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第一章集合、常用逻辑用语、不等式
§1.5 一元二次方程、不等式
【考情分析·探规律】
考点
三年考情（2021-2024）
命题趋势
一元二次方程、不等式
2023·新课标卷
2023·全国乙卷
2022·全国新Ⅱ卷
根据函数的单调性可得实数的二
次不等式，求解二次不等式后可确定
实数的取值范围。
【知识梳理】
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－
4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋
bx＋c (a＞0)的图
象
一元二次方程ax2
＋bx＋c＝0 (a＞0)
的根
有两相异实根x1，x2
(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝
－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a
＞0)的解集
R
ax2＋bx＋c＜0 (a
＞0)的解集
{ x | x 1＜
x ＜
x 2}
∅
∅
3.(x－a)(x－b)>0 或(x－a)(x－b)<0 型不等式的解集
不等式
解集
a<b
a＝b
a>b
(x－a)·(x－b)>0
{x|x<a，或x>b}
{ x | x ≠ a }
{ x | x < b ，或
x > a }
(x－a)·(x－b)<0
{x|a<x<b}
∅
{ x | b < x < a }
4.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
【名师点拨】
1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a) (
∪a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为
(－a，a).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0 时的情形.
3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2＋bx＋c>0 对任意实数x 恒成立⇔或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0 对任意实数x 恒成立⇔或
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)≥0 等价于(x－a)(x－b)≥0.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0 的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( )
(3)不等式x2≤a 的解集为[－，].( )
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.( )
2.已知不等式x2－3x＋2≤0 的解集为A，不等式x−2
x−1<0 的解集为B，则“x∈A”是“x∈B”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
3.若关于x 的不等式x2＋(2m－1)x＋m2－m>0 的解集为{x|x<3 或x>4}，则m 的值为 .
4.若关于x 的不等式x2－2ax＋18>0 恒成立，则实数a 的取值范围为 .
【必练核心题型】
题型一 求解一元二次不等式
命题点1 不含参的不等式
例1.(多选)下列选项中，正确的是( )
A.不等式－x2－x＋2>0 的解集为{x|x<－2 或x>1}
B.不等式2 x＋1
x−2 ≤1 的解集为{x|－3≤x<2}
C.不等式|x－2|≥1 的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R，则“|x－1|<1”是“ x＋4
x−5 <0”的充分不必要条件
命题点2 含参的不等式
例2.已知函数f(x)＝ax2＋3x＋2.若a>0，解关于x 的不等式f(x)>－ax－1.
【变式训练】
变式1.解关于x 的不等式：
(1) 2 x
1−x ≤3；
(2)ax2－(2a－1)x－2≥0.
题型二 三个二次之间的关系
例1.(多选)(2025·蚌埠模拟)已知关于x 的不等式ax2＋bx＋c<0 的解集为(－∞，1)∪(5，＋∞)，则下列结论正
确的是( )
A.a>0
B.a＋b＋c>0
C.bx＋c>0 的解集是{x|x> 5
6}
D.cx2－bx＋a<0 的解集是{x|x>−1
5 或x<−1}
例2.若关于x 的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0 有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，则a 的取值范围是(
)
A.－2
7 <a<2
5
B.a>2
5
C.a<－2
7
D.－2
11<a<0
【变式训练】
变式1.若不等式ax2＋2x＋c<0 的解集是(−∞，−1
3)∪(
1
2 ，＋∞)，则不等式cx2－2x＋a≤0 的解集是( )
A.[−1
2 ，1
3]
B.[−1
3 ，1
2]
C.[－2，3]
D.[－3，2]
变式2.(多选)已知关于x 的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)，则下列结论正确的是( )
A.x1＋x2＝2
B.x1x2<－3
C.－1<x1<x2<3
D.x2－x1>4
题型三 一元二次不等式恒成立问题
例1.已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1.
(1)若不等式f(x)<1 的解集为R，求m 的取值范围；
(2)若不等式f(x)≥0 对一切x∈[−1
2 ，1
2]恒成立，求m 的取值范围；
(3)若不等式f(x)>2 对一切m∈(0，2)恒成立，求x 的取值范围.
【变式训练】
变式1.已知函数f(x)＝x2－3x＋a.
(1)若f(x)>0 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)若f(x)<0 在(－1，2)上恒成立，求实数a 的取值范围.
变式2.已知不等式ax2－3x＋2>0 的解集为{x|x<1 或x>b}.
(1)求a，b 的值；(6 分)
(2)解不等式ax2－(am＋b)x＋bm<0.(7 分)
变式3.设函数f(x)＝ax2＋bx＋3，关于x 的一元二次不等式f(x)>0 的解集为(－3，1).
(1)求不等式x2＋ax＋b>0 的解集；(6 分)
(2)若∀x∈[－1，3]，f(x)≥mx2，求实数m 的取值范围.(8 分)
