高中数学666题第442题：直线与圆锥曲线的综合

题目

已知椭圆 ，设直线  与  交于  两点， 为坐标原点。

(1) 若中心在原点且右焦点为  的等轴双曲线过点 ，求  面积。

(2) 若  过  的上顶点和  的左焦点 ， 为线段  上一点，直线  与  交于点 ，且 ，求  的坐标。

来源：济南市2026-2027学年高中三年级摸底考试

what：#直线与椭圆  #椭圆与双曲线综合

how：

(1) 求出双曲线，代入 ，表示  面积

(2) 求出直线 ，设出  的坐标，根据条件列式求解

solve

(1) 解：

双曲线为 ，故 。

设 ，将  代入  中化简：

故 

由韦达定理：

弦长公式：

 到  的距离：

所以

代入  化简得：

point： ① 面积利用韦达定理表示。 ② 代入  化简。 ③ 难度不大，计算不复杂。

(2) 解

 过  的上顶点 ，。

所以  的方程为 。代入E的方程解得

设 ，则 。

设 ，则 。

，即 。

又 ，得 ，。

所以

解得  或 。

故  或 。

point： ①  设出点  的坐标、点  的坐标，代入条件即解。

②用向量表示  与  交于 ，即 。 ③ 解方程组，难度不大。