周中八年级专题练习第一周基础解析

1．如图，在三角形纸片ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，将三角形纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若EF⊥AC，∠BDF＝68°，则∠A的度数为（　　）

A．68°B．72°C．79°D．82°

【分析】由折叠的性质求出∠AED，∠ADE的度数，由垂线的定义和平角的定义得到∠AEF＝90°，最后根据三角形内角和定理即可得到答案．

【解答】解：∵∠BDF＝68°，

由折叠的性质可得∠ADE＝∠FDE（180°﹣∠BDF）（180°﹣68°）＝56°，

∵EF⊥AC，

∴∠AEF＝90°，

由折叠的性质可得∠AED＝∠FED∠AEF＝45°，

∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝79°．

故选：C．

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．

2．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，则∠BOC的度数是（　　）

A．105°B．115°C．125°D．130°

【分析】根据角平分线的性质和三角形的内角和定理得出∠OBC+∠OCB＝65°，然后再利用三角形内角和定理进行求解即可．

【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，

∴（角平分线的定义），

∴

∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°，

则∠BOC的度数是115°，

故选：B．

【点评】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质．

3．如图，在△ABC中，∠C＝70°，F在AB延长线上，∠CAB的角平分线与∠CBF的角平分线交于点E，则∠E的度数为（　　）

A．30°B．35°C．40°D．45°

【分析】由∠CAB的角平分线与∠CBF的角平分线交于点E，得∠BAE∠CAB，∠EBF∠CBF，则∠E＝∠EBF﹣∠BAE（∠CBF﹣∠CAB）∠C＝35°，于是得到问题的答案．

【解答】解：∵在△ABC中，F在AB延长线上，

∴∠E＝∠EBF﹣∠BAE，∠C＝∠CBF﹣∠CAB，

∵∠CAB的角平分线与∠CBF的角平分线交于点E，

∴∠BAE∠CAB，∠EBF∠CBF，

∴∠E＝∠EBF﹣∠BAE（∠CBF﹣∠CAB）∠C，

∵∠C＝70°，

∴∠E70°＝35°，

故选：B．

【点评】此题重点考查角平分线的定义、三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键．

4．如图，AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝80°，∠CAE＝30°，则∠DAE的度数为（　　）

A．10°B．12°C．15°D．20°

【分析】由角平分线定义求出∠CAD＝40°，再根据∠CAE＝30°，利用∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE即可求得结论．

【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝80°，

∴（角平分线的定义），

∵∠CAE＝30°，

∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝40°﹣30°＝10°．

故选：A．

【点评】本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理，关键是相关性质和定理的熟练掌握．

5．如图，点D，E分别在线段AC，BC上，连接AE，BD交于点F．若∠A＝23°，∠B＝47°，∠C＝42°，则∠AFD的度数为（　　）

A．65°B．68°C．70°D．89°

【分析】利用三角形内角和为180°可求出∠AEC＝115°，再由三角形外角定理求出∠BFE＝68°，根据对顶角性质即可求解．

【解答】解：∵∠A＝23°，∠C＝42°，

∴∠AEC＝115°，

∵∠AEC＝∠B+∠BFE，∠B＝47°，

∴∠BFE＝115°﹣47°＝68°，

∵∠AFD和∠BFE为对顶角，

∴∠AFD＝68°，

则∠AFD的度数为68°，

故选：B．

【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．

6．如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点，若∠B+∠C＝60°，∠D＝70°，则∠1+∠2的度数为（　　）

A．50°B．60°C．65°D．70°

【分析】连接EF，利用三角形的内角和定理结合整体思想即可解决问题．

【解答】解：如图，连接EF，

∵∠B+∠C＝60°，

∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝120°，

∴∠AEF+∠AFE＝180°﹣∠A＝60°．

∵∠D＝70°，

∴∠DEF+∠DFE＝180°﹣∠D＝110°，

∵∠1+∠AEF＝∠DEF，∠2+∠AFE＝∠DFE，

∴∠1+∠2＝∠DEF+∠DFE﹣（∠AEF+∠AFE）＝110°﹣60°＝50°．

故选：A．

【点评】本题考查三角形内角和定理，熟知三角形的内角和定理及巧用整体思想是解题的关键．

7．如图，AD是△ABC角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC＝60°，∠C＝70°，则∠EOD的度数为（　　）

A．20°B．30°C．10°D．15°

【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠B，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．

【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠C＝70°，

∴∠B＝180°﹣60°﹣70°＝50°．

又∵AD是∠BAC的角平分线，

∴

∴∠ADE＝30°+50°＝80°，

又∵OE⊥BC，

∴∠EOD＝90°﹣80°＝10°．

故选：C．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义，关键是掌握三角形内角和定理的应用．

8．如图，三角形ABC中D，E为AB，AC上的两点，若∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，则∠A的度数为　40°　 ．

【分析】根据三角形内角和定理得∠1+∠2＝180°﹣∠A，∠3+∠4＝180°﹣∠A，再代入∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，可得答案．

【解答】解：在△ADE中，∠1+∠2＝180°﹣∠A，

在△ABC中，∠3+∠4＝180°﹣∠A，

由条件可知180°﹣∠A+180°﹣∠A＝280°，

∴∠A的度数为40°．

故答案为：40°．

【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握：三角形的内角和为180°．

9．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于　50°　 ．

【分析】连接BC．设DC与BE交于点F，由三角形内角定理求出∠1+∠2＝50°．再由三角形内角和定理和对顶角相等即可求出∠D+∠E＝∠1+∠2＝50°．

【解答】解：如图，连接BC．设DC与BE交于点F，

∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°，

∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°，

∵∠D+∠E+∠DFE＝180°，∠1+∠2+∠BFC＝180°，∠BFC＝∠DFE，

∴180°﹣∠DFE＝180°﹣∠BFC，

∴∠D+∠E＝∠1+∠2＝50°，

即∠D+∠E等于50°，

故答案为：50°．

【点评】此题考查了三角形内角和定理，对顶角、邻补角，关键是三角形内角和定理的熟练掌握．

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠DBC与∠ECB是△ABC的两个外角，BF平分∠DBC，交∠ECB的平分线于点F，联结AF，交BC于点G．若∠ABC＝50°，则∠AGC＝ 　70　 °．

【分析】过点F作FM⊥AD于点M，FN⊥AE于点N，FP⊥BC于点P，先求出∠BAC＝40°，根据角平分线的性质得FM＝FP，FN＝FP，由此得FM＝FN，进而得AF是∠BAC的平分线，则∠BAF＝120°，再根据三角形外角性质得∠AGC＝∠ABC+∠BAF＝70°．

【解答】解：过点F作FM⊥AD于点M，FN⊥AE于点N，FP⊥BC于点P，如图所示：

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝50°，

∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝40°，

∵BF平分∠DBC，交∠ECB的平分线于点F，

∴FM＝FP，FN＝FP，

∴FM＝FN，

∵点F在∠BAC的内部，

∴点F在∠BAC的平分线上，

∴AF是∠BAC的平分线，

∴∠BAFBAC＝20°，

∵AGC是△ABG的外角，

∴∠AGC＝∠ABC+∠BAF＝50°+20°＝70°．

故答案为：70．

【点评】此题主要考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的性质，三角形外角的性质是解决问题的关键．

11．如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D₁，∠ABD₁与∠ACD₁的平分线交于D₂…依次类推，∠ABD₃与∠ACD₃角平分线交于点D₄，则∠BD₄C的度数为 　30°　 ．

【分析】根据题目信息，利用角平分线的性质得出，以此类推

，的度数，依次类推即可求得∠BD₄C的度数了．

【解答】解：∵∠A＝20°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，

∴∠ABC+∠ACB＝160°，

∵BD₁平分∠ABC，CD₁平分∠ACB，

∴

∵BD₂平分∠ABD_1，CD2平分∠ACD_1，

∴

同理可得

∴

∴∠BCD+∠CBD＝160°﹣10°＝150°，

∴∠BDC＝180﹣∠BCD﹣∠CBD＝30°，

故答案为：30°．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．

12．如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A．

（1）求证：△ACB为直角三角形；

（2）若∠ACB的平分线CE交AB于点E，CD⊥AB于点D，∠B＝60°，求∠DCE的度数．

【分析】（1）由三角形内角和定理得到∠ACD+∠BCD＝90°，因∠ACB＝90°，即可证明△ACB为直角三角形；

（2）求出∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，由角平分线的定义求出∠ECB∠ACB＝45°，即可求出∠DCE的度数．

【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A，

∴∠ACD+∠BCD＝∠B+∠A，

∵∠A+∠B+∠ACD+∠BCD＝180°，

∴2（∠ACD+∠BCD）＝180°，

∴∠ACD+∠BCD＝90°，

∴∠ACB＝90°，

∴△ACB为直角三角形；

（2）解：∵CD⊥AB，

∴∠CDB＝90°，

∵∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ECB∠ACB＝45°，

∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝45°﹣30°＝15°．

【点评】本题考查直角三角形的性质，关键是掌握有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．

13．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究：

（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝62°，则∠BPC＝　121　 °．

（2）如图2，△ABC的内角、∠ACB的平分线与△ABC的外角、∠ABD的平分线交于点E，其中∠A＝58°，求∠BEC的度数．

（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，其中∠A＝α．求∠BQC＝ （用α表示）．

【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得∠ABC+∠ACB＝118°，再根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可求解；

（2）根据三角形的外角的性质，可得∠ABD﹣∠ACB＝58°，再根据角平分线的定义，可得，即可求解；

（3）根据外角的性质和三角形内角和定理，易得∠CBM+∠BCN＝180°+α，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可得到．

【解答】解：（1）∵∠A＝62°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣62°＝118°，

∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，

∴

∴

∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣59°＝121°，

故答案为：121；

（2）∵∠ABD＝∠A+∠ACB，∠A＝58°，

∴∠ABD﹣∠ACB＝58°，

∵∠ACB的平分线与∠ABD的平分线交于点E，

∴

∴

∵∠EBD＝∠BEC+∠ECB，

∴∠BEC＝∠EBD﹣∠ECB＝29°；

（3）∵∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠A＝α，

∴∠CBM+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+α，

∵∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，

∴

∴

故答案为：．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，熟记以上知识点是解题的关键．

14．如图1，凹四边形ABDC形似圆规，这样的四边形称为“规形”．

模型探究

（1）如图1，在规形ABDC中，请探究∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系，并说明理由．

实践应用

（2）应用（1）中探究的结论解决下列问题：

①如图2，在规形ABDC中，∠ABD与∠ACD的角平分线BE、CE交于点E，若∠BDC＝145°，∠A＝85°，则∠BEC的度数是 　115　 °；

②如图3，在规形ABDC中，若∠BAC、∠BDC的角平分线AE、DE交于点E，且∠B＞∠C，试探究∠E、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）连接AD，并延长到点E，知∠3＝∠1+∠B、∠4＝∠2+∠C，相加可得∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，据此可得答案；

（2）由（1）得∠ABD+∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝60°，根据BE平分∠ABD、CE平分∠ACD得∠ABE+∠ACE＝30°，由∠BEC＝∠A+∠ABE+∠ACE可得答案；

（3）由（1）知∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，根据角平分线知∠3∠BDC（∠BAC+∠B+∠C），结合∠E＝∠5﹣∠3、∠5＝∠1+∠B，根据∠E＝∠1+∠B﹣∠3可得答案．

【解答】解：（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，

理由：如图1，连接AD，并延长到点E，

则∠3＝∠1+∠B、∠4＝∠2+∠C，

∴∠3+∠4＝∠1+∠2+∠B+∠C，

即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；

（2）由（1）知∠ABD+∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝60°，

∵BE平分∠ABD、CE平分∠ACD，

∴∠ABD＝2∠ABE、∠ACD＝2∠ACE，

∴2（∠ABE+∠ACE）＝60°，

∴∠ABE+∠ACE＝30°，

则∠BEC＝∠A+∠ABE+∠ACE＝145°﹣30°＝115°；

故答案为：115；

（3）∠E∠B∠C，

理由：如图3，

由（1）知∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，

∵DE平分∠BDC，

∴∠3∠BDC（∠BAC+∠B+∠C），

∵AE平分∠BAC，

∴∠1∠BAC，

∵∠E＝∠5﹣∠3，∠5＝∠1+∠B，

∴∠E＝∠1+∠B﹣∠3

∠BAC+∠BBDC

∠BAC+∠B（∠BAC+∠B+∠C）

∠B∠C，

即∠E∠B∠C．

【点评】本题考查的是四边形的综合问题及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．