指向学生自我调节的小学数学数量关系教学策略探究

作者信息

顾文亚

 江苏省无锡市张泾实验小学数学教师。无锡市学科带头人、无锡市优秀教育工作者、江苏省优秀青年教师、江苏省教科研先进个人，主要从事小学数学教学工作。曾获江苏省“蓝天杯”小学数学教师会课一等奖，无锡市小学数学优质课评比一等奖。

摘   要：数学是研究数量关系和空间形式的科学，数量关系在数学教学中占有重要的地位。《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出，数量关系的教学要引导学生在真实的情境中发现、分析和表达数量关系，并运用常见的数量关系解决实际问题。落实这一要求，学生需主动将具体经验上升为抽象模型，这一过程依赖于其对自身认知活动的计划、监控与调节。基于自我调节学习理论，分析现状、展开实践，形成教学策略，助力学生在数量关系学习中发展元认知能力。

关键词：数量关系教学；小学数学；自我调节思维；信息识别能力

引用格式：顾文亚. 指向学生自我调节的小学数学数量关系教学策略探究[J]. 教学与管理，2026（29）：43-48.

数量关系是小学数学学习的重要内容，也是学生解决实际问题的重要基础。曹培英指出，就小学数学而言，问题解决一直是“教学难度大、学生出错多”的领域，也是课程改革持续关注的重点[1]。从2001年课程改革提出培养学生分析问题和解决问题的能力，到《义务教育数学课程标准（2022年版）》将“常见的数量关系”“式与方程”“用字母表示数”“正比例、反比例”“探索规律”等内容统整为“数量关系”主题[2]，数量关系教学的要求也在不断深化。教学不仅要使学生掌握常见的数量关系，还要引导学生经历从具体情境中发现关系、表达关系、建立模型，并运用模型解决实际问题的过程。

但在实际学习中，学生对数量关系的理解并非自然发生。面对具体问题，有的学生习惯寻找关键词、套用固定算式；有的能够正确列式，却说不清数量之间的联系；还有的在熟悉的问题中能够顺利解答，稍作变化便无从下手。这些现象说明，数量关系学习不仅需要教师教给学生分析问题的方法，还需要学生主动审视自己的学习过程：解决问题前能够明确目标、选择方法，解决过程中能够检查思路、及时调整，解决问题后能够回顾和反思。由此，自我调节成为学生由“会做一道题”走向“会分析一类问题”的重要支撑。

基于此，本文尝试从自我调节学习的视角重新审视小学数学数量关系教学，结合教学实践分析学生数量关系学习中存在的问题，并从学习过程入手探索相应的教学策略，引导学生逐步学会计划、监控、调整和反思，提升数量关系学习与问题解决的能力。

一、小学数学数量关系教学内容的进阶特征

在小学阶段，教材以整数、小数和分数的运算为主线，数量关系的教学总体上与四则运算相随相伴。结合苏教版教材，对小学各年级数量关系教学内容进行梳理（见表1）。

从教材编排来看，小学数量关系教学并不是题型和运算步骤的简单累加，而是经历了由运算意义理解到数量关系建构、再到关系模型抽象的逐步发展。低年级的问题大多依托具体情境，学生主要借助加、减、乘、除的意义理解数量之间的基本联系；进入中年级，问题条件增多、关系结构趋于复合，学生需要运用图示、算式等方式表征关系，并对多步解题路径进行规划；到高年级，字母、比和比例等内容进一步推动学生从具体数量走向一般关系，要求其能够选择适当的模型解释和解决问题。由此可见，教材内容的进阶不仅表现为运算步骤和知识范围的扩展，更表现为学生认知活动由直观感知向结构分析和模型抽象的转变。

这种认知要求的变化，对学生学习过程中的自我调节提出了逐步提高的要求。面对简单问题，学生可以在教师提示下识别已知量和未知量；面对复合问题，则需要主动选择表征工具、监控解题路径，并在发现图示、算式与题意不一致时及时调整；面对具有迁移性的复杂问题，还需要反思方法的适用条件，提炼不同情境中不变的关系结构。因此，数量关系教学不能只沿着“增加题型、熟练运算”的路径展开，还应同步培养学生对自身认知过程的观察、判断与反思能力。

但教材所呈现的知识进阶，并不意味着学生的认知调节能力会自然同步发展。当学生缺少对解题过程的主动监控时，就可能在具体学习中表现为只关注数字而忽视关系、只记忆公式而不能辨认变式、只满足于获得答案而不能理解结构。由此，有必要进一步考察学生在数量关系学习中的典型问题。

二、数量关系教学中学生的常见问题表征

以“数量关系”为核心的问题解决贯穿小学三个学段：第一学段，在简单生活情境中运用数和数的运算解决问题，结合四则运算的意义理解数量关系；第二学段，在具体问题情境中，借助加法或乘法表示数量之间的关系，建立加法模型和乘法模型，这是对第一学段四则运算意义的抽象；第三学段，运用数量关系模型解决问题，并运用字母表示数量关系，进一步解决较复杂的问题[3]。教材在构建数量关系教学内容时，兼顾了三条主要编排线索，即四则运算线索、数量关系线索和学生思维特点的线索，遵循由浅入深、螺旋上升的原则。然而，小学生的思维正处于从具体形象向抽象逻辑过渡的关键期，其思维特点和教材的编排线索之间还是有一些落差，他们在数量关系学习中的困难，主要表现为以下三个方面。

数量关系的学习是对数量间内在联系的深度建构。上述现象表明，学生在信息识别、关系表征与模型转化等环节存在认知障碍。基于此，尝试从认知归因的角度，审视学生在数量关系学习中的典型问题。

认知灵活性理论指出，学习者要通过多种方式同时建构自己的知识以便在情境发生根本变化的时候能够作出适宜的反应，认知灵活性相当于我们所说的活学活用[5]。落实到本研究中，解题策略是学生在理解数量关系的前提下，根据具体问题情境灵活选择、组织与调整操作路径的动态决策过程。有效的策略判断应包含两个层面：一是辨识问题所属的基本类别，调动与之相关的程序性知识，对“大致可以怎么算”形成初步预判；二是分析该情境中数量关系的具体结构，确定该算法是否适用、是否需要调整，实现对“为什么这样算”的深层把握。因此，这一阶段的指导重点是引导学生将策略选择的关注点从“用什么方法”转向“为什么用这个方法”。

四、指向学生自我调节的数量关系教学策略

美国心理学家阿尔伯特·班杜拉提出的自我调节学习理论（Self-Regulated Learning，简称SRL），聚焦个体通过内在认知过程主动调控思想、情感和行为的能力，强调人类行为的形成并非被动依赖外部奖惩，而是通过自我观察、判断与反应三个动态过程实现自主调节。理论的核心框架涵盖三个递进机制：自我观察（感知自身行为与标准）、自我判断（评估行为与目标的匹配度）及自我反应（调整情感与行为）。

数量关系学习中，学生“见数不见关系”“套用公式”“求解与结构脱节”等现象的根源在于，学生始终以外部指令组织认知活动，而非以内部理解调控学习进程。指向自我调节的教学，正是要将学生从“被动解题者”转变为“主动认知管理者”。在数量关系学习中，自我调节具体作用于三个环节：一是调节注意力，从“看数”转向“看关系”，使自我观察有对象；二是调节判断力，从“套用公式”转向“结构辨析”，使自我决策有依据；三是调节评价标准，从“答案导向”转向“关系验证”，使自我反思有方向。“画出来、比出来、省出来”构成可操作的实践路径：画出来，借助直观让隐藏的关系变得可见，启动自我观察；比出来，在变式中辨析结构，驱动自我判断；省出来，以关系为尺度反观认知过程，激活自我反应。三步层层递进，推动学生从被动学习走向主动学习（如图1）。

1.画出来：用可视化工具解构数量关系，启动自我观察

数量关系对小学生而言，是隐藏在文字后面的“看不见的联系”。“画”策略的设计要凸显可视化工具的认知支架属性，使其成为解构抽象数量关系的有效载体，经由一系列画图操作推进理解进程。此类策略一般包含两个彼此关联的认知环节：第一阶段“画关系结构”，引导学生从文字中剥离出关键数量，边画边问、边问边调，使“看不见的联系”在空间关系中得到清晰呈现；第二阶段“画路径规划”，引导学生将已表征的关系结构转化为流程图，形成清晰的逻辑链条。两个阶段双向互通，螺旋递进，共同推动学生从“看见数字”走向“看见关系”。

（1）画关系结构：用图示表征数量之间的内在关联

这一阶段的“画数学”，是指学生在数学学习过程中，在语言、文字所提供的材料基础上，运用感知觉和表象，将抽象的数学概念、数学规律、较复杂的数量关系等通过形象的图示、表格等看得见的形式表示出来，从而对数学学习对象有比较形象、直观、整体的认识和理解[7]。

如“倍数关系”一课，教材中常见的标准题型为“小明有8颗糖，小华的糖是小明的3倍，小华有多少颗？”学生套用“一倍数×倍数=几倍数”即可解决。但当遇到变式“小明有8颗糖，比小华的3倍少4颗，小华有多少颗？”时，自我调节能力不足的学生往往直接列式8×3-4=20。此时，教师引导学生画出关系结构图。画图的过程迫使学生对文字进行反复咀嚼：“谁的3倍？”“比谁的3倍少4颗？”“少的4颗应该画在哪里？”……在这一图示表征操作中，学生不得不暂停程序执行的冲动，启动对自身理解的监控：“我画得出来吗？画出来的各部分与题意的对应关系成立吗？”当发现画出的图示与8×3-4矛盾时，便主动退回到信息识别阶段重新建构关系，从而避免了错误程序的盲目执行。

（2）画路径规划：用流程图呈现解题逻辑链条

这一阶段的“画数学”，是指学生在完成关系结构图示、初步理清数量之间内在关联的基础上，将解题的思维路径以流程图、步骤框图或箭头串联的推理链条等形式外显化，从而对“先求什么、再求什么、每一步解决什么关系缺口”形成清晰的路线图。

上述“小明有8颗糖，比小华的3倍少4颗，小华有多少颗？”一题，当学生通过关系结构图厘清了“小华的糖数→3倍→少4颗→小明的8颗”这一逆向关系链后，教师进一步引导其将这一理解转化为解题的逻辑流程：先求小华糖数的3倍是多少（即“几倍数”），再反向推算小华的糖数。流程图中的每一步都对应一个明确的数量关系目标：第一步“小华糖数×3”指向“3倍量”，第二步“-4”指向“比3倍少4颗”，第三步“=8”完成与已知量的对等锚定。绘图过程中，学生需要追问自己“我已知终点，该如何倒推起点？”“先算加还是先算减？为什么？”……当发现流程图中的箭头指向与运算顺序相悖时，学生便调用元认知监控，主动调整路径设计。

国外关于有效教学的研究指出“鉴别相似性和相异性的心理操作是人类思维的基础，确实可以把他们当作所有学习的核心”。有研究表明，影响学生成绩的多种教学策略中，“鉴别相似性和相异性”的“平均效应值”位居第一。所谓的“鉴别相似性和相异性”，恰恰是我国小学数学最常用的“比较异同”教学策略，也是学生数学理解的重要表现之一[8]。比较异同一般分为两个维度：同中辨异，即在形似的问题中识别本质差异；异中寻优，即在同一问题的多种解法中权衡选择。

（1）比同中之异：通过变式识别数量关系的本质结构

问题解决教学的重要目标之一，是帮助学生掌握数量关系。教师可将相似情境或相近结构的题目并置呈现，通过比较、对照、辨析等方式，识别不同问题情境中数量关系的本质特征与变式规律，从而在变化的表象中把握不变的结构，实现对数量关系从“表层识别”走向“深层理解”的认知跃升。

以“常见的加法数量关系（总量=分量+分量）”教学为例。教师呈现两道问题：第一题，停车场原来有7辆车，又开来5辆，现在有多少辆？第二题，停车场原来有7辆车，开走一些后还剩5辆，开走了几辆？表面上，两题都涉及“7”和“5”两个数，在学生初步列式解答之后，教师将两题并排呈现并追问“两道题分别用什么方法？为什么？”，引导学生观察两题的不同之处：第一题已知两个分量、求总量，用的是加法；第二题已知总量和一个分量、求另一个分量，虽然情节也是“合与分”，但运算恰好相反。此阶段的任务不仅是展示变式，更要引导学生围绕“变的是什么、不变的是什么、我凭什么做出判断”展开讨论，在比较中使自我判断从教师的外部提问逐步内化为学生面对新问题时的自觉思考习惯。

（2）比异中之优：通过策略比较优化数量关系的表征路径

比异中之优，将同一问题的多种表征方式并置呈现，通过比较、评估、遴选等方式，识别不同图示或符号在表达数量关系时的清晰度、准确度与概括力等方面的优劣差异，从而在多样的表征中寻求最能揭示关系本质的表达形式，实现对数量关系从“有形可依”走向“善表达意”的认知进阶。

以“常见的加法数量关系（总量=分量+分量）”教学为例。自主表征时，不同学生可能采取不同的表征方式：有的学生画出实物图，用圆圈代替车辆画出合并过程；有的学生画出线段图，用两段拼接的线段表示“7辆与5辆合起来”；有的学生直接摘取信息列出“7+5=12”。此时，教师将三种表征方式同时展示，并引导学生比较：“这三种方式都能表示出‘总量=分量+分量’的关系吗？”“哪一种能让人一眼就看清楚‘总量’在哪里、‘分量’在哪里？”“如果题目中的数据从‘7辆和5辆’变成‘70辆和50辆’，实物图、线段图、算式哪一种还能清晰表达？”“要概括‘总量=分量+分量’这个规律，用哪一种方式最合适？”在对比中，学生从“只关注自己画了什么”转向“审视不同表征的表达力与迁移性”，“什么样的表征能揭示关系的本质？什么样的图示能伴随我解决更多同类问题？”这一“比较—评估—优化”的过程，使学生从“随意表征”走向“自觉选择最优表征”。

反思性思维（Reflective Thinking，也译作“反省思维”）由美国著名哲学家、教育家约翰·杜威（John Dewey）系统提出并引入教育领域。他强调这种思维源于对“不确定”的困惑，是一种有意识、自愿的努力。他倡导培养学生高层次的思维能力，帮助其脱离冲动和惯性思维的束缚[9]。具体而言，就是引导学生在解题后围绕两个递进层面展开反思性评价：对照路径图复盘操作序列，标记顺利通过与卡顿犹豫的节点，反思解题过程；追问“这道题怎么做、为什么这么做、怎么会想到这种方法的”，通过聚焦不变关系实现思维迁移。

（1）省解题历程：通过回顾与归因复盘思维过程

学生在完成问题求解之后，对自身的解题思维轨迹进行回溯、梳理与归因分析，将内隐的、稍纵即逝的思维过程转化为可以审视、评判与修正的认知对象，从而在“回头看”中获得对自身认知优势与不足的清晰觉知，实现从“模糊应对”到“清晰驾驭”的元认知跃升。

在数量关系学习中，这一反思环节尤为重要。由于数量关系的抽象性与结构性，求得结果后学生很少再回头审视“我是怎么到这里的”。这一环节，教师要引导学生重走一遍来时的路。以“倍数关系”变式题“小明有8颗糖，比小华的3倍少4颗，小华有多少颗？”为例。教师提问：“回头看，你是沿着一条怎样的路径找到答案的？先做了什么？再做了什么？”学生可能回答：“我先画了线段图，先画小华的，再画3倍，然后减掉4颗。”教师继续追问：“每一步分别帮你解决了什么问题？”这时学生将自己隐性的思维路线拆解开来。原来自己并非“一下就想到了”，而是经历了“先锁定‘比谁的3倍’→确定把谁设为标准量→再把‘少4颗’安放到图示的正确位置→最后确定用‘倒推’还是‘正推’”的完整路径。这一回顾让学生第一次清晰地看见：解题是沿着一条有逻辑顺序的路走过来的，而不是“碰巧算对了”。但路途并非一帆风顺。教师接着追问：“途中遇到了什么困难？哪个地方让你觉得卡住了？”学生可能回忆：“一开始我直接想列8×3-4，但画图的时候发现画不出来，如果小明是8颗，‘比小华的3倍少4颗’这句话我找不到地方放。”这个“画不出来”的瞬间，恰恰是最值得被审视的认知节点。教师追问：“当时脑子里冒出了什么念头？是继续硬算，还是做了什么别的？”学生说：“我停下来了，重新读了一遍题，再画图。”这里的回顾和梳理的过程就是自我监控的雏形。

（2）省结构本质：通过聚焦不变关系实现思维迁移

贾德的“概括化理论”指出，迁移发生的条件并非两种情境具有共同要素，而是学习者能够形成对原理、原则的概括化理解。“省结构本质”是帮助学生完成这一概括化的关键环节，学生在完成一类问题的多次求解之后，对蕴含其中的数量关系结构进行提炼与概括，将具体情境中获得的解题经验上升为具有普适性的关系模型，从而在“去情境化”的审视中获得对数量关系本质的深刻把握，实现从“解出一道题”到“通解一类题”的认知升华。

仍以“倍数关系”变式题为例。在上述环节基础上，教师进一步将问题抛出：“现在回头看，这道题和前面那道题‘小明有8颗糖，小华的糖是小明的3倍’有什么相同的地方？又有什么不同的地方？”学生可能回答：“都是倍数问题，都是说谁是谁的几倍。不同的地方是，第一题直接告诉我们小华是小明的多少倍，求小明；变式题也告诉我们小明有多少颗糖，但需要先加4，再除以3，求出小华的糖数。”教师追问：“这两道题，不变的是什么？”此时，学生需要跳出具体数字和顺逆方向，聚焦于关系的底层，即都是围绕“一个量×倍数±修正量=另一个量”这个核心关系展开的，变的是“已知谁、求谁”以及“有没有修正项”。教师再进一步追问：“如果题目变成‘小华有10颗糖，小明比小华的3倍多5颗，小明有多少颗糖’，你会做吗？它的结构和刚才哪道题相似，有何相同和不同？”学生需要完成一次“结构迁移”，将新问题归入已提炼的关系模型中。通过这一“去情境—提结构—促迁移”的反思过程，学生实现了数学认知从“经验积累”向“概念建构”的关键跃升。

数量关系的学习，不仅仅是一个知识学习的过程，更是学生认知不断调节、发展的过程。本研究对小学数量关系教学中“辨不清关系”“认不出变式”“悟不透结构”三层困难进行了认知归因，并据此提出“画出来—比出来—省出来”三条教学策略，构建“计划—监控—判断—反思”的循环路径，以促进学生自我调节能力的发展。研究尚存局限，如策略的有效性有待实证检验，对教师专业能力的依赖及非认知因素的关注亦显不足。未来研究将着力于实证验证、分层实施与技术赋能，推动数量关系教学从经验走向实证。