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7.3.3 余弦函数的性质与图象
课程标准
学习目标
（1）余弦函数图像的简单应用；
（2）余弦函数图象的区别与联系；
（3）会用余弦函数的性质解决一些简单的三角
函数问题。
（1）能正确使用“五点法”“图象变换法”作
出余弦函数
和
的，
并能体会正弦曲线和余弦曲线的关系，重点培养
直观想象核心素养；
（2）掌握余弦函数的性质，会求余弦函数的周
期、单调区间及最值，重点提升数学运算核心素
养。
知识点01 余弦函数的图象
1、余弦函数与余弦曲线：对于任意一个角
，都有唯一确定的余弦
与之对应，所以
是一个
函数，一般称为余弦函数。函数
的图象成为余弦曲线。
2、余弦函数图象的三种画法
（1）描点法：同正弦曲线的画法，通过列表、描点、连线、作图画出余弦函数在
上的图象；
（2）五点法：在函数
，
的图象上，有5 个关键点：
，
，
，
，
，描出五个关键点后，用平滑的曲线连接，可得
，
的图象。
（3）平移法：根据诱导公式
，可知
的图象可由
的图象向左平移
个单位得到（如图所示）。
【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）用“五点法”作
的图象，首先描出的五个点的横坐
标是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 余弦函数的性质
1、定义域与值域：定义域为R，值域为
当且仅当
，
时，
；
当且仅当
，
时，
；
2、奇偶性：偶函数
3、周期性：最小正周期为
4、单调性：单调增区间为
；单调减区间为
5、对称性：对称轴为
，对称中心为
【即学即练2】（2023·全国·高一随堂练习）函数
，当
时，（ ）
A．在区间
上单调递增，在区间
上单调递减
B．在区间
上单调递增，在区间
上单调递减
C．在区间
上单调递增，在区间
、
上单调递减
D．在区间
、
上单调递增，在区间
上单调递减
【题型一：余弦函数图象的画法】
例1．（2020·高一课时练习）用“五点法”作出函数
的图象,下列点中不属于五点作图中的五
个关键点的是
A．
B．
C．
D．
变式1-1．（2023·高一课时练习）用“五点法”作
，
的图象.
变式1-2．（2023·全国·高一随堂练习）画出下列函数的图象，并根据图象讨论函数的性质：
（1）
，
；
（2）
，
．
变式1-3．（2023·高一课时练习）作出函数
，
的大致图像．
【方法技巧与总结】
五点法作图是作三角函数图像时常用的方法，对形如
的余弦型函数，通常令
，再取
，分别求出对应的
，
的值，并列表、描点、连
线即可。
特别的，要注意函数的定义域，如果是给定的区间，列表时要取到给定区间的端点值。
【题型二：利用余弦函数有关的零点问题】
例2．（2024·山东青岛·高一统考期末）当
时，函数
与
的图象所有交点横
坐标之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-1．（2024·湖南·高一校联考期末）函数
的零点个数为 .
变式2-2．（2022·全国·高三专题练习）函数
的零点个数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
变式2-3．（2023·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）函数
的图象与直线
（为常数）的交点最多有（ ）
A．个 B．
个 C．个 D．
个
变式2-4．（2023·江苏扬州·高一统考期中）设函数
的定义域为R，
，
，当
时，
，则函数
在区间
上零点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【方法技巧与总结】
图象法研究三角函数的零点问题的解题思路
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数
的图象，函数
的图象与
轴交点的个数
就是函数
的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数
拆成两个函数
和
的差，根据
，则
函数
的零点个数就是函数
和
的图象的交点个数
【题型三：利用余弦函数图象解不等式】
例3．（2022·山东德州·高一校考阶段练习）满足
的角的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-1．（2022·云南曲靖·高一校考期末）当
，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-2．（2023·甘肃定西·高一统考期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-3．（2023·高一单元测试）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-4．（2023·浙江宁波·高一鄞州中学校考阶段练习）已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
利用三角函数的周期性，求出一个周期内符合要求的自变量
的范围，在这个范围两边同时加上周期即可。
【题型四：余弦函数的周期性及应用】
例4．（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末）函数
的最小正周期是
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-1．（2024·全国·高一专题练习）若函数
的最小正周期是2，则
的值为（
）
A．
B．
C．
D．
变式4-2．（2023·全国·高一专题练习）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-3．（2023·高一课时练习）如果函数
的相邻两个零点之间的距离为
，
则
.
变式4-4．（2024·河南商丘·高一统考期末）已知
，则
.
【方法技巧与总结】
对于一般的余弦型函数
的周期，利用
求解即可。而对含有参数的三角型函
数，注意进行分类讨论。
【题型五：余弦函数的奇偶性及应用】
例5．（2023·全国·高一专题练习）判断下列函数的奇偶性：
（1）
；
（2）
.
变式5-1．（2023·全国·高一专题练习）若
为奇函数，则实数
（ ）
A．
B． C． D．
变式5-2．（2024·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期末）已知函数
为
奇函数，则
.
变式5-3．（2022·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）已知函数
是偶函数，则
的值为（ ）
A．
B．1 C．1 或
D．
变式5-4．（2023·全国·高一专题练习）函数
，则（ ）
A．若
，则
为奇函数 B．若
，则
为偶函数
C．若
，则
为偶函数 D．若
，则
为奇函数
【方法技巧与总结】
（1）函数
是奇函数
；
（2）函数
是偶函数
【题型六：余弦函数的对称性及应用】
例6．（2023·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数
的对称中心为 .
变式6-1．（2023·河南驻马店·高一统考阶段练习）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于直线
对称 B．
的图象关于点
对称
C．
的图象关于点
对称 D．
的图象关于直线
对称
变式6-2．（2023·重庆九龙坡·高一杨家坪中学校考阶段练习）设函数
的最小正
周期为
，则它的一条对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6-3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数
的图象关于点
对称，那么
的
最小值为 ．
变式6-4．（2023·广东惠州·高一统考期末）已知函数
，（
）的图象在区间
内至多存在3 条对称轴，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：
1、
（或
）的图像关于
对称，则
或
；
2、
（或
）的图像关于点
中心对称，则
.
【题型七：求余弦函数的单调区间】
例7．（2023·广东广州·高一广州市南武中学校考期末）函数
的单调递减区间是（
）
A．
B．
C．
D．
变式7-1．（2023·浙江温州·高一温州市第五十一中学校考阶段练习）已知函数
，则
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
，
D．
，
变式7-2．（2023·广东江门·高一鹤山市第一中学校考期末）函数
的单调递减区间是（
）
A．
B．
C．
D．
变式7-3．（2023·河南焦作·高一校考阶段练习）函数
的一个单调减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7-4．（2023·全国·高一课堂例题）函数
的单调递增区间为 ．
【方法技巧与总结】
用“基本函数法”求函数
的单调区间的步骤
第一步：写出基本函数
的相应单调区间；
第二步：将“
”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“
”；
第三步：解关于
的不等式
【题型八：利用单调性比较余弦值大小】
例8．（2023·江西南昌·高一南昌市第三中学校考阶段练习）下列各式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式8-1．（2023·福建泉州·高一校联考期中）下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式8-2．（2023·安徽马鞍山·高一红星中学校考阶段练习）（多选）下列不等式中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式8-3．（2023·湖南·高一桃江县第一中学校联考期中）若
为锐角三角形，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
利用诱导公式将角度转化到同一个单调区间内，再利用单调性比较大小即可。
【题型九：由余弦函数单调性求参数】
例9．（2024·湖南·高一校联考期末）已知函数
，其中
.若
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式9-1．（2023·全国·高一期末）已知函数
在
上单调递减，则ω 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式9-2．（2023·江西抚州·高一校联考期中）已知函数
在区间
内单调递
增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式9-3．（2024·山东青岛·高一青岛第五十八中学校考阶段练习）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
已知单调性求参数的范围
（1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，
列不等式(组)求解；
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解
【题型十：余弦函数的最值或值域】
例10．（2024·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．3 D．4
变式10-1．（2024·广东汕头·高一统考期末）函数
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
-2
变式10-2．（2024·广西玉林·高一统考期末）已知函数
，
，则
的最小值为
．
变式10-3．（2023·广东江门·高一鹤山市第一中学校考期末）函数
的值域是
．
【方法技巧与总结】
与余弦函数有关的最值问题
1、求在
上的值域：当余弦在1 或-1 处取得最值，可直接代入验证，或分情况代入；
2、求定区间上的最值：可先计算
的范围，根据
在所求出的范围内的单调性求最值；
3、关于余弦的二次式求最值：可用换元法或配方法求最值.
一、单选题
1．（2023·江西·高一校联考期末）函数
图象的一条对称轴的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·全国·高一专题练习）已知函数
，
，则
的单调递增区间是
（ ）
A．
B．
C．
，
D．
，
3．（2024·重庆九龙坡·高一统考期末）函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·北京丰台·高一统考期末）函数
，则（ ）
A．
是最小正周期为
的奇函数 B．
是最小正周期为
的偶函数
C．
是最小正周期为
的奇函数 D．
是最小正周期为
的偶函数
5．（2023·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知函数
，则
是
为奇函数的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022·黑龙江大庆·高一大庆外国语学校校考期末）函数
零点的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
7．（2023·全国·高一专题练习）已知
为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·河南商丘·高一校考期末）已知函数
的对称中心是
，则
（ ）
A．
B．
C．3 D．0
二、多选题
9．（2023·广东佛山·高一校考阶段练习）下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·广东江门·高一统考期末）已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的最大值为2
C．
是偶函数 D．
的单调递减区间为
，
11．（2024·福建漳州·高一统考期末）为了得到函数
的图象，只需（ ）
A．将函数
的图象向左平移
个单位长度
B．将函数
的图象向左平移
个单位长度
C．将函数
的图象向左平移
个单位长度
D．将函数
的图象向右平移
个单位长度
12．（2023·广东佛山·高一乐从中学校考阶段练习）设函数
，则（ ）
A．
是偶函数 B．
在
上有无数个零点
C．
在
上单调递减 D．
的最大值为
三、填空题
13．（2023·陕西西安·高一长安一中校考阶段练习）求函数
的定义域为
．
14．（2023·山东潍坊·高一高密市第一中学校考阶段练习）已知函数
，
.则
的最大值为 .
15．（2023·全国·高一专题练习）已知函数
，
是奇函数，则
的值为
．
16．（2023·广东·高一校联考期末）已知函数
在
上有且仅有2 个零点，
则
的取值范围为 ．
四、解答题
17．（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的周期.
（1）
; （2）
;
（3）
; （4）
18．（2023·全国·高一专题练习）已知函数
，
.
（1）求函数
的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数
在区间
上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.
19．（2024·湖北·高一校联考期末）已知函数
（
）关于直线
对称．
（1）求函数
的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应x 的取值集合．
（2）求函数
，
的单调递减区间．
20．（2024·云南大理·高一统考期末）已知函数
.
（1）求函数
的最小正周期；
（2）求函数
的单调递减区间.
21．（2024·四川广安·高一统考期末）已知函数
.
（1）将函数
的解析式化简，并求
的值，
（2）若
，求函数
的值域.
22．（2024·广西玉林·高一统考期末）已知函数
的部分图象如图
所示．
（1）求
的解析式；
（2）将
的图象向右平移
个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的
倍，纵坐标不
变，得到函数
的图象，若关于
的方程
在
上有两个不等实根，求实数
的取值范围．
