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第一章 集合、常用逻辑用语、不等式（单元测试）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．已知集合
，
或
，则
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
3．若
：直线与平面
有公共点，
：直线与平面
相交，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
4．已知关于
的不等式
的解集为
，则关于
的不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
5．设
，下列不等式不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．设集合
若集合
且
，则满足条件的集合
的个数是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．设
是均含有2 个元素的集合，且
，记
，则B 中元素个数的最小值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．设集合
，
，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．下列各结论中正确的是（ ）
A．“
”是“
”的充要条件
B．函数
的最小值为2
C．“
”是“
”的必要不充分条件
D．
是假命题，则实数a 的取值范围是
或
11．已知正实数
满足：
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．设集合
，
，若
，则
的值为________．
13．已知
均为正数，且
，则
的最小值为___________
14．若实数
使得命题：“
，使得
，均有
”是假命题，则
的取
值范围是___________．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130 人；同时
修数学、语文两门课的学生有48 人，同时修数学、外语两门课的学生有30 人，同时修语文、外语两门课
的学生有21 人；三门课全修的学生有5 人.问：
(1)该校共有多少学生？
(2)只修一门课的学生有多少？
(3)正好修两门课的学生有多少？
16．（15 分）
某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5 米，底面积为100 平方米，且背面靠墙的长方体形状的
露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每
平方米320 元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160 元，地面以及其他报价共计9600 元.设劳动基
地的左、右两面墙的长度均为
（
）米，原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为
（
）元，若无
论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求
的取值
范围.
17．（15 分）
已知集合
，集合
，其中
．
(1)当
时，求
；
(2)若“
”是“
”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；
(3)设命题p：
，使得
．若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围．
18．（17 分）
19 世纪，柯西在其著作《分析教程》中提出了著名的柯西不等式的雏形，在这个不等式的证明中带有
“配凑”的色彩.配凑好比一个工匠加工一块原材料，原材料（原表达式）形状不规则，而工匠的目标是把
它放进一个标准的模具（均值不等式的形式）里.为此，他需要“削”（拆项）“补”（添项）“打磨”
､
､
（调整系数），直到原材料严丝合缝地嵌入模具，从而得到一个完美的产品（最值）.
例如：1.求函数
的最小值.可作如下处理：
，当且仅当
时，等号成立.
2.已知
为正实数，且
，求
的最大值.可作如下处理：
，
当且仅当
且
，即
时，等号成立.
根据以上信息解决以下问题：
已知
.
(1)若
，证明：
.
(2)若
恒成立，求参数
的取值范围.
(3)若
，求
的最小值.
19．（17 分）
设
是正整数，
是
的非空子集(至少有两个元素)，如果对于
中的任意两个元素
，
，都有
，则称集合
具有性质
.
(1)试判断集合
和
是否具有性质
，并说明理由.
(2)若
，证明：A 不可能具有性质
.
(3)若
，且
具有性质
和
，求
中元素个数的最大值.
