文档文本内容
综合检测卷01 集合、常用逻辑用语、不等式、函数
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
所以
．
2．设
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
，利用指数函数
的单调性比较a，b，再与“1”比较即可.
【详解】
，
．
因为指数函数
单调递增，且
，
所以
．
又
，
．
所以
．
故选：B.
3．已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
.
因为
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，即
，当且仅当
时，等号成立.
4．函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得
为奇函数，再结合
，即可得到答案.
【详解】由函数
，可得其定义域为
，关于原点对称，
且满足
，
所以函数
为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D 选项；
又由
，可排除C 选项，所以选项A 符合题意.
5．已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
时，有
，即
，解得
；
当
时，有
，即
，解得
.
综上，不等式
的解集为
.
6．“
”是“函数
值域为
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】若函数
的值域为
，则函数
与
轴有交点，列出不等式求解出
的
范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解．
【详解】若函数
的值域为
，则函数
的图象与
轴有交点，
所以
，则
或
，
“
”是“
或
”的充分不必要条件.
7．某疾控中心采用荧光定量PCR 法检测病毒核酸，在PCR 扩增的指数时期，靶标DNA 数量
与扩增次数
满
足：
，其中
为DNA 初始数量，
为扩增效率
.已知某标本扩增12 次后，DNA
数量变为原来的200 倍；若要使DNA 数量达到初始值的
倍，则至少需要扩增的次数约为（ ）（参考数据：
）
A．20 次
B．25 次
C．26 次
D．27 次
【答案】D
【分析】由条件列方程求
，由题意
，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计
算可得．
【详解】由题意知，当
时，
，代入
，
得
，
整理得：
，也就有
，
将
代入
，
得
，
整理得：
，
故
，但由于扩增次数
必须为整数，
故至少需要27 次扩增，即
.
8．设函数
，则使得
成立的
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】探讨函数
的奇偶性和单调性，再借助性质求解不等式即可.
【详解】函数
的定义域为R，
因为
，所以
是偶函数，
因为函数
，
在
上单调递增，
因此函数
在
上单调递增，
若
，则
，得
，解得
或
，
所以
的取值范围为
.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知
，下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，且
，则
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】选项B 通过举出反例来说明其错误，选项A、C、D 利用不等式的性质来说明其正确．
【详解】选项A：
，所以
，所以
，故
，故A 正确；
选项B：当
时，
，故B 错误；
对于C：因为
，所以
同号，故
时，
，故C 正确；
对于D：由糖水不等式
，所以
，故D 正确．
10．已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
，则有（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
【答案】ACD
【分析】由题意得到函数
图象关于直线
对称，关于
中心对称，可判断B；得到周期为
，可判断
C；根据周期性和对称性可判断A；求出
，结合周期性可判断D.
【详解】因为
为偶函数，则
，即
，
所以函数
图象关于直线
对称，
又因为
，由
可化为
，
所以函数
图象关于
中心对称，故B 错误；
易知
，又
，所以
，
故函数
的周期为
，故
，故C 正确；
又
，故A 正确；
易知
，
，故
，
，故D 正确.
故选：ACD.
11．已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
有3 个实数根
C．若
有8 个实数根，则
D．若
有4 个实数根，从小到大分别为
，则
【答案】ACD
【分析】直接计算，根据自变量范围进行取舍即得判断AB；设
，结合图象，将问题转化为方程
在
上有两个相异实根的问题，利用一元二次方程的根的分布列出不等式组计算即得参数范围
判断C；则需要作出函数
的图象，利用函数与方程的关系，结合函数的对称性和图象变换，由双勾函数的单
调性即可判断D.
【详解】对于A，由题意，
，故A 正确；
对于B，当
时，由
，可得
，
解得
，因
，故得
；
当
时，由
可得
，或
，
解得
或
，故
有x＝－2±
，
共四个实数根，故B 错误；
对于C，设
，则方程
，即
，
由图知，要使原方程有8 个实数根，需使
有两个相异实根
，
且
，
，设
，
依题意，需使
，
解得
，故C 正确；
对于D，作出函数
的图象，由
时，
≤5，
且
，可知当
时，直线
与函数
有两个交点；
又由
时，
，
当
时，直线
与函数
均有两个交点，故由
有4 个实数根可得，
，
由图知，
，
则
，解得
＝4，又由
解得
，
由
解得x＝1，则有
，于是
，
因函数
在
单调递减，故
，
则
，故D 正确.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知
，
且
，则
的最小值为_____________．
【答案】
/
【详解】因为
，
即
①，
当且仅当
，即
时取等号，结合
解得
，
，
又
，等量替换不等式①中的
，得
，
解不等式得
，或
，
已知
，
，则
，
故
的最小值为
．
13．已知函数
，若函数
的最大值为1，则
________.
【答案】
【分析】根据分段函数单调性求出函数在不同区间内
的范围，然后结合函数单调性和存在最大值求解.
【详解】由
在
上是增函数，可得
在
上的最大值为
.
由
在
上是减函数，可得在
上
.
①若
，即
，此时
，但该值无法取到，故函数无最大值，与题设矛盾；
②若
，即
，此时在
上的最大值大于，不符合要求；
③若
，即
，此时
在
上的最大值为1，在
上满足
，
符合题意，故
.
14．已知函数
．若关于
的方程
有两个不同的实数解，则满足条件的一个
的值是_____．
【答案】
（满足
即可）
【分析】通过分类讨论去掉绝对值，将方程转化为二次方程，分析不同区间内根的个数，结合
恒为解，得到
的取值范围，然后任选一个值即可.
【详解】函数
定义域为
，
对于方程
，当
时恒成立，因此
是一个解.
再考虑
的情况，
当
时，方程化为
，即
，
对于方程
，
当
，方程无解；
当
，
，
，即方程在
仅有一解；
当
时，
，方程无解；
当
时，即
，此时
，
，
即方程有两个负根（
时，两负根相等），此时方程在
无解．
当
且
时，方程化为
，即
．
对于方程
，
当
，方程无解；
当
，
，
，即方程在
仅有一解；
当
时，
，方程无解；
当
时，
，此时
，
方程有两个负根（
时，两负根相等）；
综上所述，当
，方程
在
无解，在
仅有一解，由于
是一个解，符合题意； 当
方程在
仅有一解，在
无解，由于
是一个解，符合题意，所以
，所以满足条
件的
可以是
．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．集合
，若命题
；命题
，若
是
的
充分条件，求实数
的取值范围．
【答案】
【分析】根据
是
的充分条件，得到
，然后分情况讨论确定实数
的取值范围.
【详解】由题意，
.
是
的充分条件，
.
①当
时，此时
，解得
，符合题意.
②当
时：
若
为单元素集，则
，解得
，此时
，符合题意.
若
为双元素集，则
,
则有
，此时无解.
综上，实数
的取值范围为
．
16．
年中购物节，某快递公司将一批冷鲜产品用冷藏汽车从甲地运往相距
公里处的乙地，司机工资为每
小时
元，装卸费为
元，假设车辆运输过程中燃油消耗取决于速度：当速度为
公里/小时（注
公里/小
时）时，单位距离的燃油消耗为
升/公里，燃油价格为每升元．假设汽车匀速行驶，且不计其他成本．运
输的总费用＝司机工资+装卸费+燃油成本．
(1)当运输的总费用不超过
元时，求汽车行驶速度的范围；
(2)若要使运输的总费用最小，则汽车应以多少公里/小时的速度行驶？
【答案】(1)
；
(2)
公里/小时.
【分析】（1）通过建立总费用函数并求解不等式即可；
（2）利用基本不等式计算即可得出．
【详解】（1）已知司机工资为每小时
元，行驶时间为
小时，所以司机工资为
元，
装卸费为
元，
燃油成本为单位距离燃油消耗×距离×燃油价格，即
元，
则运输总费用
，
化简可得
，（
），
由
，可得
，
移项得到
，即
，
两边同时乘以
得到
，
移项化为标准二次函数形式
，
两边同时除以
得
，
因式分解得
，则有
或
，
第一种情况
，即
，无解，
第二种情况
，即
，结合
，可得
；
（2）由（1）得，汽车运输的总费用与汽车行驶速度的关系为
（
），
则根据基本不等式，可得
，
则
，
当且仅当
时，等号成立，
解方程
，
，解得
（公里/小时），
因为
，符合条件．
所以要使运输的总费用最小，则汽车应以
公里/小时的速度行驶.
17．已知函数
是定义在
上的偶函数，且当
时，
．
(1)求函数
在
上的解析式；
(2)若对任意
，不等式
恒成立，求实数的取值范围；
(3)设
，若
在
上有且仅有4 个不同的零点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令
，则
，根据函数为偶函数求出
上的函数解析式即可；
（2）令
，则只需要
即可，易得
为偶函数，则只需求出函数
在
上的最大值即可；
（3）易得
为偶函数，则函数
在
上有且仅有2 个不同的零点，分离参数可得
，
构造函数
，利用双勾函数的性质作出函数
的图象即可.
【详解】（1）因为函数
是定义在
上的偶函数，所以
，
令
，则
，则
，
所以
；
（2）对任意
，不等式
恒成立，
等价于对任意
，不等式
恒成立，
令
，则只需要
即可，
因为
，
所以函数
为偶函数，
则要求函数
在
上的最大值，只需求出函数
在
上的最大值即可，
当
时，
，
则
，
所以
；
（3）因为
，
所以函数
为偶函数，
又
，
在
上有且仅有4 个不同的零点，
所以函数
在
上有且仅有2 个不同的零点，
当
时，
，
令
，分离参数可得
，
令
，
则函数
与
有两个不同的交点，
由双勾函数的性质可得，函数
在
上递减，在
上递增，
所以
，
又当
时，
，
，
如图，做出函数
的大致图象，
由图可知，
，解得
，
所以
.
18．已知幂函数
为偶函数.
(1)求
的解析式；
(2)若
在区间
上单调，求实数
的取值范围.
(3)求不等式
的解集；
【答案】(1)
(2)
或
(3)答案见解析
【分析】（1）根据幂函数的定义以及偶函数性质分析求解即可；
（2）分析可知
在
上单调，结合二次函数性质分析求解；
（3）整理可得
，分类讨论，结合一元二次不等式运算求解.
【详解】（1）由
为幂函数，得
，解得
或
，
时，
为奇函数，舍去；
时，
为偶函数，符合题意，
所以
.
（2）函数
在
上单调，
则有
或
，解得
或
，
所以实数
的取值范围是
或
.
（3）原不等式
，即
，
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
.
19．已知函数
，
(1)当
时，求
在
上的值域；
(2)若对于定义域内的任意实数
，都有
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若函数
在区间
内单调递减，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先化简
，利用对勾函数的性质求其值域.
（2）将
化为分段函数后分类讨论，分别分离参数
求解.
（3）先根据函数
的性质缩小
的取值范围，然后根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】（1）当
时，
.
当
时，
，
则
，当
，即
时等号成立，
即
在
上的值域为
．
（2）
.
当
时，由
，得
，
因为
，所以
，所以
，所以
．
当
时，由
，
法一：当
时，由
，
得
，
令
，
，
则
，
由对勾函数的性质，可知
，
，即
．
综上所述，实数
的取值范围
．
法二：令
，
，则不等式化为
，
由上述分析可知，只需考虑
时的情况：
当
时，有
在
上恒成立；
当
时，则
，故
在
时恒成立．
综上所述，实数
的取值范围
．
（3）当
时，
，因为当
时，
，
所以
在区间
内必须恒大于等于0，且单调递减，
所以
，解得
．
当
时，
．
令
，
，则
，
且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
故只需
，即
.
故实数
的取值范围为
．
