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第二十一章 一元二次方程 （基础过关）
考试时间：120 分钟
一、选择题（每小题3 分，共36 分）
1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是 ( )
A.
2
2
1
0
x
x
B.
2
0
ax
bx
c
C. (
1)(
2)
1
x
x
D.
2
2
3
2
5
0
x
xy
y
【答案】C。
【解析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为
0；
（3）是整式方程；（4）含有一个未知数。由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者
为正确答案：
A、
2
2
1
0
x
x
不是整式方程，故本选项错误；
B、当a =0 时，方程就不是一元二次方程，故本选项错误；
C、由原方程，得
2
3
0
x
x
，符合一元二次方程的要求，故本选项正确；
D、方程
2
2
3
2
5
0
x
xy
y
中含有两个未知数；故本选项错误。故选C。
【考点】一元二次方程的定义。
2.方程
化为一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（
）
A. 5,6,-8 B. 5，-6，-8 C. 5，-6,8 D. 6,5，-8[来源:学.科.网Z.X.X.K]
【答案】C
【解析】先将该方程化为一般形式：
.从而确定二次项系数为5，一次项系数为-6，
常数项为8 答案选C。
【考点】一元二次方程的项和系数
3、若
，则关于x 的一元二次方程
的根的情况是（ ）
A 没有实数根 B 有两个相等的实数根 C 有两个不相等的实数根 D 无法判断
【答案】A
【分析】根据已知不等式求出k 的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得方程解的情况。
【解析】∵5k+20＜0，即k＜﹣4，∴△=16+4k＜0，则方程没有实数根．故选A
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数
根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
4、某市从2018 年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2018 年“竹文化”旅游收入
约为2 亿元．预计2020“竹文化”旅游收入达到2.88 亿元，据此估计该市2019 年、2020 年“竹文
化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A．2%
B．4.4% C．20% D．44%
【分析】设该市2019 年、2020 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2018 年及2020 年
“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该市2019 年、2020 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）
2=2.88，
[来源:Zxxk.Com]
解得：x1=0.2=20%，x2=
2.2
﹣
（不合题意，舍去）．
答：该市2019 年、2020 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．
故选：C．
【考点】一元二次方程的应用．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2 年内变化情况的等量关系是解决本题的
关键．
5．关于
的一元二次方程
的一个根是0，则
值为（ ）
A． B．
C．或
D．
【答案】B．
【解析】根据题意得：
且
，解得：
，故选B．
【考点】1．一元二次方程的解；2．一元二次方程的定义．
6.三角形两边长分别为3 和6，第三边是方程
的根，则三角形的周长为( )
A.13 B.15 C.18 D.13 或18
【答案】A
【解析】解一元二次方程可求得方程的两根为
，那么根据三角形的三边关系，可知3
＜第三边＜9，得到合题意的边为4，进而求得三角形周长为3+4+6=13．故选A
【考点】解一元二次方程，三角形的三边关系，三角形的周长
7、根据下列表格对应值：
3.24
3.25
3.26
-0.02
0.01
0.03
判断关于
的方程
的一个解
的范围是（ ）
A.
＜3.24 B.3.24＜
＜3.25 C.3.25＜
＜3.26 D.3.25＜
＜3.28
【答案】B
【解析】当3.24＜
＜3.25 时，
的值由负连续变化到正，[来源:学科网]
说明在3.24＜
＜3.25 范围内一定有一个
的值，使
，
即是方程
的一个解.故选B.
【考点】利用夹逼法求近似解
8．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36 场．设有x 个队参赛，根据
题意，可列方程为
A．
x（x–1）=36
B．
x（x+1）=36
C．x（x–1）=36
D．x（x+1）=36
【答案】A
【解析】设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为：
x（x–1）=36，故选A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关
系，注意2 队之间的比赛只有1 场，最后的总场数应除以2．
9.已知
1
2
x
x
、
是方程
2
6
3
0
x
x
的两个实数根，则
2
1
1
2
x
x
x
x
的值等于
A．6
B．6 C． 10 D．10
【答案】C
【解析】∵
1
2
x
x
、
是方程
2
6
3
0
x
x
的两个实数根，∴
1
2
6
x
x
，
1
2
3
x
x
。
∴
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
6
2 3
10
3
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
。故选C。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。
10.关于x 的方程
0
1
2
2
k
kx
x
的根的情况描述正确的是.
A．k 为任何实数，方程都没有实数根
B．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实
数根三种
【答案】B。
【解析】求出一元二次方程根的判别式的值，然后据此判别，从而得出答案；
∵一元二次方程根的判别式为△=（2k）2－4×（k－1）=4k2－4k+4=（2k﹣1）2+3＞0，
∴不论k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根。故选B。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键．
11、已知a 是方程
2
1=0
x
x
的一个根，则
2
2
2
1
1
a
a
a
的值为
A．1
5
2
B．
2
5
1
C．－1
D．1
【答案】D
【解析】∵
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
=
=
=
=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a a
a a
a
a a
a
a a
a
a
a
，
又∵a 是方程
2
1=0
x
x
的一个根，∴
2
1=0
a
a
，即
2
=1
a
a
。
∴
2
2
2
1
1
= =1
1
1
a
a
a
。故选D。
【考点】方程根的定义，分式化简，代数式代换。
12、已知2 是关于x 的方程
2
2
3
0
x
mx
m
的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角
形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ）
A. 10 B. 14 C. 10 或14 D. 8 或10
【答案】B.
【分析】∵2 是关于x 的方程
2
2
3
0
x
mx
m
的一个根，∴4
4
3
0
m
m
，解pol 得
4
m
.
∴方程为
2
8
12
0
x
x
，解得
1
2
2,
6
x
x
.
∵这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，
∴根据三角形三边关系，只能是6，6，2.∴三角形ABC 的周长为14.故选B.
【考点】一元二次方程的解和解一元二次方程；确定三角形的条件.
二、填空题（每小题3 分，共18 分）
13、扬帆中学有一块长30m，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小
禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为 .
【答案】（30–2x）（20–x）=
×20×30
【解析】设花带的宽度为xm，则可列方程为（30–2x）（20–x）=
×20×30，故选D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．
14、已知方程
没有实数根，则代数式
.
【答案】2
【分析】由方程
没有实数根，得
，求的a 的范围，然后根据此范围化
简代数式。
【解析】∴
，即
，
，得
则代数式
【考点】根的判别式。
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式。当
时，方程没有实数根。同时考查了一元二
次不等式的解法、二次根式的性质和绝对值的意义。
15、
。
【答案】3．
【解析】用换元法：
，则原化为： x2 –x–6=0 解得, x=–2 或3.
即
或
，因为
，所以
故答案为3.
【考点】因式分解法解一元二次方程（换元法）；
16．关于x 的方程x2–2x+2m–1=0 有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根
．
【答案】x1=x2=1．
【解析】∵关于x 的方程x2–2x+2m–1=0 有实数根，
∴b2–4ac=4–4（2m–1）≥0，解得m≤1，
∵m 为正整数，∴m=1，∴x2–2x+1=0，则（x–1）
2=0，解得：x1=x2=1．
【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m 的值是解题关键．
17.已知x1，x2是关于x 的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣
＝0 的两个实数根，且x1﹣x2＝1，则
m＝______．
【答案】
【分析】先根据根与系数的关系得出x1+x2＝2m﹣1 ①，x1x2＝﹣
②，结合x1﹣x2＝1 求出
，将其代入②求解可得．
【解析】根据题意知x1+x2＝2m﹣1 ①，x1x2＝﹣
②，
∵x1﹣x2＝1 ③，
由①③，得：
，
代入②，得：m（m﹣1）＝﹣
，
解得m＝
，故答案为：
．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握
，
是一元二次方程
的两根时，
，
．
18、已知实数a，b 分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，则
的值是 .
【答案】7
【分析】根据已知两等式得到a 与b 为方程x2﹣6x+4=0 的两根，利用根与系数的关系求出a+b 与ab
的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将a+b 与ab
的值代入计算即可求出值
【解析】根据题意得：a 与b 为方程x2﹣6x+4=0 的两根，∴a+b=6，ab=4，
则原式=
【考点】根与系数的关系．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键.
三、解答题（共46 分）
19、（6 分）按要求解方程（第3 小题选择合适方法解方程）：
（1）
2
4
2
0
x
x
；（公式法）（2）
2
4
1
0
x
x
；（配方法） （3）x ( x －2)＋x －2＝
0．[来源:Zxxk.Com]
【分析】解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二
次方程有四种解法：直接开平方法； 配方法；公式法；因式分解法。本题即应用因式分解法求
解。
【解析】（1）解:
4
16
8
4
2 6
=
=
=
2
6
2
2
x
（2）移项，得
2
4
1
x
x
．配方，得
2
4
4
1
4
x
x
，
2
(
2)
3
x
由此可得
2
3
x
∴
1
2
3
x
，
2
2
3
x
（3）把方程左边因式分解，得(
2)(
1)
0
x
x
．
从而，得
2
0
x
，或
1
0
x
；所以
1
2
2
1
x
x
，
。
【考点】解一元二次方程。
20、（8 分）（2020·山东省初三三模）阅读下面材料：一般地，如果一个数列从第
项起，每一项
与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，
它通常用字母
表示，我们可以用公式
来计算等差数列的和．（公式中的n
表示数的个数，a 表示第一个数的值，）
例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋
×2＝120．
用上面的知识解决下列问题．
（1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116
（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009 年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地
的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012 四年的坡荒地面积的统计数据．问
到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．
2009 年
2010 年
2011 年
2012 年
植树后坡荒地的实际面积（公顷）
25 200
24 000
22 400
20400
【答案】（1）1180；（2）到2017 年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．
【分析】（1）根据题意，由公式
来计算等差数列的和，即可得到答案；
（2）根据题意，设再过x 年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程，解方程即可得到
答案．
【解析】（1）由题意，得
，
，
，
∵
，∴
；
（2）解：设再过x 年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得
1200x+
×400＝25200，整理得：（x﹣9）（x+14）＝0，
∴x＝9 或x＝﹣14（负值舍去）．∴2009+9-1=2017；
答：到2017 年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，以及计算等差数列的和公式，解题的
关键是熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题．
21、（8 分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G 等为代表的战略性新兴
产业，据统计，目前广东5G 基站的数量约1.5 万座，计划到2020 年底，全省5G 基站数是目前的4
倍，到2022 年底，全省5G 基站数量将达到17.34 万座．（1）计划到2020 年底，全省5G 基站的数
量是多少万座？（2）按照计划，求2020 年底到2022 年底，全省5G 基站数量的年平均增长率．
【答案】（1）计划到2020 年底，全省5G 基站的数量是6 万座．
（2）2020 年底到2022 年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为70%．
【解析】（1）1.5×4=6（万座）．
答：计划到2020 年底，全省5G 基站的数量是6 万座．
（2）设2020 年底到2022 年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为x，
根据题意，得：6（1+x）
2=17.34，
解得：x1=0.7=70%，x2=–2.7（舍去）．
答：2020 年底到2022 年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为70%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22、（8 分）已知关于x 的方程
2
2
2(
1)
0
x
k
x
k
有两个实数根
1
2
,
x x .
（1）求k 的取值范围；（2）若
1
2
1
2
1
x
x
x x
，求k 的值；
【解析】（1）依题意得
0
，即
2
2
1
4
0
k
k
。解得
1
2
k
。
（2）依题意
2
1
2
1
2
2(
1) ,
x
x
k
x x
k
，
以下分两种情况讨论：
①当
1
2
0
x
x
时，则有
1
2
1
2
1
x
x
x x
，即
2
2
1
1
k
k
，解得
1
2
1
k
k
∵
1
2
k
，∴
1
2
1
k
k
不合题意，舍去 。
②
0
2
1
x
x
时，则有
1
2
1
2
1
x
x
x x
，即
2
2
1
1
k
k
，解得
1
1
k
，
2
3
k
∵
1
2
k
，∴
3
k 。
综合①、②可知
3
k 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系及判别式
23、（8 分）已知：关于x 的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．（1）求证：方程有两个不相等
的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，且|x1|=|x2|-2，求m 的值及此时这个方程的根。
【答案】（1）证明见解析；（2）x1=﹣1+
，x2 =﹣1﹣
或x1=1﹣
，x2=1+
．
【分析】（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac 的结果判断即可，当△＞0 时，有两个不相等
的实数根，当△=0 时，有两个相等的实数根，当△＜0 时，方程没有实数根；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-
，x1•x2=
，表示出两根的关系，得到x1，x2异
号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.
【解析】（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，
∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，
∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）
2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣
）
2+
，
∴△＞0，则方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x1•x2=
=﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，∴x1，x2异号，
又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，
若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，∴m﹣3=﹣2，即m=1，
方程化为x2+2x﹣1=0，解得：x1=﹣1+
，x2=﹣1﹣
，
若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，
方程化为x2﹣2x﹣25=0，解得：x1=1﹣
，x2=1+
．
综上:略
【考点】根的判别式及解一元二次方程；分类讨论。
24．(8 分)如图13－1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 米，宽为40 米的长方形空地上修
建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为米.
（1）用含的式子表示花圃的面积；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价
（元）、
（元）与修建面积
之间的
函数关系如图13－2 所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2
米且不超过10 米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？
考点：一次函数的应用；一元二次方程的应用．.
分析：（1）用含a 的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；
（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可；
（3）根据图象，设出通道和花圃的解析式，用待定系数法求解，再根据实际问题写出自变量的取
值范围即可．
解答：解：（1）由图可知，花圃的面积为（40
2
﹣a）（60
2
﹣a）；
（2）由已知可列式：60×40﹣（40
2
﹣a）（60
2
﹣a）= ×60×40，
解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去），
答：所以通道的宽为5 米；
（3）设修建的道路和花圃的总造价为y，由已知得y1=40x，
y2=
，则y=y1+y2=
；
[来源:Zxxk.Com]
x 花圃=（40
2
﹣a）（60
2
﹣a）=4a2
200
﹣
a+2400；
x 通道=60×40﹣（40
2
﹣a）（60
2
﹣a）=
4
﹣a2+200a，
当2≤a≤10，800≤x 花圃≤2016，384≤x 通道≤1600，
∴384≤x≤2016，
所以当x 取384 时，y 有最小值，最小值为2040，即总造价最低为23040 元，
当x=383 时，即通道的面积为384 时，有﹣4a2+200a=384，
解得a1=2，a2=48（舍去），
所以当通道宽为2 米时，修建的通道和花圃的总造价最低为23040 元．
图13 －2
图13 －
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【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽．
