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26.2.1 二次函数y=a（x-h)²+k 的图象和性质
(第一课时 二次函数y=ax ²+k 的图象和性质)
（导学案）
（1）掌握用描点法绘制y=ax ²+k 的图象；熟练说出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和
最值；掌握y=ax ²+k 与y=ax ²的图象平移规律，能运用性质解决基础题型.
(2)经历“列表—描点—画图—对比—归纳”的完整探究过程，体会数形结合、类比迁移、从特殊到一般
的数学思想，提升图象观察、规律总结和知识迁移能力.
(3)在自主探究和小组合作中感受二次函数图象的对称美、变化规律美，培养严谨的数学思维和主动探究
的学习习惯，增强学习二次函数的信心.
重点:二次函数y=ax ²+k 的图象特征和核心性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值）；y=ax ²+k 与
y=ax ²的图象平移规律.
难点：精准理解常数k 的几何意义，区分k>0 和<0)时图象的平移方向；结合图象灵活运用函数性质解决比
较函数值、求最值的问题.
第一环节 自主学习
温故知新：
创设情景，引入新课
复习回顾：二次函数y=2x ²的图象是什么形状？开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当x 取何值时，
函数有最值？增减性如何？
学生集体回顾作答，教师板书核心性质.
追问：如果在y=2x ²的基础上变形为y=2x ²+1、y=2x ²-2，函数图象会发生什么变化？
【学法指导】
新知自研：自研课本第36-37 页的内容
【学法指导】自研课本P36-37 页内容
(一)将y=ax ²+bx+c 转化为类似y=ax ²+k 的简单形式.
追问1.上一章是如何通过配方法解一元二次方程ax ²+bx+c=0 的？由此，你得到了什么启发？
通过配方，可以将“ax ²+bx 十c”转化为“a(x-h)²+k”的形式，即将二次函数y=ax ²+bx+c 转化
为y=a(x-h)²+k 的形式.当分别讨论h，k 的取值时，就可以建立起y=ax ²+br+c 与y=ax ²的联系了.
追问2.用a.b,c 表示，这里的h 和k 分别是什么?
(二) 画具体函数y=ax ²+k 图象，对比找规律
活动1.用描点法在同一坐标系中画出y=x ²、y=x ²+2、y=x ²-2 的图象.
步骤指导：
列表：选取对称自变量x=-2、-1、0、1、2，分别计算三个函数对应的y 值；
描点：根据坐标精准描点；
连线：用平滑曲线连接各点，得到三条抛物线.
小组讨论问题：
（1）三个函数图象的形状、开口方向、对称轴是否相同？
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（2）三个图象的顶点坐标分别是什么？有什么区别？
（3）y=x ²+2、y=x ²-2 的图象可由y=x ²的图象如何平移得到？
活动2.画函数
图象观察图象性质
（1）在同一平面直角坐标系中，画出二次函数
的图象，并分别指出它们的开口方
向、对称轴和顶点.
(2） 抛物线
与抛物线
有什么关系?
列表：
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
10
6.5
4
2.5
2
2.5
4
6.5
10
…
…
6
2.5
0
-1.5
-2
-1.5
0
2.5
6
…
描点画图，就得到
的图象.
观察图象：可以看出，抛物线
的开口向上，对称轴是у 轴，顶点是(0，2)；抛
物线
的开口向上，对称轴是y 轴，顶点是(0，-2).
可以发现，把抛物线
（图中的虚线图形）向上平移2 个单位长度，就得到抛物线
；把
抛物线
向下平移2 个单位长度，就得到抛物线
.
(三)画函数y=ax ²+k 图象归纳总结性质
活动3.利用信息技术工具画函数y=ax ²+k 的图象(不妨令a 分别为
和
，改变k 的值，可以发现，随着
k 的变化，二次函数y=ax ²+k 的图象.
在向上或向下平移，即把抛物线y=ax ²向上(k>0）或向下(k<0)平移|k|个单位长度，就得到抛物线
y=ax ²+k(如图).
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师生归纳总结
1. 图象共性：y=ax ²+k 与y=ax ²图象形状、开口大小、开口方向、对称轴完全相同，对称轴均为y 轴（直
线x=0）.
2. 图象差异：顶点坐标不同，y=ax ²顶点为(0,0)，y=ax ²+k 顶点为(0,k).
3. 平移规律：上加下减，当k>0 时，y=ax ²+k 的图象由y=ax ²图象向上平移k 个单位；
当k<0 时，y=ax ²+k 的图象由y=ax ²图象向下平移|k|个单位.
函数y=ax ²+k 性质系统归纳：
开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下；
对称轴：直线x=0（y 轴）；
顶点坐标：(0,k)；
最值：a>0 时，x=0，
；a<0 时，x=0，
；
增减性：a>0，x<0 时，y 随x 增大而减小；x>0 时，y 随x 增大而增大；a<0 反之.
【自研自探】
自研课本P36-37 页内容
典型例题
例1.已知二次函数y=-3x ²+4
（1）说出该函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值；
（2）说明该函数图象与y=-3x ²的图象的平移关系；
（3）当
时，比较
的大小.
【分析】：本题紧扣本节课核心知识点，综合考查y=ax ²+k 的图象性质、平移规律和增减性应用。解题关
键是先根据a 的正负判断开口与增减性，根据k 确定顶点与平移方式，再结合增减性比较函数值大小.
【详解】解：（1）∵a<0，k=4，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=0（y 轴），顶点坐标为(0,4)；当
x=0 时，函数有最大值，最大值
，无最小值.
（2）根据“上加下减”平移规律：函数y=-3x ²+4 的图象可由抛物线y=-3x ²向上平移4 个单位得到.
（3）a<0，抛物线开口向下，对称轴为y 轴
∴当x>0 时，y 随x 的增大而减小；当x<0 时，y 随x 的增大而增大.
关于y 轴的对称点为x=1，
∵0<2，根据增减性，x=1 时的函数值大于x=2 时的函数值.
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∴
.
第二环节 合作探究
讨论交流:
1. 讨论怎样画二次函数y=x ²的图象.
2. 讨论怎样画二次函数y=ax ²图象.
讨论二次函数y=ax ²图象的性质.
拓展提升：
1.在平面直角坐标系中，二次函数
的图象经过点
．
(1)求这个函数的表达式．
(2)当
时，
随
的增大而减小，求
的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数
的图象经过点
．
∴
，解得：
，
∴这个函数的表达式为：
；
（2）∵
，
∴其对称轴为：
，
∵
，
∴图象开口向上，则当
时，
随
的增大而减小，
∴
的取值范围为
．
课本课堂练习（P38）.
1．（2026.盐城市期末）关于二次函数
的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上，函数的最大值是
B．开口向下，函数的最大值是
C．开口向上，函数的最小值是
D．开口向下，函数的最小值是
【详解】解：
二次函数
，
由
可得抛物线开口向下；函数的最小值是
，
故选：D．
2．（2026.四平校考）关于二次函数
的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标为
C．当
时，y 随x 的增大而减小D．函数的最大值为
【详解】解：∵
，且
，
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∴函数图象开口向上，顶点坐标为
，故A、B 选项错误，不符合题意；
∴当
时，y 随x 的增大而减小，故C 选项正确，符合题意；
∴函数的最小值为
，故D 选项错误，不符合题意；
故选：C
3．（2025•上海）抛物线y＝3x2向下平移两个单位所得的抛物线解析式为
．
【解答】解：∵抛物线y＝3x2向下平移两个单位，
∴y＝3x2﹣2，
故答案为：y＝3x2﹣2．
4．（2026.汕尾陆丰校考）已知二次函数
．
(1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______；
(2)补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
…
…
…
…
(3)若该抛物线上两点
，
的横坐标满足
，则
_____
（比较大小）．
【详解】（1）解：∵
时，
；
时，
，
∴抛物线的对称轴为直线
，即
轴，
当
时，
，
∴抛物线的顶点坐标为
，
故答案为：
轴，
；
（2）当
时，
；
当
时，
；
故答案为：，
；
利用描点法作出的函数图象如下所示：
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（3）∵
，
∴抛物线开口向下，在
轴的右侧，
随
的增大而减小，
∵
，
∴
，
故答案为：
．
知识技能:（1）二次函数y=ax ²+k 的图象是抛物线，对称轴为y 轴
，顶点坐标(0,k)；（2）a 决定开口方
向和开口大小，k 决定抛物线的上下平移位置和函数最值；（3）平移规律：上加下减（k>0
上移，
k<0
下
移）；（4）掌握函数的增减性、最值的判断方法，能比较函数值大小.
思想方法:（1）数形结合思想：通过图象直观分析函数性质，以形助数、以数释形；（2）类比迁移思想：
类比y=ax
²的探究方法
，推导y=ax ²+k 的性质；（3）从特殊到一般思想：通过具体函数图象归纳通用规
律.
易错提醒:（1）混淆平移方向：牢记“上加下减”，k 为负数是向下平移
，不要记反；（2）忽略a 的作用：
判断增减性、开口方向必须先看
a 的正负
；（3）顶点坐标书写错误：y=ax ²+k 顶点是(0,k)，不是(0,0)；
（4）比较函数值时，忘记利用对称轴转化对称点，直接盲目判断，与a 的正负无关.
