好问题引领下的小学数学简约化教学设计——以新教材四年级上册“探究乘法规律”为例

作者：连城县实验小学 李焓

《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调，数学课程应着力培养学生会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界的核心素养。第二学段数与运算的学习，应重视数量关系与运算规律的探索，发展学生的运算能力和推理意识。

“探究乘法规律”以具有结构特点的乘法算式为载体，引导学生从计算结果中发现关系，并尝试说明规律形成的原因。教学应将观察、比较、归纳、解释与运用联系起来，使学生在获得规律的同时，逐步形成有依据地思考和表达的习惯。基于此，本课以“好问题”引领三个学习任务，推动学生由发现数字排列特点走向解释和运用规律。

本课研究两个相同、各位均为1的数相乘时，乘数与积之间的关系。起始研究材料为11×11、111×111、1111×1111、11111×11111，对应的积为121、12321、1234321、123454321。算式结构一致，乘数位数依次增加，为学生观察共同特征、比较变化提供了清晰的材料。

从数学本质看，积的排列特点与部分积的错位相加有关。以111×111为例，三个部分积的末尾分别对齐个位、十位、百位，从个位向左，各列参与相加的1依次为1、2、3、2、1个，且没有进位，因此得到12321。乘数位数、部分积行数与积的数字排列之间，存在可以解释的联系。

教学据此安排“计算观察，发现规律”“分析竖式，解释规律”“依据规律，直接推算”三个任务，依次推动学生发现关系、探寻原因和迁移运用。

四年级学生已具备乘法笔算、数位对齐及同一数位相加的学习经验，能够借助计算器获取研究数据。但面对具有规律的算式，学生可能更多关注积的数字特征，对乘数与积之间关系的整体认识尚不充分；在解释规律时，也可能停留于计算步骤的复述，难以将已有笔算经验转化为说理依据。因此，教学既要为学生自主观察与发现保留空间，也要为规律的解释提供必要支持，推动学生由描述现象走向理解原因。

1. 通过计算、观察与比较，发现这类算式中乘数位数与积的数字排列之间的关系，能够结合具体算式表达规律。

2. 经历自主观察、合作交流和借助竖式解释的过程，初步理解积中各位数字的形成，积累规律探究经验，发展推理意识。

3. 能够依据发现的规律直接推算后续算式的得数，并选择一题说明推算依据，在表达、倾听与核对中完善认识。

（一）教学重点

通过观察、比较与归纳，建立乘数位数与积的数字排列之间的联系，并运用规律进行推算。

（二）教学难点

明确需要解释的规律，借助部分积的位置与同一数位上的相加，说明积中的数字为什么形成先递增、后递减的排列。

（一）搭建素养框架，明确问题指向

以数学核心素养发展为统领，构建由“三会”到核心素养、由核心素养到“四基”“四能”的层级目标体系，明确问题设计的育人方向。

由此，问题设计不仅要让学生算出得数、续写数字，还应支持学生联系乘数与积作出发现，借助竖式寻找依据，并在新的算式中运用规律。

（二）厘清核心内容，找准问题生长点

由此明确问题设计的基本方向：以比较为起点，以变量分析为关键，以归纳验证为提升。

本课核心内容是相同的全1数相乘时，乘数位数与积的排列之间的关系。学生需要完成三个认识上的转变：由单独观察得数转向联系乘数与积；由描述排列转向解释排列的成因；由仿照已有结果转向有依据地推算。问题的生长点，正是这三个转变中尚未建立的联系。

（三）凝练逻辑主线，确定问题递进关系

任务一“计算观察，发现规律”，借助计算器获得材料，在个人观察、小组交流和全班展示中形成发现；任务二“分析竖式，解释规律”，借助部分积错位与按列相加，尝试说明积中数字的形成；任务三“依据规律，直接推算”，将发现用于六至九位全1数的乘法，并说明推算依据。

三个任务分别承担发现关系、解释原因和迁移运用的学习功能。其逻辑联系在于：发现为解释提供对象，解释为运用提供依据，运用又检验学生是否真正把握了规律。

（四）研磨关键节点，生成递进式问题链

1. 从计算结果到关系观察：让发现具有开放空间

任务一以“比较这些算式，你有什么发现”为核心问题。学生可以从乘数、积或算式之间的变化入手，而不必立即接受教师给出的完整规律。计算器减少了重复计算的负担，使注意力更多地转向观察与比较。交流时需要进一步联系不同发现，逐步明确乘数中1的个数与积的排列之间的关系。

2. 从发现规律到分析竖式：让解释具有明确对象

以“各部分积的末尾分别写在什么位置”“从个位起，每一列分别有几个1相加”“结合竖式，解释积中的数字是怎样形成的”组织任务二，意在由位置观察走向按列计数，再走向解释。但课堂表明，学生仍可能把“解释”理解为复述计算步骤。这说明有操作提示并不等于说理对象已经明确，问题之间还需要更直接地衔接学生的发现。

3. 从已有规律到直接推算：让运用体现思考依据

任务三要求直接写出得数、选择一题说明推算依据，并用计算器检查。此时问题由“发现了什么”转为“依据什么写出结果”，促使学生把乘数位数、中间数字与两侧排列联系起来。题量保持适度，重点落在能否有依据地推算。

据此，原设计的核心问题链为：比较这些算式，你有什么发现？→部分积怎样排列，每列有几个1相加？→积中的数字是怎样形成的？→依据规律，怎样直接写出后续算式的得数？任务二在课堂中的受阻及相应修订，放在教学过程的课后批注中具体分析。

（五）预留创生接口，拓展学生思维空间

任务一使学生的局部发现、概括尝试和表达差异进入共同讨论；任务二将学生已有解释与说理困难作为继续追问的起点；任务三通过学生选择的算式及推算依据检验理解。教师根据学生呈现的认识组织比较、邀请回应、调整追问，让课堂内容在师生共同研究中逐步展开。

（六）丰盈育人场域，实现教学评一体化

评价融入三个任务：任务一关注能否联系乘数与积描述发现；任务二关注能否借助具体数位说明数字的形成；任务三关注结果与依据是否一致。计算结果、学习单和交流表现分别提供不同证据。通过小组交流、上台展示与生生互动，让学生在表达和倾听中修正认识，也让教师据此判断下一步需要提供的支持。

（一）导入：开放观察，呈现学生发现

出示11×11、111×111、1111×1111、11111×11111。教师提问：“观察这些算式，你有什么发现？”

学生从不同角度观察，发现乘数的位数在增多、每次增加一位，两个乘数相同，而且都是由1组成的。导入没有限定观察角度，学生先辨认算式本身的结构，再进入计算与比较积的活动。

这些发现尚未涉及积，却明确了研究材料的共同条件与变化特点。学生对乘数的观察，为后面联系乘数位数与积的排列作了准备。

（二）任务一：计算观察，发现规律

【设计意图】

以开放问题引出不同发现，通过小组交流和全班展示，将学生个人的认识转化为共同研究的材料，逐步建立乘数位数与积的数字排列之间的联系。

1. 提出问题，计算观察

研究材料：

11×11=；111×111=；1111×1111=；11111×11111=。

教师依学习单提出任务：先用计算器算出各题的得数，再仔细观察每一道算式，比较这些算式。

核心问题：“比较这些算式，你有什么发现？”

学生借助计算器计算，在“我的发现”处记录想法，随后开展小组交流。教师逐步展示学生作品，共有五位学生上台介绍发现。展示从积的首尾特征展开，再呈现最大数字的变化，逐步走向乘数位数与积的排列之间的联系。

2. 展示发现，在差异中展开研究

展示过程中，教师以“你看懂了吗”“你听清楚了吗”“上来再说一说”“谁来帮帮她”“谁还有补充”等追问组织互动，让学生相互复述、帮助和补充。下列学习单片段呈现与这些课堂生成相应的书面认识。

图1  学习单7“我的发现”

最先展示的一类发现是积的第一位和最后一位都是1。图1保留了相应的书面表达。这一发现具体、直观，能够成为同伴共同观察的起点，但还没有覆盖积的中间部分。教师通过请同伴看、听、再说，把个人发现转化为全班需要理解的内容。

3. 逐步呈现作品，在互相补充中建立联系

图2  学习单9“我的发现”

随后，学生进一步发现：乘数的位数每增加一位，积中便出现一个比先前最大数字大1的数字。图2写到了积中最大数字的变化，并特意注明“不是数位”。与只关注首尾相比，这一生成开始比较算式之间的变化，研究视角由共同特征转向变化关系。

图3  学习单4“我的发现”

继续交流时，学生尝试概括：从1逐次增加到乘数的位数，再倒过来数。图3中“一个乘数有几个1”的表达，将乘数与积直接联系起来。至此，前面关于首尾和最大数字的发现，可以放在同一排列规律中理解。

教师通过“上来再说一说”检验同伴是否理解，通过“谁来帮帮她”“谁还有补充”让学生接续表达。作品逐步呈现，解释与补充也随之推进；五位学生完成展示后，教师进行小结，将分散的发现加以整理。

就本课研究范围而言，归纳需明确：两个乘数相同、各位都是1；乘数有几位，积便从1依次递增到几，再依次递减到1，中间最大的数字只写一次。

【课后批注】

教师对作品的逐步呈现，使学生经历了从局部特征到整体关系的认识过程。首尾都是1的发现被保留下来，最大数字变化的发现补充了中间部分，联系乘数位数的发现进一步统整了前两类认识。规律的形成由不同学生的发现共同支撑。

“你看懂了吗”“你听清楚了吗”把注意力引向同伴的表达，“上来再说一说”要求将听到的内容重新组织，“谁来帮帮她”“谁还有补充”则为同伴参与留下入口。这些理答没有直接代替学生完成概括，而是组织学生互相解释和修补，体现了“我们的课堂”对学生生成的重视。

仍需继续关注小结后的个人表达。部分学习单保留了局部发现，说明全班交流中形成的认识，还需要通过回写、补充或另题说明加以核对。

（三）任务二：分析竖式，解释规律

【设计意图】

以任务一发现的积中数字排列规律为研究对象，借助学生熟悉的乘法竖式寻找规律形成的原因。通过观察部分积的位置、分析同一数位上数字相加的情况，尝试建立竖式计算与积中数字排列之间的联系，推动学生从发现规律走向解释规律。

1. 提出问题，借助竖式解释

学习单提供11×11和111×111的完整竖式，教师围绕“看、数、讲”提出研究要求：

看： 各部分积的末尾分别写在什么位置？

数： 从个位起，每一列分别有几个“1”相加？

讲： 结合竖式，解释积中的数字是怎样形成的。

学生独立思考，尝试在学习单“我的解释”处记录想法。实际教学中，部分学生不知道要解释什么，部分学生则将注意力转向乘法竖式的计算过程，未能聚焦积中数字排列规律的形成原因。原设计试图通过观察位置、逐列计数为解释规律提供支撑，但第三项要求未明确具体的解释对象，学生的思考由此出现了不同方向。

2. 辨认生成，看到解释停在哪里

图4  学习单3“我的解释”

这份学习单在任务一中已经发现“有几位数就数到几，再倒回去数”的排列特点，但任务二的解释部分留白。学生能够描述规律的外在形式，却未能进一步说明其形成原因。这一现象提示教师，学生可能尚未明确需要解释的具体问题，不能简单地将留白归因于说理能力不足。

图5  学习单6“我的解释”

这位学生从乘法竖式的计算步骤展开说明，写出了先用个位乘、再用十位乘、最后相加的过程。这样的回答具有一定的计算依据，但解释的是竖式怎样计算，而非积中数字为什么呈现这样的排列。学生的表达反映出原问题存在理解上的歧义，也暴露了任务设计在说理指向上的不足。

面对学生解释受阻，教师调整教学方式，以111×111的竖式为例，引导学生观察各部分积的错位情况，聚焦积中间的“3”，指出百位上有三个“1”相加，使抽象的规律解释落到具体数位上。教师将说理对象聚焦于具体数位，为学生进一步解释规律提供了支点。

3. 对照书面生成，审视教师讲解的作用

图6  学习单7“我的解释”

这份记录将“每一列有几个1”与“下面写几”联系起来，开始从逐列相加的角度解释积中数字的形成。相比单纯复述计算步骤，学生已经触及数字排列背后的数量关系，但尚未进一步说明各列“1”的个数为什么不同。

图7  学习单10“我的解释”

另一份记录关注到部分积向左移动的位置，并指出百位上有三个“1”，数量最多。学生尝试将部分积的错位与各列数字的形成联系起来，解释已逐渐接近规律的本质。

【课后批注】

本环节的主要不足在于第三项学习要求的指向不够明确。“解释积中的数字是怎样形成的”容易使学生将注意力转向乘法竖式的计算方法，而非积中数字排列规律的形成原因。学生的回答偏离预设，并不完全是说理能力不足，也反映出教师对问题理解难度的预判不够充分。

课堂中，教师及时聚焦积中间的“3”，为学生理解规律提供了具体支点，但后续仍以教师讲解为主，学生自主解释的空间不足。课后修订拟将第三项要求调整为：111×111的积中间为什么是“3”？两边的“2”和“1”又是怎么来的？ 先引导学生解释具体数字，再进一步追问各列“1”的个数为什么不同，使学生从部分积的错位关系中理解整体规律。

这一教学经历提示我们，问题设计不仅要明确学生“做什么”，更要明确学生“思考什么”。 将笼统的说理要求转化为具体、可探究的问题，才能让学生的思维有处着力，推动规律学习由现象观察走向本质理解。

（四）任务三：依据规律，直接推算

【设计意图】

将已经发现的关系用于新的算式，检验学生能否从乘数位数确定积的排列。通过“写结果、选一题说依据、核对”的要求，同时关注推算与表达，让学生的依据成为同伴判断和教师评价的对象。

1. 提出问题，独立推算

研究材料：111111×111111；1111111×1111111；11111111×11111111；111111111×111111111。

教师依学习单提出要求：“根据规律，直接写出得数；选择一题，说明推算依据；用计算器检查推算结果。”研究重点由前面的“发现了什么”“为什么这样排列”，转向“如何依据规律写出结果”。

课堂反馈表明，学生能够通过本任务达成运用规律推算的目标。四题的正确结果依次为12345654321、1234567654321、123456787654321、12345678987654321。

2. 结合学生依据，检验关系是否建立

图8  学习单7任务三的推算与依据

这位学生选择第三题，依据乘数为八位数，从1写到8，再倒数到1。其记录已经将“乘数位数—中间数字—两侧排列”联系起来。回看同一份学习单，任务一只写积的首尾都是1，任务二开始按列计数，任务三则能够据乘数位数推算，三个任务留下了可相互参照的学习痕迹。

【课后批注】

可围绕这份依据提出：“为什么写到8就往回写？第8后面写几？”请其他学生结合算式判断，而不只核对得数。教师据回应梳理：“先看乘数有几位，确定中间数字，再向两侧排列。”这一理答把学生已有的方法说清楚，也为同伴检查提供依据。

3. 关注结果相同、表达不同的作答

图9  学习单5任务三的推算与依据栏

这份学习单的四个结果均正确，说明依据处留白。回看其任务二，解释为按规律计算便能得到得数，尚未说明规律的成因。两处记录放在一起，可以确认学生已经能够运用观察到的排列写数，但其推算依据与算理理解仍需通过进一步交流了解。

【课后批注】

面对图9中学生的作答情况，可引导学生先指着其中一题说明：“你先确定的是哪个数字？”再问：“从哪里知道中间要写这个数字？”若暂时不能完整表述，可以先借助同伴的说明回看自己的结果，再选择一道不同的题独立说明。教师据学生实际回应判断其理解。

任务三基本能够达成推算目标，是本课的有效进展。学生在较长算式中仍能识别乘数位数并写出结果，表明任务一形成的规律具有可用性。对同一学生前后三处记录进行比较，还能看到其表达由局部特征转向关系描述的变化。

同时，正确结果与完整解释并未同步出现。需要关注这一差异：让已经写出依据的学生提供可讨论的方法，也为依据留白的学生保留指认、说明和再尝试的机会。交流是否有效，应看学生能否用自己的方式说明另一题，而不只看是否认同同伴的答案。

（一）以简约的问题设计，促进学生深度学习

本课以一组结构化算式为研究材料，通过“发现规律—解释规律—运用规律”三个任务组织学习。教师减少重复计算与机械练习，将更多时间留给学生观察、交流和表达。任务一中，五位学生的发现由局部特征逐步走向整体关系，不同认识在生生互动中相互补充，体现了简约化教学以精简内容促进深度思考的价值。课堂生成也表明，学生的学习进程并不完全一致。有的能够发现规律，却难以解释原因；有的能够正确推算，却不能充分说明依据。因而，教学评价不能止于结果判断，还应通过学习单与课堂表达辨认学生的理解程度，使后续教学建立在真实学情之上。

（二）反思教学不足，明确改进方向

任务二的实施暴露出问题设计的不足。“解释积中的数字是怎样形成的”缺少明确的说理对象，使部分学生转向复述计算步骤。教师虽然通过聚焦具体数位提供了必要支持，但随后以讲解为主，学生自主解释的机会不足。这说明，问题设计不仅需要考虑知识的逻辑递进，还应充分预判学生对问题的理解方式。

本课进一步认识到，好问题既要有开放性，也要有指向性。发现阶段应为学生保留多元观察的空间，解释阶段则需聚焦关键问题，为深入思考提供支点。简约化教学的关键，不在于教师提出多少问题，而在于每一个问题能否推动学生的认识发展。后续教学应更加重视问题的精准设计与动态调整，让教师的引导真正服务于学生的自主探究，实现简教深学。