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7.3.1 正弦函数的性质与图象
课程标准
学习目标
（1 ）掌握
的周期性、奇偶
性、单调性和最值；
（2）会用正弦函数的性质解决一些简单的三角
函数问题；
（3）会利用五点作图法画出正弦函数的图象。
（1）了解正弦曲线的画法，能正确使用“五点
法”“几何法”作出正弦函数的图象，重点提升
直观想象核心素养；
（2）理解正弦函数的性质，会求正弦函数的周
期、单调区间和最值，并能利用正弦函数的图象
与性质解决相关问题，重点提升数学运算核心素
养。
知识点01 正弦函数的性质
1、定义域与值域：定义域为
，值域为
当且仅当
，
时，函数
的最大值为
；
当且仅当
，
时，函数
的最大值为
；
2、奇偶性：正弦函数是奇函数，其图像关于原点中心对称；
3、周期性：对于函数y=f ( x)，定义域为I，当x∈I 时，都有f ( x+T )=f ( x)，其中T 是一个非零的
常数，则y=f ( x)是周期函数，T 是它的一个周期；对于一个周期函数
，如果在它的所有周期中存
在一个最小的正数，那么这个最小整数就称为
的最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周
期；函数
的最小正周期为
.
4、单调性：在
上单调递增，在
上单调递减（k ∈Z ）；
5、正弦函数的零点：正弦函数
的零点是
【即学即练1】（2024·内蒙古赤峰·高一统考期末）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
是奇函数
C．
的图象关于直线
轴对称 D．
的值域为
知识点02 正弦函数的图像
1、图像
2、对称轴与对称中心：对称轴方程
；对称中心
（k ∈Z ）
3、五个关键点：
,
,
,
,
4、注意事项：（1）作正弦函数图像时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数；
（2）在精确度要求不高的情况下，“五点法”是一种实用、高效的作图方法，需要注意这五个点要用平
滑的曲线连接，而不能用线段连接；
（3）五个关键点是利用五点法作图的关键，要熟记并区分正弦函数图像中的五个关键点。
【即学即练3】（2023·高一课时练习）利用“五点法”作出函数
的简图.
【题型一：五点作图法画正弦函数图象】
例1．（2024·全国·高一专题练习）用“五点法”作出下列函数
，
的简图：
变式1-1．（2023·河南·高一校考阶段练习）用五点法作出函数
在一个周期内的图象
变式1-2．（2023·全国·高一随堂练习）画出下列函数在区间
上的图象：
（1）
；
（2）
；
（3）
．
变式1-3．（2023·高一课时练习）作出函数
，
的大致图像．
变式1-4．（2024·高一课时练习）作出函数
的大致图像.
【方法技巧与总结】
“五点法”作函数
的图像
（1）列表：以正弦函数的五点为基础，列出函数
的五点；
（2）描点：将函数
的五点在坐标系中描出来；
（3）连线：利用平滑的曲线将点连接起来，注意不能用折线连接。
【题型二：与正弦函数有关的零点问题】
例2．（2023·山东东营·高一统考期末）方程
的实数解的个数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
变式2-1．（2023·江西赣州·高一校考期中）函数
零点的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2-2．（2023·浙江温州·高一温州市第五十一中学校考阶段练习）设
为常数，且满足
，且
的
的值只有一个，则实数
的值为（ ）
A．0 B．1 C．1 或2 D．0 或2
变式2-3．（2022·贵州遵义·高一遵义四中校考期中）已知函数
，则方程
在
的解的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
变式2-4．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）已知
，函数
在
零点的个数最大值为 ．
【方法技巧与总结】
图象法研究正弦函数的零点问题的解题思路
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数
的图象，函数
的图象与
轴交点的个数
就是函数
的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数
拆成两个函数
和
的差，根据
，则
函数
的零点个数就是函数
和
的图象的交点个数
【题型三：由正弦函数图象解不等式】
例3．（2024·全国·高三专题练习）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-1．（2024·北京东城·高一统考期末）已知
是定义在
上的偶函数，当
时，
的图象如图所示，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-2．（2023·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）函数
的定义域为
．
变式3-3．（2023·高一课时练习）观察正弦函数的图像，可得不等
的解集为 ．
变式3-4．（2024·重庆·高一重庆一中校考期末）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
用正弦函数图象解三角不等式的步骤
1、作出相应正弦函数在[0,2π]上的图象；
2、写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；
3、根据公式一写出不等式的解集．
【题型四：正弦函数的周期性及应用】
例4．（2023·高一课时练习）函数
的最小正周期为（ ）．
A．
B．
C．
D．没有周期性．
变式4-1．（2024·高二课时练习）在下列函数中，不是周期函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-2．（2019 上·江西宜春·高一上高二中校考阶段练习）下列函数的最小正周期为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-3．（2024·高一课时练习）函数
的周期是
A．
B．
C．
D．
变式4-4．（2023·高一课时练习）定义在R 上的函数
既是奇函数又是周期函数，若
的最小正周
期为
，且当
时，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
正弦函数
的最小正周期为
，含绝对值的三角函数可利用图象变换方法画出具体的函数的图象，
从图象上判断函数的周期性。
选择题中还可根据周期函数的定义验证选项是否符合周期定义。
【题型五：正弦函数的奇偶性及应用】
例5．（2023·山东滨州·高一校考阶段练习）下列函数为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-1．（2023·湖南株洲·高一校考阶段练习）下列函数是偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-2．（2023·全国·高一专题练习）判断下列函数的奇偶性：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
变式5-3．（2024·山东济宁·高一统考期末）若函数
是定义在
上的任意奇函数，则下列函数一定为
偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-4．（2023·全国·高一专题练习）若
为偶函数，则实数
.
变式5-5．（2023·全国·高一专题练习）设函数
的最大值为
，最小值为
，则
.
【方法技巧与总结】
结合诱导公式化简三角函数，根据奇偶性的定义确定函数的奇偶性，需注意优先考虑函数的定义域。
【题型六：利用单调性比较大小】
例6．（2022·宁夏固原·高一校考期末）（多选）下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-1．（2023·江西南昌·高一南昌市铁路第一中学校考阶段练习）
，
，
的大小顺序是（
）
A．
B．
C．
D．
变式6-2．（2024·湖南株洲·高一校考期末）设
，
，
，则
，
，三者的大
小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-3．（2023·四川眉山·高一校考期中）令
，
，判断a 与b 的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．无法判断
变式6-4．（2022·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）若
，
，
，则a，
b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
利用诱导公式将角度转化到同一个单调区间内，根据正弦函数的单调性确定三角函数值的大小。
【题型七：正弦函数的值域问题】
例7．（2023·辽宁·高一葫芦岛第一高级中学校联考期中）函数
最大值为（
）
A．2 B．5 C．8 D．7
变式7-1．（2023·广东佛山·高一校考阶段练习）函数
的最大值及取最大值时x 的值分别为（
）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
变式7-2．（2023·河南南阳·高一校联考阶段练习）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7-3．（2023·高一课时练习）函数
的值域是 .
变式7-4．（2023·江苏扬州·高一扬州大学附属中学校考阶段练习）已知
.
（1）若
，求
在
上的值域；
（2）若
，求
的最大值.
【方法技巧与总结】
通常将正弦函数
当做整体，可利用换元法（令
）将含有正弦函数的表达式简化，再结合
基本初等函数的单调性求值域。三角函数值域的常见类型有：
1、形如
型：可利用正弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论
2 、形如
型：可利用换元思想，设
，转化为二次函数
求最值，t 的范围需要根据定义域来确定．
3、分式型：（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；（2）判别式
法
一、单选题
1．（2023·江西上饶·高三上饶中学校考阶段练习）下列关于函数
，
的单调性的叙述，正
确的是（ ）
A．在
上单调递增，在
上单调递减
B．在
上单调递增，在
上单调递减
C．在
及
上单调递增，在
上单调递减
D．在
上单调递增，在
及
上单调递减
2．（2024·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·陕西西安·高一校联考期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·山东济南·高一济南三中校考期末）函数
的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
5．（2023·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）
的最大值为（ ）
A．
B．2 C．
D．无最大值
6．（2023·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）方程
的实数解个数为（ ）
A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个
7．（2023·四川绵阳·高一南山中学实验学校校考阶段练习）已知
，
，
，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·高一课时练习）设
为常数，且满足
，且
的
的值只有一个，则实数
的
值为（ ）．
A． B． C．
D．或
二、多选题
9．（2021·高一课时练习）关于正弦函数y=sin x 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．关于原点对称 B．有最大值1 C．与y 轴有一个交点 D．关于y 轴对称
10．（2023·全国·高一专题练习）函数
与直线
（为常数）公共点个数可能是（
）
A．0 B．1 C．2 D．3 E．4
11．（2022·广东深圳·高一校考阶段练习）若
，则m 的值可能是（ ）
A．－3 B．1 C．－2 D．5
12．（2023·贵州·高一校联考阶段练习）关于函数
，下列选项正确的是（ ）
A．
的最小正周期是
B．
在区间
单调递减
C．
在
有3 个零点 D．
的最大值为
三、填空题
13．（2021·高一课时练习）函数
的最小正周期是 ．
14．（2023·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）函数
的零点个数为
．
15．（2023·高一课时练习）函数
的值域是 ．
16．（2023·广东广州·高一校考期末）若函数
存在最大值和最小值，记
，侧
．
四、解答题
17．（2023·高一课时练习）用“五点法”作出下列函数的简图.
（1）
，
；
（2）
，
.
18．（2022·高一课时练习）已知函数
.
（1）画出函数在
上的图象.
（2）这个函数是周期函数吗？若是，求出最小正周期；若不是，请说明理由.
（3）指出函数的单调区间.
19．（2023·全国·高一随堂练习）根据正弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值范围：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
20．（2024·高一课时练习）不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1）
与
;
（2）
与
．
21．（2023·北京·高一北师大二附中校考期中）已知函数
（1）求
的值；
（2）求
的最大值和最小值，并写出取最值时x 的值．
22．（2023·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）已知函数
.
（1）求函数
的值域；
（2）求不等式
的解集；
（3）若关于
的方程
在
恰有4 个不同的解,求
的取值范围.
