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第一章 集合、常用逻辑用语、不等式（单元测试）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【解析】因带量词的命题的否定为：改变量词，否定结论，
故命题“
，
”的否定是“
”.
2．已知集合
，
或
，则
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
【答案】A
【解析】
或
或
3．若
：直线与平面
有公共点，
：直线与平面
相交，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】根据
可知直线在平面
内或直线与平面
相交，
故
是
的必要不充分条件．
4．已知关于
的不等式
的解集为
，则关于
的不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】C
【解析】因关于
的不等式
的解集为
，
则
，即
，
则
，即
，
所以
，解得
或
．
5．设
，下列不等式不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，
，
，即
；
，得
，即
，故A 正确；
对于B，
，由均值不等式得
，即
，
，故B 正确；
对于C、D ，
，由均值不等式得
，
；
，即
，故C 错误，D 正确.
6．已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵
，
，
当且仅当
，即
，
时等号成立.
的取值范围是
.
7．设集合
若集合
且
，则满足条件的集合
的个数是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由集合
得
，
由集合
且
，得集合
中必有元素3，4 中的一个或两个，共有3 种选择方法，
集合
中可以有5，6，7 中的元素，共有8 种选择方法，
所以共有3×8=24个满足条件的集合
.
8．设
是均含有2 个元素的集合，且
，记
，则B 中元素个数的最小值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【解析】
，
，
与
的元素不同，则
元素个数为4，
若
中元素个数的最小值是4，则只能是
，
，与
矛盾，
若
从
中选择1 个元素，再加入一个新元素，这样
元素个数为5 个，
这5 个元素适当排列，得到
，
，
，
，
例如
，
，
，
取
，
，
，
，符合题意，
则
中元素个数的最小值是
，
故选：B．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．设集合
，
，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因为
，
，
所以
，
，
，
．
10．下列各结论中正确的是（ ）
A．“
”是“
”的充要条件
B．函数
的最小值为2
C．“
”是“
”的必要不充分条件
D．
是假命题，则实数a 的取值范围是
或
【答案】AD
【解析】对于A,
,故“
”是“
”的充要条件，A 正确，
对于B,
,当且仅当
取等号，但
无实数根，故等号取不到，
因此2 不是
的最小值，B 错误，
对于C，
是
的真子集,故“
”是“
”的充分不必要条件，C 错误，
对于D, 由于
是假命题，故
，则
或
，故D 正确.
11．已知正实数
满足：
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】对于A 选项， 因为
，
是正实数，所以
，则
，
又因为
，所以
，
故A 选项正确.
对于B 选项，根据基本不等式，
，
已知
，代入得
，
两边平方得
，即
。
等号成立当且仅当
，结合
，解得
，
，
故B 选项正确.
对于C 选项，
，
则因为
均为正实数，所以由基本不等式得
，
所以
，
故C 选项错误.
对于选项D，
由选项B 知
，所以
，
因此，
即
， 故D 选项错误.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．设集合
，
，若
，则
的值为________．
【答案】
【解析】由集合
，
，得
，
又因为
，则
或
，
当
时，
，
，
，
于是
，得
，因此
；
当
时，集合
，
，有
，则
，解得
与
矛盾，舍去.
因此
．
13．已知
均为正数，且
，则
的最小值为___________
【答案】2
【解析】因为
，所以
.
，当且仅当
时等号成立.
14．若实数
使得命题：“
，使得
，均有
”是假命题，则
的取
值范围是___________．
【答案】
【解析】由题意可知，原命题的否命题：“
，使得
”是真命题．
所以对任意实数，方程
都有实数解
．
故而
对任意固定的实数都有解．
即关于
的不等式
对任意固定的实数都有解．
对不等式
分情况讨论：
.
①若
,即
.当
时,不等式为
,对任意显然有解.
当
时,关于
的二次函数
开口向上,
其值域包含正数,故对任意,总存在
使得
.所以
符合题意.
.
②若
,即
.关于
的二次函数
开口向下,
其最大值为
.
要使不等式
对任意都有解,则需要其最大值对任意都非负,
即
对任意恒成立,这显然是不可能的.故
不符合题意.
因此，
的取值范围是
．
故答案为：
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130 人；同时
修数学、语文两门课的学生有48 人，同时修数学、外语两门课的学生有30 人，同时修语文、外语两门课
的学生有21 人；三门课全修的学生有5 人.问：
(1)该校共有多少学生？
(2)只修一门课的学生有多少？
(3)正好修两门课的学生有多少？
【解析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为
，
则
，
，
，
所以该校共有340 人.
（2）只修一门课的学生有
,
所以只修一门课的学生有251 人.
（3）正好修两门课的学生有
，
所以正好修两门课的学生有84 人.
16．（15 分）
某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5 米，底面积为100 平方米，且背面靠墙的长方体形状的
露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每
平方米320 元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160 元，地面以及其他报价共计9600 元.设劳动基
地的左、右两面墙的长度均为
（
）米，原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为
（
）元，若无
论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求
的取值
范围.
【解析】（1）设甲工程队的总报价为
元，
依题意，左、右两面墙的长度均为
（
）米，
则长方体前面新建墙体的长度为
米，
所以
，
即
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故当左面墙的长度为10 米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200 元.
（2）由题意可知，
，
即
对任意的
恒成立，
所以
，可得
，即
.
，
当且仅当
，即
时，
取最小值36.
所以
，即
的取值范围是
.
17．（15 分）
已知集合
，集合
，其中
．
(1)当
时，求
；
(2)若“
”是“
”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；
(3)设命题p：
，使得
．若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围．
【解析】（1）解不等式
，得
．
当
时，
，故
．
因此
．
（2）“
”是“
”的必要不充分条件
．
由题意得：
，列不等式组：
，解得
，
所以实数m 的取值范围为
．
（3）由
，解得
或
，
命题p 为真
或
，
即
或
得：
或
．
18．（17 分）
19 世纪，柯西在其著作《分析教程》中提出了著名的柯西不等式的雏形，在这个不等式的证明中带有
“配凑”的色彩.配凑好比一个工匠加工一块原材料，原材料（原表达式）形状不规则，而工匠的目标是把
它放进一个标准的模具（均值不等式的形式）里.为此，他需要“削”（拆项）“补”（添项）“打磨”
､
､
（调整系数），直到原材料严丝合缝地嵌入模具，从而得到一个完美的产品（最值）.
例如：1.求函数
的最小值.可作如下处理：
，当且仅当
时，等号成立.
2.已知
为正实数，且
，求
的最大值.可作如下处理：
，
当且仅当
且
，即
时，等号成立.
根据以上信息解决以下问题：
已知
.
(1)若
，证明：
.
(2)若
恒成立，求参数
的取值范围.
(3)若
，求
的最小值.
【解析】（1）由题意可得
,所以
,
当且仅当
即
时等号成立；
（2）因为
，根据基本不等式
,当且仅当
时等号成立，
若
恒成立，则
恒成立，因为
,
得到
,解得
或
,
故参数
的取值范围为
;
（3）题干条件可变形为
,而
,
注意到
,
当且仅当
时等号成立，故
,所以
,
即
的最小值为
.
19．（17 分）
设
是正整数，
是
的非空子集(至少有两个元素)，如果对于
中的任意两个元素
，
，都有
，则称集合
具有性质
.
(1)试判断集合
和
是否具有性质
，并说明理由.
(2)若
，证明：A 不可能具有性质
.
(3)若
，且
具有性质
和
，求
中元素个数的最大值.
【解析】（1）当
时，因为存在
，满足
，与对于A 中的任意两个元
素x，y，都有
，相矛盾，所以集合B 不具有性质
；
当
时，对于集合中任意两元素之差的绝对值共有以下
种情形：
因为这
种情形都满足
，所以集合C 具有性质
；
（2）将集合
中的元素分为如下11 个集合:
，
要从集合
中选取12 个元素，由于前9 个集合中，每个集合中的2 个元素之差的绝对值等于
3，不满足题意，所以前9 个集合中，每个集合最多选1 个元素，而最后2 个集合中各只有1 个元素，就算
必选，也才只有11 个元素，而题意中要选12 个元素，所以必有2 个元素取自前9 个集合中的同一集合，
这样就存在两个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以A 不可能具有性质
；
（3）先说明连续11 项中集合A 中最多选取5 项，以
为例.
按相差7 来构造抽屉
，按相差
来分类研究：
5
①，6，7 同时选，因为具有性质
和
，所以选5 则不选1，9，选6 则不选2，10，选7 则不
选3，11，则只剩4，8 可选，由于
，所以只能选其中1 个数，此时只能选5，6，7，4 或5，6，
7，8 共4 个元素，故
中属于集合A 的元素不超过5 个.
5
②，6，7 中选2 个，若只选5，6，则1，2，9，10，7 不可选，又
中只能选1 个元素，3，8 可
以选(4 与8 不能同时选)，若选
，最多
全选，也才是5 个元素，故
中属于集合A 的元素不
超过5 个.
若选5，7，则只能从2，4，8，10 中选，但4，8 不能同时选，故
中属于集合A 的元素不超
过5 个.
若选6，7，则2，3，10，11，5 不可选，又
中只能选1 个元素，4，9 可以选，故
中属
于集合A 的元素不超过5 个.
5
③，6，7 中选0 个或只选1 个，又四个集合
每个集合至多选1 个元素，故
中属于集合A 的元素不超过5 个.
由上述①②③可知，连续11 项自然数中属于集合A 的元素至多只有5 个，如取
，
因为
，则把每11 个连续自然数分组，前21 组每组至多选取5 项.
从232 开始，最后10 个数至多选取5 项，故集合A 的元素最多有
个.
给出如下选取方法:从
中选取
，然后在这5 个数的基础上每次累加11，构造21 次.
此时集合A 中的元素为
，共有110 个元素，
经检验可得该集合符合要求.故集合A 中的元素最多有110 个.
