第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第2 节 常用逻辑用语
【高考预测】近三年常用逻辑用语在新高考卷中年均 1 题、5 分，属高频基
础考点：充分 / 必要条件每年必考（2024 甲卷、2023 新 Ⅰ 卷、2022 多
卷），常与函数、数列、不等式交汇；全称 / 存在量词命题的否定与真假判断
隔年考查（2024 新 Ⅱ 卷、2022 部分卷），以小题为主、难度偏低。预测
2027 年仍保持1 道选择题（5 分）的稳定格局，以充分必要条件判断为绝对核
心，搭配量词命题否定或真假辨析，载体聚焦函数性质、不等式、立体几何、
数列，强化逻辑推理与集合转化思想，稳中求新、侧重基础逻辑辨析与易错点
（如否定与否命题、充分必要颠倒）的考查。
【双基自测●明考向】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)至少有一个三角形的内角和为π 是全称量词命题.( )
(2)写全称量词命题的否定时,全称量词变为存在量词.( )
(3)当p 是q 的充分条件时,q 是p 的必要条件.( )
(4)若已知p:x>1 和q:x≥1,则p 是q 的充分不必要条件.( )
【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)√
【解析】(1)错误,至少有一个三角形的内角和为π 是存在量词命题.
2.(人教A 必修一P22 习题1.4T2 改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三
角形是等腰三角形”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”,但
反之不成立.
3.(人教A 必修一P30 例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是 .
【答案】任意一个偶数都不是素数
4.(人教B 必修一P28T4 改编)“∀x∈[a,+∞),x2≥1”是真命题,则实数a 的取值范
围是 .
【答案】[1,+∞)
【解析】∵x2≥1,即x≥1 或x≤-1,且原命题是真命题,∴a 的取值范围是a≥1.
【核心梳理●明考点】
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件
p 是q 的充分不必要条件
p⇒q 且q⇏ p
p 是q 的必要不充分条件
p⇏q 且q⇒p
p 是q 的充要条件
p⇔q
p 是q 的既不充分也不必要条件
p⇏q 且q⇏ p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用
符号“∀”表示.
(2)存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,
并用符号“∃”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M 中的任意一个x,有p(x)成立
存在M 中的元素x,p(x)成立
简记
∀ x ∈
M
, p ( x )
∃x∈M,p(x)
否定
∃x∈M, ¬p(x)
∀ x ∈
M
, ¬p ( x )
1.会区别A 是B 的充分不必要条件(A⇒B 且B⇏A),与A 的充分不必要条件是
B(B⇒A 且A⇏B)两者的不同.
2.p 是q 的充分不必要条件等价于¬q 是¬p 的充分不必要条件.
3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.
4.命题p 和¬p 的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难,可判断此命题的否定
的真假.
【考点突破●明方向】
考点一 充分、必要条件的判定
例1 (1)(2025·天津卷)设x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(多选)(2026·许昌调研)ab+b-a-1=0 的一个充分不必要条件可以是( )
A.a=-1
B.a=b
C.b=1
D.ab=1
【答案】(1)A (2)AC
【解析】(1)由x=0 得sin 2x=0,所以充分性成立;
由sin 2x=0 得x=k π
2 (k∈Z),所以必要性不成立.
故“x=0”是“sin 2x=0”的充分不必要条件,故选A.
(2)由ab+b-a-1=0,可得(a+1)(b-1)=0,解得a=-1 或b=1,故选AC.
【模型建构】充分、必要条件的两种判定方法:
(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p 进行判断,适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法:根据p,q 对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于条件中涉及参
数范围的推断问题.
【变式训练】1 (1)(2025·东北师大附中质检)已知p:1
x <1,q:x2+x-6>0,则p 是q 的(
)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(2026·广东部分学校联考)小明和小王从5 张编号为1~5 的卡牌中依次不放回
各抽取2 张,设甲:小明手中的2 张卡牌编号之和为3,乙:小王手中的2 张卡牌编号
均不小于3,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】(1)C (2)A
【解析】(1)由1
x <1 得x>1 或x<0,
不妨设集合A=(-∞,0)∪(1,+∞).
由x2+x-6>0 得x<-3 或x>2,不妨设集合B=(-∞,-3)∪(2,+∞).
因为B⫋A,所以p 推不出q,而q 能推出p,
所以p 是q 的必要不充分条件.故选C.
(2)由小明手中的2 张卡牌编号之和为3,可知小明手中的2 张卡牌编号分别为
1,2,此时小王手中的2 张卡牌编号可能为3,4,或3,5,或4,5,均满足编号不小于3,充
分性成立.
若小王手中的2 张卡牌编号均不小于3,例如3,4,此时小明手中的2 张卡牌编号可
能含有5,不满足小明手中的2 张卡牌编号之和为3,必要性不成立.
故甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选A.
考点二 充分、必要条件的应用
例2 (2026·秦皇岛模拟)已知λ>0,集合A={x|x2-5x-6<0},B={x|(x-λ)(x-2λ)<0},若
x∈A 是x∈B 的必要不充分条件,则λ 的取值范围为( )
A.(0,3)
B.(0,3]
C.(0,2)
D.(0,2]
【答案】B
【解析】A={x|x2-5x-6<0}={x|-1<x<6},B={x|(x-λ)(x-2λ)<0}={x|λ<x<2λ},
因为x∈A 是x∈B 的必要不充分条件,
所以B 是A 的真子集,
可得{
−1≤λ ,
2 λ≤6,且等号不同时成立,
结合λ>0,解得0<λ≤3,
所以λ 的取值范围为(0,3],故选B.
【模型建构】求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间
的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
【变式训练】2 设命题p:(4x-3)2≤1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p 是¬q 的必
要不充分条件,则实数a 的取值范围是 .
【答案】[0, 1
2]
【解析】设A={x|(4x-3)2≤1},
B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0},
易知A={x|1
2 ≤x≤1},
B={x|a≤x≤a+1},
由¬p 是¬q 的必要不充分条件,
从而p 是q 的充分不必要条件,
即A⫋B,∴{
a≤1
2 ,
a+1≥1,
且等号不同时成立,
故所求实数a 的取值范围是[0, 1
2].
考点三 全称量词与存在量词
角度1 含量词命题的否定及真假判断
例3 (1)(2025·湘豫名校联考二模)命题“∀x∈R,2-x+2x≥1”的否定是( )
A.∀x∈R,2-x+2x<1
B.∃x∈R,2-x+2x≥1
C.∀x∉R,2-x+2x<1
D.∃x∈R,2-x+2x<1
(2)(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x.则( )
A.p 和q 都是真命题
B. ¬p 和q 都是真命题
C.p 和¬q 都是真命题
D. ¬p 和¬q 都是真命题
【答案】(1)D (2)B
【解析】(1)由全称量词命题的否定是存在量词命题可知,命题“∀x∈R,2-
x+2x≥1”的否定是“∃x∈R,2-x+2x<1”,故选D.
(2)在命题p 中,当x=-1 时,|x+1|=0,
所以命题p 为假命题, ¬p 为真命题.
在命题q 中,因为立方根等于本身的实数有-1,0,1,所以∃x>0,使得x3=x,
所以命题q 为真命题, ¬q 为假命题,
所以¬p 和q 都是真命题.
角度2 含量词命题的应用
例4 已知p:∀x∈[-1,2],x2-2x+a<0;q:∃x∈R,x2-4x+a=0.若p 为假命题,q 为真命题,
则a 的取值范围为( )
A.[-3,4]
B.(-3,4]
C.(-∞,-3)
D.[4,+∞)
【答案】A
【解析】由题意知,p:∀x∈[-1,2],x2-2x+a<0 为假命题,
则¬p:∃x∈[-1,2],x2-2x+a≥0 为真命题,
当x∈[-1,2]时,y=x2-2x+a 的图象的对称轴方程为x=1,
此时其最大值为(-1)2+2+a=3+a,
则3+a≥0,解得a≥-3.
又q:∃x∈R,x2-4x+a=0 为真命题,
即Δ=16-4a≥0,
解得a≤4.
综上,a 的取值范围为[-3,4].
【模型建构】1.含量词命题的否定,一是要改写量词,二是要否定结论.
2.判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M 中的每一个元素x,
证明p(x)成立;要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只要在限定集合内
找到一个x,使p(x)成立即可.
3.由命题真假求参数的范围,一是直接由命题的含义,利用函数的最值求参数的范
围;二是利用等价命题,即p 与¬p 的关系,转化成¬p 的真假求参数的范围.
【变式训练】3 (1)(2026·辽宁名校联盟调研)已知命题p:∀x<0,x2+ 4
x
3≥4,命题
q:∃x>1,x-4
x <-3,则( )
A.p 和q 都是真命题
B. ¬p 和q 都是真命题
C. ¬p 和¬q 都是真命题
D.p 和¬q 都是真命题
(2)若命题“∃x∈R,x2+x-a=0”为假命题,则实数a 的取值范围为 .
【答案】(1)C (2)(−∞,−1
4)
【解析】(1)当x=-1 时,p 显然为假命题,
则¬p 是真命题;
当x>1 时,y=x-4
x 单调递增,所以y>-3,
即q 为假命题,则¬q 是真命题.故选C.
(2)命题“∃x∈R,x2+x-a=0”为假命题,等价于“方程x2+x-a=0 无实根”,
则Δ=1+4a<0,解得a<-1
4,
即实数a 的取值范围为(−∞,−1
4).
【限时【变式训练】】
（30 分钟）
一、单选题
1.命题“∃x>0,sin x-x≤0”的否定为( )
A.∀x≤0,sin x-x>0
B.∃x>0,sin x-x≤0
C.∀x>0,sin x-x>0
D.∃x≤0,sin x-x>0
【答案】C
【解析】由题意知命题“∃x>0,sin x-x≤0”为存在量词命题,其否定为全称量词
命题,
即∀x>0,sin x-x>0.
2.“x<0”是“❑√x
2=-x”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
❑√x
2=-x⇔x≤0,
因为x<0⇒x≤0,但x≤0⇏ x<0,
所以“x<0”是“❑√x
2=-x”的充分不必要条件.
3.已知命题:“∀x∈R,方程x2+4x+a=0 有解”是真命题,则实数a 的取值范围是(
)
A.a<4
B.a≤4
C.a>4
D.a≥4
【答案】B
【解析】“∀x∈R,方程x2+4x+a=0 有解”是真命题,故Δ=16-4a≥0,
解得a≤4.
4.(2026·四川名校联盟联考)已知命题p:∀x∈R,ex+e-x≥2,命题q:∃x∈(0,10),
❑√x(10−x)>5,则( )
A.命题p 与q 均为真命题
B.命题p 与¬q 均为真命题
C.命题¬p 与q 均为真命题
D.命题¬p 与¬q 均为真命题
【答案】B
【解析】∀x∈R,ex>0,e-x>0,则ex+e-x≥2❑√e
x·e
−x=2,当且仅当x=0 时取等号,故p 为
真命题;
当x∈(0,10)时,❑√x(10−x)≤x +10−x
2
=5,当且仅当x=5 时取等号,故q 为假命题,
¬q 为真命题,
所以命题p 与¬q 均为真命题,B 正确.
5.(2026·威海模拟)已知1
a>1,命题q:∃x∈R,ax2+2ax+1≤0,则1
a>1 是¬q 成立的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由1
a>1,解得0<a<1.
由q:∃x∈R,ax2+2ax+1≤0,
得¬q:∀x∈R,ax2+2ax+1>0,
当a=0 时,1>0 成立;
当a>0 时,Δ=4a2-4a<0,解得0<a<1.
综上, ¬q 成立时,0≤a<1,
所以1
a>1 是¬q 成立的充分不必要条件,故选A.
6.已知p:1
x >1,q:x>m,若p 是q 的充分条件,则实数m 的取值范围是( )
A.[0,+∞)
B.[1,+∞)
C.(-∞,0]
D.(-∞,1]
【答案】C
【解析】由1
x >1 可得x(x-1)<0,
解得0<x<1,
记A={x|0<x<1},B={x|x>m},
若p 是q 的充分条件,
则A 是B 的子集,所以m≤0,
所以实数m 的取值范围是(-∞,0].
7.(2026·淮安质检)在△ABC 中,“A>B”是“cos A<cos B”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为A,B 是△ABC 的内角,且A>B,
所以0<B<A<π,因为y=cos x 在(0,π)上单调递减,
所以cos A<cos B,故充分性成立;
反之,y=cos x 在(0,π)上单调递减,
0<A<π,0<B<π,
若cos A<cos B,则A>B,故必要性成立.
所以在△ABC 中,“A>B”是“cos A<cos B”的充要条件,故选C.
8.(2026·佛山调研)已知平面α,β 和直线m,n,且α∩β=n,则“m⊥n”是“m⊥β”的(
)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】正方体ABCD-A1B1C1D1如图所示,分别记平面ABCD、平面ADD1A1为
平面α,β,
则直线n 为直线AD,设直线m 为直线AB1,
则AB1⊥AD,但AB1不垂直于平面ADD1A1,则由m⊥n 得不到m⊥β.
若m⊥β,因为n⊂β,则由线面垂直的性质可得m⊥n.
故“m⊥n”是“m⊥β”的必要不充分条件,故选C.
二、多选题
9.下列既是存在量词命题又是真命题的是( )
A.∃x∈R,|x|<0
B.∃x∈Z,cosπ
2 x=-1
C.至少有一个x∈Z,使x 能同时被3 和5 整除
D.每个平行四边形都是中心对称图形
【答案】BC
【解析】选项A 为存在量词命题,因为所有实数的绝对值非负,
即|x|≥0,所以A 是假命题;
选项B 为存在量词命题,
当x=2 时,满足cos(
π
2 ·2)=cos π=-1,
所以B 既是存在量词命题又是真命题;
选项C 为存在量词命题,15 能同时被3 和5 整除,
所以C 既是存在量词命题又是真命题;
选项D 是全称量词命题,所以D 不符合题意.
10.下列说法正确的是( )
A.命题“∃x≥1,x2>1”的否定是“∀x<1,x2≤1”
B.“a>0 且Δ=b2-4ac≤0”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0 的解集为R”的充
要条件
C.“a>0”是“a>1”的必要不充分条件
D.已知a,b∈R,则“|a+b|=|a|+|b|”的充要条件是“ab>0”
【答案】BC
【解析】对于A,命题的否定是“∀x≥1,x2≤1”,故A 错误;
对于B,若a>0 且Δ=b2-4ac≤0,则不等式的解集为R,充分性成立,若一元二次不等
式的解集为R,则a>0 且Δ=b2-4ac≤0,即必要性成立,故B 正确;
对于C,若a>0,不可以推出a>1,例如a=1
2,即充分性不成立,若a>1,可以推出a>0,
即必要性成立,故C 正确;
对于D,例如a=b=0,可以推出|a+b|=|a|+|b|,即|a+b|=|a|+|b|不可以推出ab>0,故D 错
误.
11.(2026·温州模拟)下列选项中,与“1
x >1”互为充要条件的是( )
A.x<1
B.log0.5x2>log0.5x
C.3
x
2<3x
D.|x(x-1)|=x(1-x)
【答案】BC
【解析】由1
x >1,得1
x -1>0,
即1−x
x
>0,x(x-1)<0,解得0<x<1.
对于A,“x<1”是“1
x >1”的必要不充分条件,故A 错误;
对于B,由log0.5x2>log0.5x,得0<x2<x,故x(x-1)<0,解得0<x<1,故B 正确;
对于C,由3
x
2<3x,得x2<x,解得0<x<1,故C 正确;
对于D,|x(x-1)|=x(1-x),则x(1-x)≥0,解得0≤x≤1,故D 错误.
三、填空题
12.(2026·沈阳质测)“sin x=1”的一个充分不必要条件是 .
【答案】x=π
2 (答案不唯一)
【解析】当x=π
2 时,sin x=1,
由sin x=1 可得x=π
2 +2kπ,k∈Z,
故“sin x=1”的一个充分不必要条件是
“x=π
2 ”.
13.已知命题“∃x∈[-1,2],x2-3x+a>0”是假命题,则实数a 的取值范围是 .
【答案】(-∞,-4]
【解析】由题意得,“∀x∈[-1,2],x2-3x+a≤0”是真命题,
则a≤-x2+3x 对∀x∈[-1,2]恒成立,在区间[-1,2]上,-x2+3x 的最小值为-
(-1)2+3×(-1)=-4,
所以a≤(-x2+3x)min=-4,
即a 的取值范围是(-∞,-4].
14.已知集合P={y|y=x+a,-1<x≤2},Q={x|ln(2-x)<0},若x∈P 是x∈Q 的必要不充
分条件,则实数a 的取值范围为 .
【答案】[0,2]
【解析】由y=x+a,-1<x≤2,
则a-1<y≤a+2,
所以P={y|a-1<y≤a+2},
由ln(2-x)<0,即ln(2-x)<ln 1,
解得1<x<2,
所以Q={x|1<x<2},
因为x∈P 是x∈Q 的必要不充分条件,
则Q⫋P,
所以{
a−1≤1,
a+2≥2,且等号不同时成立,
解得0≤a≤2.
所以实数a 的取值范围为[0,2].
