高中数学|椭圆焦点弦定值题:设线联立韦达,斜率之比恒为定值

过椭圆外一点作弦，两条端点与焦点连线段斜率的比值居然是定值——这类”焦点弦斜率”定值题在选择题里出镜率很高。它的解法非常模板化：设线、联立、韦达定理三件套，把两个斜率打包相加，分子恰好正负抵消，答案自己浮出水面。真正容易被扣分的是两处细节：设线方式为什么选x=ty+2，以及”斜率不为零”这个前提在收尾时怎么用。

设F为椭圆的右焦点，过点(2,0)的直线与椭圆C交于A，B两点，设直线AF，BF的斜率分别为k₁，k₂（k₂≠0），则为（　　）

A．−1　　B．1　　C．4　　D．−4

第一步：先把椭圆的基本量盘清楚。由知a²=2，b²=1，故c²=a²−b²=1，右焦点F(1,0)。过点(2,0)：因为，点(2,0)在椭圆外，直线与椭圆交于两点需要判别式把关，这步后面补。

第二步：设线——为什么用x=ty+2。直线过(2,0)，常见设法是y=k(x−2)，但它盖不住竖直线x=2；换成x=ty+2，盖不住的变成了水平线y=0。哪个更好？看竖直线x=2：与椭圆联立得y²=−1，根本不相交，本来就该排除；再看水平线y=0：与椭圆交于，此时A、B、F三点共线，k₁=k₂=0，与题目前提k₂≠0矛盾，同样被排除。所以设

AB:x=ty+2

恰好覆盖了所有合法情形。设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，联立

判别式Δ=16t²−8(t²+2)=8(t²−2)>0，即t²>2时有两个不同交点。由韦达定理，

第三步：把两个斜率打包相加。由x=ty+2得x₁−1=ty₁+1，x₂−1=ty₂+1，于是

分子用第二步的韦达结果代入：

第四步：分母不能不查。.由第二步的判别式结论t²>2，分母，所以k₁+k₂=0成立。

第五步：从”和为零”到”比值为−1“。k₁+k₂=0即k₁=−k₂。题目已给k₂≠0；再看k₁：若k₁=0，则y₁=0，与矛盾，故k₁≠0。两斜率都非零，放心作比：

即为定值−1，选A.

数值抽查（选择题的保险丝）。取t=2，直线x=2y+2，联立得3y²+4y+1=0，y=−1或，即A(0,−1)，。，，比值恰为−1，与一般结论吻合。

这道题的骨架只有一句话：斜率不好直接求比值，就先证”和为零”。设线用x=ty+2而不是y=k(x−2)，妙处有两层：一是把”必然排除”的竖直线留给参数t=0，把需要题目前提排除的水平线留给”无穷远”，设线方式与合法情形严丝合缝；二是x₁−1=ty₁+1这类替换让分母里的(x−1)直接变成韦达友好的线性式，分子才可能正负抵消。收尾的三道检查一个都不能省：判别式给出t²>2，它既是交点合法性的保证，又在第四步顺手证明了分母非零；“和为零”推”比值为定值”必须补上两个斜率都非零，否则是无效运算；最后用特殊值代入验算一遍，选择题三十秒锁定答案。以后见到”过定点的弦、焦点连线斜率”这类组合，先想加法，再谈比值——套路稳了，速度和正确率就都稳了。