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高中数学必修一 4.2.2 指数函数的图象和性质:概念辨析
摘要： 指数函数这一节，公式只有一个 ，但"长相"和"性质"里全是细节。定义看三个特征，图象看一条渐近线，性质看底数与 的大小。
开篇：4.2.2 真正容易错的是什么？
指数函数的内容，翻来覆去就一个式子：
但学生在这一节的错误，高度集中在三类：
一是把"指数型函数"当成"指数函数"； 二是忘了值域恒正，把图象画到 轴下方； 三是把底数 和 的大小关系，与单调性对错了号。
下面按概念逐一辨析。
一、指数函数的定义：三个结构特征
一般地，函数
叫做指数函数，其中 是自变量。
判断一个函数是不是指数函数，看三个特征：
第一，底数： 是大于 且不等于 的常数。
第二，指数：只有自变量 ，不能是 、 这类式子。
第三，系数： 前面的系数必须是 。
三个特征同时满足，才是标准指数函数。
拿它去卡几个常见式子：
：底数 合格，但系数是 ，不是。：可以写成 ，底数 且 ，系数为 ，是指数函数。：系数是 ，不是。：可以写成 ，系数变成 ，不是标准指数函数。：底数是变量，不是。：底数为负，在实数范围内很多点无意义，不是。
再说一句：为什么规定 且 ？
时，比如 ，在实数范围内没有意义； 时， 和 都会出问题； 时， 变成常函数，没有研究的必要。
这三条限制，不是故意为难人，是为了让函数"处处有定义、且真的在变"。
二、图象与性质：一张表看清
这张表里，有四条是"死活不能错"的：
值域是 ，不是 。因为 恒成立，永远取不到 。
图象恒在 轴上方， 轴是它的渐近线。 时，图象无限贴近 轴，但永远不碰。
定点是 ，与底数无关。因为 ，不管 取几， 时 都等于 。
奇偶性是非奇非偶。定义域 虽然关于原点对称，但 ，既不等于 ，也不等于 。
三、高频辨析
辨析 1：值域为什么取不到 ？
指数函数的函数值，永远是正数。
对任意实数 成立。 再小， 也只是无限接近 ，不会等于 。
所以值域是 ，图象与 轴没有交点。
这一点在做题时很关键：求值域、解不等式、判断零点，都要记住"指数函数永远为正"。
辨析 2：定点 ，与底数无关
不管 、、，所有指数函数的图象都过 。
因为 ，这是指数运算的规定，与底数大小无关。
所以遇到"求定点"的题，直接令指数部分等于 ，解出 ，再算 。
辨析 3：单调性，只看底数与 的大小
时，函数在 上递增； $0<a<1$ 时，函数在="" $\mathbb{r}$="" 上递减。<="" p="">
判断时只看一件事：底数在 的哪一边。
底数大于 ，越乘越大，所以递增；底数在 和 之间，越乘越小，所以递减。
辨析 4：底数互为倒数，图象关于 轴对称
这两个函数的图象，关于 轴对称。
因为把 换成 ，函数值不变：。
所以 与 的图象，是左右照镜子的关系。
辨析 5：底数大小与图象位置
在同一坐标系里画多条指数函数图象，记住一句话：
在 轴右侧，底数越大，图象越高。
也就是"底大图高"。比如 时， 过 ， 过 ， 过 ，从上到下正好是 。
这条规律，在比较大小、判断图象时很好用。
四、指数函数 vs 幂函数
这是第四章最容易混的一组概念。
指数函数：，底数是常数，指数是自变量。 幂函数：，底数是自变量，指数是常数。
一句话记：谁在动，就是谁的名字。
在肩上动，叫指数函数； 在底下动，叫幂函数。
所以 是指数函数， 是幂函数。两个长得像，身份完全不同。
五、比较大小的三类题
指数式比较大小，按"底"和"指"的情况分三类。
第一类：同底不同指。
用指数函数的单调性。
比如比较 与 。底数 ，函数递增，而 ，所以
第二类：同指不同底。
用幂函数的单调性，或者直接看图象。
比如比较 与 。指数相同，考察 在 上递增，而 ，所以
第三类：底、指都不同。
找中间值，通常是 或 。
比如比较 与 。
前者底数小于 ，指数大于 ，所以 ； 后者底数大于 ，指数大于 ，所以 。
因此
三类题，三种打法，别混着用。
六、典型辨析判断（自测）
判断下列说法是否正确，并说明理由：
是指数函数。 指数函数 的图象与 轴有交点。 与 的图象关于 轴对称。 若 ，则 对任意实数 成立。 指数函数在其定义域上一定是单调函数。 是指数函数。 指数函数是非奇非偶函数。
答案与辨析
1. 错。 系数是 ，不是 。它是指数型函数，不是标准指数函数。
2. 错。 值域是 ，图象恒在 轴上方，与 轴没有交点。
3. 对。 因为 ，把 换成 函数值不变，所以两图象关于 轴对称。
4. 错。 当 时 ；当 时 ；当 时 $0<a^x<1$。不是所有 $x$="" 都大于="" $1$。<="" p="">
5. 对。 时在 上递增，$0<a<1$ 时在="" $\mathbb{r}$="" 上递减，都是单调函数。<="" p="">
6. 错。，系数是 ，不是标准指数函数。
7. 对。 定义域 关于原点对称，但 既不等于 ，也不等于 ，所以非奇非偶。
一句话总结
4.2.2 的"概念辨析"，抓四条线：
定义看三个特征：底数合格、指数只有 、系数为 ； 图象看一条渐近线： 轴，永远不碰； 性质看底数与 的大小：大于 增，小于 减； 比较大小看"底、指、中间值"：同底用单调，同指用幂函数，都不同找 或 。
把这四条落实，指数函数的图象和性质，就不会再混。
