高中数学选必一|空间向量及其运算(1)

课程目标

A.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念；

B.掌握空间向量的运算：加减、数乘、数量积；

C.能运用向量运算判断向量的共线与垂直.

学科素养

1.逻辑推理：运用向量运算判断共线与垂直；

2..直观想象：向量运算的几何意义；

3.数学运算：向量的加减、数乘与数量积运算及其运算律；

教学重点

理解空间向量的概念

教学难点

掌握空间向量的运算及其应用

情境导学

章前图展示的是一个做滑翔运动员的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，例如绳索的拉力，风力，重力等，显然这些力不在同一个平内，联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢，下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和表示开始。

探究新知

知识点一　空间向量的概念

思考1.类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.

答案　在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.

(1)在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_____或___.

空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作AB，其模记为__________.

方向；大小；长度；模；长度；|a|或|AB|

(2)几类特殊的空间向量

零向量；模为1；相等；相反；相同；相等；同向；等长

知识点二　空间向量的加减运算及运算律

思考2.下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.

(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.

(2)空间向量加法交换律

a＋b＝b＋a

空间向量加法结合律

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

知识点三　空间向量的数乘运算

思考3.实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？

答案　λ＞0时，λa和a方向相同；λ＜0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍.

空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：

①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，

②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.

(1)实数与向量的积

与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：

①|λa|＝____.

②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向 ；当λ＝0时，λa＝0.

(2)空间向量数乘运算满足以下运算律

①λ(μa)＝______；         

②λ(a＋b)＝________；

③(λ₁＋λ₂)a＝_________(拓展).

|λ||a|；相反；(λμ)a；λa＋λb；λ₁a＋λ₂a

知识点四　共线向量与共面向量

思考4.回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义.

答案　如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.

典例解析

达标检测

1.下列命题中，假命题是(　　)

A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C.只有零向量的模等于0

D.共线的单位向量都相等

答案：D

解析　容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.

2.在下列命题中：

①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；

②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；

③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；

④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc.

其中正确命题的个数为(　　)

A.0           B.1           C.2           D.3

答案A

解析　根据空间向量的基本概念知四个命题都不对.

3.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　)

A. a＝b    B. a＋b为实数0

C. a与b方向相同             D. |a|＝3

答案D

解析　向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确.

小结

1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．

2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题．

3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．　

作业

教材第五页练习2.4.5题