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专题2.4 指数与指数函数
重难点题型1 指数运算、指数方程与指数不等式
1．（2025·浙江嘉兴·二模）若实数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求二次函数的值域或最值、指数幂的运算
【分析】由指数运算可得
，再由二次函数可得
的最大值.
【详解】因为
，所以
即
，
故
即
，当且仅当
时等号成立，
故
的最大值为
，
故选：D.
2．（2025·四川乐山·三模）已知
，
，则
的值为（ ）
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
指数运算、指数方程与指数不等式
重难点题型2
指数函数的图像与性质
重难点题型3
指数型“复合函数”的单调性与最值
重难点题型4
指数中的”恒成立”问题
重难点题型5
比较大小
重难点题型6
指数的实际应用
重难点题型7
综合应用
1
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化
【分析】根据指数式与对数式的互化以及指数幂的运算性质计算即可.
【详解】由
可得
，又因为
，
所以
，
故选：B.
3．（2025·山西临汾·三模）已知
，
，则
（ ）
A．3
B．1
C．
D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】指数幂的运算、对数的运算
【分析】根据指数，对数的运算性质即可求解.
【详解】由
，
可得
，
，
则
，
故选：B
4．（24-25 高三上·江西抚州·阶段练习）若
，则
（ ）
A．60
B．45
C．30
D．15
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】指数幂的运算、对数的运算
【分析】利用指数，对数的运算进行化简求值即可.
【详解】因为
，
2
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所以
.
故选：C.
5．（2025·陕西·三模）已知函数
，则
．
【答案】2783
【难度】0.65
【知识点】由函数对称性求函数值或参数、指数幂的化简、求值
【分析】将
化为
，可得
。由此采用两项并项求和，
即可求得答案.
【详解】由
知，
设
，则
，
对照系数，得
，则
，即
，
则
，
的图象关于点
中心对称；
故
．
即
3
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，
故答案为：2783
6．（2024·海南海口·模拟预测）已知
，
，则
．
【答案】3
【难度】0.94
【知识点】指数幂的运算
【分析】利用指数的运算法则计算即可.
【详解】由题可知
故答案为：3
重难点题型2 指数函数的图像与性质
1．（2025·河北·二模）已知函数
，其中
为常数，若函数
的图象如图所
示，则（ ）
A．
的图象与坐标轴有三个交点
B．
的图象的对称轴在
轴左侧
C．关于
的方程
有两个不等实根
D．
在区间
上单调递增
【答案】D
4
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【难度】0.65
【知识点】函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数、根据指数型函数图象判断参数的范围、
根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】由指数型函数的性质图象求得参数，根据二次函数的性质，结合相关函数的单调性，逐项检验即
得.
【详解】因
，函数
的图象在
上为减函数，则
，即得
，又图象经过
点
，即
，故得
，解得
，
于是，
，易得该抛物线开口向上，顶点坐标为
，
对于A，因函数
在
上单调递增，
则
，即
的图象与
轴没有交点，
又
的图象与
轴有唯一交点，即
的图象与坐标轴只有一个交点，故A 错误；
对于C，关于
的方程
的实根个数，等于直线
与曲线
的交点个数，
由A 项，因
，则直线
与曲线
的交点个数为0，故C 错误；
对于B，
的图象的对称轴是直线
，在
轴右侧，故B 错误；
对于D，因
的图象对称轴：
，
在区间
上单调递增，故D 正确.
故选：D.
2．（2025·全国·模拟预测）设直线
分别交曲线
与曲线
于
两点，若点
在
5
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上，满足
为等边三角形，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】对数的运算、指数函数图像应用
【分析】求出
点坐标，代入函数解析式求解.
【详解】由
得
，即
，由
得
，即
，
所以
，
为等边三角形，如图，则
，
所以
，解得
，
故选：C.
3．（2025·北京海淀·一模）函数
的图象一定经过点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】指数型函数图象过定点问题
【分析】根据题意只需要
为定值即可，则
，即可求得.
6
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【详解】令
，则
，
则
，
所以函数
的图象一定过点
.
故选：A.
4．（2025 高三·全国·专题练习）若函数
至少有一个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】指数函数图像应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】根据题意，问题转化为
与
的图象有交点，数形结合求解.
【详解】函数
有零点，则方程
有根，即
有根，
因此函数
的图象与直线
有交点，
而函数
是R 上的偶函数，在
上单调递减，函数
的值域为
，
在同一坐标系内作出函数
的图象与直线
，如图，
观察图象知，当且仅不
，即
时，函数
的图象与直线
有交点，
所以
的取值范围为
.
故选：C
5．（2022·全国·模拟预测）（多选题）在下列四个图形中，二次函数
与指数函数
的图
7
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象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【难度】0.85
【知识点】判断指数型函数的图象形状、二次函数的图象分析与判断、函数图像的识别
【分析】根据
的关系与各图形一个个检验即可判断．
【详解】当
时，A 正确；当
时，B 正确；
当
时，D 正确；当
时，无此选项．
故选：ABD．
6．（2025·贵州毕节·二模）已知函数
且
的图象过定点
，则点
的坐标是
.
【答案】
【难度】0.94
【知识点】指数型函数图象过定点问题
【分析】利用
可得
的坐标.
8
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【详解】由函数解析式可得：当且仅当
时，
的值与
无关，
故定点
的横坐标为
，故纵坐标为
，故
.
故答案为：
.
7．（2023·山东济宁·一模）已知函数
且
的图象过定点A，且点A 在直线
上，则
的最小值是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、指数型函数图象过定点问题
【分析】求出函数所过的定点
，则有
，则
，则
，化简
整理，分离常数再结合基本不等式求解即可.
【详解】函数
且
的图象过定点
，
则
，所以
，
由
，得
，
则
令
，则
，
则
9
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，
当且仅当
，即
，即
时，取等号，
所以
的最小值是
.
故答案为：
.
8．（2023·河南郑州·一模）设函数
则满足
的x 的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】指数函数图像应用、解分段函数不等式
【分析】作出
图象，由数形结合结合函数单调性列不等式求解即可.
【详解】函数
的图象如图所示，
满足
可得
或
.
解得
.
故答案为：
.
重难点题型3 指数型“复合函数”的单调性与最值
10
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1．（2025·山东济宁·二模）若函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性
【分析】
是由
与
复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单
调性确定内层函数单调性，进而求出
的取值范围.
【详解】
是由
与
复合而成，
在
中，
，，所以
在
上单调递减.
因为
在
上单调递减，且外层函数
在
上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数
在
上单调递增.
对于二次函数
，其图象开口向上，对称轴为
.
二次函数在对称轴右侧单调递增，要使
在
上单调递增，
则对称轴需满足
，解得
.
故选：A.
2．（2025·贵州毕节·二模）已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由指数（型）的单调性求参数
【分析】令
，利用复合函数的单调性可得出
，可得出关于实数
的不等式，解
11
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之即可.
【详解】令
，
则函数
的减区间为
，增区间为
，
又因为函数
在区间
上单调递增，且外层函数
在
上为增函数，
所以，
，可得
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
.
故选：A.
3．（23-24 高三上·河南周口·阶段练习）已知函数
，若
恒成立，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式恒成立问题、根据指数函数的最值求参数
【分析】参变分离可得
恒成立，结合基本不等式求出
的最小值，即可求出参数的取值范
围.
【详解】因为
恒成立，即
恒成立，
所以
恒成立，又由
（当且仅当
时取等号），
所以
．
故选：A．
4．（2023·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数
在
上的最大值为
，则
（）
12
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A．
或3
B．
或2
C．3
D．2
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】判断指数函数的单调性、由奇偶性求参数、根据指数函数的最值求参数
【分析】根据奇偶性求得
，分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可．
【详解】因为
是奇函数，所以
，所以
．
即
，则
，解得
，
经检验
符合题意，所以
，
当
时，
，
则函数
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，
所以，
，整理得
，
解得
或
(舍去)，所以
；
当
时，
，
则函数
在
上单调递减，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递减，
所以，
，整理得
，
解得
或
(舍去)，所以
，
综上，
或3．
故选：A．
13
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5．（2024·广东深圳·一模）已知
，则
的解集为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函
数奇偶性解不等式
【分析】探讨给定函数的奇偶性及单调性，再解不等式即得.
【详解】函数
的定义域为R，
，则
是R 上的奇函数，
函数
在R 上都单调递减，则函数
在R 上单调递减，
不等式
，因此
，
即
，解得
或
，
所以原不等式的解集为
.
故答案为：
6．（2022·河南·模拟预测）函数
在
的值域为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求指数型复合函数的值域、求指数函数在区间内的值域
【分析】令
，结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】解：
，
设
，
当
时，
，所以
，
所以
在
的值域为
．
故答案为：
．
14
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7．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数
.若
的定义域为
，则
的定义域为：
；若
，
的值域为
，则
的取值范围是： .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】抽象函数的定义域、根据指数函数的最值求参数、已知f（g（x））求解析式、求二次函数的
值域或最值
【分析】根据题意结合抽象函数值域分析求解；分析可得
，根据指数函数可得
的值域为
，结合二次函数运算求解.
【详解】若
的定义域为
，即
，则
，
所以
的定义域为
；
因为
，
可得
的值域为
，则
的值域为
，
可得
，解得：
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
；
.
8．（2022·福建龙岩·一模）已知函数
，若方程
有解，则实数
的
取值范围是 ．
15
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【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本（均值）不等式的应用、函数与方程的综合应用、指数函数最值与不等式的综合问题
【分析】换元后利用参变分离，最后用基本不等式进行求解.
【详解】由题意得：
有解
令
有解，即
有解，显然
无意义
,当且仅当
，即
时取等，
故答案为：
.
重难点题型4 指数中的“恒成立问题”
1．（2025·江西·二模）已知函数
，若关于
的不等式
恒成立，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数不等式恒成立问题、判断指数函数的单调性
【分析】首先判断
的单调性与奇偶性，依题意可得
对于任意
恒成立，再分
，
两种情况讨论，当
时参变分离可得
，利用基本不等式求出
的最小值，即可
得解.
【详解】因为
，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
16
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又
，所以
为奇函数，
由
恒成立，即
恒成立，
所以
对于任意
恒成立，
当
时
；
当
时
，
又
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
，所以
；
综上可得实数
的取值范围为
.
故选：A
2．（2025·全国·模拟预测）若不等式
在
上恒成立，且
，
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由指数函数的单调性解不等式、基本不等式“1”的妙用求最值、函数不等式恒成立问题
【分析】根据指数函数的单调性结合题意分析解不等式得
，再利用基本不等式常数代换的方法即
可求解.
【详解】由
，得
或
，
由
为增函数，解得
或
，
当
时，则有
或
，
17
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则存在
，使得不等式
，不符合；
当
时，则有
或
，
则存在
，使得不等式
，不符合；
当
时，则不等式解为R，即不等式
在
上恒成立，
因此
，即
.
因为
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号.
故选：D.
3．（2024·四川成都·二模）已知函数
的值域为M.若
，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求指数型复合函数的值域、根据集合的包含关系求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】根据题意，转化为
有解且无最大值即可分类讨论得解.
【详解】由
，可知
有解，且
无最大值，
即
有解，且
无最大值，
当
时，
有解，
无最大值，符合题意；
当
时，
有解，但
有最大值，不符合题意；
当
时，
有解需满足
，解得
，
18
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此时
无最大值，满足题意.
综上，实数a 的取值范围是
.
故选：A
4．（2023·重庆·模拟预测）已知函数
是定义在R 上的奇函数，若不等式
对任意的
恒成立，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题、判断指数函数的单调性、由奇偶性求参
数
【分析】利用函数的奇偶性和单调性可得不等式
在
恒成立，换元法讨论函数在给
定区间的单调性和最值，结合分类讨论即可求
的范围.
【详解】因为函数
是定义在R 上的奇函数，
所以
解得
，
此时
，
函数为奇函数，满足题意，
所以
，
因为
在R 上单调递增，所以
在R 上单调递减，
所以
在R 上单调递增，
所以由
可得，
即
，
19
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所以
即
在
恒成立，
令
，即
，
当
时，
，
不等式可化为
，
令
，
单调递减，所以
，
所以
；
当
时，
，
不等式
显然成立；
当
时，
，
不等式可化为
，
令
，
单调递减，
所以
，所以
；
综上，
,
故答案为:
.
5．（20-21 高三上·上海松江·期中）已知不等式
，对于
恒成立，则实数
的取值
范围是 ．
【答案】
，
，
【难度】0.65
【知识点】函数不等式恒成立问题、由指数函数的单调性解不等式
【分析】设
，
，则
，对于
，
恒成立，问题转化为
，于
，
恒成立，即
，即可解得答案．
20
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【详解】设
，
，
则
，对于
，
恒成立，
即
，对于
，
恒成立，
∴
，
即
，
解得
或
，
即
或
，
解得
或
，
综上，
的取值范围为
，
，
．
故答案为：
，
，
﹒
6．（2004·湖南·高考真题）若直线
与函数
的图象有两个公共点，则a 的取值范
围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）
【分析】就
的取值分类讨论后可得a 的取值范围.
【详解】直线
与
的图象有两个公共点，
故
有两个不同的解，
故
和
共有两个不同的解，
因为
，故
有且只有一个实数解.
若
，则
，故
无解，而
只有一个解，
21
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故
有且只有一个实数解，与题设矛盾，舍；
若
，因为
只有一个解，故
需有一解，
故
，故
.
故答案为：
.
重难点题型5 比较大小
1．（2025·河北石家庄·三模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】依据
，
，
的单调性比较
与0，1 的大小关系即可.
【详解】因为
单调递增，所以
，
因为
单调递增，所以
，
因为
单调递减，所以
，且
所以
，
故选：D.
2．（2025·天津红桥·二模）若
则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小
【分析】利用指数函数的单调性与值域可得
，再由对数函数的单调性可得
，由此
可得结果.
22
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【详解】因为
，所以
，
，
，
所以
.
故选：D.
3．（22-23 高一上·浙江杭州·期中）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】结合指对幂函数的单调性得
.
【详解】
，故
.
故选：C
4．（23-24 高一上·云南昆明·期末）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量“0”，“1”即可比较大小.
【详解】
，则
，
，
则
，
故选：C.
5．（18-19 高一上·福建漳州·期末）若a＝40.9，b＝log415，c＝80.4，则（ ）
A．b＞c＞a
B．a＞b＞c
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】把
化为以
为底的指数和对数，利用中间值“
”以及指数函数的单调性即可比较大小.
23
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【详解】
，
，
，
又因为
为增函数，
所以
，即
综上可得，a＞c＞b
故选：D
【点睛】本题考查了利用中间值以及函数的单调性比较数的大小，属于基础题.
6．（23-24 高一下·湖北·开学考试）比较
，
，
的大小（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】利用指数函数、对数函数的性质比较大小即可.
【详解】由指数函数的图象与性质可知：
，
，
，
∴
．
故选：B
重难点题型6 指数的实际应用
1．（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，
例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为
．2011 年3
月11 日，日本东北部海域发生里氏9.0 级地震，它所释放出来的能量是2008 年5 月12 日我国汶川发生里
氏8.0 级地震的多少倍（精确到1）?（ ）（注：
，
）
A．30
B．31
C．32
D．33
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】对数的运算性质的应用、指数幂的运算、指数式与对数式的互化
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【分析】设里氏9.0 级和8.0 级地震的能量分别是
和
，根据条件算出
的值，然后可得答案.
【详解】设里氏9.0 级和8.0 级地震的能量分别是
和
，
由题意：
，
.
于是
，
所以
.
故选：C.
2．（23-24 高一上·陕西西安·阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明.
《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是
，那么一年后是
；
如果每天的“退步”率都是
，那么一年后是
.一年后“进步”的是“退步”的
倍.如果每月的“进步”率和“退步”率都是
，那么大约经过（ ）月后“进
步”的是“退步”的一万倍.
A．20
B．21
C．22
D．23
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】指数函数模型的应用（1）、对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化
【分析】根据题意可列出方程
，求解即可，
【详解】设经过
个月“进步“的值是“退步”的值的10000 倍,
则
，
即
，
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,
故选：D．
3．（22-23 高三上·江苏南通·期中）“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；
而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，
实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放
量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式
，若经过5 年，二氧化碳的排放量为
（亿吨）．已
知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放量为
（亿吨），则该地区要能
实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：
）（ ）
A．28
B．29
C．30
D．31
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、指数函数模型的应用（1）
【分析】根据题设条件可得
，令
，代入
，等式两边取
，结合
估算
即可.
【详解】由题意，
，即
，
令
，即
，故
，即
，
可得
，即
.
故选：C
4．（2022·江苏连云港·模拟预测）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过
．一杯茶泡好后置于室
内，分钟、
分钟后测得这杯茶的温度分别为
、
，给出三个茶温
（单位：
）关于茶泡好后
置于室内时间（单位：分钟）的函数模型：①
；②
；③
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．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温
（单位：
）
关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时
间为（ ）（参考数据：
，
）
A．分钟
B．
分钟
C．分钟
D．
分钟
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】指数函数模型的应用（1）、运用换底公式化简计算
【分析】根据生活常识，选择模型③较为合适，根据题意求出
、
的值，然后解不等式
，解此不
等式即可得解.
【详解】根据生活常识，茶温一般不低于室温，若选择模型①或模型②，茶温
在一定时间后会低于室温，
不合乎题意，
故选择模型③较为合适，则
，解得
，此时
，
由
可得
.
故选：C.
5．（2021·云南昆明·三模）已知某物种经过x 年后的种群数量y 近似满足冈珀茨模型：
，
当
时，y 的值表示2021 年年初的种群数量.若
年后，该物种的种群数量不超过2021 年初种群
数量的
，则t 的最小值为(参考值：
)（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（1）
【分析】根据题意先求出2021 年年初的种群数量，再列出不等式，根据取对数法进行求解即可.
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【详解】因为当
时，y 的值表示2021 年年初的种群数量，
所以有
，即2021 年年初的种群数量为
，
当
年后，该物种的种群数量不超过2021 年初种群数量的
，
所以有
，所以t 的最小值为11，
故选：C.
【点睛】关键点睛：根据题意得到指数不等式，通过取二次对数进行求解是解题的关键.
6．（2021·黑龙江齐齐哈尔·二模）碳
测年法是由美国科学家马丁·卡门与同事塞缪尔·鲁宾于
年发
现的一种测定含碳物质年龄的方法，在考古中有大量的应用放射性元素的衰变满足规律
（表示
的是放射性元素在生物体中最初的含量
与经过时间后的含量
间的关系，其中
（
为半衰
期）．已知碳
的半衰期为
年，
，经测量某地出土的生物化石中碳
含量为
，据此推测该化石活体生物生活的年代距今约（结果保留整数，参考数据
）（ ）
A．
年
B．
年
C．
年
D．
年
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】指数函数模型的应用（1）、指数式与对数式的互化
【分析】利用取对数，结合题中所给的数据进行求解即可.
【详解】由题意知：
，把数据代入得：
故选：C．
【点睛】方法点睛：指数方程可以通过取对数进行求解.
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重难点题型7 综合应用
1．（2023·浙江温州·三模）已知函数
，存在实数
使得
成立，若正整数
的最大值为6，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】求指数型复合函数的值域
【分析】分类讨论
的值域，然后根据值域端点的倍数关系可解.
【详解】记
因为
，所以
，所以
当
时，
，所以
，
取
，
则对任意正整数
，总有
成立，故舍.
当
时，
，所以
要使正整数
的最大值为6，则
，解得
；
当
时，
，所以
显然存在任意正整数
，使得
成立；
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当
时，
，所以
要使正整数
的最大值为6，则
，解得
综上，
的取值范围为
故选：C
2．（2025·广东茂名·一模）（多选题）已知函数
，则（ ）
A．当
时，
是增函数
B．当
时，
的值域为
C．当
时，曲线
关于点
对称
D．当
时，
，则
【答案】ACD
【难度】0.4
【知识点】判断或证明函数的对称性、判断指数型复合函数的单调性、求指数型复合函数的值域、函数不
等式恒成立问题
【分析】根据复合函数的单调性判断A，利用特殊值判断B，计算
即可判断C，根据函数
的对称性与单调性转化为
，再结合二次不等式的性质计算可得D.
【详解】对于A：因为
定义域为
，
当
时
在定义域
上单调递增，且
，又
在
上单调递增，
所以
在定义域
上单调递增，故A 正确；
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对于B：当
时
，但是
，故B 错误；
对于C：当
时，
，
则
，所以曲线
关于点
对称，故C 正确；
对于D：当
时，
的图象是由
图象向右平移
个单位得到，
所以
的对称中心为
，且在定义域
上单调递增，
所以
，可得
，
即
，从而得到
，
即
恒成立，所以
，解得
，故D 正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D 选项的关键是推导出
的对称中心为
，且在定义域
上单调递增，从而
将不等式转化为
恒成立.
3．（2023·上海徐汇·一模）已知函数
，存在实数
使得
成
立，若正整数
的最大值为8，则正实数
的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】求指数型复合函数的值域、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】设
，得到
，然后分类讨论
的范围，解出即可.
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【详解】设
，又因为
，所以
，
则
，当
时，
，
则
，显然存在任意正整数
使得
成立；
当
时，
，
，
要使得正整数
的最大值为8，则
，解得
，
则实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题考查了分段函数值域的求法，解题的关键是分类讨论求出函数
的值域，然
后根据题意列不等式求解.
4．（2024·北京海淀·三模）设函数
（
且
）．给出下列四个结论：
①当
时，存在，方程
有唯一解；
②当
时，存在，方程
有三个解；
③对任意实数
（
且
），
的值域为
；
④存在实数
，使得
在区间
上单调递增；
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【难度】0.4
【知识点】分段函数的性质及应用、指数函数图像应用、求函数零点或方程根的个数、分段函数的单调性
【分析】分情况，做出函数图象，数形结合，可得问题答案.
【详解】当
时，可得函数图象如下：
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由
；
，
，结合图象：
当
时，函数单调递减，且
；
当
，函数单调递增，
.
所以当
时，方程
有唯一解.故①正确；
当
时，函数图象如下：
由
；由图象可知，
当
时，函数单调递减，
；
当
时，函数单调递增，
；
当
时，函数单调递增，
.
因为
，因为
，所以
，即
.
所以，当
时，方程
有三个解.故②正确；
如图：
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由
，再由
，
此时
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
所以此时函数的值域不是
.故③错误；
由①可得，当
时，函数
在
上单调递增.
即：存在实数
，使得
在区间
上单调递增.故④正确.
故答案为：①②④
【点睛】方法点睛：本题可以画出分段函数的草图，数形结合，可以比较轻松的解答.
34
