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26.2.3 二次函数y=ax ²+bx+c 的图象和性质（第一课时 探究二次函
数y=ax ²+bx+c 的图象和性质）
（教学设计）
1.教学内容
本节课是人教版2024 版九年级上册第26 章《二次函数》，26.2 二次函数图像与性质，26.2.3 二次函数
y=ax ²+bx+c 的图象与性质第一课时探究二次函数y=ax ²+bx+c 的图象与性质.核心教学内容为二次函数一
般式y=ax ²+bx+c(a≠0)的图象与性质.主要包括：通过配方法将一般式二次函数转化为顶点式，推导二次
函数一般式的对称轴公式、顶点坐标公式；掌握一般式二次函数图象的开口方向、增减性、最值等核心性
质；学会利用公式快速确定抛物线关键特征、绘制简单函数图象，并能运用性质解决基础求值、比较函数
值大小等问题.
2. 内容解析
本节课是二次函数图象与性质学习的收官基础课。此前学生已系统学习y=ax ²、y=ax ²+k、y=a(x-h)²、
y=a(x-h)²+k 四类顶点式二次函数的图象与性质，掌握了配方法、图象平移规律、数形结合分析函数的基
本方法.本节课将零散的特殊形式整合为通用一般形式，实现二次函数图象性质的系统化、通用化，是后
续学习二次函数与方程、不等式、实际应用及综合压轴题的核心基础，在整章知识体系中起到承上启下的
关键作用.本节课遵循“转化—推导—归纳—应用”的数学逻辑，将陌生的一般式通过配方法转化为熟悉
的顶点式，依托已有知识推导通用公式，归纳通用性质，最终实现知识迁移应用，完美契合初中数学“化
未知为已知”的转化思想，是培养学生推理归纳、数形结合核心素养的重要载体.
基于以上分析，本节课的教学重点为:用配方法将二次函数一般式化为顶点式；
掌握二次函数y=ax ²+bx+c(a≠0)的图象性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值）；能利用公式和性质
解决基础计算、图象分析问题.
教学目标
（1）掌握用配方法将y=ax ²+bx+c(a≠0)化为顶点式的方法；熟记二次函数一般式的对称轴、顶点坐标公
式；熟练掌握一般式二次函数的开口方向、增减性、最值性质，能利用公式和性质解决基础题型.
(2)经历“配方转化—公式推导—性质归纳—例题应用”的完整探究过程，提升代数变形、逻辑推理、数
形结合分析问题的能力，体会转化、归纳的数学思想.
（3）通过自主推导公式、归纳性质，感受数学知识的连贯性和统一性，增强自主探究意识和学习自信心；
在数形结合分析问题中体会数学的严谨性和逻辑性，提升数学核心素养.
2.目标解析
目标1 是基础性目标，面向全体学生.学生需突破“一般式转顶点式”的代数变形难点，精准记忆并灵活运
用对称轴
、顶点坐标
两大核心公式，能根据a 的符号、对称轴位置判断函数图象
特征与增减变化规律.
目标2 是能力性目标，聚焦思维提升.引导学生主动关联旧知，自主完成知识转化与推导，摆脱机械记忆公
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式的学习模式，学会用“数形结合、转化归纳”的方法研究函数问题，形成通用的函数探究思路.
目标3 是发展性目标，立足长效提升.通过层层递进的探究活动，让学生体验知识生成过程，打破对复杂二
次函数的畏难心理，培养严谨的数学思维和主动探究的学习习惯。
学生已掌握整式加减、完全平方公式、配方法等代数运算技能；熟练掌握顶点式二次函数的图象平移规律、
开口、增减性、最值等性质，具备数形结合分析简单二次函数的基础能力，能够快速关联旧知开展新知探
究.存在如下短板:（1）配方法处理含一次项、常数项的二次三项式时，代数变形不熟练，容易出现漏乘、
符号错误；（2）对公式只记结论、不懂推导，缺乏逻辑思维支撑，容易混淆公式符号；（3）数形结合能
力薄弱，无法快速将解析式、对称轴、图象增减变化对应起来，判断区间增减性易出错；（4）知识迁移
能力不足，难以自主完成“特殊形式到一般形式”的知识整合.学生易机械记忆公式，忽视推导过程，导
致公式遗忘、误用；混淆a、b、c 对函数的影响，无法精准分析函数性质.
基于以上分析，本节课的教学难点确定为：一般式二次函数顶点坐标、对称轴公式的推导过程（配方的代
数变形逻辑）；结合对称轴准确判断二次函数在任意区间内的增减性，区分最值与函数增减变化的关联.
创设情景，引入新课
复习回顾:（1）我们之前学习的二次函数顶点式是什么？它的优势是什么？（2）说出y=2(x-1)²+3 的开口
方向、对称轴、顶点坐标和最值。（3）实际问题中，二次函数常以y=2x ²-4x+1 这种形式出现，它不是顶
点式，如何快速判断它的图象和性质？
师生互动：学生回顾顶点式优势（可直接看出顶点、对称轴、最值），发现普通一般式无法直接判断性
质，产生探究需求.
(设计意图：通过旧知回顾搭建知识桥梁，利用认知冲突激发学生探究欲望，明确本节课学习核心——探
究一般式二次函数的通用性质，自然引入新课)
探究点1 画出二次函数
，的图象,并讨论它的性质
活动1.通过图象的平移,得到函数图象.
对于二次函数
配方，可得
.根据前面的学习，可以先画出二次函数
的图象，然后把这个图象向右平移6 个单位长度，再向上平移3 个单位长度，就得到二次函数
的图象.
追问:还可以怎样平移?
活动2.直接画出函数图象.
如果直接画二次函数
的图象，可按如下步骤进行.
由配方的结果可知，抛物线
的顶点是(6，3)，对称轴是x=6.
先利用图象的对称性列表:
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…
3
4
5
6
7
8
9
…
…
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
…
然后描点画图，得到
的图象,如下图.
活动3.观察二次函数
的图象讨论它的性质.
从二次函数
的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，
抛物线从左到右上升.也就是说，当x<6 时，随x 的增大而减小；当x>6 时，y 随x 的增大而增大；当x=6
时，y 取最小值，最小值是3.
探究点2 利用上面的方法研究二次函数
的图象,并讨论它的性质.
活动4. 分别用平移、直接画图象的方法，画出二次函数
的图象，观察二次函数
的图象讨论它的性质.
从二次函数
的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，
抛物线从左到右下降.也就是说，当x<-2 时，随x 的增大而减小；当x>-2 时，y 随x 的增大而增大；当
x=-2 时，y 取最小值，最小值是2.
探究点3 探究二次函数y=ax ²+bx+c 的图象和性质
活动5.将一般式转化为顶点式.
尝试用配方法将y=ax ²+bx+c(a≠0)转化为顶点式，
教师分步引导：第一步：提取二次项系数：
，
第二步：配方（加、减一次项系数一半的平方）：
第三步：整理化为顶点式：
总结归纳：结合顶点式y=a(x-h)²+k，对比得出：
对称轴：直线
；
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顶点坐标：
易错强调：配方时仅对含x 的项变形，提取系数后括号内配方，常数项需整体整理，注意符号和通分计算.
活动6.归纳一般式二次函数图象与性质
结合推导的顶点式和已有知识，师生共同归纳y=ax ²+bx+c(a≠0)的性质：
1. 开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下；|a|越大，开口越小。
2. 对称轴：直线
3. 顶点坐标：
4. 增减性： a>0：对称轴左侧（
），y 随x 增大而减小；对称轴右侧（
），y 随x 增大而
增大；
a<0：对称轴左侧（
），y 随x 增大而增大；对称轴右侧（
），y 随x 增大而减小.
5. 最值：a>0，当
时，
；
a<0，当
时，
.
（设计意图：让学生亲历顶点式推导全过程，理解公式由来，避免机械记忆，突破本节课公式推导难点，
同时强化配方法的代数变形能力，渗透转化的数学思想.归纳整合，将零散的性质系统化，帮助学生构建
完整的知识体系，强化数形结合思想，让学生掌握通用的二次函数性质分析方法.）
典型例题
例1：已知二次函数y=x ²-2x-3，请完成下列问题：
（1）用配方法将函数化为顶点式；
（2）求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）求函数的最值；
（4）判断函数的增减性.
【分析】本题完整覆盖一般式转顶点式、公式应用、性质分析四大核心考点。解题核心思路：先通过配方
法完成形式转化，再结合顶点式或通用公式判断图象特征，最后依据a 的符号和对称轴分析增减性与最值，
层层递进、贴合课堂新知.
【详解】解：（1）配方转化顶点式：
.
（2）由顶点式y=(x-1)²-4 可知：
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a=1>0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=1；顶点坐标为(1,-4).
（
3）求函数最值：∵ a=1>0，抛物线开口向上，函数有最小值，无最大值；∴ 当x=1 时，
（4）分析函数增减性：对称轴为直线x=1，开口向上：当x<1 时，y 随x 的增大而减小；当x>1 时，y 随x
的增大而增大.
（设计意图：通过综合性例题，整合本节课所有核心知识点，帮助学生巩固性质和平移规律；规范解题步
骤，培养学生严谨的答题习惯，同时让学生掌握利用对称性、增减性比较函数值的解题技巧，实现知识的
学以致用.)
课本课堂练习（P43).
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的
理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1.（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2 中，x 与y 的几组对应值如表所示．
x
…
﹣2
0
1
…
y
…
﹣2
﹣2
1
…
（1）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
（3）将二次函数的图象向右平移n 个单位长度后，当0≤x≤3 时，若图象对应的函数最大值与最小值
的差为5，请直接写出n 的值．
【解答】解：（1）由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x= −2+0
2
=−1．
∴可设二次函数为y＝a（x+1）²+k．
又∵图象过（0，﹣2），（1，1），
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∴﹣2＝a（0+1）²+k，且1＝a（1+1）²+k．
∴a＝1，k＝﹣3．
∴二次函数为y＝（x+1）²﹣3，即y＝x ²+2x﹣2．
（2）由题意，结合（1）y＝（x+1）²﹣3，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣3）．
作图如下．
（3）由题意，∵二次函数的图象向右平移n 个单位长度后，
∴新函数为y＝（x+1﹣n）²﹣3．
∴此时对称轴是直线x＝n﹣1，函数图象开口向上．
∴①当3≤n﹣1 时，即n≥4，
∴当x＝0 时，y 取最大值为（1﹣n）²﹣3；当x＝3 时，y 取最小值为（4﹣n）²﹣3．
又∵最大值与最小值的差为5，
∴（1﹣n）²﹣3﹣（4﹣n）²+3＝5．
∴n= 10
3 ＜4，不合题意．
②当0＜n﹣1＜3 时，即1＜n＜4，
∴当x＝0 或x＝3 时，y 取最大值为（1﹣n）²﹣3 或（4﹣n）²﹣3；当x＝n﹣1 时，y 取最小值为﹣3．
又∵最大值与最小值的差为5，
∴（1﹣n）²﹣3+3＝5 或（4﹣n）²﹣3+3＝5．
∴n＝1+ ❑√5或n＝1−❑√5（不合题意，舍去）或n＝4+ ❑√5（不合题意，舍去）或n＝4−❑√5．
③当n﹣1≤0 时，即n≤1，
∴当x＝0 时，y 取最小值为（1﹣n）²﹣3；当x＝3 时，y 取最大值为（4﹣n）²﹣3．
又∵最大值与最小值的差为5，
∴（4﹣n）²﹣3﹣（1﹣n）²﹣3＝5．
∴n= 5
3 ＞1，不合题意．
综上，n＝1+ ❑√5或n＝4−❑√5．
1．（2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax ²﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x 轴有两个交点，
且这两个交点分别位于y 轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
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A．图象的开口向下
B．当x＞0 时，y 的值随x 值的增大而增大
C．函数的最小值小于﹣3
D．当x＝2 时，y＜0
【解答】解：由题意可得，
∵方程ax ²﹣2ax+a﹣3＝0 的两根异号，
∴x1 x2= a−3
a
＜0，
解得0＜a＜3，
∴二次项系数a＞0，开口向上，故A 不符合题意；
∵y＝ax ²﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线x =−−2a
2a =1，
∴当x＞1 时，y 随x 增大而增大，故B 不符合题意；
∵当x＝1 时，y＝﹣3，
∴最小值为﹣3，故C 不符合题意；
当x＝2 时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3，
∵0＜a＜3，
∴此时y＜0，故D 符合题意；
故选：D．
2.（2025•福建）已知点A（﹣2，
），B（1，
）在抛物线y＝3x ²+bx+1 上，若3＜b＜4，则下列判断
正确的是（ ）
A．1＜
＜
B．
＜1＜
C．1＜
＜
D．
＜1＜
【解答】解：∵y＝3x ²+bx+1，
∴当x＝0 时，y＝1，
∴抛物线过点（0，1），
∴抛物线的开口向上，对称轴为x =−
b
2×3 =−b
6
，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵3＜b＜4，
∴−2
3 ＜−b
6 ＜−1
2
，
∵−2+1
2
=−1
2 ＞−b
6
，−2+0
2
=−1＜−b
6
，
∴点A（﹣2，
）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，
）到对称轴的距离，
∴1＜
＜
，
故选：A．
3.（2025•泸州）已知抛物线y＝ax ²+bx+c 的对称轴为直线x＝1，与y 轴的交点位于x 轴下方，且x＝﹣1
时，y＞0，下列结论正确的是（ ）
A．2a＝b
B．b ²﹣4ac＜0
C．a﹣2b+4c＜0
D．8a+c＞0
【解答】解：∵抛物线y＝ax ²+bx+c 的对称轴为直线x＝1，
∴−b
2a =1，
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∴b＝﹣2a，故A 选项中原结论错误，不符合题意；
∵抛物线与y 轴的交点位于x 轴下方，
∴当x＝0 时，y＜0，
∵当x＝﹣1 时，y＞0，
∴抛物线与x 轴的一个交点一定在直线x＝﹣1 和y 轴之间，
∴抛物线与x 轴的另一个交点一定在直线x＝2 和直线x＝3 之间，
∴抛物线与x 轴有两个不同的交点，
∴关于x 的一元二次方程ax ²+bx+c＝0 有两个不相同的实数根，
∴b ²﹣4ac＞0，故B 选项中原结论错误，不符合题意；
∵当x＝0 时，y＜0，且当x＝﹣1 时，y＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线与x 轴的另一个交点一定在直线x＝2 和直线x＝3 之间，
∴当x＝﹣2 时，y＝4a﹣2b+c＞0，
∴4a+2•2a+c＞0，即8a+c＞0，故D 选项中原结论正确，符合题意；
当x =−1
2
时，y = 1
4 a−1
2 b+c = 1
4 (a−2b+ 4 c)，
当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1 时，则原函数解析式为y＝x2﹣2x﹣1，
当x =−1
2
时，y =(−1
2 )
2−2×(−1
2 )−1= 1
4 +1−1= 1
4 ＞0，故C 选项中原结论不正确，不符合题意；
故选：D．
4．（2026·徐州统考）下表给出了变量x 与
、
之间的部分对应关系（表格中的符号“▲”
表示该项数据已经丢失）：
x
0
1
▲
▲
1
8
3
▲
(1)求函数
的表达式并画出它的图像；
(2)结合图像回答问题：当x 的取值范围是______时，
？
(3)将函数
的图像向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度，则平移后函数的表达
式为______．
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【详解】（1）解：
当
时，
，
当
时，
的值是8，当
时，
的值是3
，
，
，
函数的表达式为
此函数的顶点坐标为
，对称轴为经过
且平行于y 轴的直线．
列表：
x
…
0
2
3
4
5
…
y
…
8
3
0
0
3
8
…
描点、连线：
（2）当
时，由二次函数函数图像可知：
自变量取值范围是：
（3）
，
函数图像向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度，即
，
．
（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
知识技能：（1）掌握二次函数一般式化顶点式的配方法步骤；（2）熟记通用公式：对称轴
，顶
点坐标
；（3）熟练根据a、b、c 判断二次函数的开口、对称轴、顶点、增减性、最值五
大核心性质.
思想方法：（1）转化思想：将陌生的一般式二次函数转化为熟悉的顶点式，化未知为已知；（2）数形结
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合思想：由解析式（数）分析图象性质（形），以形助数、以数释形；（3）归纳推理思想：由特殊函数
性质归纳出通用一般式函数性质.
易错提醒：（1）配方时易漏加、漏减常数项，符号计算容易出错；公式中符号易错，对称轴是
，
切勿遗漏负号；（3）增减性必须以对称轴为分界，不能笼统描述；（4）最值必须对应自变量取值（顶点
横坐标），不可只写函数值.
(设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：课本习题26.2 第3、4 题.
探究性作业：课本习题26.2 第5 题.
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书
26.2.3 二次函数y=ax+bx+c 的图象和性质（第一课
时）
一、一般式转化为顶点式
二、核心公式
三、函数性质
四、易错点
副板书
典型例题
（预留区域，课堂书写化简、检验例题）
例题
学生练习板演
