第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第3 节 不等式及其性质
【高考预测】近三年高考数学不等式及其性质考查频次稳定，多以小题单独
考查 + 大题工具隐性考查双线呈现，每年必考，小题常考查不等式基本性质、
比大小、一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式求解，大题常在函数导
数、数列、解析几何中用作放缩、范围求解与最值推导；高频考点集中在实数
大小比较、不等式同向变形、均值不等式基础应用、含参不等式解集分析。预
测 2027 年仍延续稳中不变的考向，小题依旧聚焦不等式性质辨析、代数式比
大小、常规不等式解法，强化与集合、函数定义域、常用逻辑用语交汇命题，
大题持续作为解题核心工具渗透考查，侧重考查代数变形能力、分类讨论思想、
均值不等式配凑技巧及含参不等式的逻辑分析与运算求解能力。
【双基自测●明考向】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)a>b⇔ac3>bc3.( )
(2)a=b⇔ac=bc.( )
(3)若a
b>1,则a>b.( )
(4)a<x<b<0⇒1
b<1
x <1
a.( )
2.(人教A 必修一P43T8 改编)(多选)下列命题为真命题的是( )
A.若ac2>bc2,则a>b
B.若a>b>0,则a2>b2
C.若a<b<0,则a2<ab<b2
D.若a<b<0,则1
a>1
b
3.(苏教必修一P53 例3 改编)设M=x2+y2+1,N=2(x+y-1),则M 与N 的大小关系为
.
4.(人教B 必修一P81 习题2-2BT3 改编)已知a∈(1,3),b∈(2,3),则a-2b 的取值范
围是 .
【核心梳理●明考点】
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法{
a−b>0⇔a>b,
a−b=0⇔a=b,
a−b<0⇔a<b.
(2)作商法{
a
b >1(a∈R ,b>0)⇔a>b(a∈R ,
b>0),
a
b =1⇔a=b(a,b≠0),
a
b <1(a∈R ,b>0)⇔a<b(a∈R ,
b>0).
2.不等式的性质
(1)对称性:a>b⇔b<a;
(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c;
(3)同向可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d;
(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;
(5)可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1);
(6)可开方性:a>b>0⇒
n√a>
n√b(n∈N,n≥2).
1.真分数的性质
若a>b>0,m>0,则b
a<b+m
a+m;
b
a>b−m
a−m(b-m>0).
2.倒数性质
(1)ab>0,a>b⇔1
a<1
b;
(2)a>b>0,d>c>0⇒a
c >b
d .
【考点突破●明方向】
考点一 比较两个数(式)的大小
例1 (1)若实数m,n,p 满足m=4e
3
5,n=5e
2
3,p=18
e
2 ,则( )
A.p<m<n
B.p<n<m
C.m<p<n
D.n<p<m
(2)已知M=e
2 025+1
e
2 026+1,N=e
2 026+1
e
2 027+1,则M,N 的大小关系为 .
【变式训练】1 (1)(多选)下列不等式中正确的是( )
A.x2-2x>-3(x∈R)
B.a3+b3≥a2b+ab2(a,b∈R)
C.a2+b2>2(a-b-1)
D.a
b<a+2 026
b+2 026(b>a>0)
(2)已知c>1,且x=❑√c +1-❑√c,y=❑√c-❑√c−1,则x,y 之间的大小关系是( )
A.x>y
B.x=y
C.x<y
D.x,y 的关系随c 而定
考点二 不等式的基本性质
例2 (1)(多选)(2026·株洲模拟)已知a>b>0>c,则下列各选项正确的是( )
A.b
a<b−c
a−c
B. 1
a+c > 1
b+c
C.
a
b−c > b
a−c
D.a+c
b>b+c
a
(2)(多选)(2026·聊城联考)下列命题中的真命题是( )
A.若a>b>0,c∈R,则ac2>bc2
B.若a<b,则a3<b3
C.若c>a>b>0,则❑√
a
c−a>❑√
b
c−b
D.若ln(a+2)<ln(b+2),则1
a<1
b
【变式训练】2 (1)(多选)若1
a<1
b<0,则下列不等式正确的是( )
A. 1
a+b< 1
ab
B.|a|+b>0
C.a-1
a>b-1
b
D.ln a2>ln b2
(2)(2026·绵阳诊断)下列四个条件中,使a>b 成立的充要条件是( )
A.❑√a>❑√b
B.|a|>b
C.a2>b2
D.2a>2b
考点三 不等式性质的应用
例3 (1)(多选)(2026·大庆调研)已知1<x<6,2<y<3,则下列结论正确的是( )
A.3<x+2y<9
B.-1<x-y<3
C.2<xy<18
D.1
2<
x
y −1<6
(2)(2026·淮南段考)已知0<x+y<5,2<x-y<3,则z=2x-3y 的取值范围是( )
A.(−9
2 , 25
2 )
B.(−5
2 , 15
2 )
C.(
5
2 , 15
2 )
D.(−9
2 , 5
2)
【变式训练】3 (多选)(2026·西安调研)已知-2≤a+b≤4,2≤a-b≤6,则下列结论
正确的是( )
A.0≤a≤5
B.-4≤b≤1
C.-8≤3a+2b≤17
D.ab 的最大值为5
【限时训练】
（30 分钟）
一、单选题
1.若a=(x+1)(x+3),b=2(x+2)2,则下列结论正确的是( )
A.a>b
B.a<b
C.a≥b
D.a,b 的大小关系不确定
2.已知a,b∈R,若a>b,1
a<1
b同时成立,则( )
A.ab>0
B.ab<0
C.a+b>0
D.a+b<0
3.(2026·宁波九校联考)下列命题为真命题的是( )
A.若a<b<0,则a2<ab<b2
B.若a>b>0,则ac2>bc2
C.若1
a<1
b,则a>b
D.若a>b>c>0,则a
b>a+c
b+c
4.已知ab=1,M= 1
1+a+ 1
1+b,N= a
1+a+ b
1+b,则M 与N 的大小关系是( )
A.M>N
B.M<N
C.M=N
D.无法确定
5.(2026·北京海淀区模拟)实数a,b,c 在数轴上的位置如图所示,则下列不等式正确
的是( )
A.ab>c
B.abc>1
2
C.c+2b<a
D.a+c>2b
6.(2026·北京大兴统考)在一次调查中,某班甲、乙、丙、丁四名同学在社区服务
的月总时长之间有如下关系:甲、丙服务时长之和等于乙、丁服务时长之和,甲、
乙服务时长之和大于丙、丁服务时长之和,丁的服务时长大于乙、丙服务时长之
和,则这四名同学按照服务时长从大到小的顺序排列为( )
A.甲、丁、乙、丙
B.丁、甲、乙、丙
C.丁、乙、丙、甲
D.乙、甲、丙、丁
7.(2026·河南名校联考)若c>a>b>0,则下列不等式成立的是( )
A.abbc>acbb
B.2ln b>ln a+ln c
C.a-c
a>b-c
b
D.logac>logbc
二、多选题
8.已知实数x,y 满足-3<x+2y<2,-1<2x-y<4,则( )
A.-1<x<2
B.-2<y<1
C.-3<x+y<3
D.-1<x-y<3
9.(2026·南通部分学校联考)已知实数a,b 满足a>b2+1,则下列不等关系一定正确
的是( )
A.a>2b
B.a>2b+1
C.a>b-1
D.2a>b2-b+1
三、填空题
10.已知0<β<α<π
2 ,则α-β 的取值范围是 .
11.(2026·郑州调研)如果x<0,0<y<1,那么y
2
x , y
x ,1
x 的大小关系是 .
12.已知a>b>c,2a+b+c=0,则c
a的取值范围是 .
四、解答题
13.(1)设a>b>0,比较a
2−b
2
a
2+b
2 与a−b
a+b 的大小;
(2)已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证:
e
a−c >
e
b−d .
14.已知实数a,b 满足-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4.
(1)求实数a 的取值范围;
(2)求3a-2b 的取值范围.
