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2027 届高考数学一轮复习单元检测卷
阶段1 集合、常用逻辑用语与不等式 B 卷
参考答案与解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
C
D
B
A
B
D
A
ABC
ACD
ABD
1．A
【解析】集合
的不含有元素
的子集个数就是集合
的子集个数，共有
个，
故不含元素
的非空子集共有15 个.
故选：A.
2．C
【解析】对于选项A：当
，
时，α // β，所以本选项不符合题意；
对于选项B：当
，
时，平面
，β可以平行，所以本选项不符合题意；
对于选项C：当
，
时，由面面垂直的判定定理可得
，所以本选项符合题意；
对于选项D：当
，
，
时，根据线面垂直的判定定理，由
不一定能推出
，
所以本选项不符合题意.
3．D
【解析】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定；故只有D 满足题意；
故选：D
4．B
【解析】对于A：
，A 正确；
对于B：取
，b=3，
，
，B 错误；
对于C：因为
，所以
，因为
，所以
，当
时，
，此时，
，选项C 正确；
当
时，
，根据均值不等式，
，因为
，故
，
选项C 正确；
对于D：因为
，所以
，因为
，所以
，
，选项D 正确.
5．A
【解析】
，解得
，
集合
中的整数元素有：
共4 个，
，
集合
至少包含3 个整数，
又
集合A ∩B中恰好只有两个整数，
或
，
若
，需满足
，解得
，
若
，需满足
，
，
的取值范围为
，故A 正确．
故选：A．
6．B
【解析】对于集合
，
，
任意
，即
，则
，即有
，
因此对任意a，
是
的子集，命题③④错误；
对于集合
，
，
当
时，
，
，则
是
的子集，
当b=1时，
，
，
则
不是
的子集，命题①③错误，
所以对任意a，
是
的子集，存在b，使得
是
的子集，命题②正确，正确命题的个数为1.
故选：B
7．D
【解析】由题知，
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
又
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
综上，当
，
时，原式取得最小值
.
8．A
【解析】因为函数
的图象关于点(2,0)对称，所以
，所以
，
由于
，
，
与
互相都不能推出，
所以
互不包含，
，其它不一定正确.
故选：A.
9．ABC
【解析】对于A，由
，两式相加得
，即
，故A 正确；
对于B，由
，得
，又
，两式相加得
，即
，故B 正
确；
对于CD，设
，所以
，解得
，
则
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
，即
，故C 正确，D 错误.
10．ACD
【解析】由
，解得：
或
，
对于A，因为
，所以
，
由
，故A 正确；
对于B，由
，故B 错误；
对于C，由
，故C 正确；
对于D，由
，故D 正确．
11．ABD
【解析】由
，得
，而
，则
，
对于A，
，A 正确；
对于B，
，则
，显然
均为正数，即有
，
因此
，
当且仅当
，即
时取等号，B 正确；
对于C，显然
，
由
，得
，因此
，C 错误；
对于D，由
，得
，
当且仅当
时取等号，即
，由
，得
，则的最小值为
，D 正确.
故选：ABD
12．
【解析】由集合
中恰有2 个元素，得
，否则集合中有无数个元素，
因此方程
必有两个实根1 和
，且
，否则集合为空集，
则
，
，解得
，
故实数a 的取值范围为
.
13．
【解析】记
的解集为集合
，
，
则∁R A为|m x
2−4 x +3)<2的解集，∁R B = {x|1< x<4)；
∵B是
的必要非充分条件，∴A ⫋B，得∁R B ⫋∁R A，即对任意
，都有
恒成
立.
，
，
，化简得
；
令
，
，
，且
；
，
当
时，
取得最大值，即
，
，
，且
，
当
时，h(t )取得最小值，即
；
对任意
，
恒成立，
，即
;
实数
的取值范围是
.
14．
【解析】令
，
，
，其中
，
，
，所以
若
，则
，故
，
令
，
因此
故
，则
．
若
，则
，即
，
，
则
故
，
则
，当且仅当
且
时，等号成立，即
时等号成立．
综上可知，
的最小值为
．
15．【解析】（1）当
时，
，
，
所以
．
（2）由
，可得
．
因为
，
所以当
时，
，解得
，满足题意；
当
时，
解得
．
综上，
的取值范围为
．
16．【解析】（1）原不等式等价于
．
当
时，
，解得
，不满足题意，
当
时，则
，即
，无实数解.
所以，不存在实数K，使得不等式对x∈R恒成立．
（2）设
，当
时，
恒成立．
又
是关于K的一次函数，
所以
恒成立，
，解得{
1−❑√3
2
< x< 1+ ❑√3
2
x< −1−❑√7
2
或x> −1+ ❑√7
2 )
，
所以
.
所以实数
的取值范围是
．
17．【解析】（1）令
，
，
则
，
令
，
当
时，
在
上单调递减，
所以
，
，即
的值域为
，故函数
的值域为
.
（2）若要f (x)>0，则需
，当
时，
，
函数
变为
，t ∈[0,1)，所求问题变为
恒成立，
函数
的图象开口向下，
①当
时，即当
时，此时函数
在
上单调递减，
则
，解得a<3，此时
；
②当
时，即当
时，此时函数
在
上单调递增，
则
，解得
，此时
；
③当
时，即当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，
当
时，即当
时，
，解得
，此时
；
当
时，即当
时，
，解得a<3，此时
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
（3）令
，
，由题意可知，当
时，
关于
的方程
在
时有两个不等实数解，
而关于的方程
最多只有两个根，
因为方程
在
上有四个不相等的实数根，
所以原题可转化为
在
内有两个不等实数根，
令
，则有
，解得
，
即
的范围为
.
18．【解析】（1）
，
根据题意，对任意
都有
，
由
得
，
因为
，
，所以
；
（2）必要性：对任意
，
据此可推出
，即
，所以a≥b−1，
对任意
，
因为
，可得
，可推出
，即
，
所以
，所以
；
充分性：因为
，对任意
，则
故
，即
，
因为
，
，对任意
，
可推出
，即
，
所以
，即
，
综上可知，当
时，对任意
的充要条件是
；
（3）当
，对任意
成立的充要条件是：
.
证明如下：必要性：由
，故
，即
，
充分性：因为
，
，任意
，
当
，
由于
为开口向下，且对称轴为
的二次函数，
由
可得
，因此
在
单调递增，因此
，因此
，故
，
，即
，
所以当
时，对任意
成立的充要条件是
.
19．【解析】（1）已知
，由f (x)<g(x)即
，
解得
，则
；
（2）已知
，
由题意得，f (x)< g(x)对任意x∈R恒成立，
，即
恒成立，
当
时，
恒成立；
当a≠2时，由
，解得
；
综上，当
时，
的取值范围为
；
（3）已知
，
由
得，不等式组
有解，
由
，
又
，
当
，即
时，1>0对任意
恒成立，
则满足
；
当
，即
时，
或
，
要使
，则
或
，
解得
，则有
；
当
，即
时，
或
，
要使
，则
或
，
解得
，则有
；
综上所述，
的取值范围是
