高中数学|双曲线上支双交点:斜率之比恒为 −1/3,交点 P 躺在一条定直线上

这道题三问环环相扣：先由”上焦点+离心率”定出双曲线，再证明两条顶点连线的斜率之比是定值，最后把两条直线的交点按在一条定直线上。做定值、定直线问题，很多孩子的第一反应是硬算交点坐标，算到一半就淹死在字母里——这道题恰好示范另一条路：不求交点，用韦达定理整体消元。而且第二问的结论直接就是第三问的钥匙，一环扣一环。

已知双曲线C的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记C的上、下顶点分别为A₁，A₂，过点的直线与C的上支交于M，N两点．

（1）求C的方程；

（2）直线A₁M和A₂N的斜率分别记为k₁和k₂，求证：为定值；

（3）直线A₁M与A₂N交于点P，证明：点P在定直线上．

第一问：焦点在y轴上，“上焦点”三个字就是定位器。

上焦点说明焦点落在y轴正半轴，；离心率，所以

方程为

回检：✓，✓。同时记下两个顶点：A₁(0,2)，A₂(0,−2)。

第二问：设线联立，但斜率不硬算——用双曲线方程把因式化。

过(0,4)的直线若垂直于x轴（即x=0），与上支只交于顶点A₁一点，不合题意，故斜率存在，设y=kx+4。代入C（用4y²−x²=16这个形式最省事）：

由题设，直线与上支交于两点，此时必有（原因见文末审校注），判别式256k²+192>0，设M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂)，则

另外x=0代入方程得−48≠0，所以x₁,x₂≠0，两个斜率都有意义。

关键技巧来了：把双曲线方程改写成x²=4(y−2)(y+2)，于是对上支上的点有

代进斜率定义（A₁(0,2)，A₂(0,−2)）：

所以

要证它等于，等价于证分子分母交叉相乘后

代入韦达定理：

恒成立，所以为定值。整个过程没有求出一个交点坐标。

第三问：不求P的坐标，把第二问的定值”接”过来。

直线A₁M：y=k₁x+2；直线A₂N：y=k₂x−2。联立消去y：

由第二问（且k₂≠0，故k₁≠k₂），

纵坐标恒为1，横坐标随k变化——点P在定直线y=1上。

定值与定直线是同一件事的两面。第二问证出后，第三问几乎不需要新计算：交点纵坐标，定值一代，答案立现。往深走一步，这类结构有一般结论：过定点(0,m)的直线交双曲线上支于M，N两点，则

本题a=2，m=4：比值，定直线，全部吻合。该一般结论已通过5组(a,b,m)参数、每组300个随机斜率的数值反证（两种点序配对均成立）。它的背景是二次曲线的极点极线：定点(0,m)与定直线恰是一对极点与极线，椭圆里”过定点得定直线”的题目也是同一副骨架。给同学的经验一句话：遇到斜率比、斜率积类定值，优先把”点到顶点的纵向距离”用圆锥曲线方程因式化（这里就是x²=4(y−2)(y+2)），再用韦达定理整体代入，尽量不单独求交点坐标。