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综合检测卷02 集合、常用逻辑用语、不等式、函数
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据集合的并集运算即可求解.
，
，
所以
.
2．已知
，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于A，B，由
，可得
，故A 错误，B 正确；
对于C，由
，易得
，故C 错误；
对于D，因
，则得
，故D 错误.
3．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据分式不等式解法求解分式不等式即可得出结果.
【详解】不等式
，可化为
，整理得
，
即
，解得
.
所以解集为
.
4．若
，
的否定为真命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将命题转化为有解问题，分情况讨论
的值，
时，不等式为一次不等式有解；
时为一元二次
不等式，根据二次函数的性质确定不等式有解.
【详解】
，
的否定为真命题，
即命题“
”为真命题，
当
时，不等式化为
，即
，符合题意；
，命题“
”为真命题，
当
时，对于抛物线
，开口向下，
显然
在
有解，符合题意；
当
时，对于抛物线
，开口向上，
只需
，解得
或
，
又
，所以
或
，
综上实数
的取值范围是
或
，
即
．
5．已知函数
在区间
单调递增，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】运用题目条件将其化为比较x 的取值
【详解】由题目可知在
内，x 值越大，函数值就越大，
因为
，且
，
所以
.
又因为
，所以
.
因为
，所以
，
因此
，故B 选项正确.
6．已知函数
满足对任意实数
，都有
成立，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意知函数
在
上单调递减，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
7．已知函数
是幂函数，对任意
，
，且
，满足
．若
，且
的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】根据幂函数定义求出
，根据函数解析式逐个判断即可.
【详解】因为函数
是幂函数，
则
，
解得
或
，
因为对任意
，
，且
，满足
，
所以
在
上单调递增，
时，
，在
上单调递减，故舍，
所以
时，
，
对于A，取
时，
，
可能成立；
对于B，取
时，
，
可能成立；
对于C，取
时，
，
可能成立；
对于D，因为
，则
，则
，
由单调性可知
，故
，与
矛盾，一定不成立.
8．函数
及其导函数
的定义域均为
，
和
都是奇函数，则（ ）
A．
的周期为4
B．
的图象关于点
对称
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据
、
为奇函数，推导出
、
的对称性与周期性，再据此逐一验证选项
即可.
【详解】
为奇函数，
∴f (1−x)=−f (1+ x),f (1)=0 ， ①
则
关于点
中心对称，
对①两边求导：
，
，
即
关于直线
对称，即
， ②
为奇函数，
∴g(−2 x−1)=−g(2 x−1),g(−1)=0 ，
令
，则
，代入得：
，
即
关于点
对称，故
， ③
联立②③：
，
令
，则
，代入得：
，
即
，故
，
的周期为 ，且
，
由
及
，则
，
令
，得
，
又
关于
对称，故
，
令
，代入①式：
，即
，
由
，令
，得
，
又
，令
代入
，得：
，所以
，即
，
故
，得
，所以
，
所以
，
即
的周期为 ；
选项A：由
，可知
周期为 ，A 错误；
选项B：由③式
，可知
的对称中心为
，而非
，B 错误；
选项C 由
可得
，
由
关于点
中心对称，即
，
令
，得
，故
，即
，
又
综上：
，C 正确；
选项D：由
关于直线
对称，得
，
又由
为奇函数，
且
关于点
对称，
即
，令
，得
，
由
，令
，得
，故
，
由
，令
，得
，
由
为奇函数求导知
关于直线
对称，即
，
由
关于直线
对称，
，
由
得
，结合
，
令
，得
，
又令
，
，联立得
，故
，
因此
，
因为
周期为 ，一个周期内函数值之和为
，且
，故：
，D 错误.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．函数
是对数函数
B．函数
和
的图象关于
轴对称
C．函数
和
的图象关于直线
对称
D．函数
（
且
）的图象必过定点
【答案】BC
【分析】对于A，由对数函数的定义即可判断；对于B, 由函数
和
的图象即可判断；对于C，由互
为反函数的函数图象性质即可判断；对于D，将
代入函数
，即可判断.
【详解】对于A，由对数函数的定义知函数
不是对数函数.
对于B, 函数
和
的图象关于
轴对称,故B 正确；
对于C，函数
和
互为反函数，故它们的图象关于直线
对称，故C 正确；
对于D，将
代入函数
得
，故函数
（
且
）的图象必过定点
，故D
错误.
故选：BC
10．下列说法中正确的有（ ）
A．若实数a，b，c 满足
，则
B．已知函数
，若
，则
C．函数
，且
的图象必过点
D．若
，则
【答案】ABD
【分析】根据不等式性质、函数奇偶性、指数函数定点以及对数运算等知识进行分析判断，从而得出正确选项.
【详解】对于A 选项，因为
，所以
，所以
，A 选项正确，
对于B 选项，因为函数
为偶函数，
所以
，B 选项正确，
对于C 选项，因为函数
，且
过定点
，
所以函数
(
，且
)过定点
，
所以C 选项错误，
对于D 选项，因为
，
所以
，解得
，
所以D 选项正确．
故选：ABD．
11．已知函数
，若函数
有三个互不相等的零点
，且
，
则下列结论正确的是（ ）
A．实数
的取值范围是
B．
的单调递减区间为
，
C．
D．函数
有4 个零点
【答案】BCD
【分析】作出函数
的图象，结合图象逐一判断即可．
【详解】作出函数
的大致图象，如图．
对于A，因为函数
有三个互不相等的零点，则函数
与
的图象有三个不同的交点．
结合图象可得
，故A 不正确．
对于B，由函数
的图象可知其单调递减区间为
，
，故B 正确．
对于C，由函数
的图象可知
，且
，所以
，
即
，所以
，故C 正确．
对于D，设
，则
．
令
，由函数
的图象，得
或
．
当
，即
时，则
，解得
；
当
，即
时，所以
或
，解得
或
或
，
所以函数
有4 个零点，故D 正确．
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知
，命题p：
，不等式
恒成立；命题q：
，使得
成立，
若p 为真命题，则实数m 的取值范围为____________；若q 和p 一真一假，则实数m 的取值范围为____________.
【答案】
【分析】对
，不等式
恒成立，令
，则
，求
出
，解不等式即可得出答案.若q 为真命题，则存在
，使得
成立，所以
，即可求出q
为真命题时m 的取值范围，再讨论q 和p 一真一假的情况，即可得出答案.
【详解】对
，不等式
恒成立，
令
，则
，
当
时，
即
，解得
.
因此，当p 为真命题时，m 的取值范围是
.
若q 为真命题，则存在
，使得
成立，所以
；
故当命题q 为真时，
.
又∵p，q 中一个是真命题，一个是假命题.
当p 真q 假时，由
，得
；
当p 假q 真时，由
或
，且
，得
.
综上所述，m 的取值范围为
.
13．若关于
的不等式
的解集中恰有两个整数，则
的范围是______；
【答案】
【分析】分类讨论求解不等式，结合解集中恰有两个整数可得答案.
【详解】当
时，显然不合题意；
当
时，原不等式可化为
，即
，所以
，
因为解集中恰有两个整数，所以
，即
；
当
时，原不等式可化为
，即
，
所以若
时，则
或
，不合题意；若
时，则
或
，不合题意；若
时，则
，不合题意.
综上可得，
；
故答案为：
14．已知函数
和
的图象上存在点关于直线
对称，则实数a 的取值范围为________．
【答案】
【分析】将问题转化为
与
有交点，分离参数构造函数
，结合导数研究函数的单调
性以及最值即可求解.
【详解】
关于
的对称函数为
，
则函数
和
的图象上存在点关于直线
对称时，
与
有交点，
则
有解，即
有解，
令
，则
时有
，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
则
，且
，
，
，
，
所以
，则
．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．计算下列各式的值或简化下列各式：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
【答案】(1)4；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
【分析】（1）（2）利用对数运算性质及换底公式化简计算.
（3）（4）利用指数幂的运算法则计算即得.
【详解】（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
16．已知函数
（
且
）是偶函数.
(1)求实数
的值；
(2)若
，且对于
，不等式
恒成立，求整数
的取值
集合．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用偶函数满足
，求解
的值；
（2）利用函数
的奇偶性和单调性，将不等式恒成立转化为关于整数
的条件求解.
【详解】（1）因为
是偶函数，根据偶函数满足
，
得
，即
，
整理得
，即
，
因为
,
不恒为 0，所以必须
，所以
；
（2）由（1）知
，则
因为
，
，故
是奇函数，
而
单调递增，
单调递减，
故
单调递增，因此
在
上单调递增，
不等式
可化为
，
即
，
因为
单调递增，所以
，
，
只需左边的最小值大于右边即可，令
，
这是开口向上的二次函数，其最小值为
因此
，整理得
，即
，
解得
，又
为整数，故
的值为
，
整数
的取值集合是
.
17．（1）若关于
的不等式
的解集为
，求实数
的取值范围；
（2）若关于
的不等式
的解集为
，求正实数
的取值范围．
【答案】（1）
或
；（2）
或
.
【分析】（1）根据条件得到
，再分
和
两种情况，当
时，直接
代入验证即可，
时，利用二次函数的性质即可求解；
（2）根据条件得到
，再由
及
得
，化简得到
或
，再利用基本不等式和
的性质，即可求解．
【详解】（1）由
得到
，
由
得到
或
，
当
时，得到
恒成立，所以
满足题意，
当
时，得到
，解得
，不合题意，
当
时，由题有
，解得
或
，
综上，实数
的取值范围为
或
；
（2）由
，得到
，
由题知
的两根为
和
，则
且
，
得到
，又由
，且
，得到
，
即
，解得
或
，
当
时，
，所以
，
令
，易知
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
当
时，
，此时
；
综上所述，正实数
的取值范围为
或
.
18．已知函数
．
(1)若
的值域为
，求实数
的取值范围．
(2)已知当
时，
恒有意义．
（Ⅰ）求
在
上的最小值；
（Ⅱ）设
，若对于任意
，存在
，使得不等式
成立，求实数
的取
值范围．
【答案】(1)
(2)（Ⅰ）
；（Ⅱ）
【分析】（1）对数函数的值域为
即真数可以取遍所有的正实数，因为
的真数结构比较复杂，换元后通过
分析真数的取值范围可求解.
（2）（Ⅰ）首先根据当
时，
恒有意义，结合基本不等式求出
的取值范围，对二次函数对称轴的位
置分类讨论可求得
在
上的最小值；（Ⅱ）首先根据恒（能）成立问题得到
，再求出
在
上的最小值，根据（Ⅰ）中结果解不等式即可得解.
【详解】（1）因为函数
的值域为
，
所以真数
需取遍所有的正实数，
令
，则
，构造函数
，
所以可将
需取遍所有的正实数问题转化为
在
时取遍所有的正实数.
对于
，图象的开口向上，对称轴方程为
，
由
在
时取遍所有的正实数知
在
上的图象与x 轴至少有一个交点，所以
在
上的最小值小于等于0，
所以
，且对称轴
（否则
在
上单调递增，
，无法取遍所有的
正实数），
由
，解得
，所以实数
的取值范围是
.
（2）同（1）中的函数
，
当
时，
，
恒有意义，即
在
时恒成立，
当
时，
恒成立；
当
时，将
分离参数得
，
由基本不等式知
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
．
（Ⅰ）当对称轴
，即
时，
在
上单调递增，所以
，
因为函数
是增函数，由复合函数的性质可知当真数取最小值时，
取得最小值，
所以
在
上的最小值为
（在
时取得）；
当对称轴
，即
时，
在
上的最小值在顶点处取得，
所以
，所以
在
上的最小值为
（在
时取得）.
综上，
.
（Ⅱ）对于任意
，存在
，使得不等式
成立，
即在对应区间上
.
因为
，当
时，
，
所以
，所以
在
上的最小值为
，
所以
.
由（Ⅰ）知，当
时，在
上，
，满足题意；
当
时，在
上，
，
由
，解得
.
综上，实数
的取值范围是
．
19．中国茶文化源远流长，是中华文明的重要组成部分，从神农时代至今，茶文化已经在中国发展了4700 多年，
形成了独特的精神内涵和表现形式.若把一杯刚泡的茶水放在冷空气中冷却，茶水初始的温度为
，空气温度为
（
），则经过 t min后茶水的温度
（单位：
）可由公式
（其中
，
）求得，其中
是一个随着茶水与空气的接触状况而定的正的常数.现在有85
的一杯茶水，放在25
的空气中
冷却，20min 以后的温度是35
.
(1)求
的值；
(2)若将100
的茶水，放在20
的空气中冷却，该茶水的温度降至24
需要多少分钟？（精确到小数点后一
位）（参考数值：
，
，
）
(3)该函数模型为
（其中
，
，
），请结合实际意义对函数模型及其系数
，
给
出合理的解释.
【答案】(1)
(2)33.4 分钟.
(3)当物体的温度高于环境温度，随着时间的增加，物体的温度下降，温度下降的速度是先快后慢，故函数模型是
合理的.
：代表环境温度，是茶水冷却过程中温度趋近的极限值；
：代表茶水初始温度与环境温度的差值，差值越大，初始冷却速度越快.
【分析】（1）结合已知条件及指数函数、对数的运算求解即可.
（2）根据指数函数的模型，结合指数与对数的互化、对数的运算求解即可.
（3）结合函数模型分析其实际意义，分析解释即可.
【详解】（1）由题意知，
，即
，
所以
，解得
.
（2）设该物体需要放置分钟温度降至24
，由题意知，
，即
.
由（1）知
，所以
，即
，
所以
，
故该茶水的温度降至24
需要33.4 分钟.
（3）当
时，物体初始温度
；
当
时，即当物体冷却时间足够长时，物体的温度会趋近于环境温度
，
又当
时，
，因此
，
，
故
.
当物体的温度高于环境温度，随着时间的增加，物体的温度下降，温度下降的速度是先快后慢，故函数模型是合
理的.
：代表环境温度，是茶水冷却过程中温度趋近的极限值；
：代表茶水初始温度与环境温度的差值，差值越大，初始冷却速度越快.
