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综合检测卷 03 集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其
应用
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ，则集合 中元素的个数为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
【答案】C
【详解】若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ；
若 ，则 ；若 ，则 ；
所以 ，共 个元素.
2．曲线 在 处的切线经过点 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由 求导得 .
则 ， .
所以曲线 在 处的切线方程为 .
即 .
该切线经过点 ，则得 .
解得 .3．若 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知：一元二次方程 的两个根为 ，
因为 ，则 ，
所以不等式 的解集是 .
4．已知正数a，b，且 ，满足 ，则（ ）
A．a的取值范围是 B． 的最小值为2
C． 的最大值为 D． 的最小值为
【答案】D
【分析】由 得 ，利用基本不等式逐项验证即可求解.
【详解】由 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，即 的取值范围为 ，故A错误；
由 在 单调递增，所以 ，所以 无最小值，故B错误；
由 ，
当 时，即 时，等号成立，所以 的最小值为 ，故C错误；
由 ，当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 ，故D正确.
5．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则
，其中 表示环境温度， 称为半衰期．现有一杯 的咖啡放在 的房间中，如果咖啡降温到
大约需要20min，那么降温到 大约需要（ ）（参考数据； ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出半衰期 ，再根据指数，对数的运算性质及换底公式计算即可.
【详解】由题意可得 ，即 ，解得 .
设降温到 大约需要 ，则 ，即 ，
所以 ，
解得 ，所以大约需要 .
6．若函数 在区间 上存在减区间，则实数 的范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将函数存在减区间的问题转化为导数小于0的存在性问题，通过分离参数法，结合反比例函数的值域求
解参数范围.
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 .
函数 在区间 上存在减区间，
等价于存在 ，使得 成立，即 在 上有解.
当 时， ，
故 ，即实数 的取值范围是 .
7．已知函数 的定义域为 ，满足 且 ，则
（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2026
【答案】C
【分析】通过赋值法得到数列 是以2为周期的数列及 ，即可得解.
【详解】因为 ， ，
令 ，则 ，所以 ，得 ，
令 ，则 ，所以 ，得 ，
令 ，则 ，所以 ，得 ，
所以数列 是以2为周期的数列.
,
.
8．若函数 存在唯一极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由极值点的定义，将问题等价于导函数求零点，利用导数与函数单调性的关系，可得答案.
【详解】由 ，求导可得 ，由题意可得函数 存在唯一变号零点，则方程 存在唯一解，
即方程 存在唯一解，
令 ，求导可得 ，由 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
当 时， ，则 ，当 时， ，
易知当 ，即 时，方程 存在唯一解，
当 时， ，易知方程 的解为 ，
由当 时， ， ，则 ，同理可得当 时， ，
所以此时函数 无极值点，不符合题意；
当 时， ，易知函数 在 上单调递增，符合题意.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知关于 的一元二次不等式 的解集为 或 ，则（ ）
A． 且 B．
C．不等式 的解集为 D．不等式 的解集为
【答案】AC
【分析】根据一元二次不等式解集与方程的根的对应关系可得 ，即A正确，B错误，再代入解不等式可
判断C正确，D错误.【详解】由题意可知 ，则 ，
对于A，所以 且 ，故A正确，
对于B， ， 故B错误；
对于C，不等式 ，故C正确；
对于D，不等式 ，又 ，
可得 ，所以 或 ，故D错误.
故选：AC.
10．设函数 ， .则下列说法正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 在 处取得最小值
C．方程 有且仅有一个实根D．对任意 ，都有
【答案】ABC
【详解】函数 ，则 . 由于 ，所以 .
因此 . 故 是偶函数，A正确；
求导得 .当 时， ；当 时， . 所以 在 处取得最小值，
B正确；
方程 . 令 ，则 ，所以 ，即 .
由于 ，唯一解为 . 因此对应唯一实根 ，C正确；
当 时， ，而 . 因此当 足够大时， ，D错误.11．已知函数 ，其中 ，则下列说法正确的有（ ）
A．存在实数 使得 为 上的奇函数
B．若 为增函数，则 的取值范围为
C．对于任意实数 ， 的图象上都存在关于原点对称的点
D．若 ，则方程 有三个不同的实数根
【答案】BC
【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：分 和 两种情况，结合 恒成立运算求解；对于C：
令 ， ，结合零点存在性定理分析判断；对于D：分析可知函数 在定义域 内单调递
减，且值域为 ，即可判断结果.
【详解】对于选项A：因为 ，
即 ，可知 不为奇函数，故A错误；
对于选项B：若 为增函数，可知函数 连续不断，
当 时，则 ，可得 恒成立，
则 ，可得 ；
当 时，则 ，可得 恒成立，
则 ，可得 ；
综上所述： 的取值范围为 ，故B正确；
对于选项C：当 时，令 ，
因为 ， ，
可知函数 在 内存在零点，即方程 在 内有根，
所以对于任意实数 ， 的图象上都存在关于原点对称的点，故C正确；对于选项D：若 ，则有：
当 时，则 ，可得 恒成立，
可知函数 在 内单调递减，则 ，
且当x趋近于 时， 趋近于 ，所以函数 在 内的值域为 ；
当 时，则 ，可得 恒成立，
可知函数 在 内单调递减，则 ，
且当x趋近于 时， 趋近于 ，所以函数 在 内的值域为 ；
综上所述：函数 在定义域 内单调递减，且值域为 ，
所以方程 有且仅有1个实数根，故D错误.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
(5)
12．已知 是偶函数，且 ，当 时， ，则f 等于____.
2
【答案】
【分析】先求出函数的周期，再根据偶函数及已知条件求解即可.
【详解】因为 ，
所以函数的周期为 ，
又因为当 时， ，且 是偶函数，
(5) ( 1) (1) ( 1) ( 1) (3) 3 3
所以f =f 2+ =f =f − =f 2− =f =3− = .
2 2 2 2 2 2 2 2
13．点M是曲线 上的动点，则点M到直线 的距离的最小值为________．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义及点到线的距离计算.【详解】因 到直线的距离最小，故过 与直线 平行的直线与曲线 相切，
由题意可知： ,令 ，得
易得函数 在 单调递增，且 为零点.
此时点M的坐标为 .
此时M到直线的距离 ，
所以点M到直线 的距离的最小值为 .
14．若函数 在 处取得极大值，则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【分析】由题意得出 ，由此得出 ，于是得出 ，然后对实数 的取值进行分类讨
论，结合极大值点的定义进行验证即可.
【详解】因为 ，所以 ，
由题知 ，则 ，
令 可得 或 .
若 ，即当 时，
由 可得 或 ，由 可得 ，
此时，函数 在 、 上单调递增，在 上单调递减，
此时，函数 在 处取得极小值，不合乎题意；
若 ，即当 ，则 对任意的 恒成立，
此时，函数 在 上单调递增，无极值点；
若 ，即当 时，由 可得 或 ，由 可得 ，
此时，函数 在 、 上单调递增，在 上单调递减，
此时，函数 在 处取得极大值，合乎题意.
故实数 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．函数 ， ，
(1)当 时，若 ，求实数 的值；
(2)已知 ，且 ，求 的解集．
【答案】(1)
(2)当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；当 时，不
等式的解集为 .
【分析】（1）由 中对应项系数相等可得；
（2）由已知得 的关系，不等式化简后，根据 的大小分类讨论．
【详解】（1）当 时， ，
，
得 ， ；
（2） ， ， ，
由 可得 ，整理并代入 得 ，
即 ，
已知 ，若 ，即 时， 或 ，
若 ，即 时， ，
若 ，即 时， 或 ，
综上所述：当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
16．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性;
(2)当 时，讨论函数 的极值;
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）求导后令 得到 ，通过讨论 的大小关系来确定函数单调性；
（2）根据（1）确定的函数单调性来求极值.
【详解】（1） ,
令 ，得 ，注意 ，
当 ，即 时，
令 得 ，函数 单调递增，
令 得 ，函数 单调递减；当 ，即 时，
令 得 ，函数 单调递增，
令 得 或 ，函数 单调递减；
当 ，即 时，
令 得 ，函数 单调递增，
令 得 或 ，函数 单调递减；
当 ，即 时， 恒成立，函数 单调递减；
综上所述：
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递减；
（2）若 ，由（1）得
当 时，函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减，
的极小值为 ，
极大值为 ，
当 时，函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减；
的极小值为 ，极大值为 ，
当 时，函数 在 上单调递减，无极值.
17．已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求证：当 时， ；
(3)设 ，若 对 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)要证 ，即证 ．
又 ，即证 ．
1
设g(x)=ln(x+1)+ x2−x (x≥0)， ，
2
所以 在 上单调递增．
所以 ．所以
(3) ．
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）通过构造函数 ，利用导数求出 在 时的最小值即可；
（3）由函数 在 上是增函数，可得 ，构造 ，利用导数求出 的单调
性即可.
【详解】（1）因为 ，则 ，
所以 ， ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
（2）略.
（3）因为 ，所以当 时， 且 ，即 ，所以 在 上
是增函数，
因为 ， ，
若 对 恒成立，则 ，
设 ， ，
① 时，显然 ，所以 在 单调递增，
当 时， ，所以对任意 有 ，即 ，所以 符合题意．
②当 时，显然 ， ．
(
lnm)
(
lnm
)
0,− − ,+∞
m m
↘ 极小值 ↗
1 lnm
由上表知 ，(φ(t)) = + ．
min m m
依题意 ，所以 ．
综上可知 的取值范围为 ．
18．已知函数
(1)当 时，解不等式 ；
(2)设 ，若对 ，函数 在 的最大值和最小值之差不超过 ，求 的取值范围；(3)已知函数 只有一个零点，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或 或 .
【详解】（1）当 时， ，由 ，得 ，即 ，即 ，即
，所以 ，解得 或 ，
所以不等式的解集是 ；
（2）因为 在定义域上单调递减且 ，
所以 在区间 上的最大值是 ，最小值是 ，
依题意得 ，即 对 恒成立，
即 对 恒成立，
即 对 恒成立，
即 对 恒成立，
令 ，则 ，
当 ， ;当 ， ，所以 ，故 ，所以 的取值范围是 ；
（3）因为 只有一个零点，
所以方程 只有一个根，
所以 只有一个根，
整理得， ，
即 ，即 ，
①若 ，此时 ，代入真数 知真数大于0，符合题意；
②若 ，此时 ，代入真数 知真数大于0，符合题意；
③若 使得真数大于0， 使得真数小于等于0，即 时符合题意，此时 ；
④若 使得真数小于等于0， 使得真数大于0，即 时符合题意，此时无解．
综上所述， 的取值范围为 .
19．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)当 时，求函数 的极值；
(3)若 ，对任意两个不相等的正数 ， ，都有 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 或
(2)极大值为 ，极小值为(3)
【分析】（1）利用导数求出切点斜率后利用点斜式方程即可求出切线方程；
（2）把 代入方程后利用导数求出极值即可；
（3）利用导数可求得 单调性，从而将恒成立的不等式转化为 单调递减，进而得到
恒成立，采用分离变量法可求得结果．
【详解】（1）函数 的定义域为 ， ，
当 时， ， ，
，切线斜率 ，
故切线方程为 或 .
（2）当 时， ， ，
令 ，得 或 ，
时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增，
故函数 的极大值为 ，极小值为 .
（3） 的定义域为 ，
因 ，则 ，则 在 上单调递增，
设 ，则 ，
则由 得： ，令 ，则有 ，故 在 上单调递减，
故 在 上恒成立，即 ，
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
即 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，
，即实数 的取值范围为 ．
