初中数学解题技巧——怎样进行因式分解之整式解题:换元法

换元法是整式高阶化简核心方法，填空压轴、复杂代数式化简、公式嵌套题型中会经常出现。

解决式子重复、结构臃肿、展开繁琐的难题，是整体思想的进阶版本

当同一个复杂多项式结构在式子中多次重复出现时，直接展开计算量大、极易出错，如果用新字母替代重复复杂结构，简化算式、统一模型，运算完成后再代回原式，就能实现 “化繁为简”

将式子中反复出现、结构复杂的整体，设为新的辅助变量，简化书写与运算。本质是整体思想的进阶包装，不改变式子的值，只简化式子结构，方便套用平方差、完全平方等公式。

• 同一个多项式片段在式子里多次重复出现

• 直接展开会出现高次项，计算繁琐

• 多层括号嵌套，直接去括号容易符号出错

1. 观察：找到式子中重复出现的相同复杂结构；

2. 设元：令新字母等于该整体；

3. 化简：把原式换成含新字母的式子，套用乘法公式运算；

4. 回代：算出结果后，把新元换回原来的多项式；

5. 整理：化简得到最终结果。

• 换元计算结束后忘记代回原变量，最终结果保留新设字母；

• 设元时漏看括号，替换后结构不等价；

• 换元过程中符号、系数抄写错误。

1、计算(a+b+1)(a+b-1)

【解析】

将a+b看作整体换元，转化为平方差公式，简化计算

【答案】

解：设m = a+b，则原式= (m+1)(m-1) = m² - 1

代回m = a+b 

原式 = (a+b)² - 1 = a² + 2ab + b² - 1

2、(x+2)(x+3)+(x+2)(x-1)

【解析】

重复出现(x+2)，设元简化提取公因式。

【答案】

解：设m=x+2

原式=m(x+3)+m(x-1)=m[(x+3)+(x-1)]=m(2x+2)

回代m=x+2

原式=(x+2)(2x+2)=2(x+2)(x+1)=2x²+6x+4

3、(1+2+……+2026)(2+3+……+2027)-(1+2+……+2027)(2+3+……+2026)

【解析】

式子里面反复出现长串求和算式，把重复的一整块设为 A、B，展开时AB这一整块直接消去，大幅简化计算

【答案】

解：令2+3+……+2026=A

2+3+……+2027=B

则原式=(1+A)B-(1+B)A=B+AB-A-AB=B-A=2027

4、345678² - 345677×345679

【解析】

式子里面反复出现大数，把中间数设为A，展开后A²整块直接消去，不用计算超大数字。

【答案】

解：

令 345678=A

则 345677=A-1，345679=A+1

原式=A²-(A-1)(A+1)=A²-(A²-1)=A²-A²+1=1