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第 13 讲 函数的图象
课前必备知识
课标要求
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函
数.2.掌握基本初等函数的图象特征；掌握函数图象的平移变换、对称变换和翻折变换.3.会
运用函数图象研究函数的性质、函数的零点(方程的根)和不等式的解等数学问题．
知识梳理
1．函数作图的基本步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)化简函数的解析式．
(3)讨论函数的性质，如奇偶性、周期性、单调性、最值(变化趋势).
(4)画出函数的图象．
2．函数图象的常见变换
(1)平移变换
①水平平移：y＝f(x－a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向__右__平移a个单位长度
而得到；y＝f(x＋a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向__左__平移a个单位长度而得到．
②竖直平移：y＝f(x)＋b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向__上__平移b个单位长度
而得到；y＝f(x)－b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向__下__平移b个单位长度而得到．
(2)对称变换
①一个函数图象自身的对称：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对
称．
②两个图象之间的对称：
(ⅰ)y＝f(－x)与y＝f(x)关于__ y 轴 __对称．
(ⅱ)y＝－f(x)与y＝f(x)关于__ x 轴 __对称．
(ⅲ)y＝－f(－x)与y＝f(x)关于__原点__对称．
(ⅳ)y＝ax(a>0，且a≠1)与其反函数y＝log x(a>0，且a≠1)关于__ 直线 y ＝ x__对称．
a(3)翻折变换
①y＝|f(x)|的图象：将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴__ 翻折到 x 轴上
方__，其x轴上方的部分__不变__．
②y＝f(|x|)的图象：将y＝f(x)的图象中x≥0的部分作出，再利用__ 偶函数的图象关于 y
轴对称__，作出x＜0的图象．
常用结论
1．函数图象平移的八字方针
(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．
(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．
2．函数对称的重要结论
(1)若函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对
称．
(2)若函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则f(x)的图象关于(a，b)
对称．
(3)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于(a，b)中心对称．
课前训练
1．函数y＝(x2－1)e|x|的图象大致是( )
\s\up7() \s\up7()\s\up7() \s\up7()
2．若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则
f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝ex+1 B．f(x)＝ex-1
C．f(x)＝e-x+1 D．f(x)＝e-x-1
3．下图为函数y＝f(x)的图象，则该函数可能为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
4．(2024·四川南充二模)已知函数f(x)＝，则函数y＝f(x－1)＋1的图象( )
A．关于点(1，1)对称
B．关于点(－1，1)对称
C．关于点(－1，0)对称
D．关于点(1，0)对称
5．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标
的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t 的关系为W＝f(t)，用－ 的大小评价
在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放
量与时间的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
①在[t，t]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
1 2②在t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
2
③在t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；
3
④甲企业在[0，t]，[t，t]，[t，t]这三段时间中，在[0，t]的污水治理能力最强．
1 1 2 2 3 1
其中所有正确结论的序号是________.课堂核心考点
考点1 作函数图象
【例1】 作出下列函数的图象：
(1)y＝；
(2)y＝()|x+1|；
(3)y＝|log x－1|.
2
(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、
幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如y＝x＋的函数．
(2)掌握常用的图象变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变
换等．
变式探究
1．作出函数y＝|lg (x－1)|的图象．
2．作出函数y＝|x－2|·(x＋1)的图象．
考点2 函数图象的识图与辨图
【例2】 (1)(2024·百师联盟联考)函数f(x)＝的图象大致为( )(2)(2024·宁夏固原一模)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(
)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
有关函数图象的选择题，求解的基本方法是排除法．
(1)通过观察特殊点的函数值的符号、大小，选取恰当的特殊值进行排除有时更有效．
(2)研究函数的性质(奇偶性、单调性、极值等)，这些性质表现在图象上若和选项中所
给图象不符，即可排除．
变式探究
3．(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e-x)sin x在区间[－2.8，2.8]的大致图象为(
)4．(2024·湖南二模)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为(
)
A．f(x)＝－
B．f(x)＝－
C．f(x)＝－
D．f(x)＝－
考点3 函数图象的应用
【例3】 (1)若关于x的不等式4ax-1＜3x－4(a＞0，且a≠1)对于任意的x＞2恒成立，则
实数a的取值范围为______________．
(2)若直角坐标系内A，B两点满足：①点A，B都在f(x)的图象上；②点A，B关于原
点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和
谐点对”．已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(3)(2024·辽宁大连阶段练习)已知函数f(x)＝(其中a∈R)，若f(x)的四个零点从小到大依次为x，x，x，x，则 ＝( )
1 2 3 4
A．16 B．13
C．12 D．10
(1)对于易画出在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值、零
点)的讨论常借助图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．
(2)在利用函数的性质，求最值、确定方程的解的个数、求不等式的解集以及确定某些
参数的取值范围时，要注意“数与形”的有机结合，充分发挥图象的直观作用．同时，如
果图形不能准确地说明问题，可结合“数”的精确性再讨论其图象．
变式探究
5．已知函数f(x)＝log (x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是( )
2
A．(－1，1) B．(0，1)
C．(－1，0) D．∅
6．(2024·湖北武汉模拟预测)已知x 是函数f(x)＝＋ln x的一个零点，若x∈(1，x)，
0 1 0
x∈(x，＋∞)，则( )
2 0
A．f(x)<0，f(x)<0
1 2
B．f(x)>0，f(x)>0
1 2
C．f(x)>0，f(x)<0
1 2
D．f(x)<0，f(x)>0
1 2
不等式的新定义问题
【典例剖析】 (2024·全国模拟预测)若不等式f(x)>0或f(x)<0只有一个整数解，则称不
等式为单元集不等式．已知不等式a(x＋1)2－|log x|＋1>0为单元集不等式，则实数a的取
2
值范围是______________．
新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型
来创设全新的问题情境，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学
的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，
分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验
证、运算，使问题得以解决．
