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重磅!高中数学重难点|多元递推式组的解法研究(之二)(学霸都在用)
二元递推方程组的求解方法
本篇：（二）特征方程法
接上篇。
Ⅴ．特征方程法（即不动点法）
对于
（ 为常数且 ）……(Ⅰ) 型齐次线性递推数列问题，我们可以将两式相除，得 ，
将右边分式的分子分母同除以 ，得 ，令 ，则 ，
原递推方程组转化为递推式 ，它的特征方程为 ．这个方程由递推方程组的系数唯一确定，因此，我们称方程
为递推方程组的特征方程！
设 、 是特征方程 ……(*)的两个根，下面我们分方程 (*) 有两个不等实根、两个相等实根、两个虚根三种情形进行探讨．并且每种情形都给出一至两道例题，以帮助师生们理解吃透．
1．特征方程(*)有两个不等实根 、
若 ，且 ，
对于 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列；
同理， 是以 为首项， 为公比的等比数列，
从而得到数列 、 的通项，再用消元法可解得数列 、 的通项．
例6．【2025年·辽宁阜新三月月考】 已知数列 ， 满足
哦且 ，．（1）求证： 和 均为等比数列；（2）求 、 通项公式；（3）求 的前 项和 ．
解：（1） 特征方程 ，解得：，；
；
．
数列 和 均为等比数列；
（2）由（1）知
是以 为首项，3 为公比的等比数列，，
是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，．
联立解得 ，．
（3）．
2．特征方程(*)有两个相等实根
设 ，则数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，可求出通项 ．
另一方面，由递推关系得 ，令 ，所以 ．我们可以得到数列 是以 为公差的等差数列，证明如下：
是方程 的等根，由根与系数的关系，得 ，，
于是 ，
数列 是以 为公差的等差数列．
因此，我们就可求出数列 的通项 ．联立两个关系式，易解得通项 ，．
例7．【2024·湖南邵阳一中高三周测】 已知数列 ， 满足
且 ，．求 、 的通项公式．
解：，解得：；
故 ，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列；
是以 为首项，3 为公比的等比数列，
3．特征方程(*)有两个虚根
设 ，（），那么数列 、 分别是以 、 为首项，、 为公比的等比数列，从而得到数列 、 的通项，再结合德摩弗（De Moivre）公式，利用消元法解得数列 、 的通项．
例8．【2025·河南信阳高中高三快速训练】 已知数列 ， 满足 ，，且
求 和 ．
解：由递推式易得特征方程为 ，即 ，解得特征根为 ，，
所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，于是
数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
联立解得 ，．
对于含常数项的非齐次二元递推数列
……(Ⅱ)，其中的 都是常数，且 不等于零，这样的递推公式求解数列通项，也可以使用特征根法，但是首先需要利用待定系数法消除常数项 和 ，也就是要形成下列方程式：
且其中的 也均为常数，在经过整理后与原递推方程进行比较，得出 ，即
代入原递推方程，消去常数项，得到
再按(Ⅰ)型递推方程求解即可．
例9．【2024·湖南衡阳高中高三周测】 已知数列 ， 中，，，且满足二元递推关系：
（），求数列 、 的通项公式．
解：首先要消除常数项，也就是求出：
将此式整理，与原递推方程比较系数，求得 ，，，．
将其代入到原递推方程中进行全面的整理，可以得到
其中 ．其特征方程为
它的两根分别为 ，，
Ⅵ．母函数法
未完待续，第三篇将介绍母函数法与四道应用举例。
