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综合检测卷04 集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其
应用
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合
的子集的个数为（ ）
A．64
B．16
C．6
D．4
【答案】A
【分析】确定集合
，根据集合中元素的个数确定子集的个数.
【详解】由题意
且
，
的值可以为：
，所以
有6 个元素.
故集合
的子集有：
个.
2．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据分式不等式的解法求解.
【详解】由题意：
，则
，化简得：
等价于
，解得：
所以不等式的解集为
.
3．“函数
在区间
上单调递增”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据复合函数单调性求出
的范围后判断即可.
【详解】由复合函数单调性和对数函数定义域可知：
函数
在区间
上单调递增等价于
，即
，
故“函数
在区间
上单调递增”是“
”的充分不必要条件.
4．已知
是定义在
上的奇函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由奇函数的性质可知
，解得
.
5．已知函数
的导函数
的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．
在区间
上单调递增
B．
在区间
上单调递减
C．
在
处取得极小值
D．
在
处取得极大值
【答案】D
【分析】根据图象判断
的单调性和正负，再根据
的单调性与
的正负的关系判断
的单调性及
极值可得答案.
【详解】由图可知，
当
时，
，所以
在区间
上单调递减，故AC 错误；
根据图象，
在区间
上单调递增，B 错误；
在区间
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得极大值，D 正确；
故选：D.
6．若函数
存在单调递减区间，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】假设函数不存在单调递减区间，利用导数与单调性的关系可得
在
恒成立，可求得实数
的
取值范围，根据函数存在单调递减区间可求解.
【详解】函数
的定义域为
，
导函数
，
假设函数
不存在单调递减区间，则
在
恒成立，
即
在
恒成立，即
，
令
，因为
，所以
，
则函数
在
时取得最小值，最小值为
，
所以
，所以
，
根据题意，函数
存在单调递减区间，
所以
.
7．已知函数
，若函数
在
上存在最小值，则a 的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
当
，
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
因为
，函数
在
上存在最小值，
所以
，得
，
故a 的可能取值为
.
8．已知函数
是定义域为R 的奇函数，
，且当
时，
，则下列结论正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定信息，确定函数
的周期，再求出
在
上的解析式及单调性，再逐项分析判断.
【详解】函数
是定义域为R 的奇函数，由
，得
，
即
，
则
，函数
周期为4.
当
时，
，则
，
因此当
时，
，函数
在
上单调递增.
对于AB，
，而
，
则
，因此
，AB 错误；
对于C，
，
而
，因此
，C 错误；
对于D，
，
而
，因此
，D 正确.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．设
，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
的最小值为1
B．
恒成立
C．
，
恒成立
D．若
，
，且
，则
【答案】BCD
【分析】A 选项，对
变形后用基本不等式判断等号能否取到；B 选项，化简两个括号内的表达式，再整理乘
积，判断结果和0 的大小关系；C 选项，通分整理原式判断符号即可；D 选项，用基本不等式建立关于
的不等
式，再求解范围.
【详解】选项A：当
时，
，由基本不等式得
（当且仅当
时取等号），所
以
的最小值为
，故A 错误.
选项B：
，不等式恒成立，故B 正确.
选项C：对任意
，变形得：
，
故不等式恒成立，故C 正确.
选项D：
，由基本不等式
，代入
得：
（当且仅当
时取等号），令
，得
，
解得
（负根舍去），因此
，故D 正确.
10．设函数
，
.下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
在
上单调递减，在
上单调递增
D．
在
处取得最大值
【答案】ABC
【分析】根据题意，求得
，可判定A 正确；求得
，得到
的单调性和极值的定义，逐
项分析判断，即可求解.
【详解】对于A，由函数
，可得
，所以A 正确；
对于B，由
，所以B 正确；
对于C，由函数
，可得其定义域为
且
，
当
时，
；当
时，
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以C 正确；
对于D，由选项C 知，函数
在
处取得极小值，不是最大值，所以D 错误.
11．已知
为定义在
上的奇函数，
在
上单调递增，
，则下列说法正确
的是（ ）
A．
为奇函数
B．
的减区间为
C．
D．函数
的零点个数为8
【答案】AD
【分析】利用函数是奇函数得出周期和对称性，利用奇函数定义可判断A，结合单调性可判断B，结合周期性和对
称性可判断C，结合函数的简图可判断D.
【详解】因为
，所以
，
因为
为定义在
上的奇函数，所以
，
所以
，即
的一个周期为8.
对于A，因为
，且
为奇函数，所以
为奇函数，A 正确；
对于B，因为
在
上单调递增，且
为定义在
上的奇函数，
所以
在
上单调递增，即
在
上单调递增，
由
，可得
关于
对称，故
在
上单调递减，
因为
的周期为8，又由
知4 不是
的周期，
所以
的减区间为
，B 不正确；
对于C，由对称性可知，
，
，由
可得
，
所以
，
因为
的周期为8，所以
，
因为
，
，但
不确定，所以
不确定，C 不正确；
对于D，令
，可得
，则
的零点个数即
和
的图象公共点
个数，
分别作出两个函数的简图，由于
的最大值为2，
，所以两个图象公共点的个数为8，D
正确.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．条件“
”的一个必要不充分的条件是______（填上一个答案即可）．
【答案】
（答案不唯一，符合要求即可）
【详解】已知不等式
，由于 指数函数
是单调递减函数，因此不等式等价于
；
又由于对数函数
定义域为
，且本身是单调递增函数，因此原条件等价于：
.
必要不充分条件的定义为：若原条件为
，所求条件为
，满足
，但
，则
是
的必要不充分条件.
这里
，取
，可满足
，但
.
因此原条件的一个必要不充分条件是
.（答案不唯一，符合要求即可）
13．已知函数
在
处取得极小值，则
___________．
【答案】1
【分析】求导，令
，求出
的值，再将
的值代回
中，再根据
的符号判断
在
处是否
取得极小值即可得到答案．
【详解】由
，则
，
又
在
处取得极小值，则
，解得
或
，
当
时，
，
则若
时，
，此时
单调递增；若
时，
，此时
单调递减，
此时
在
处取得极大值，不满足条件；
当
时，
，
则若
时，
，此时
单调递减；若
时，
，此时
单调递增，
此时
在
处取得极小值，满足条件．
综上所述，
．
14．已知函数
在
上最大值为
，最小值为
，则
_________．
【答案】8
【详解】
，
设
，因为
，
所以
为奇函数，则
，
所以
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知a，b，
，关于x 的不等式
的解集为
或
(1)求函数
的零点；
(2)解关于x 的不等式
．
【答案】(1)1 和2
(2)答案见详解
【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，利用韦达定理可得
，令
求解即可；
（2）根据（1）的结果，不等式为
，分解因式后，讨论
的取值，解不等式.
【详解】（1）因为不等式
的解集为
或
，
可知
与
是方程
的两个实数根，且
，
则
，解得：
，
，
令
，解得
或
，
所以函数
的零点为1 和2.
（2）由（1）知不等式
即为
，即
，
①当
时，易得不等式的解集为
，
②当
时，不等式可化为
，不等式的解集为
或
．
③当
时，不等式可化为
，
当
，即
时，不等式的解集为
；
当
，即
时，不等式的解集为
；
当
，即
时，不等式的解集为
．
16．已知集合
，集合
或
．
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围；
(3)设
，
，若
是
的充分条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【分析】（1）当
时，求出集合
，利用补集和并集的定义可求得集合
；
（2）根据交集的运算可得出关于
的不等式组，即可解得实数
的取值范围；
（3）分析可知
，可得出关于实数
的不等式，解之即可.
【详解】（1）当
时，
或
，则
，
又因为
，故
.
（2）因为
，集合
或
，且
，
所以
，解得
，故实数
的取值范围是
.
（3）因为
是
的充分条件，则
，所以
或
，解得
或
，
因此实数
的取值范围是
或
.
17．已知函数
．
(1)求函数
在区间
上的值域；
(2)若方程
在区间
上有实数解，求实数
的取值范围；
(3)若存在
，使得不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据对数的运算法则，对
进行化简整理，利用换元法，结合二次函数的性质，即可得答案.
（2）令
，利用换元法，将所求转化为
在
上有实数解，根据对勾函数的性质，即可得答案.
（3）分析可得
，根据（1）得
的最大值，根据二次函数的性质，分别求
出对称轴
在各个区间内时函数的最值，综合分析，即可得答案.
【详解】（1）由题意
，
令
，由
，得
，
则
为开口向上，对称轴为
的抛物线，
所以
在
上单调递增，
所以当
时，
，
当
时，
，
所以函数
在区间
上的值域为
.
（2）令
，由
，得
，
方程
在区间
上有实数解，可化为
在
上有实数解，
即
在
上有实数解，
因为
，当且仅当
，即
时取等号，
根据对勾函数的性质可得
在
单调递减，在
上单调递增，
所以
，当
时，
，当
时，
，
所以
，则实数
的取值范围为
.
（3）由（1）得
在区间
上的值域为
，即
，
因为存在
，使得不等式
对任意
恒成立，
所以
，即
，
令
，由
，得
，
则
，
，为开口向上，对称轴为
的抛物线，
当
，即
时，
在
上单调递减，
所以
，解得
，此时
；
当
，即
时，
在
上单调递增，
所以
，解得
，此时无解；
当
，即
时，
在
单调递减，在
上单调递增，
所以
，解得
，此时
；
当
，即
时，
在
单调递减，在
上单调递增，
所以
，解得
，此时
；
综上，实数
的取值范围为
18．已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)记函数
，若
，存在两个相异的正实数
满足
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，点斜式即可求解；
（2）由
，要证
，只要证
，即证
，由
的单
调性知只要证
，结合
只要证
，移项作差构造函数即可求解．
【详解】（1）当
时，
．
所以切线的方程是
即
．
（2）可得
．
令
，得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减．
不妨设
，令
，
则
，
所以函数
在
上单调递增，从而
，
即
时，
恒成立．
而
，从而
，又
，
，函数
在
上单调递减．
，得
．
令
，则
，当
时
单调递增；
当
时
单调递减，所以
，即
，
由不等式
得
，
成立，所以
．
19．已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
与
恰有两个交点，求
的取值范围.
(3)当
时，
，求a 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）求导后构造函数
再次求导后可得；
（2）变形不等式后令
，问题转化为
有两个零点，求导分
和
两种情况结合零点
存在定理分析可得；
（3）当
时显然成立；当
时，分离参数可得
，构造函数求导结合隐零点分析最值即可.
【详解】（1）当
时，
，
，
令
，则
恒成立，
所以
在
单调递增，
又
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
（2）
，
令
，问题转化为
有两个零点，
求导
，
若
，则
，
单调递增，在
上至多有一个零点，不符合题意；
若
，令
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
，
由零点存在定理可得要使
有两个零点，则
，
当
时，
，
，则
；
当
，由指数爆炸模型可知
，
所以
的取值范围为
.
（3）当
时，
，即
，整理可得
，
当
时显然成立；
当
时，分离参数可得
，
令
，求
的最大值即可，
求导
，
令分子为
，
则
，
再令
，
则
，
所以当
时，
，则
单调递增；
当
时，
，则
单调递减，
又
，
故存在
，使得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
又
，
所以
时，
，即
，
单调递增；
时，
，即
，
单调递增，
所以
.
所以a 的取值范围为
.
