第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第2 节 常用逻辑用语
【高考预测】近三年常用逻辑用语在新高考卷中年均 1 题、5 分，属高频基
础考点：充分 / 必要条件每年必考（2024 甲卷、2023 新 Ⅰ 卷、2022 多
卷），常与函数、数列、不等式交汇；全称 / 存在量词命题的否定与真假判断
隔年考查（2024 新 Ⅱ 卷、2022 部分卷），以小题为主、难度偏低。预测
2027 年仍保持1 道选择题（5 分）的稳定格局，以充分必要条件判断为绝对
核心，搭配量词命题否定或真假辨析，载体聚焦函数性质、不等式、立体几
何、数列，强化逻辑推理与集合转化思想，稳中求新、侧重基础逻辑辨析与易
错点（如否定与否命题、充分必要颠倒）的考查。
【双基自测●明考向】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)至少有一个三角形的内角和为π 是全称量词命题.( )
(2)写全称量词命题的否定时,全称量词变为存在量词.( )
(3)当p 是q 的充分条件时,q 是p 的必要条件.( )
(4)若已知p:x>1 和q:x≥1,则p 是q 的充分不必要条件.( )
【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)√
【解析】(1)错误,至少有一个三角形的内角和为π 是存在量词命题.
2.(人教A 必修一P22 习题1.4T2 改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三
角形是等腰三角形”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”,但
反之不成立.
3.(人教A 必修一P30 例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是 .
【答案】任意一个偶数都不是素数
4.(人教B 必修一P28T4 改编)“∀x∈[a,+∞),x2≥1”是真命题,则实数a 的取值范
围是 .
【答案】[1,+∞)
【解析】∵x2≥1,即x≥1 或x≤-1,且原命题是真命题,∴a 的取值范围是a≥1.
【核心梳理●明考点】
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件
p 是q 的充分不必要条件
p⇒q 且q⇏ p
p 是q 的必要不充分条件
p⇏q 且q⇒p
p 是q 的充要条件
p⇔q
p 是q 的既不充分也不必要条件
p⇏q 且q⇏ p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用
符号“∀”表示.
(2)存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,
并用符号“∃”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M 中的任意一个x,有p(x)成立
存在M 中的元素x,p(x)成立
简记
∀ x ∈
M
, p ( x )
∃x∈M,p(x)
否定
∃x∈M, ¬p(x)
∀ x ∈
M
, ¬p ( x )
1.会区别A 是B 的充分不必要条件(A⇒B 且B⇏A),与A 的充分不必要条件是
B(B⇒A 且A⇏B)两者的不同.
2.p 是q 的充分不必要条件等价于¬q 是¬p 的充分不必要条件.
3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.
4.命题p 和¬p 的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难,可判断此命题的否定
的真假.
【考点突破●明方向】
考点一 充分、必要条件的判定
例1 (1)(2025·天津卷)设x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(多选)(2026·许昌调研)ab+b-a-1=0 的一个充分不必要条件可以是( )
A.a=-1
B.a=b
C.b=1
D.ab=1
【变式训练】1 (1)(2025·东北师大附中质检)已知p:1
x <1,q:x2+x-6>0,则p 是q 的(
)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(2026·广东部分学校联考)小明和小王从5 张编号为1~5 的卡牌中依次不放回
各抽取2 张,设甲:小明手中的2 张卡牌编号之和为3,乙:小王手中的2 张卡牌编号
均不小于3,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
考点二 充分、必要条件的应用
例2 (2026·秦皇岛模拟)已知λ>0,集合A={x|x2-5x-6<0},B={x|(x-λ)(x-2λ)<0},若
x∈A 是x∈B 的必要不充分条件,则λ 的取值范围为( )
A.(0,3)
B.(0,3]
C.(0,2)
D.(0,2]
【模型建构】求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间
的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
【变式训练】2 设命题p:(4x-3)2≤1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p 是¬q 的必
要不充分条件,则实数a 的取值范围是 .
考点三 全称量词与存在量词
角度1 含量词命题的否定及真假判断
例3 (1)(2025·湘豫名校联考二模)命题“∀x∈R,2-x+2x≥1”的否定是( )
A.∀x∈R,2-x+2x<1
B.∃x∈R,2-x+2x≥1
C.∀x∉R,2-x+2x<1
D.∃x∈R,2-x+2x<1
(2)(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x.则( )
A.p 和q 都是真命题
B. ¬p 和q 都是真命题
C.p 和¬q 都是真命题
D. ¬p 和¬q 都是真命题
角度2 含量词命题的应用
例4 已知p:∀x∈[-1,2],x2-2x+a<0;q:∃x∈R,x2-4x+a=0.若p 为假命题,q 为真命题,
则a 的取值范围为( )
A.[-3,4]
B.(-3,4]
C.(-∞,-3)
D.[4,+∞)
【变式训练】3 (1)(2026·辽宁名校联盟调研)已知命题p:∀x<0,x2+ 4
x
3≥4,命题
q:∃x>1,x-4
x <-3,则( )
A.p 和q 都是真命题
B. ¬p 和q 都是真命题
C. ¬p 和¬q 都是真命题
D.p 和¬q 都是真命题
(2)若命题“∃x∈R,x2+x-a=0”为假命题,则实数a 的取值范围为 .
【限时【变式训练】】
（30 分钟）
一、单选题
1.命题“∃x>0,sin x-x≤0”的否定为( )
A.∀x≤0,sin x-x>0
B.∃x>0,sin x-x≤0
C.∀x>0,sin x-x>0
D.∃x≤0,sin x-x>0
2.“x<0”是“❑√x
2=-x”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知命题:“∀x∈R,方程x2+4x+a=0 有解”是真命题,则实数a 的取值范围是(
)
A.a<4
B.a≤4
C.a>4
D.a≥4
4.(2026·四川名校联盟联考)已知命题p:∀x∈R,ex+e-x≥2,命题q:∃x∈(0,10),
❑√x(10−x)>5,则( )
A.命题p 与q 均为真命题
B.命题p 与¬q 均为真命题
C.命题¬p 与q 均为真命题
D.命题¬p 与¬q 均为真命题
5.(2026·威海模拟)已知1
a>1,命题q:∃x∈R,ax2+2ax+1≤0,则1
a>1 是¬q 成立的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知p:1
x >1,q:x>m,若p 是q 的充分条件,则实数m 的取值范围是( )
A.[0,+∞)
B.[1,+∞)
C.(-∞,0]
D.(-∞,1]
7.(2026·淮安质检)在△ABC 中,“A>B”是“cos A<cos B”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.(2026·佛山调研)已知平面α,β 和直线m,n,且α∩β=n,则“m⊥n”是“m⊥β”的(
)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
二、多选题
9.下列既是存在量词命题又是真命题的是( )
A.∃x∈R,|x|<0
B.∃x∈Z,cosπ
2 x=-1
C.至少有一个x∈Z,使x 能同时被3 和5 整除
D.每个平行四边形都是中心对称图形
10.下列说法正确的是( )
A.命题“∃x≥1,x2>1”的否定是“∀x<1,x2≤1”
B.“a>0 且Δ=b2-4ac≤0”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0 的解集为R”的充
要条件
C.“a>0”是“a>1”的必要不充分条件
D.已知a,b∈R,则“|a+b|=|a|+|b|”的充要条件是“ab>0”
11.(2026·温州模拟)下列选项中,与“1
x >1”互为充要条件的是( )
A.x<1
B.log0.5x2>log0.5x
C.3
x
2<3x
D.|x(x-1)|=x(1-x)
三、填空题
12.(2026·沈阳质测)“sin x=1”的一个充分不必要条件是 .
13.已知命题“∃x∈[-1,2],x2-3x+a>0”是假命题,则实数a 的取值范围是 .
14.已知集合P={y|y=x+a,-1<x≤2},Q={x|ln(2-x)<0},若x∈P 是x∈Q 的必要不充
分条件,则实数a 的取值范围为 .
