专题4.8 三角函数的图象与性质（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1
三角函数图象的识别与判断】...................................................................................................................1
【题型2
三角函数的定义域、值域与最值】...........................................................................................................3
【题型3
三角函数的单调性与单调区间】...............................................................................................................5
【题型4
根据三角函数的单调性求参数】...............................................................................................................7
【题型5
三角函数的奇偶性、周期性与对称性】.................................................................................................11
【题型6
三角函数的零点问题】.............................................................................................................................12
【题型7
三角函数性质的综合应用】.....................................................................................................................15
第二部分分层突破
A 组
基础跟踪练
B 组
培优提升练
C 组
真题·实战演练
【题型1
三角函数图象的识别与判断】
1．（2026·浙江温州·模拟预测）函数�= �sin�在−π,π 上的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【解题思路】先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断函数图象.
【解答过程】令��= �sin�，则�−�=−�sin −�= �sin�= ��，所以��为偶函数，排除D 选项，
因为�
π
2
=
π
2 sin
π
2 =
π
2 > 0，排除B 选项，因为�π = πsinπ = 0，排除C 选项.
故选：A.
2．（2026·河南洛阳·模拟预测）曲线�= sin3�与�=
1
3 �的交点的个数为（
）
A．3 个
B．5 个
C．7 个
D．9 个
【答案】C
【解题思路】在同一直角坐标系中作出函数�= sin3�与�=
1
3 �的图象，可得答案.
【解答过程】在同一直角坐标系中作出函数�= sin3�与�=
1
3 �的图象，如图所示：
所以曲线�= sin3�与�=
1
3 �的交点的个数为7 个.
故选：C.
3．（2026·贵州黔东南·模拟预测）函数��=
5�cos�
e �
+ sin�的大致图象为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【解题思路】根据函数的奇偶性，排除C，再由当�∈0,
π
2 时，��> 0 排除A，B，即可求解.
【解答过程】由题意，函数��=
5�cos�
e �
+ sin�的定义域为( −∞, + ∞)，关于原点对称，
且�−�=
5 −�cos −�
e −�
+ sin −�=
−5�cos�
e �
−sin�=−��所以函数��是奇函数，其图象关于原点中心对
称，排除C；
又由当�∈0,
π
2 时，��> 0 排除A，B;
故选：D．
4．（2026·福建泉州·模拟预测）当�∈[0,
5π
2 ]时，曲线�= sin�与�= 2sin(3�−
π
6 )的交点个数为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，利用正弦函数图像的性质作出两函数图象，再确定在指定区间内交点个数即可.
【解答过程】函数�= sin�的最小正周期为�= 2π，函数�= 2sin(3�−
π
6 )的最小正周期为�=
2π
3 ，
在坐标系中，由五点法作图画出两函数在[0,
5π
2 ]上的图象，如图：
观测图象知，函数�= sin�与�= 2sin(3�−
π
6 )在[0,
5π
2 ]上的图象有8 个交点.
故选：D.
【题型2
三角函数的定义域、值域与最值】
5．（2026·湖南株洲·模拟预测）函数��= sin2�的值域是（
）
A．−1,1
B．−1,1
C．−2,2
D．−2,2
【答案】B
【解题思路】利用正弦函数的基本性质，通过变量代换即可求出��= sin2�的值域
【解答过程】因为�∈R，令2�= �(�∈R)，由正弦函数的图像性质得�= sin�的值域为[ −1,1]，
则��= sin2�的值域为[ −1,1].
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故选：B.
6．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知函数��= 3cos ��+
π
6
�> 0 的最小正周期为
2π
3 ，则��在−
π
6 ,
π
6
上的最大值为（
）
A．1
B．
3
2
C．2
D．3
【答案】D
【解题思路】由周期公式求得�，然后由换元法即可求解.
【解答过程】由题意�=
2π
�=
2π
3 ，解得�= 3，�∈−
π
6 ,
π
6 ⇒�= 3�+
π
6 ∈−
π
3 ,
2π
3 ，
所以��= 3cos�, �∈−
π
3 ,
2π
3 的最大值为3.
故选：D.
7．（25-26 高一下·江西·阶段检测）函数��= tan(2�−
π
12 )的定义域为（
）
A．��≠
7π
24 + �π, �∈Z
B．��≠
13π
24 + �π, �∈Z
C．��≠
π
24 +
�π
2 , �∈Z
D．��≠
7π
24 +
�π
2 , �∈Z
【答案】D
【解题思路】根据正切函数的定义域列出不等式，求解即得所求函数的定义域.
【解答过程】由2�−
π
12 ≠
π
2 + �π, �∈Z，可得�≠
7
24 π +
1
2 �π, �∈Z.
故选：D.
8．（2026·河南开封·二模）设函数�(�) = sin��+ cos��(�> 0)，若�(�+ π) = �(�)恒成立，且�(�)在0,
π
4
上最大值与最小值的和为0，则�的最小值为（
）
A．8
B．6
C．5
D．4
【答案】B
【解题思路】利用正弦函数的性质结合已知条件求出�的特征，再结合最大值与最小值的和为0 的条件，求
出�的最小值．
【解答过程】�(�) = sin��+ cos��=
2sin ��+
π
4 ，周期为
2π
�，
∵�(�+ π) = �(�)，则π是周期，
∴�= 2�, �∈�∗，即�是正偶数，
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当�∈0,
π
4 时，�= ��+
π
4 ∈
π
4 ,
�+1 π
4
，
已知最大值与最小值的和为0，
∴最大值与最小值互为相反数，
若�= 2，区间
π
4 ,
3π
4 ，�(�)最大值为2，最小值为1，和不为0；
若�= 4，区间
π
4 ,
5π
4 ，�(�)最大值为2，最小值为−1，和不为0；
若�= 6，区间
π
4 ,
7π
4 ，�(�)最大值为2，最小值为−
2，和为0；
∴�的最小值为6．
故选：B.
【题型3
三角函数的单调性与单调区间】
9．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）下列函数既是奇函数又在区间0,
π
4 上单调递增的是（
）
A．��=
1
cos�
B．��= sin2�
C．��= tan �
D．��= sin3�
【答案】B
【解题思路】根据三角函数的单调性和奇偶性对各个选项进行判断即可求解.
【解答过程】对于A，由cos�≠0，可得�≠�π +
π
2 �∈�，所以函数��=
1
cos�的定义域为��≠�π +
π
2 , �∈
�.
因为�−�=
1
cos −�=
1
cos�≠−��，所以��=
1
cos�不是奇函数，A 不满足要求.
对于B，函数��= sin2�的定义域为�，且�−�= sin −2�=−sin2�=−��，则��= sin2�是奇函数，
当0 ≤�≤
π
4时，0 ≤2�≤
π
2，所以函数��= sin2�在0,
π
4 上单调递增，B 满足要求；
对于C，函数��= tan �的定义域为��≠
π
2 + �π,�∈�，
且�−�= tan −�= tan �≠��，则函数��= tan �不是奇函数，C 不满足要求；
对于D，函数��= sin3�的定义域为�，且�−�= sin −3�=−sin3�=−��，所以函数��= sin3�
为奇函数，
当0 ≤�≤
π
4时，0 ≤3�≤
3π
4 ，所以函数��= sin3�在0,
π
4 上不单调，D 不满足要求.
故选：B.
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10．（2026·广东深圳·二模）奇函数��= 2cos 2�+ �
0 < �< �的单调减区间可以是（
）
A．−
�
4 ,
�
4
B．−
�
2 , −
�
4
C．0,
�
2
D．
�
4 ,
�
2
【答案】A
【解题思路】奇函数条件确定φ的值,化简后利用正弦函数的单调性求得.
【解答过程】由题�(�) = 2cos(2�+ �) 为奇函数，需满足�( −�) =−�(�).
代入得：2cos −2�+ �=−2cos 2�+ �⇔cos 2�−�=−cos 2�+ �,
利用余弦函数的性质，当且仅当�=
�
2 时等式对所有�成立.
��= 2cos 2�+
�
2 =−2sin 2�.
令2�∈−
�
2 + 2��,
�
2 + 2��, �∈�.
解得：�∈−
�
4 + ��,
�
4 + ��.
当�= 0 时，减区间为
−
�
4 ,
�
4 ，
故选: A.
11．（2026·宁夏·一模）已知函数�(�) =
3sin2�+ sin
π
2 + 2�，则函数�= �(�)的单调递增区间是（
）
A．�π −
π
3 , �π +
π
6 , �∈�
B．�π −
π
6 , �π +
5π
6 , �∈�
C．2�π −
π
3 , 2�π +
π
6 , �∈�
D．2�π −
π
6 , 2�π +
5π
6 , �∈�
【答案】A
【解题思路】利用三角恒等变换得�(�) = 2sin 2�+
�
6 ，再求出其单调区间即可.
【解答过程】�(�) =
3sin2�+ sin
π
2 + 2�=
3sin2�+ cos2�= 2sin 2�+
�
6 ，
令2��−
�
2 ≤2�+
�
6 ≤2��+
�
2 , �∈Z，
解得�π −
π
3 ≤�≤�π +
π
6 , �∈Z，所以其单调递增区间为�π −
π
3 , �π +
π
6 , �∈�.
故选：A.
12．（2026·黑龙江吉林·模拟预测）已知
π
3为曲线�= cos�与�= sin(2�+ �)(0 ≤�< π)的一个交点的横坐
标，则函数�(�) = sin(2�+ �)的一个单调增区间为（
）
A．−
π
3 ,
π
4
B．
2π
3 ,
7π
6
C．−
π
6 ,
π
3
D．−π, −
2π
3
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【答案】B
【解题思路】根据cos
π
3 = sin(
2π
3 + �) =
1
2求解�=
π
6，利用整体法求解函数的单调区间，即可得解.
【解答过程】由题意可知，cos
π
3 = sin(
2π
3 + �) =
1
2，由于0 ≤�< π，
所以
2π
3 ≤
2π
3 + �<
5π
3 ，故
2π
3 + �=
5π
6 ，解得�=
π
6，故�(�) = sin(2�+
π
6 )，
令−
π
2 + 2�π ≤2�+
π
6 ≤
π
2 + 2�π, �∈Z，解得−
π
3 + �π ≤�≤
π
6 + �π, �∈Z，
故单调递增区间为−
π
3 + �π,
π
6 + �π , �∈Z，
当�= 0 时，一个单调递增区间为−
π
3 ,
π
6 ，
当�= 1 时，一个单调递增区间为
2π
3 ,
7π
6 ，
当�=−1 时，一个单调递增区间为
−4π
3 ,
−5π
6
.
故选：B.
【题型4
根据三角函数的单调性求参数】
13．（2026·陕西西安·二模）已知函数��= sin ��−
π
4
�> 0 , ��在0,
π
4 上单调，则�的最大值为（
）
A．
5
2
B．3
C．2
D．
7
2
【答案】B
【解题思路】法一：由−
π
2 + 2�π ≤��−
π
4 ≤
π
2 + 2�π，求得单调增区间，再结合集合包含关系即可求解，法
二：由�∈0,
π
4 得到��−
π
4 ∈−
π
4 ,
π
4 �−
π
4 ，再结合集合包含关系即可求解.
【解答过程】方法一：由正弦函数的单调性，令−
π
2 + 2�π ≤��−
π
4 ≤
π
2 + 2�π，
解得−
π
4�+
2�π
�≤�≤
3π
4�+
2�π
�，�∈Z
又��在0,
π
4 单调，
所以当�= 0 时，0,
π
4 ⊆−
π
4�,
3π
4�，即
π
4 ≤
3π
4�，
解得�≤3，所以�的最大值为3.
方法二：�∈0,
π
4 , ��−
π
4 ∈−
π
4 ,
π
4 �−
π
4 , ��在0,
π
4 单调，
故−
π
4 ,
π
4 �−
π
4 ⊆−
π
2 ,
π
2 ∴
π
4 �−
π
4 ≤
π
2 , �≤3，
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所以�的最大值为3.
故选：B.
14．（2026·江苏南京·三模）已知函数�= tan ��−
π
4
�> 0 在−
π
2 ,
π
2 上单调，则�的最大值是（
）
A．1
B．
3
2
C．
1
2
D．2
【答案】C
【解题思路】由正切函数�= tan�的单调递增区间为�π −
π
2 , �π +
π
2 , �∈�，求得函数�= tan ��−
π
4 的单
调递增区间为
�π
�−
π
4�,
�π
�+
3π
4�, �∈�；再根据函数�= tan ��−
π
4
�> 0 在−
π
2 ,
π
2 上单调，得−
π
2 ,
π
2 ⊆
�π
�−
π
4�,
�π
�+
3π
4�，从而得到不等式组，确定�的取值，结合�> 0 的条件，确定�的最大值.
【解答过程】由正切函数�= tan�的单调递增区间为�π −
π
2 , �π +
π
2 , �∈�；
∴令�π −
π
2 < ��−
π
4 < �π +
π
2 , �∈�，解得
�π
�−
π
4�< �<
�π
�+
3π
4�, �∈�；
∴函数�= tan ��−
π
4 的单调递增区间为
�π
�−
π
4�,
�π
�+
3π
4�, �∈�.
由�= tan ��−
π
4 (�> 0)在−
π
2 ,
π
2 上单调，得−
π
2 ,
π
2
⊆
�π
�−
π
4�,
�π
�+
3π
4�；
∴
�π
�−
π
4�≤−
π
2
π
2 ≤
�π
�+
3π
4�
，解得
�≤
1−4�
2
�∈�
�≤
4�+3
2
�∈�
；
∵�> 0，∴
1−4�
2
> 0
4�+3
2
> 0
，解得−
3
4 < �<
1
4；
∵�∈�，∴�= 0；
∴
�≤
1
2
�≤
3
2
，得0 < �≤
1
2；
∴�的最大值为
1
2.
故选：C.
15．（2026·山东青岛·一模）已知函数�(�) = sin(��+ �) �> 0, |�| ≤
π
2 , �=−
π
4为�(�)的零点，�=
π
4为�=
�(�)图象的对称轴，且�(�)在
π
18 ,
5π
36 单调，则�的最大值为（
）
A．13
B．11
C．9
D．7
【答案】C
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【解题思路】先根据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断�为奇数，由�(�)在
π
18 ,
5π
36 ，单调，分�(�)
在
π
18 ,
5π
36 单调递增、单调递减两种情况，分别求得�的最大值，综合可得它的最大值．
【解答过程】∵函数�(�) = sin(��+ �)(�> 0，|�| ≤
π
2 )，−
π
4为�(�)的零点，�=
π
4为�= �(�)图象的对称轴，
∴�( −
π
4 ) + �= �π，�∈Z，且�⋅
π
4 + �= �′π +
π
2，�′ ∈Z，
∴相减可得�⋅
π
2 = (�′ −�)π +
π
2 = �π +
π
2，�∈Z，即�= 2�+ 1，即�为奇数．
∵�(�)在
π
18 ,
5π
36 单调，
①若�(�)在
π
18 ,
5π
36 单调递增，
则�⋅
π
18 + �≥2�π −
π
2，且�⋅
5π
36 + �≤2�π +
π
2，�∈Z，
即−�⋅
π
18 −�≤−2�π +
π
2①，且�⋅
5π
36 + �≤2�π +
π
2，�∈Z②，
把①②可得：
3
36 �π ≤π，∴�≤12，故有奇数�的最大值为11．
当�= 11 时，−
11π
4 + �= �π，�∈Z，∵|�| ≤
π
2，∴�=−
π
4．
此时�(�) = sin(11�−
�
4 )在
π
18 ,
5π
36 上不单调，不满足题意．
当�= 9 时，−
9π
4 + �= �π，�∈Z，∵|�| ≤
π
2，∴�=
π
4，
此时�(�) = sin(9�+
�
4 )在
π
18 ,
5π
36 上单调递减，不满足题意；
故此时�无解．
②若�(�)在
π
18 ,
5π
36 单调递减，
则�⋅
π
18 + �≥2�π +
π
2，且�⋅
5π
36 + �≤2�π +
3π
2 ，�∈Z，
即−�⋅
π
18 −�≤−2�π −
π
2③，且�⋅
5π
36 + �≤2�π +
3π
2 ，�∈Z④，
把③④可得：
3
36 �π ≤π，∴�≤12，故有奇数�的最大值为11．
当�= 11 时，−
11π
4 + �= �π，�∈Z，∵|�| ≤
π
2，∴�=−
π
4．
此时�(�) = sin(11�−
�
4 )在
π
18 ,
5π
36 上不单调，不满足题意．
当�= 9 时，由①�(�) = sin(9�+
�
4 )在
π
18 ,
5π
36 上单调递减，满足题意；
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故�的最大值为9．
故选：C.
16．（2026·海南儋州·一模）已知函数��=
3sin��+ cos��(�> 0)在
π
6 ,
π
4 上单调递增，且当�∈−
π
3 , −
π
4
时，��≤0，则�的取值范围为（）
A．
2
3 ,
4
3 ∪8,
19
2
B．
2
3 ,
4
3 ∪
26
3 ,
28
3
C．
2
3 ,
7
2 ∪
26
3 ,
19
2
D．
2
3 ,
7
2 ∪8,
28
3
【答案】B
【解题思路】运用辅助角公式将函数化为正弦函数，进而利用正弦函数的单调区间和正负区间分别建立关于
ω的不等式组，通过整数参数描述区间位置并与定义域取交集，最终综合确定ω的取值范围.
【解答过程】利用辅助角公式化简��：��=
3sin��+ cos��= 2sin ��+
π
6 , �> 0
�= sin�的单调递增区间为−
π
2 + 2�π,
π
2 + 2�π , �∈�，
当�∈
π
6 ,
π
4 时，�= ��+
π
6 ∈
�π
6 +
π
6 ,
�π
4 +
π
6 ，整个区间需落在某个增区间内，
因此：
−
π
2 + 2�π ≤
�π
6 +
π
6
�π
4 +
π
6 ≤
π
2 + 2�π ,
化简得：12�−4 ≤�≤8�+
4
3 , �∈�
结合�> 0：
若�= 0，则0 < �≤
4
3，若�= 1，则8 ≤�≤
28
3 ，若�≥2，不等式无解，
因此�∈0,
4
3 ∪8,
28
3
当�∈−
π
3 , −
π
4 时，�= ��+
π
6 ∈−
�π
3 +
π
6 , −
�π
4 +
π
6 ，
要使sin�≤0 恒成立，整个区间需落在π + 2�π, 2π + 2�π , �∈�，
因此：
π + 2�π ≤−
�π
3 +
π
6
−
�π
4 +
π
6 ≤2π + 2�π ，
化简得：−8�−
22
3 ≤�≤−6�−
5
2 , �∈�，
结合�> 0，分情况讨论：
当0 < �≤
4
3时：取�=−1，得
2
3 ≤�≤
7
2，交集为
2
3 ,
4
3 ，
当8 ≤�≤
28
3 时：取�=−2，得
26
3 ≤�≤
19
2 ，交集为
26
3 ,
28
3 （因为
28
3 <
19
2 ），
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综上，�的取值范围是
2
3 ,
4
3 ∪
26
3 ,
28
3 .
故选：B.
【题型5
三角函数的奇偶性、周期性与对称性】
17．（2026·贵州黔东南·一模）若��是最小正周期为6π的偶函数，则��的解析式可以为（
）
A．��= tan
π
6
B．��= sin
�
3
C．��= tan
�
3
D．��= cos
�
3
【答案】D
【解题思路】根据三角函数的周期性公式及偶函数的概念即可求解.
【解答过程】对于A，��+ 1 = tan
π
6 = ��为常函数，故最小正周期为6π错误；
对于B，�−�= sin
−�
3 =−sin
�
3 =−��，奇函数，故错误；
对于C，由周期公式可知：��= tan
�
3的最小正周期为：
π
1
3
= 3π，
所以��+ 3π = tan
�+3π
3
= tan
�
3 + π
= tan
�
3 = ��，故周期为3π，故错误；
对于D，�−�= cos
−�
3 = cos
�
3 = ��，偶函数，由周期公式可得最小正周期为
2π
1
3
= 6π，故正确；
故选：D.
18．（2026·云南·模拟预测）已知函数��= 3sin 2�+
π
6 ，则��的图象的对称中心可能是（
）
A．
π
12 , 3
B．−
π
12 , 0
C．
π
6 , 0
D．−
π
6 , 0
【答案】B
【解题思路】根据正弦函数的对称中心计算求解.
【解答过程】函数��的对称中心的横坐标为：2�+
π
6 = �π，解得�=−
π
12 +
�π
2 , �∈Z，
当�= 0 时，得到对称中心−
π
12 , 0 .
故选:B.
19．（2026·湖南·模拟预测）已知函数�(�) = sin ��−
π
3 (�> 0)的最小正周期为T，且
π
2 < �<
3π
2 ，函数�=
��+
�
6 为奇函数，则�
π
4
=（
）
A．−
1
2
B．
1
2
C．
3
2 −1
D．
3
2
【答案】B
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【解题思路】根据正弦型最小正周期公式，结合奇函数的性质进行求解即可.
【解答过程】由
π
2 < �<
3π
2 ⇒
π
2 <
2π
�<
3π
2 ⇒
4
3 < �< 4，
因为函数�= ��+
�
6 = sin ��+
π�
6 −
π
3 为奇函数，
所以有
π�
6 −
π
3 = �π ⇒�= 2 + 6�(�∈�)，则�= 2，
所以�
π
4
= sin 2 ×
π
4 −
π
3 = sin
π
6 =
1
2，
故选：B.
20．（2026·江西新余·模拟预测）已知函数��= sin π −cos�，则下列结论不正确的是（
）
A．��是偶函数
B．��的单调递增区间为2�π −π, 2�π �∈�
C．��是周期为π的周期函数
D．��的图象关于点
π
2 , 0 对称
【答案】C
【解题思路】化简函数��的解析式，利用函数奇偶性的定义可判断A 选项；利用复合函数的单调性可判断
B 选项；利用函数周期性的定义可判断C 选项；利用函数对称性的定义可判断D 选项.
【解答过程】由题知，��= sin cos�，且该函数的定义域为�，
∵�−�= sin[cos −�] = sin cos�= ��，∴��是偶函数，故结论A 正确；
∵�= cos�的单调递增区间为2�π −π, 2�π �∈�，值域为−1,1 ，
�= sin�在区间−1,1 上单调递增，∴��的单调递增区间为2�π −π, 2�π �∈�，故B 选项正确；
∵��+ π = sin cos �+ π
= sin −cos�=−sin cos�≠��，
∴��不是周期为π的周期函数，故C 选项错误；
∵�π −�= sin cos π −�
= sin −cos�=−sin cos�=−��，
∴��的图象关于点
π
2 ,0 对称，故D 正确，
故选：C．
【题型6
三角函数的零点问题】
21．（2026·湖南邵阳·模拟预测）函数��= cos3�−cos2�在区间−π, 2π 的零点个数为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【解题思路】由��= cos3�−cos2�=−2sin
5�
2 sin
�
2，�∈−π, 2π ，令��= 0，求解�的值，判断选项.
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【解答过程】由��= cos3�−cos2�=−2sin
5�
2 sin
�
2，�∈−π, 2π ，
令��= 0，则−2sin
5�
2 sin
�
2 =0，⇒sin
5�
2 =0 或sin
�
2 =0，
故
5�
2 = �1π或
�
2 =�2π, �1, �2 ∈�，即�=
2�1π
5 或�=2�2π, �1, �2 ∈�，
由�∈−π, 2π ，则−π ≤
2�1π
5
≤2π,或−π ≤2�2π ≤2π, �1, �2 ∈�，
即−
5
2 ≤�1 ≤5, �1 ∈�或−
1
2 ≤�2 ≤1, �2 ∈�，
故�1 =−2, −1,0,1,2,3,4,5 或�2=0,1，
综上所述，存在8 个零点,即为−
4π
5 , −
2π
5 . 0.
2π
5 ,
4π
5 ,
6π
5 ,
8π
5 , 2π.
故选：C.
22．（2026·湖南益阳·三模）函数�(�) = cos2�−sin�在( −2π, 2π)内的零点之和为（
）
A．−π
B．−2π
C．−
π
2
D．0
【答案】A
【解题思路】由题意有�(�) = cos2�−sin�=−2 sin�+
1
4
2
+
9
8，令��= 0，解得sin�=−1 或sin�=
1
2，
作出�= sin�在�∈−2π, 2π 的图像，利用数形结合即可求解.
【解答过程】由题意有�(�) = cos2�−sin�= 1 −2sin2�−sin�=−2 sin�+
1
4
2
+
9
8，
令��= 0，有−2 sin�+
1
4
2
+
9
8 = 0，即sin�+
1
4
2
=
9
16，
解得sin�=−1 或sin�=
1
2，
作出�= sin�在�∈−2π, 2π 的图像，
则�=
1
2与�= sin�的交点的横坐标为�1, �2, �4, �5，�1 < �2 < �4 < �5，
�=−1 与�= sin�的交点横坐标为�3, �6，�3 < �6，
由图可知�1 + �2 = 2 × −
3π
2
=−3π，�4 + �5 = 2 ×
π
2 = π，�3 =−
π
2 , �6 =
3π
2 ，
所以�1 + �2 + �3 + �4 + �5 + �6 =−3π + −
π
2 + π +
3π
2 =−π，
故选：A.
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23．（2026·广西南宁·二模）已知函数��= sin ��−
π
6
�> 0 在区间
π
3 ,
π
2 上单调递增且存在零点，则�
的取值范围是（
）
A．
1
3 ,
4
3 ∪5,6
B．
1
3 ,
1
2
C．
1
3 ,
1
2 ∪5,
16
3
D．5,6
【答案】C
【解题思路】根据��在区间
π
3 ,
π
2 上单调递增，得到0 < �≤6，换元法得到�∈
π
3 �−
π
6 ,
π
2 �−
π
6 ，根据��
的性质得到不等式组，求出
1
3 < �<
1
2或5 ≤�≤
16
3 ，得到答案.
【解答过程】设函数��的最小正周期为�，因为��在区间
π
3 ,
π
2 上单调递增，
所以
�
2 ≥
π
2 −
π
3 =
π
6，解得�≥
π
3，所以0 < �≤6.
令�= ��−
π
6，则当�∈
π
3 ,
π
2 时，�∈
π
3 �−
π
6 ,
π
2 �−
π
6 .
因为��在区间
π
3 ,
π
2 上单调递增且存在零点，
所以
π
3 �−
π
6 ≥−
π
2 + 2�π
π
2 �−
π
6 ≤
π
2 + 2�π
π
3 �−
π
6 < 2�π <
π
2 �−
π
6
�∈�，解得
�≥−1 + 6�
�≤
4
3 + 4�
�<
1
2 + 6�
�>
1
3 + 4�
�∈�，
又0 < �≤6，�= 0 时，得
1
3 < �<
1
2，�= 1 时，得5 ≤�≤
16
3 ，其他�值，均不合要求，
所以
1
3 < �<
1
2或5 ≤�≤
16
3 ，
所以�的取值范围是
1
3 ,
1
2 ∪5,
16
3 .
故选：C.
24．
（2026·江苏扬州·模拟预测）设��= �sin ��+ �，且�> 0, �<
�
2，已知��的值域为−2,2 ，�0 =−
1，若��在区间0,2�上恰有3 个零点，则正实数�的取值范围是（
）
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A．
17
12 ,
23
12
B．
13
12 ,
19
12
C．
5
3 ,
13
6
D．
7
6 ,
5
3
【答案】B
【解题思路】根据给定条件，求出函数�(�)的解析式，再结合正弦函数图象性质求出范围.
【解答过程】由��的值域为−2,2 ，得�= 2，
由�(0) =−1，得sin�=−
1
2，
而|�| <
π
2，则�=−
π
6，��= 2sin(��−
π
6 )，
由�∈0,2π ，得��−
π
6 ∈[ −
π
6 , 2π�−
π
6 ]，
而函数��在区间0,2�上恰有3 个零点，
因此2π ≤2πω −
π
6 < 3π，解得
13
12 ≤�<
19
12，
所以正实数�的取值范围是[
13
12 ,
19
12 ).
故选：B.
【题型7
三角函数性质的综合应用】
25．（2026·湖北·二模）若函数��=
3sin2�+ 2sin �+
�
6 sin �−
�
6 + �的最大值为3.
(1)求�的值及函数��的单调递减区间；
(2)求不等式��
≥1 的解集.
【答案】(1)�=
1
2，
�
3 + ��,
5�
6 + ��, �∈�
(2){�∣��+
�
12 ≤�≤��+
7�
12或�=−
�
6 + ��, �∈�}
【解题思路】（1）先对函数中的三角部分进行化简，根据题意可建立关于�的方程，求解得到�值
（2）将∣�(�)∣≥1 拆分为�(�) ≥1 或�(�) ≤−1 两个不等式，再结合化简后的函数表达式，利用正弦函数的
图象与性质分别求解这两个不等式，最后取并集得到解集
【解答过程】（1）��=
3sin2�+ 2sin �+
�
6 sin �−
�
6 + �=
3sin2�−cos2�+ �+
1
2 = 2sin 2�−
�
6
+�+
1
2，
因为��的最大值为3，所以�=
1
2，
π
2 + 2�π ≤2�−
π
6 ≤
3π
2 + 2�π, �∈�，解得
�
3 + ��≤�≤
5�
6 + ��, �∈�，
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��的单调递减区间为
π
3 + �π,
5π
6 + �π , �∈�；
（2）��= 2sin 2�−
�
6 + 1，
��
≥1 可得��≥1 或��≤−1 即sin 2�−
�
6 ≥0 或sin 2�−
�
6 ≤−1，
所以2��≤2�−
�
6 ≤2��+ �或2�−
�
6 =−
�
2 + 2��, �∈�，
解得��+
�
12 ≤�≤��+
7�
12或�=−
�
6 + ��, �∈�，
所以解集为{�∣��+
�
12 ≤�≤��+
7�
12或�=−
�
6 + ��, �∈�}.
26．（2026·重庆·二模）已知函数��= �sin2�−2sin2��∈R ．
(1)求��的最小正周期；
(2)若曲线�= ��关于直线�=
π
6对称，求�以及��的值域．
【答案】(1)π
(2)�=
3，−3,1
【解题思路】（1）根据三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的周期公式得解；
（2）根据对称性取特殊值求解，再检验得出函数解析式，根据正弦型函数值域求解.
【解答过程】（1）因为��= �sin2�−1 −cos2�= �sin2�+ cos2�−1 =
�2 + 1sin 2�+ �−1，
（其中cos�=
�
�2+1 , sin�=
1
�2+1）
所以最小正周期�=
2π
2 = π；
（2）因为曲线�= ��关于直线�=
π
6对称，
所以�0 = �
�
3 ，即0 = �sin
2π
3 −2sin2 π
3，
所以
3
2 �−
3
2 = 0，解得�=
3，
此时��=
3sin2�+ cos2�−1 = 2sin 2�+
π
6 −1，
当�=
π
6时，�
π
6 = 2sin
π
2 −1 = 1，符合题意，
因为−1 ≤sin 2�+
π
6 ≤1，所以−3 ≤��≤1．
即��的值域为−3,1 ．
27．（2026·浙江宁波·二模）已知函数��= sin 2�+
π
6 + sin 2�−
π
6 + 2cos2�+ �的最大值为1.
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(1)求常数�的值；
(2)求使��≥0 成立的�的取值集合.
【答案】(1)�=−2
(2) ��π ≤�≤
π
3 + �π , �∈�.
【解题思路】（1）根据两角和、差的正弦公式、降幂公式及辅助角公式，可得�(�)的解析式，根据�(�)的最
大值，即可得m 值.
（2）由（1）得�(�)的解析式，根据正弦型函数的性质，代入求解，即可得答案.
【解答过程】（1）由题意�(�) =
3
2 sin2�+
1
2 cos2�+
3
2 sin2�−
1
2 cos2�+ 2 ×
1+cos2�
2
+ �
=
3sin2�+ cos2�+ �+ 1 = 2sin 2�+
π
6 + �+ 1，
当�=
π
6 + �π �∈�时，��有最大值�+ 3，
所以�+ 3 = 1，解得�=−2.
（2）由（1）知，��= 2sin 2�+
π
6 −1，
由��≥0，得sin 2�+
π
6 ≥
1
2，所以
π
6 + 2�π ≤2�+
π
6 ≤
5π
6 + 2�π, �∈�，
解得�π ≤�≤
π
3 + �π, �∈�，
故满足条件的�的取值集合为��π ≤�≤
π
3 + �π , �∈�.
28．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数��= sin2�+ sin 2�+
π
3 ．
(1)求函数��的最小正周期及对称中心坐标；
(2)已知�> 0，若关于�的方程��−
3
2 = 0 在区间0, �上恰有两个不同实根，求�的取值范围．
【答案】(1)�= π，
�π
2 −
π
12 , 0 , �∈�
(2)[
π
3 , π)
【解题思路】（1）利用两角和的正弦公式及辅助角公式将��化为�sin ��+ �的形式，根据公式求其最小
正周期，利用整体代换的方法，根据正弦函数的对称中心可求得��的对称中心坐标；
（2）利用整体代换法，将“关于�的方程��−
3
2 = 0 在区间0, �上恰有两个不同实根”转化为“sin�=
3
2 恰
有两个解”，从而得到�的取值范围，得到�的取值范围.
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【解答过程】（1）��= sin2�+ sin 2�+
π
3 = sin2�+
1
2 sin2�+
3
2 cos2�
=
3
2 sin2�+
3
2 cos2�=
3sin 2�+
π
6 ，
��的最小正周期为�=
2π
2 = π；
令2�+
π
6 = �π，解得�=
�π
2 −
π
12，
所以��的对称中心坐标为
�π
2 −
π
12 , 0 , �∈�．
（2）��=
3
2 ⇔sin 2�+
�
6 =
1
2.
令�= 2�+
π
6 , �∈0, �，则�∈
π
6 , 2�+
π
6 .
所以sin�=
1
2在
π
6 , 2�+
π
6 上恰有两个解.
所以
5π
6 ≤2�+
π
6 <
13π
6 ，解得
π
3 ≤�< π．
所以�的取值范围是[
π
3 , π)．
一、单选题
1．（2026·上海普陀·一模）下列函数中，周期为π的奇函数是（
）
A．�= sin�
B．�= cos2�−sin2�
C．�= cos
π
2 −�
D．�=
sin2�
1+cos2�
【答案】D
【解题思路】利用三角函数的周期公式及奇函数的定义，结合诱导公式和二倍角公式逐项分析即可求解.
【解答过程】对于A，根据�= ��= sin�图象可知�= π，函数的定义域为R，�−�= sin −�
= sin�=
��，
所以��以π为周期的偶函数，故A 错误；
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对于B，�= ��= cos2�−sin2�= cos2�，�=
2π
2 = π，函数的定义域为R，�−�= cos2 −�−sin2 −�=
cos2�−sin2�= ��，所以��以π为周期的偶函数，故B 错误；
对于C，�= ��= cos
π
2 −�= sin�，�=
2π
1 = 2π，函数的定义域为R，�−�= sin −�=−sin�=−��，
所以��以2π为周期的奇函数，故C 错误；
对于D，�= ��=
sin2�
1+cos2�=
2sin�cos�
1+2cos2�−1 =
2sin�cos�
2cos2�= tan�，函数的定义域为��≠�π +
π
2 , �∈Z 关于原点对
称，
且�−�= tan −�=−tan�=−��，
所以��以π为周期的奇函数，故D 正确.
故选：D.
2．（2026·湖南永州·模拟预测）若��= sin �+ 2�(0 < �< π)为偶函数，则��=（
）
A．
2
2
B．−
2
2
C．0 或
2
2
D．±
2
2
【答案】A
【解题思路】根据��为偶函数，得到方程，求出�=
π
4或�=
3π
4 ，分两种情况，结合诱导公式得到答案.
【解答过程】若��为偶函数，又0 < �< π，则2�=
π
2或2�=
3π
2 ，解得�=
π
4或�=
3π
4 ，
若�=
π
4，则�
π
4
= sin
π
4 +
π
2 =
2
2 ，
若�=
3π
4 ，则�
3π
4
= sin
3π
4 +
3π
2
= sin
π
4 + 2π = sin
π
4 =
2
2 ，所以��=
2
2 .
故选：A.
3．（2026·河南郑州·二模）函数��= 2sin 2�+
�
6 与函数��= log2�的图象交点个数为（
）
A．3
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【解题思路】利用五点法作出三角型函数图象，再用两点法作出对数函数图象，即可通过图象观察交点个数.
【解答过程】
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通过五点法
π
6 , 2 ,
5π
12 , 0 ,
2π
3 , −2 ,
11π
12 , 0 ,
7π
6 , 2 作出周期函数��的图象，
再通过两点法1,0 , 4,2 作出单调函数��= log2�的图象，
因为4 ∈
7π
6 ,
17π
12 ，所以通过图象可判断它们有3 个交点，
故选：A.
4．
（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数�(�) = sin(��+ �) �> 0, |�| <
π
2 有两条相邻的对称轴�=
π
12和�=
5π
12，则�=（
）
A．−
π
4
B．
π
4
C．−
π
3
D．
π
3
【答案】B
【解题思路】根据相邻的对称轴得到最小正周期，求出�= 3，代入�=
π
12，得到方程，求出答案.
【解答过程】�(�) = sin(��+ �) �> 0, |�| <
π
2 两条相邻的对称轴�=
π
12和�=
5π
12，
故�(�)的最小正周期为2
5π
12 −
π
12 =
2π
3 ，故�=
2π
2π
3
= 3，
故�(�) = sin(3�+ �)，�
π
12 = sin
π
4 + �=± 1，
故
π
4 + �=
π
2 + �π, �∈Z，解得�=
π
4 + �π, �∈Z，
因为�<
π
2，所以只有当�= 0 时，�=
π
4满足要求，其他均不合要求.
故选：B.
5．（2026·辽宁沈阳·一模）函数��=
sin�
lg �2+e 的图象大致是（
）
A．
B．
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C．
D．
【答案】A
【解题思路】根据函数的奇偶性排除部分选项，再由特殊值判断.
【解答过程】因为��的定义域为R，且�−�=
sin�
lg
−�2+e =−
sin�
lg �2+e =−��，
所以��是奇函数，故排除BC，
又�∈0,
π
2 ，则lg �2 + e > 0,sin�> 0, ��=
sin�
lg �2+e > 0，故排除D，
故选：A.
6．（2026·湖南·一模）下列函数中，��为周期函数，且在区间
�
6 ,
�
4 上单调递减的是（
）
A．��= sin �+ 1
B．��= sin2�+ 2
C．��= cos 3�+ 3
D．��= cos4�+ 4
【答案】C
【解题思路】由��在区间
π
6 ,
π
4 上的单调性可排除ABD，根据函数的周期性和在区间
π
6 ,
π
4 上的单调性即可
确定C 正确.
【解答过程】对于A：当�∈
π
6 ,
π
4 时，��= sin�+ 1，函数在
π
6 ,
π
4 上显然单调递增，故A 错误；
对于B：当�∈
π
6 ,
π
4 时，sin2�> 0，则��= sin2�+ 2 在
π
6 ,
π
4 上显然单调递增，故B 错误；
对于D：�∈
π
6 ,
π
4 时，
2�
3 < 4�< �，则cos4�< 0，��=−cos4�+ 4.该函数在
π
6 ,
π
4 单调递增，故D 错误；
对于C：�∈
π
6 ,
π
4 时，
�
2 < 3�<
3�
4 ，则�(�) = cos3�+ 3 在
π
6 ,
π
4 上单调递减，且为最小正周期是
2�
3 的周期函
数，故C 正确.
故选：C.
7．（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数��= sin ��−
π
3
�> 0 的图象关于点
2π
3 , 0 对称，且在0,
π
2
上为增函数，则�的值为（
）
A．
1
2
B．1
C．
3
2
D．2
【答案】A
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【解题思路】根据函数��的图象关于点
2π
3 , 0 对称，得�=
3�
2 +
1
2 , �∈Z，再根据单调性可得
�π
2 −
π
3 ≤
π
2，得
到0 < �≤
5
3，进而得到答案.
【解答过程】将
2π
3 , 0 代入��= sin ��−
π
3 ，得0 = sin
2π
3 �−
π
3 ，
所以
2π
3 �−
π
3 = �π, �∈Z，得�=
3�
2 +
1
2 , �∈Z．
因为函数��= sin ��−
π
3 (�> 0)在0,
π
2 上为增函数，此时��−
π
3 ∈( −
π
3 ,
π
2 �−
π
3 )，
所以
�π
2 −
π
3 ≤
π
2，解得0 < �≤
5
3，
所以当�= 0 时，�=
1
2，
故选：A.
8．（2026·浙江·三模）若函数��= 2cos ��+ �（�> 0，0 < �<
π
2）的最小正周期为π，其图象的一条
对称轴的方程为�=
π
3，则函数��在−π,π 上的零点个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解题思路】根据余弦型函数的周期及对称轴的求法求出�, �的值，再根据零点的定义及取值范围求出零点
的值从而确定零点的个数.
【解答过程】由题
2π
�= π，得�= 2，
又2 ×
π
3 + �= �π，�∈�，得�= �π −
2π
3 ，�∈�，
因为0 < �<
π
2，所以�=
π
3，
令��= 0 得2�+
π
3 = �π +
π
2，�∈�，即�=
�π
2 +
π
12，�∈�，
当�=−2，−1，0，1 时，�=−
11π
12 ，−
5π
12，
π
12，
7π
12 ∈−π,π ，
得��在−π,π 上有4 个零点．
故选：D.
二、填空题
9．（2029·上海杨浦·一模）函数�= 3sin(2�+
π
6 )的最小正周期为____________.
【答案】π
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【解题思路】利用正弦型函数的最小正周期公式�=
2π
|�|即可得解.
【解答过程】函数�= 3sin(2�+
π
6 )的最小正周期�=
2π
2 = π，
故答案为：π.
10．（2026·四川巴中·二模）已知函数��= 3sin��在区间−
π
4 ,
π
6 上的最小值为−3，则�的取值范围为
____________.
【答案】−∞, −3 ∪2, + ∞
【解题思路】由�∈−
π
4 ,
π
6 得��的范围，因此−
π
2在这个范围内，从而可得�的范围.
【解答过程】由题意，��= 3sin��在区间−
π
4 ,
π
6 上的最小值为−3，
当�> 0 时，−
π
4 �≤��≤
π
6 �⇒−
π
4 �≤−
π
2 ⇒�≥2；
当�< 0 时，
π
6 �≤��≤−
π
4 �⇒
π
6 �≤−
π
2 ⇒�≤−3.
则�的取值范围为�≤−3 或�≥2.
故答案为：−∞, −3 ∪2, + ∞.
11．（2026·甘肃定西·一模）已知函数�=
2sin �−
π
4 在区间0, �上有且仅有3 个零点，则�的取值范围
为____________．
【答案】
9π
4 ,
13π
4
【解题思路】根据2sin �−
π
4 = 0 得�−
π
4 = �π �∈�，即可根据条件列不等式求解.
【解答过程】由已知得2sin �−
π
4 = 0，得�−
π
4 = �π �∈�．
令�=−1 得�=−
3π
4 ；令�= 0 得�=
π
4；令�= 1 得�=
5π
4 ；令�= 2 得�=
9π
4 ；令�= 3 得�=
13π
4 ，
9π
4 ≤�<
13
4 π，即�的取值范围为
9π
4 ,
13π
4
．
故答案为：
9π
4 ,
13π
4
.
12．（2026·陕西汉中·二模）已知函数��= sin 2�−
π
4 ，若��在区间−�, ��> 0 上单调递增，则�
的最大值为____________.
【答案】
π
8
【解题思路】根据正弦函数的单调性求出��的单调递增区间，然后列不等式，按照�> 0、�= 0、�< 0
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分类讨论求解.
【解答过程】令−
π
2 + 2�π ≤2�−
π
4 ≤
π
2 + 2�π,�∈Z，则−
π
8 + �π ≤�≤
3π
8 + �π,�∈Z，
因��在区间−�, ��> 0 上单调递增，则−�≥−
π
8 + �π, �≤
3π
8 + �π，
即�≤
π
8 −�π且�≤
3π
8 + �π且�> 0，
若�> 0，则不等式组的解集为空集；
若�= 0，则0 < �≤
π
8；
若�< 0，则不等式组的解集为空集，
则�的最大值为
π
8.
故答案为：
π
8.
一、单选题
1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）记函数��= sin ��+
π
4 ，其中�> 0，若��在0,π 恰有两
个零点，且�
π
2 =−
2
2 ，则函数��在�∈0,
π
2 上的单调增区间为（
）
A．
π
4 ,
π
2
B．
π
8 ,
π
2
C．0,
π
4
D．0,
π
8
【答案】D
【解题思路】根据零点个数得
7
4 ≤�<
11
4 ，再根据�
π
2
=−
2
2 ，结合三角函数的图象与性质，求得�= 4�−1，
�∈Z 或�= 4�−2，�∈Z，从而得到�= 2，再根据三角函数在指定区间上的单调性得到答案.
【解答过程】因为函数��= sin ��+
π
4 ，其中�> 0，若��在0,π 恰有两个零点，
所以
π
4 ≤��+
π
4 ≤�π +
π
4，
所以2π ≤�π +
π
4 < 3π，
所以
7
4 ≤�<
11
4 ，
又因为�
π
2 =−
2
2 ，即sin
π
2 �+
π
4 =−
2
2 ，
所以
π
2 �+
π
4 =−
π
4 + 2�π, �∈Z 或
π
2 �+
π
4 =−
3π
4 + 2�π, �∈Z，
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解得�= 4�−1，�∈Z 或�= 4�−2，�∈Z，
结合
7
4 ≤�<
11
4 ，所以�= 2 符合题意，
所以��= sin 2�+
π
4 ，
又因为当−
π
2 + 2�π ≤2�+
π
4 ≤
π
2 + 2�π，，�∈Z，即−
3π
8 + �π ≤�≤
π
8 + �π, �∈Z
所以��的单调增区间为−
3π
8 + �π,
π
8 + �π , �∈Z
函数��在�∈0,
π
2 上的单调增区间为0,
π
8 ，
故选：D.
2．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数��= 3sin ��+
π
3
�> 0 在区间−
π
3 ,
π
6 上单调递增，则当�
取最大值时，��在区间
π
2 ,π 上的值域为（
）
A．−
3
2 ,
3 3
2
B．−
1
2 ,
3
2
C．−
3 3
2 ,
3
2
D．−
3
2 ,
1
2
【答案】C
【解题思路】先由正弦函数的单调性和��在区间−
π
3 ,
π
6 上单调递增确定�的最大值，再由正弦函数的单调
性求出值域即可.
【解答过程】因为�> 0，所以当�∈−
π
3 ,
π
6 时，��+
π
3 ∈−
�π
3 +
π
3 ,
�π
6 +
π
3 ，
因为��在区间−
π
3 ,
π
6 上单调递增，所以
π
6 −−
π
3 =
π
2 ≤
�
2，则�≥π，即
2π
�≥π，
所以0 < �≤2，所以
−
�π
3 +
π
3 ≥−
π
2
�π
6 +
π
3 ≤
π
2
，解得0 < �≤1，则�的最大值为1，
此时��= 3sin �+
π
3 ，
当�∈
π
2 ,π 时，�+
π
3 ∈
5π
6 ,
4π
3 ，则��在区间
π
2 ,π 上的值域为−
3 3
2 ,
3
2 .
故选：C.
3．（2026·四川·模拟预测）已知函数��=
1
2 sin��−
3cos2 ��
2 +
3
2
�> 0 ，若��在
3π
2 ,
5π
2 上无零点，
则�的取值范围是（
）
A．0,
2
15 ∪
2
9 , + ∞
B．0,
2
15 ∪
2
9 ,
8
15
C．0,
2
15 ∪
2
9 ,
8
15 ∪
8
9 ,
14
15
D．0,
2
15 ∪
2
9 ,
8
15 ∪
8
9 , + ∞
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【答案】C
【解题思路】通过三角恒等变形将函数化为正弦函数，再利用正弦函数零点的周期性，将区间无零点条件转
化为相位区间包含于相邻整数倍π之间的不等式组，并结合参数范围限制求得满足条件的整数取值，最终确
定参数取值范围.
【解答过程】��=
1
2 sin��−
3cos2 ��
2 +
3
2 =
1
2 sin��−
3 1+cos��
2
+
3
2
=
1
2 sin��−
3
2 cos��= sin ��−
π
3 ，
由
3π
2 < �<
5π
2 , �> 0，得
3�π
2 −
π
3 < ��−
π
3 <
5�π
2 −
π
3.
因为��在
3π
2 ,
5π
2 上无零点，所以
�π ≤
3�π
2 −
π
3
�+ 1 π ≥
5�π
2 −
π
3
，�∈Z，
所以
2�
3 +
2
9 ≤�≤
2�
5 +
8
15 , �∈Z，
所以
2�
3 +
2
9 ≤
2�
5 +
8
15
2�
5 +
8
15 > 0
，解得−
4
3 < �≤
7
6.
因为�∈�，所以�=± 1 或�= 0.
当�= 1 时，
8
9 ≤�≤
14
15；
当�= 0 时，
2
9 ≤�≤
8
15；
当�=−1 时，0 < �≤
2
15，
综上�的取值范围是0,
2
15 ∪
2
9 ,
8
15 ∪
8
9 ,
14
15 .
故选：C.
4．（2026·四川攀枝花·模拟预测）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数�= �sin��，我
们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数��= sin�+
3 cos�，则
下列结论不正确的是（
）
A．��是偶函数
B．��的最小正周期为�
C．��在区间0,
�
2 上单调递增
D．��的最小值为1
【答案】C
【解题思路】根据偶函数的定义判断A，根据周期函数的定义可判断B，利用辅助角公式结合正弦函数的性
质可判断C，由C 中函数的单调性结合函数的奇偶性、周期性可求��的最小值，从而可判断D 的正误.
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【解答过程】对于A，��的定义域为R，它关于原点对称，
而∀�∈�，��= sin −�
+
3 cos −�
= sin�+
3 cos�= ��，
所以��是偶函数，故A 正确；
对于B，因为��+ π = sin �+ π
+
3 cos �+ π
= sin�+
3 cos�= ��，
故π为��的一个周期，设�为��的最小正周期，则0 < �≤π，
则��+ �= sin �+ �
+
3 cos �+ �
= ��= sin�+
3 cos�，
令�= 0，则sin�+
3 cos�=
3，即sin�+
3 cos�=
3，
所以3cos2�=
3 −sin�
2，化简得4sin2�−2 3sin�= 0，
故sin�= 0 或sin�=
3
2 .
令�=
π
2，则cos�+
3 sin�= 1，若sin�=
3
2 ，则cos�+
3 ×
3
2 = 1，
故cos�=−
1
2，矛盾，故sin�= 0，
而0 < �≤π，故�= π，故��的最小正周期为π，故B 正确；
对于C，当�∈0,
π
2 时，��= sin�+
3cos�= 2sin �+
π
3 ，
此时�+
π
3 ∈
π
3 ,
5π
6 ，而�= sin�在
π
3 ,
π
2 为增函数，在
π
2 ,
5π
6 为减函数，
所以��在区间0,
π
6 上单调递增，在
π
6 ,
π
2 上单调递减，故C 错误；
对于D，因为��为偶函数且最小正周期为π，
故��在0,
π
2 上的最小值即为��在R 上的最小值.
由C 分析中的��的单调性可得��在0,
π
2 上的最小值为min �0 , �
π
2
，
而�0 =
3, �
π
2 = 1，故��在0,
π
2 上的最小值为1，
所以��的最小值为1，故D 正确
故选：C.
二、解答题
5．（2026·重庆·模拟预测）已知函数�(�) = sin(��+
π
3 )(�> 0)的最小正周期为π.
(1)求�以及曲线�= �(�)的对称中心；
(2)讨论函数�(�) = �(�) −�在区间(0,π)上的单调性.
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【答案】(1)�= 2，对称中心为(
�π
2 −
π
6 , 0)(�∈�)；
(2)在(
2π
3 ,π)上单调递增，在(0,
2π
3 )上单调递减.
【解题思路】（1）根据给定条件，利用正弦函数的周期性及对称性求解.
（2）求出函数�(�)及导数，进而求出其单调区间.
【解答过程】（1）由函数�(�)的最小正周期为π，得
2π
�= π，解得�= 2，则�(�) = sin(2�+
π
3 )，
令2�+
π
3 = �π, �∈�，得�=
�π
2 −
π
6 , �∈�，
所以�(�)的对称中心为(
�π
2 −
π
6 , 0)(�∈�).
（2）由（1）得�(�) = sin(2�+
π
3 ) −�，求导有�′(�) = 2cos(2�+
π
3 ) −1，
由�∈(0,π)，得2�+
π
3 ∈(
π
3 ,
7π
3 )，由�′(�) > 0 ⇔cos(2�+
π
3 ) >
1
2，得
2π
3 < �< π，
由�′(�) < 0 ⇔cos(2�+
π
3 ) <
1
2，得0 < �<
2π
3 ，
所以函数�(�)在(
2π
3 ,π)上单调递增，在(0,
2π
3 )上单调递减.
6．（2026·安徽淮南·一模）已知函数��= sin �+
π
6 + sin �−
π
6 + cos�+ �的最大值为1，�为常数．
(1)求函数��在0,π 上的单调递增区间；
(2)求使��≤0 成立的�的取值集合．
【答案】(1) 0,
π
3
(2) �2�π −
4π
3 ≤�≤2�π, �∈Z
【解题思路】（1）利用三角恒等变换先化简得��= 2sin �+
π
6 + �，利用最大值为1 求出�，进而求��
在0, π 的单调增区间即可求解；
（2）由��≤0 得sin �+
π
6 ≤
1
2，利用三角函数的性质解不等式即可求解.
【解答过程】（1）函数��= sin �+
π
6 + sin �−
π
6 + cos�+ �
= sin�cos �
6 + cos�sin π
6 + sin�cos π
6 −cos�sin π
6 + cos�+ �
=
3sin�+ cos�+ �= 2sin �+
π
6 + �，
因为sin �+
π
6 的最大值为1，
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所以2 × 1 + �= 1，解得�=−1，所以��= 2sin �+
π
6 −1．
令2�π −
π
2 ≤�+
π
6 ≤2�π +
π
2 , �∈Z ，
解得：2�π −
2π
3 ≤�≤2�π +
�
3 �∈Z ，
又因为�∈0,π ，则取交集0 ≤�≤
π
3，所以��在0,π 的单调递增区间为0,
π
3 ；
（2）因为��≤0，即2sin �+
π
6 −1 ≤0，可得：sin �+
π
6 ≤
1
2．
所以2�π −
7π
6 ≤�+
π
6 ≤2�π +
π
6 , �∈Z ．
解得：2�π −
4π
3 ≤�≤2�π. �∈Z
综上：��≤0 成立的�的取值集合是�2�π −
4π
3 ≤�≤2�π, �∈Z ．
7．（2026·陕西咸阳·一模）已知函数��= sin2�+
3sin�cos�−
1
2，�∈0,
π
2 .
(1)求函数��的最大值及所对应的�值；
(2)若方程��= �在0,
π
2 上有两个不同的实根�1, �2，求�的取值范围及�1 + �2的值.
【答案】(1)当�=
π
3时，��max = 1.
(2)�∈
1
2 , 1 ，�1 + �2 =
2π
3 .
【解题思路】（1）利用三角恒等变形，结合辅助角公式，即可求正弦型函数的最大值；
（2）利用正弦函数图象，可研究方程根的个数及参数范围.
【解答过程】（1）由��= sin2�+
3sin�cos�−
1
2 =
1−cos2�
2
+
3
2 sin2�−
1
2 = sin 2�−
π
6 ，
∵�∈0,
π
2 ，则−
π
6 ≤2�−
π
6 ≤
5π
6 ，
∴当2�−
π
6 =
π
2，即�=
π
3时，��max = 1.
（2）∵�∈0,
π
2 ，则−
π
6 ≤2�−
π
6 ≤
5π
6 ，
由正弦函数�= sin�在[ −
π
6 ,
5π
6 ]上的图象如下，
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所以方程��= �在0,
π
2 上有两个不同实根，则�∈
1
2 , 1 ，
由对称性知，
2�1−π
6+2�2−π
6
2
=
π
2，解得：�1 + �2 =
2π
3 .
8．（2026·北京海淀·二模）已知函数��= cos
π
3 −2��+ 2sin2��−1 �> 0 ．
(1)若�=
1
2，求�0 及��的单调递增区间；
(2)已知��在区间0,
π
3 上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函
数��存在且唯一确定，求��的最小正周期．
条件①：�0 + �
π
6
= 0；
条件②：�=
π
3是��的一个极值点；
条件③：�=
7π
12是��的一个零点．
【答案】(1)�0 =−
1
2，−
π
3 + 2�π,
2π
3 + 2�π , �∈Z
(2)选①π；选②：π；选③：不符合题意.
【解题思路】（1）利用二倍角公式及差角公式化简，再代入�的值，即可得到函数解析式，再由正弦函数的
性质计算可得；
（2）依题意可得0 < �≤
3
2，再根据所选条件，得到方程，求出�的取值（集合），即可得到函数解析式，
从而求出函数的最小正周期.
【解答过程】（1）因为��= cos
π
3 −2��+ 2sin2��−1
= cos π
3 cos2��+ sin π
3 sin2��−cos2��
=
3
2 sin2��−
1
2 cos2��= sin 2��−
π
6 ，
当�=
1
2时，��= sin �−
π
6 ，则�0 = sin −
π
6 =−
1
2，
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令−
π
2 + 2�π ≤�−
π
6 ≤
π
2 + 2�π, �∈Z，解得−
π
3 + 2�π ≤�≤
2π
3 + 2�π, �∈Z，
所以��的单调递增区间为−
π
3 + 2�π,
2π
3 + 2�π , �∈Z；
（2）因为��= sin 2��−
π
6 ，��在区间0,
π
3 上单调递增，且�> 0，
所以
2π
3�−
π
6 ≤
π
2
−
π
6 ≥−
π
2
，解得0 < �≤1；
若选①：�0 + �
π
6
= 0，又��在区间0,
π
3 上单调递增，
所以曲线��关于
π
12 , 0 对称，且点
π
12 , 0 在曲线的递增部分上，
则�
π
12 = sin
π
6 �−
π
6 = 0，所以
π
6 �−
π
6 = 2�π, �∈Z，解得�= 1 + 12�, �∈Z，
又0 < �≤
3
2，所以�= 1，
则��= sin 2�−
π
6 ，所以��的最小正周期为
2π
2 = π；
若选②：�=
π
3是��的一个极值点，又��在区间0,
π
3 上单调递增，
所以��在�=
π
3处取得最大值，
则�
π
3 = sin
2π
3 �−
π
6 = 1，所以
2π
3 �−
π
6 =
π
2 + 2�π, �∈Z，解得�= 1 + 3�, �∈Z，
又0 < �≤
3
2，所以�= 1，
则��= sin 2�−
π
6 ，所以��的最小正周期为
2π
2 = π；
若选③：�=
7π
12是��的一个零点，
则�
7π
12
= sin
7π
6 �−
π
6 = 0，所以
7π
6 �−
π
6 = �π, �∈Z，解得�=
1
7 +
6
7 �, �∈Z，
又0 < �≤
3
2，所以�=
1
7或�= 1，
当�= 1 时，��= sin 2�−
π
6 ，所以��的最小正周期为
2π
2 = π；
当�=
1
7时，��= sin
2
7 �−
π
6 ，所以��的最小正周期为
2π
2
7
= 7π；
则函数��不唯一，不符合题意.
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一、单选题
1．（2026·天津·高考真题）函数�(�)的部分图象如图所示，则�(�)的解析式可能为（
）
A．�+ sinπ�
B．�−sinπ�
C．−�+ sinπ�
D．�⋅sinπ�
【答案】C
【解题思路】A、B、D 项，结合特殊点即可排除；C 项，求出奇偶性和单调性，即可判断.
【解答过程】由题意，
由题意及图得，函数�= ��为奇函数，且当�= 1 时，��< 0，
对A 选项，当�= 1 时，1 + sinπ = 1 + 0 = 1 > 0，与图象不符，故A 错误；
对B 选项，当�= 1 时，1 −sinπ = 1 −0 = 1 > 0，与图象不符，故B 错误；
对D 选项，当�= 1 时，1 × sinπ = 1 × 0 = 0，与图象不符，故D 错误；
对C 选项，在�(�) =−�+ sinπ�中，
�−�=−−�+ sin −π�= �−sinπ�=−��，即该函数为奇函数，
�(1) =−1 + sinπ =−1 + 0 =−1 < 0，与图象相符，故C 正确.
故选：C.
2．（2025·北京·高考真题）设函数�(�) = sin��+ cos��(�> 0)，若�(�+ π) = �(�)恒成立，且�(�)在0,
π
4
上存在零点，则�的最小值为（
）
A．8
B．6
C．4
D．3
【答案】C
【解题思路】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.
【解答过程】函数�(�) = sin��+ cos��=
2sin(��+
π
4 )(�> 0)，
设函数�(�)的最小正周期为T，由�(�+ π) = �(�)可得��= π, �∈N∗，
所以�=
2π
�=
π
�, �∈N∗，即�= 2�, �∈N∗；
又函数�(�)在0,
π
4 上存在零点，且当�∈0,
π
4 时，��+
π
4 ∈
π
4 ,
π�
4 +
π
4 ，
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所以
π�
4 +
π
4 ≥π，即�≥3；
综上，�的最小值为4.
故选：C.
3．（2025·天津·高考真题）�(�) = sin(��+ �)(�> 0, −π < �< π)，在−
5π
12 ,
π
12 上单调递增，且�=
π
12为
它的一条对称轴，
π
3 , 0 是它的一个对称中心，当�∈0,
π
2 时，�(�)的最小值为（
）
A．−
3
2
B．−
1
2
C．1
D．0
【答案】A
【解题思路】利用正弦函数的对称性得出�= 4�+ 2，根据单调性得出0 < �≤2，从而确定�，结合对称轴
与对称中心再求出�，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解.
【解答过程】因为函数在−
5π
12 ,
π
12 上单调递增，且�=
π
12为它的一条对称轴，
所以�=
π
12时函数取最大值，
又因为
π
3 , 0 是它的一个对称中心，
所以
π
12 �+ �=
π
2 + 2�π
π
3 �+ �= �π
，�, �∈Z ，
设��的最小正周期为�，由正弦函数的对称性可知
π
3 −
π
12 =
2�+1 �
4
�∈Z ，
即
π
4 =
2�π+π
2�
, ∴�= 4�+ 2，
又��在−
5π
12 ,
π
12 上单调递增，则
�
2 ≥
π
12 −−
5π
12 , ∴
π
�≥
π
2 ⇒0 < �≤2，
∴�= 2，则
�=
π
3 + 2�π
�= �π −
2π
3
，�, �∈Z ，
∵�∈−π,π ，∴�= 0, �= 1 时，�=
π
3，∴��= sin 2�+
π
3 ，
当�∈0,
π
2 时，2�+
π
3 ∈
π
3 ,
4π
3 ，
由正弦函数的单调性可知��min = sin
4π
3 =−
3
2 .
故选：A.
4．（2025·全国一卷·高考真题）已知点(�, 0)(�> 0)是函数�= 2tan �−
π
3 的图象的一个对称中心，则a
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的最小值为（
）
A．
π
6
B．
π
3
C．
π
2
D．
4π
3
【答案】B
【解题思路】根据正切函数的对称中心的结论求解.
【解答过程】根据正切函数的性质，�= 2tan(�−
π
3 )的对称中心横坐标满足�−
π
3 =
�π
2 , �∈�，
即�= 2tan(�−
π
3 )的对称中心是
π
3 +
�π
2 , 0 , �∈�，
即�=
π
3 +
�π
2 , �∈�，
又�> 0，则�= 0 时�最小，最小值是
π
3，
即�=
π
3.
故选：B.
5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当�∈[0,2�]时，曲线�= sin�与�= 2sin 3�−
�
6 的交点个数为（
）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【解题思路】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解
【解答过程】因为函数�= sin�的最小正周期为�= 2π，
函数�= 2sin 3�−
π
6 的最小正周期为�=
2π
3 ，
所以在�∈0,2π 上函数�= 2sin 3�−
π
6 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6 个交点.
故选：C.
二、多选题
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数�(�) = sin2�和�(�) = sin(2�−
π
4 )，下列说法中正确的有（
）
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A．�(�)与�(�)有相同的零点
B．�(�)与�(�)有相同的最大值
C．�(�)与�(�)有相同的最小正周期
D．�(�)与�(�)的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【解题思路】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【解答过程】A 选项，令�(�) = sin2�= 0，解得�=
�π
2 , �∈�，即为�(�)零点，
令�(�) = sin(2�−
π
4 ) = 0，解得�=
�π
2 +
π
8 , �∈�，即为�(�)零点，
显然�(�), �(�)零点不同，A 选项错误；
B 选项，显然�(�)max = �(�)max = 1，B 选项正确；
C 选项，根据周期公式，�(�), �(�)的周期均为
2π
2 = π，C 选项正确；
D 选项，根据正弦函数的性质�(�)的对称轴满足2�= �π +
π
2 ⇔�=
�π
2 +
π
4 , �∈�，
�(�)的对称轴满足2�−
π
4 = �π +
π
2 ⇔�=
�π
2 +
3π
8 , �∈�，
显然�(�), �(�)图像的对称轴不同，D 选项错误.
故选：BC.
三、填空题
7．（2026·全国一卷·高考真题）已知�(�) = 2sin ��+ �（�∈�，0 ≤�< 2π）是偶函数，�(�)在区间0,
π
2
上单调递增．则�=__________，�
2π
3
=__________．
【答案】
3π
2 ；1
【解题思路】根据单调性和周期性可得�= 1,2.解法一：根据偶函数可得�=
π
2 ,
3π
2 ，并代入结合单调性检验
即可；解法二：根据题意可得�′ 0 = 0，即可得�=
π
2 ,
3π
2 ，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三：分
析可知��在�= 0 处取到极小值，可得�=
3π
2 ，进而可得结果.
【解答过程】设函数��的最小正周期为�，由题意可知�≠0，
因为函数��在0,
π
2 上单调递增，则
�
2 ≥
π
2，即�≥π，
可得
2π
�≥π，解得�≤2，
且�∈�，�≠0，则�= 1,2.
解法一：因为函数��= 2sin ��+ �为偶函数，
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则�= �1π +
π
2，�1 ∈�，且0 ≤�< 2π，
则�1 = 0,1，�=
π
2 ,
3π
2 ，
若�=
π
2，则��= 2sin ��+
π
2 = 2cos��= 2cos ��，
即��= 2cos�或��= 2cos2�，不符合题意，
若�=
3π
2 ，则��= 2sin ��+
3π
2
=−2cos��=−2cos ��，
即��=−2cos�或��=−2cos2�，符合题意；
且�
2π
3
=−2cos
2π
3 = 1 或�
2π
3
=−2cos
4π
3 =−2cos π +
π
3 = 2cos
π
3 = 1；
综上所述：�=
3π
2 ，�
2π
3
= 1.
解法二：因为�′ �= 2�cos ��+ �，
若函数��为偶函数，则�′ 0 = 2�cos�= 0，即cos�= 0，
且0 ≤�< 2π，则�=
π
2 ,
3π
2 ，
若�=
π
2，则��= 2sin ��+
π
2 = 2cos��= 2cos ��，�′ �=−2 �sin ��，
即�′ �=−2sin�< 0 或�′ �=−4sin2�< 0 在0,
π
2 内恒成立，
可知函数��在0,
π
2 上单调递减，不符合题意，
若�=
3π
2 ，则��= 2sin ��+
3π
2
=−2cos��=−2cos ��，�′ �= 2 �sin ��，
即�′ �= 2sin�> 0 或�′ �= 4sin2�> 0 在0,
π
2 内恒成立，
可知函数��在0,
π
2 上单调递增，符合题意，
且�
2π
3
=−2cos
2π
3 = 1 或�
2π
3
=−2cos
4π
3 =−2cos π +
π
3 = 2cos
π
3 = 1；
综上所述：�=
3π
2 ，�
2π
3
= 1.
解法三：因为函数��= 2sin ��+ �为偶函数，且函数��在0,
π
2 上单调递增，
可知��在�= 0 处取到极小值，则�= 2�2π −
π
2，�2 ∈�，且0 ≤�< 2π，
则�2 = 1，�=
3π
2 ，则��= 2sin ��+
3π
2
=−2cos��=−2cos ��，
即��=−2cos�或��=−2cos2�，符合题意；
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且�
2π
3
=−2cos
2π
3 = 1 或�
2π
3
=−2cos
4π
3 =−2cos π +
π
3 = 2cos
π
3 = 1.
故答案为：
3π
2 ；1.
8．（2025·上海·高考真题）函数�= cos�在−
π
2 ,
π
4 上的值域为__________．
【答案】0,1
【解题思路】利用余弦函数的单调性可得.
【解答过程】由函数�= cos�在−
π
2 , 0 上单调递增，在0,
π
4 单调递减，
且�( −
π
2 ) = 0, �(0) = 1, �(
π
4 ) =
2
2 ，
故函数�= cos�在−
π
2 ,
π
4 上的值域为0,1 .
故答案为：0,1 .
四、解答题
9．（2026·北京·高考真题）已知函数�(�) = 2sin��cos�+ 2cos��sin�，�> 0，�<
π
2．�(�)最小正周期
为π，且�(0) > 0，�(
π
4 ) = 1．
(1)求�、�的值；
(2)求�(�)的单调递减区间．
【答案】(1)�= 2，�=
π
3
(2) �π +
π
12 , �π +
7π
12
�∈�
【解题思路】（1）利用两角和正弦公式化简可得��= 2sin ��+ �，结合正弦型函数周期公式列方程求�，
再由�0 > 0, �
π
4 = 1 列式求�；
（2）根据正弦型函数单调区间求法求结论.
【解答过程】（1）因为��= 2sin��cos�+ 2cos��sin�，
所以��= 2sin ��+ �，
又��的最小正周期为π，�> 0，
所以
2π
�= π，所以�= 2，
因为�0 > 0, �
π
4 = 1，
所以sin�> 0，2sin 2 ×
π
4 + �= 1，
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所以0 < �<
π
2，cos�=
1
2，
所以�=
π
3，
所以��= 2sin 2�+
π
3 ，
（2）令2�π +
π
2 ≤2�+
π
3 ≤2�π +
3π
2 ，�∈�，可得�π +
π
12 ≤�≤�π +
7π
12，�∈Z，
函数��= 2sin 2�+
π
3 的单调递减区间为�π +
π
12 , �π +
7π
12
�∈Z .
10．（2026·天津·高考真题）已知�(�) = sin(2�+
π
6 )．
(1)求最小正周期；
(2)若�∈−
π
6 ,
π
12 ，求�(�)的最大值和最小值；
(3)若�∈(0,
π
2 )，sin�=
3
3 ，求�(�)．
【答案】(1)π
(2)最大值为
3
2 ，最小值为−
1
2
(3)
2 6+1
6
【解题思路】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解；
（2）利用换元法，结合正弦函数性质求解；
（3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解.
【解答过程】（1）�=
2π
|�| =
2π
2 = π；
（2）若�∈[ −
π
6 ,
π
12 ]，则2�+
π
6 ∈[ −
π
6 ,
π
3 ]，
由正弦函数性质可知，当2�+
π
6 =−
π
6，即�=−
π
6时，函数�(�)有最小值，即�(�)min = �( −
π
6 ) =−
1
2，
当2�+
π
6 =
π
3，即�=
π
12时，函数�(�)有最大值，即�(�)max = �(
π
12 ) =
3
2 .
所以函数�(�)的最大值为
3
2 ，最小值为−
1
2；
（3）若�∈(0,
π
2 )，sin�=
3
3 ，所以cos�=
1 −sin2�=
6
3 ，
则sin2�= 2sin�cos�=
2 2
3 ，cos2�= 1 −2sin2�=
1
3，
则�(�) = sin(2�+
π
6 ) = sin2�cos
π
6 + cos2�sin
π
6 =
2 2
3 ×
3
2 +
1
3 ×
1
2 =
2 6+1
6
.
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11．（2026·上海·高考真题）已知函数��= sin ��+ �
�> 0,0 < �< π .
(1)当�= 2，�
π
12 = 0，求函数��在�= 0 处的切线方程；
(2)若函数��的最小正周期为3π，且��=
2
2 在�∈0,2026π 上恰好有1351 个解，求�的取值范围.
【答案】(1)�=−
3�+
1
2
(2)0 < �≤
π
12或
π
4 < �≤
3π
4 ，
【解题思路】（1）根据�= 2 以及�
π
12 = 0 可得��= sin 2�+
5π
6 ，即可求导以及点斜式求解直线方程，
（2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可分类讨论求解.
【解答过程】（1）当�= 2 时，则��= sin 2�+ �，
根据�
π
12 = 0 可得�
π
12 = sin
π
6 + �= 0，故
π
6 + �= �π, �∈Z，故�=−
π
6 + �π, �∈Z，
由于0 < �< π，故�=
5π
6 ，故��= sin 2�+
5π
6 ，
�′ �= 2cos 2�+
5π
6 ，则�′ 0 = 2cos
5π
6 =−
3，
故函数��在�= 0 处的切线方程为�=−
3 �−0 +
1
2，故�=−
3�+
1
2，
（2）函数��的最小正周期为3π，故�=
2π
3π =
2
3，所以��= sin
2
3 �+ �，
令�=
2
3 �+ �，当�∈0,2026π ，则�∈�,
4052π
3
+ �，
令sin�=
2
2 ，则�=
π
4 + 2�π或�=
3π
4 + 2�π, �∈Z，
当0 < �≤
π
4时，要使得sin�=
2
2 有1351 个实数根，则
π
4 + 2π × 675<
4052π
3
+ �
3π
4 + 2π × 675 ≥
4052π
3
+ �
0 < �≤
π
4
，解得0 < �≤
π
12，
当
π
4 < �≤
3π
4 时，要使得sin�=
2
2 有1351 个实数根，则
3π
4 + 2π × 675<
4052π
3
+ �
9π
4 + 2π × 675 ≥
4052π
3
+ �
π
4 < �≤
3π
4
，解得
π
4 < �≤
3π
4 ，
当
3π
4 < �< π时，要使得sin�=
2
2 有1351 个实数根，则
9π
4 + 2π × 675<
4052π
3
+ �
11π
4 + 2π × 675 ≥
4052π
3
+ �
3π
4 < �< π
，无解，
综上可得0 < �≤
π
12或
π
4 < �≤
3π
4 .
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12．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数��= cos 2�+ �(0 ≤�< π), �0 =
1
2．
(1)求�;
(2)设函数�(�) = �(�) + ��−
π
6 ，求�(�)的值域和单调区间．
【答案】(1)�=
π
3
(2)值域为−
3,
3 ，单调递减区间为−
π
12 + �π,
5π
12 + �π , �∈Z，单调递增区间为
5π
12 + �π,
11π
12 + �π , �∈Z.
【解题思路】（1）直接由题意得cos�=
1
2 , 0 ≤�< π ，结合余弦函数的单调性即可得解；
（2）由三角恒等变换得��=
3cos 2�+
π
6 ，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数��的单调区
间.
【解答过程】（1）由题意�0 = cos�=
1
2 , 0 ≤�< π ，所以�=
π
3；
（2）由（1）可知��= cos 2�+
π
3 ，
所以��= ��+ ��−
π
6 = cos 2�+
π
3 + cos2�
=
1
2 cos2�−
3
2 sin2�+ cos2�=
3
2 cos2�−
3
2 sin2�=
3cos 2�+
π
6 ，
所以函数��的值域为−
3,
3 ，
令2�π ≤2�+
π
6 ≤π + 2�π, �∈Z，解得−
π
12 + �π ≤�≤
5π
12 + �π, �∈Z，
令π + 2�π ≤2�+
π
6 ≤2π + 2�π, �∈Z，解得
5π
12 + �π ≤�≤
11π
12 + �π, �∈Z，
所以函数��的单调递减区间为−
π
12 + �π,
5π
12 + �π , �∈Z，
函数��的单调递增区间为
5π
12 + �π,
11π
12 + �π , �∈Z.
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