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决胜2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(54)
(计数原理)
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.若
，则
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由
和组合数公式得
,化简得
,解之得
.
故选：C
2.（江苏省八市2023 届高三下学期第二次调研测试数学试题）已知
的展开式中各项系数和为
243，则展开式中常数项为（ ）
A. 60
B. 80
C.
D.
【答案】B
【解析】当
时，
，解得
，
则
的展开式第
项
，
令
，解得
，所以
，
故选：B
3.(江苏省盐城中学等四校联考2024 届高三上学期12 月阶段检测数学试题)将甲，乙，丙，丁，戊五名志
愿者安排到
四个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，那甲恰好被
安排在
社区的不同安排方法数为（ ）
A. 24
B. 36
C. 60
D. 96
【答案】C
【解析】分两种情形：①
社区只有甲，则另4 人在3 个社区，此时有
；
②
社区还有另一个志愿者，此时有
，
，甲恰好被安排在 A 社区有60 种不同安排方法.
1
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故选：C.
4.若多项式
，则
（ ）
A. 9
B. 10
C. -9
D. -10
【答案】D
【解析】多项式
，
等号右侧只有最后一项
的展开式中含有
，并且
的系数为
，等号左侧
的系数是1，
∴
;又
的系数在右侧后两项中，
的系数为
，左侧
的系数是0，
∴
， ∴
.
故选：D．
5.(江苏省新高考基地学校2024 届高三上学期第三次大联考数学试题改编)若一个五位数的各个数位上的数
字之和为3，则这样的五位数共有（ ）个．
A.
B. 20
C. 10
D.12
【答案】A
【解析】若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数可分为
类：
第一类，五位数的各个数位上的数字是
个
，个
组成，
则由首位不为
可知，
在首位，其余各位为
，即
，仅有种方法；
第二类，五位数的各个数位上的数字是
个
，个，个
组成，
则由首位不为
可知，或
在首位，选个放在首位，另个则从其它
个位选个位放上，其余各位为
，
共有
种方法；
第三类，五位数的各个数位上的数字是
个
，
个组成，
则由首位不为
可知，在首位，在其它
个位中选
个位为，其余各位为
，共有
种方法；
所以由分类计数原理可得共有
个这样的五位数.
故选：A
6.(安徽省皖豫名校联盟2024 届高中毕业班第二次联考数学试题)有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每
人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用
情况种数是（ ）
A. 60
B. 114
C. 278
D. 336
【答案】D
【解析】分三类情况，第一类情况，只录用3 人，有
种情况；第二类情况，只录用4 人，有
种情况；
第三类情况，录用5 人有两种情况：
或
，有
种
2
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情况．
所以根据分类加法计数原理共有
种．
故选：D.
7.（江苏省扬州市仪征中学、江都中学2024 届高三12 月联考数学试题）若
的展开式
中所有项的二项式系数之和为16，则
的展开式中的常数项为（ ）
A. 6
B. 8
C. 28
D. 56
【答案】C
【解析】由
的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得
，所以
，
则二项式
的展开式的通项公式为
（
且
），
令
，解得
，
所以
，故
的展开式中的常数项为28，
故选：C．
8.某校实行选科走班制度(语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、地理、
政治六科中任选三科)．根据学生选科情况，该校计划利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天
依次安排三节课，每节课一个学科．语文、数学、英语只排在第二节．物理、政治排在同-天．化学、地理
排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案的种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】先将语文、数学、英语排在第二节，有
种排法，
将物理和政治，化学和地理，生物和历史分别“捆绑”，有
种排法，
将捆绑后的三个元素排在三天，有
种排法，
则不同的排课方案的种数为
种.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分．
9.关于
的展开式，下列说法中正确的是（ ）
A. 展开式中二项式系数之和为32
B. 展开式中各项系数之和为1
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C. 展开式中二项式系数最大的项为第4 项
D. 展开式中系数最大的项为第4 项
【答案】BC
【解析】关于
的展开式，根据二项式的展开式的应用：
，
对于选项A：展开式中二项式系数之和
，故错误．
对于选项B：利用赋值法的应用，当
时，各项的系数的和为
，故正确．
对于选项C：展开式中二项式系数最大的项为第4 项
，故正确．
对于选项D：展开式中系数最大的项为第2 项，系数为
．故错误．
故选：BC．
10.下列说法正确的为（ ）
A. 6 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有
种不同的分法；
B. 6 本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1 本，一人2 本，一人3 本，有
种不同的分法；
C. 6 本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10 种不同的分法；
D. 6 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540 种不同的分法．
【答案】ACD
【解析】对于A，6 本不同的书中，先取
本给甲，再从剩余的
本中取
本给乙，
最后
本给丙，共有
种不同的分法，故A 正确；
对于B，6 本不同的书中，先取本作为一组，再从剩余的
本中取
作为一组，
最后
本
作为一组，共有
种，再将
分给甲、乙、丙三人，
共有
种，故B 不正确；
对于C，6 本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法
种；
对于D， 6 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分
种情况讨论：
①一人
本，其他两人各本，共有
；
②一人1 本，一人2 本，一人3 本，共有
种，
③每人2 本，共有
，
故共有
种.
故选：ACD
4
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11.设常数
，
，对于二项式
的展开式，下列结论中，正确的是（ ）
A．若
，则各项系数随着项数增加而减小
B．若各项系数随着项数增加而增大，则
C．若
，
，则第7 项的系数最大
D．若
，
，则所有奇数项系数和为239
【答案】BCD
【解析】二项式
的展开式的通项为
，
对于A，当
时，则任意项的系数均为0（除常数项），故A 错误；
对于B，若
，则最后两项为
，有
，与已知矛盾，故
，故B 正
确；
对于C，若
，
，则各项系数为
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故第7 项的系数最大，故C 正确.
对于D，若
，
，则所有奇数项系数和为
，故D 正确，
故选：BCD.
12.在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6 门．学生根据高校的要
求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2 门科目中选择1 门，再从政治、地理、化学、生物4 门科目
中选择2 门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政
治、历史、地理这6 门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至少选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
【答案】BD
【解析】若任意选科，选法总数为
，A 错；若化学必选，选法总数为
，B 正确；若政治和地理
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至少选一门，选法总数为
，C 错；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
，D 正确．
故选:BD．
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，多空题，第一空2 分，第二空3 分，共20 分．
13.（湖南省长沙市长郡中学2024 届高三上学期月考）
的展开式中
的系数是__________（用数
字作答）．
【答案】
【解析】
的通项为
，
令
，得
的展开式中
的系数是
．
故答案为：80
14.（江苏省南通市如皋市2024 届高三上学期教学质量调研（三）数学试题）某校将8 个足球赛志愿者名
额分配到高一年级的四个班级，每班至少一个名额，则不同的分配方法共有_________种（用数字作
答）．
【答案】
【解析】根据题意，将8 个名额排成一列，有7 个间隔，
在这7 个间隔中插入3 个隔板，可将8 个名额分成4 组，依次对应4 个班级，
则有
种分配方法，
故答案为：
.
15.（江苏省扬州市仪征中学、江都中学2024 届高三12 月联考数学试题）某医院安排王医生、李医生、赵
医生、张医生、孙医生5 人到三个社区开展主题为“提高免疫力，预防传染病”的知识宣传活动，要求每人
只能参加一个社区的活动，每个社区必须有人宣传，若李医生、张医生不安排在同一个社区，孙医生不单
独安排在一个社区，则不同的安排方法有______种．
【答案】
【解析】由题意知可分为两类：
第一类：一个社区3 人，剩下两个社区各1 人，
当李医生、张医生2 人都单独安排到一个社区时，有
种不同的安排方法；
当李医生、张医生中有1 人单独安排到一个社区时，有
种不同的安排方法；
第二类：一个社区1 人，剩下两个社区各2 人，
当李医生、张医生中有1 人单独安排到一个社区时，有
种不同的安排方法；
当李医生、张医生都不单独安排到一个社区时，有
种不同的安排方法；
综上可知，共有
（种），
故答案为：
16.二项式定理(Binomialtheorcm)，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664-1665 年间提出：该定理给
6
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出两个数之和的整数次幂展开为类似项之和的恒等式.二项式
的展开式中系数最大的项是
_______；系数之和是_______.
【答案】
4096
【解析】由题意二项式
的展开式的通项公式为：
，
假设第
项的系数最大，即
最大，
则
，结合
，解得当
时，即第6 项的系数最大，
所以系数最大的项是：
，
因为当
时，二项式为
，所以二项式系数之和为4096.
故答案为：
，4096
7
