第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第4 节 基本不等式
【高考预测】近三年高考数学基本不等式考查频次高且分布稳定，既有单独
小题直接考查最值、取值范围、配凑求值，也常在函数、数列、解析几何、实
际应用大题中作为核心工具隐性渗透，高频集中在一正二定三相等条件判断、
拆项配凑、常数代换、双变量最值及含参最值问题，常与函数值域、恒成立问
题交汇出题。预测 2027 年基本不等式仍为高考高频必考点，小题侧重代数式
最值、范围求解与等号成立条件辨析，大题持续融入导数最值、数列求和、几
何最值、实际应用题中，强化多变量配凑、整体代换、分类讨论思想，侧重考
查灵活变形能力、条件把控意识与综合应用求解能力。
【双基自测●明考向】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)不等式ab≤(
a+b
2 )
2
与a+b
2 ≥❑√ab成立的条件是相同的.( )
(2)函数y=x+1
x 的最小值是2.( )
(3)函数y=sin x+ 4
sin x ,x∈(0, π
2)的最小值是4.( )
(4)“x>0 且y>0”是“ y
x + x
y ≥2”的充要条件.( )
2.(苏教必修一P58 例2 改编)已知x>1,则x+
1
x−1的最小值为 .
3.(人教A 必修一P58T5 改编)若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab 的最小值为 .
4.(北师大必修一P28 实例分析)把一段长为16 cm 的细铁丝弯成一个矩形,当矩形
的长为 cm,宽为 cm 时,面积最大.
【核心梳理●明考点】
1.基本不等式:❑√ab≤a+b
2
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a = b 时取等号.
(3)其中a+b
2 叫做正数a,b 的算术平均数,❑√ab叫做正数a,b 的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2+b2≥2 ab
(a,b∈R),当且仅当a=b 时取等号.
(2)ab≤(
a+b
2 )
2
(a,b∈R),当且仅当a=b 时取等号.
3.利用基本不等式求最值
(1)已知x,y 都是正数,如果积xy 等于定值P,那么当x=y 时,和x+y 有最小值2❑√P.
(2)已知x,y 都是正数,如果和x+y 等于定值S,那么当x=y 时,积xy 有最大值1
4S 2 .
1.ab≤(
a+b
2 )
2
≤a
2+b
2
2
.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.
2.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,
则一定要保证它们等号成立的条件一致.
【考点突破●明方向】
考点一 利用基本不等式求最值
角度1 配凑法
例1 (1)已知0<x<2,则❑√
x(1−x
2)的最大值为 .
(2)函数f(x)=18−5 x
2 x−x
2 (0<x<2)的最小值为 .
角度2 常数代换法
例2 (2026·安徽师大附中模拟)已知x>0,y>0,2x+y=2,则1
x + 2
y 的最小值为( )
A.4
B.2
C.❑√2
D.1
2
角度3 消元法
例3 (2026·福州调研)已知5m2n2+n4=1,则m2+n2的最小值为( )
A.
❑√6
3
B.❑√6
C.4
5
D.5
4
角度4 齐次化法
例4 已知x>0,y>0,x+2y=1,则( x +1)( y +1)
xy
的最小值为 .
【变式训练】1 (1)(2025·金华调考)若a>0,b>0,且a+2b=ab,则2a+b 的最小值为(
)
A.6
B.9
C.4
D.8
(2)函数f(x)=4x+ 9
x +1,x∈(-1,+∞)的最小值为( )
A.6
B.8
C.10
D.12
考点二 利用基本不等式求参数值或范围
例5 (2026·运城质检)已知x,y,a>0,且x+4 y
x + a
2
xy ≥8 恒成立,则a 的取值范围是
.
【变式训练】2 (1)若对于任意的x>0,不等式x
2+3 x +1
x
≥a 恒成立,则实数a 的取
值范围为( )
A.[5,+∞)
B.(5,+∞)
C.(-∞,5]
D.(-∞,5)
(2)已知x>0,y>0,且2
x + 1
y =1,若2x+y<m2-8m 有解,则实数m 的取值范围为 .
考点三 利用基本不等式解决实际问题
例6 某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池,其平
面图如图所示.每个育苗池的底面面积为200 m2,深度为2 m,育苗池的四周均设计
为2 m 宽的甬路.设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20),甬路的面积为S
m2.
(1)求S 与x 之间的函数关系式;
(2)已知育苗池四壁的造价为200 元/m2,池底的造价为600 元/m2,甬路的造价为
100 元/m2,若不考虑其他费用,求x 为何值时,总造价最低,并求最低总造价.
【变式训练】3 (2025·长沙模拟)快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物
分拣中心.假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比,每月的
货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比.经测算,如果在距离货运枢纽
10 km 处配建分拣中心,则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2 万元和8
万元.要使得两项成本之和最小,分拣中心和货运枢纽的距离应设置为( )
A.5 km
B.6 km
C.7 km
D.8 km
基本不等式链
若a>0,b>0,则
2
1
a + 1
b
≤❑√ab≤a+b
2 ≤❑√
a
2+b
2
2
.其中
2
1
a + 1
b
和❑√
a
2+b
2
2
分别叫做a,b 的
调和平均数和平方平均数.可根据题目需要选择合适的形式.
【典例】 (多选)设正实数a,b 满足a+b=1,则( )
A.❑√ab有最大值1
2
B.
1
a+2b+
1
2a+b有最小值3
C.a2+b2有最小值1
2
D.❑√a+❑√b有最大值❑√2
【限时训练】
（30 分钟）
一、单选题
1.若x>0,则函数y= x
2+ x +25
x
的最小值为( )
A.6
B.7
C.10
D.11
2.(2026·重庆段测)已知m>1,n>1,lg m=logn 100,则mn 的最小值为( )
A.10
❑√2
B.10 2❑√2
C.104
D.100
3.设a>0,若关于x 的不等式x+a
x ≥6 对x∈(0,+∞)恒成立,则a 的最小值是( )
A.1
B.4
C.9
D.16
4.函数f(x)=x2+
3
x
2+2的最小值是( )
A.2❑√3-2
B.1
C.3
2
D.2
5.(2026·杭州部分学校联考)已知x+y=1
x + 4
y +8(x,y>0),则x+y 的最小值为( )
A.5❑√3
B.9
C.4+❑√26
D.10
6.已知x>0,y>0,x+y=1,则2 x
2+ x +1
xy
的最小值为( )
A.7
B.14
3
C.❑√2+2
D.2❑√2+1
7.(2026·济宁模拟)若a>0>b,且a-b=2,则1
a+1-1
b的最小值为( )
A.2
3
B.4
3
C.3
D.4
二、多选题
8.(2026·南通调研)下列函数中最小值为4 的是( )
A.y=ln x+ 4
ln x
B.y=2x+22-x
C.y=4|sin x|+
1
|sin x|
D.y= x
2+5
❑√x
2+1
9.(2026·山东省实验中学诊断)已知x,y 是正数,且2x+y=1,则下列叙述正确的是(
)
A.xy 的最大值为1
8
B.4x2+y2的最小值为1
2
C.❑√2 x+❑√y的最小值为❑√2
D.2
x + 1
y 的最小值为9
三、填空题
10.已知正数x,y 满足x+y=1,若不等式1
x + 4
y >m 对任意正数x,y 恒成立,则实数m 的
取值范围为 .
11.设双曲线x
2
a
2- y
2
a
2+1=1(a>0)的离心率为e,则e2+a2的最小值为 .
12.(2026·天津部分重点校联考)已知a>b>0, 6
a+b+
2
a−b=1,则3a-b 的最小值为
.
四、解答题
13.已知x>0,y>0,x+2y+xy=30,求:
(1)xy 的最大值;
(2)2x+y 的最小值.
14.某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3 m,底面为24 m2,且
背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的背面靠墙,无需建造费用,
甲工程队给出的报价为屋子前面新建墙体的报价为每平方米400 元,左、右两面
新建墙体报价为每平方米300 元,屋顶和地面以及其他报价共计14 400 元.设屋子
的左、右两面墙的长度为x m(3≤x≤6).
(1)当左、右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?并求出最低报价;
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为
1 800a(1+ x)
x
元(a>0),若无论左、右两面墙的长度为多少,乙工程队都能竞标成
功,试求a 的取值范
