
解得点ͳ =−Ͷ <−2 （舍去），点2 = ͺ，
∴点= ͺ；
（2）解：抛物线的对称轴为直线ݔ=
−Ͷܽ2
2ܽ
= 2ܽ
，
两种情况讨论：
①当ܽ
> Ͳ 时，抛物线开口向上，ͷܽ
> 2ܽ
> Ͳ ．
当2ܽ
< ͷ 时，对于ݔͳ = ͷܽ, ͷ ൑ݔ2 ൑͸ ，都有ݕͳ > ݕ2，
∴ͷܽ
> ͸ ，解得ܽ
>
͸
ͷ，
当2ܽ
> ͸ 时，
∵对于ݔͳ = ͷܽ, ͷ ൑ݔ2 ൑͸ ，都有ݕͳ > ݕ2，
∴−ܽ
< ͷ，
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∴ܽ
>−ͷ，
当ͷ ൑2ܽ
൑͸ 时，
∵对于ݔͳ = ͷܽ, ͷ ൑ݔ2 ൑͸ ，都有ݕͳ > ݕ2，
∴−ܽ
< ͷ
ͷܽ
> ͸ ，
∴ܽ
>
͸
ͷ，
∴当ܽ
> Ͳ 时，a 的取值范围为ܽ
>
͸
ͷ；
②当ܽ
< Ͳ 时，抛物线开口向下，ͷܽ
< 2ܽ
< Ͳ ．
由对称可知，直线ݔͳ = ͷܽ
关于直线ݔ= 2ܽ
对称的直线为ݔ=−ܽ
，
∵ݕͳ > ݕ2，
∴−ܽ
< ͷ，
∴ܽ
>−ͷ，
∴−ͷ <ܽ
< Ͳ．
综上可知，ܽ
的取值范围是ܽ
>
͸
ͷ或−ͷ <ܽ
< Ͳ．
11．已知二次函数ݕ= ݔ2 −2݉
ݔ+ 2݉
−ͳ．若点ܣܽ
,ݕͳ ，ܤܾ
,ݕ2 都是该二次函数图象上的点．
(1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含݉
的代数式表示）；
(2)若݉
=−͵，ܽ+ܾ
=−Ͷ，求证：ݕͳ + ݕ2 ൒−͵Ͳ；
(3)若ܽ
= ݌+ ͳ，ܾ
= 2݉
−݌，且点ܣ在对称轴的左侧，求证：ݕͳ < ݕ2 −ͳ．
【答案】(1)݉
, −݉
2 + 2݉
−ͳ
(2)证明：当݉
=−͵ 时，ݕ= ݔ2 + ͸ݔ−͹．
׶ ܣܽ
,ݕͳ ，ܤܾ
,ݕ2 是函数ݕ= ݔ2 + ͸ݔ−͹ 图象上的点，且ܽ
+ܾ
=−Ͷ，
׵ܾ
=−Ͷ −ܽ
，
ݕͳ =ܽ
2 + ͸ܽ−͹，
ݕ2 = −Ͷ −ܽ
2 + ͸ −Ͷ −ܽ
−͹ =ܽ
2 + 2ܽ−ͳͷ，
׵ ݕͳ + ݕ2 =ܽ
2 + ͸ܽ−͹ +ܽ
2 + 2ܽ−ͳͷ = 2ܽ
+ 2 2 −͵Ͳ．
׶ 2 > Ͳ，
׵当ܽ
=−2 时，ݕͳ + ݕ2的最小值为−͵Ͳ，
即ݕͳ + ݕ2 ൒−͵Ͳ；
(3)证明：׶ ݕ= ݔ2 −2݉
ݔ+ 2݉
−ͳ，
׵该二次函数图象的对称轴为直线ݔ=−
−2݉
2
=݉
，
׶点ܣ在对称轴的左侧，
׵ ݌+ ͳ <݉
，即݌−݉
<−ͳ．
ݕͳ −ݕ2 −ͳ = ݕͳ −ݕ2 + ͳ
= ݌+ ͳ 2 −2݉
݌+ ͳ + 2݉
−ͳ −
2݉
−݌2 −2݉
2݉
−݌+ 2݉
−ͳ + ͳ
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= ݌+ ͳ 2 −2݉
−݌2 −2݉
݌+ ͳ + 2݉
2݉
−݌+ ͳ
= ͳ + 2݉
2݌−2݉
+ ͳ −2݉
2݌−2݉
+ ͳ + ͳ
= 2݌−2݉
+ 2
= 2 ݌−݉
+ 2，
׶ ݌−݉
<−ͳ，
׵ 2 ݌−݉
+ 2 < Ͳ，
׵ ݕͳ < ݕ2 −ͳ．
【分析】（1）将函数化为顶点式，求解顶点坐标即可；
（2）先表示出二次函数解析式，再表示出ݕͳ与ݕ2，结合ݕͳ + ݕ2的最小值即可证明；
（3）求解出二次函数的对称轴，表示出ݕͳ −ݕ2 −ͳ ，由此可证明．
【详解】（1）解：׶ ݕ= ݔ2 −2݉
ݔ+ 2݉
−ͳ，
׵ ݕ= ݔ−݉
2 −݉
2 + 2݉
−ͳ，
׵该二次函数图象的顶点坐标为݉
, −݉
2 + 2݉
−ͳ ．
（2）略
12．已知ܯ=ܽ
2 −ܾ
2，ܰ
= ͵ܽ+ 2ܾ，其中ܽ
，ܾ
为整数．
(1)当ܽ
= 2 时，求ܯ与ܰ
的大小关系；
(2)当ܾ
= ͳ 时，求ܯ+ܰ
的最小值；
(3)是否存在使ܯ+ ͵ = 2ܰ
的ܽ
，ܾ的值，若有请写出ܽ
，ܾ的值；没有则说明理由．
【答案】(1)ܯ<ܰ
(2)−ͳ
(3)不存在，理由如下：
假设存在整数ܽ
，ܾ，
由ܯ+ ͵ = 2ܰ
得ܽ2 −ܾ
2 + ͵ = 2(͵ܽ+ 2ܾ)，
移项配方得(ܽ−͵)2 −(ܾ+ 2)2 = 2，
因式分解得(ܽ+ܾ
−ͳ)(ܽ−ܾ
−ͷ) = 2，ܽ
+ܾ
与ܽ
−ܾ
奇偶性相同，
∴ܽ+ܾ
−ͳ 与ܽ
−ܾ
−ͷ 奇偶性相同，
׶ 2 的整数因数分解中，两个因数必为一奇一偶（1 和2，−ͳ 和−2），
׵无法分解为两个同奇或同偶的数之积，故不存在满足条件的整数ܽ
,ܾ．
【分析】（1）代入ܽ
= 2 求差ܯ−ܰ
，配方判断符号；
（2）代入ܾ
= ͳ，整理成关于ܽ
的二次函数，利用整数ܽ
求最值；
（3）把ܯ、ܰ
代入等式，整理配方，利用条件求解．
【详解】（1）解：当ܽ
= 2 时，ܯ−ܰ
= 22 −ܾ
2 −͸ −2ܾ
=−(ܾ+ ͳ)2 −ͳ < Ͳ，
׵ ܯ<ܰ
．
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（2）当ܾ
= ͳ 时，ܯ+ܰ
=ܽ
2 −ͳ2 + (͵ܽ+ 2 ൈͳ) =ܽ
2 + ͵ܽ+ ͳ =ܽ
+
͵
2
2
−
ͷ
Ͷ，
又ܽ
为整数，
׵当ܽ
=−ͳ 或ܽ
=−2 时，ܯ+ܰ
取得最小值，为−ͳ．
（3）略