1
计算题突破2 带电粒子在复合场中的运动
1.(10 分)(2025 四川攀枝花二模)如图甲所示,在平面直角坐标系xOy 中,在直线x=(4+√2
)d 和y 轴之间有垂直于纸面的匀强交变磁场,磁场方向垂直于纸面向外为正方向,磁感应
强度的大小和方向变化规律如图乙所示;在直线x=(4+√2)d 右侧有沿x 轴负方向的匀强
电场。t=0 时,一带正电的粒子从y 轴上的P 点(0,√2d-4d)沿与y 轴正方形成45°角射入匀
强交变磁场,在t=3t0时垂直穿过x 轴,一段时间后粒子恰好沿原路径回到P 点。粒子可
视为质点、重力不计,忽略由于磁场变化引起的电磁效应,求:
(1)粒子的比荷q
m
;
(2)粒子的初速度大小v0;
(3)匀强电场的电场强度大小E。
2.(12 分)(2025 四川成都三模)如图所示,空间直角坐标系Oxyz 中,Oz 方向竖直向上,M 点
坐标为(0,L,0),N 点坐标为(0,0,L),H 点坐标为(0, √3 L
3
,0)。已知质量为m、电荷量为q
的带正电小球以初速度v0=√2 gL从N 点沿y 轴正方向分别射入三种不同情况的复合场
(图中均未画出)。小球可视为质点,不计空气阻力,重力加速度大小为g。
2
(1)情况Ⅰ:在原点O 固定一电荷量未知的负点电荷,小球能运动到M 点,求小球到达M
点的动能Ek。
(2)情况Ⅱ:空间同时存在沿z 轴正方向、电场强度大小E=mg
q
的匀强电场和沿x 轴正方
向的匀强磁场,小球能运动到H 点,求小球从N 点到H 点的运动时间t。
(3)情况Ⅲ:空间同时存在沿z 轴正方向、电场强度大小E=mg
q
的匀强电场和从N 点指向
M 点方向的匀强磁场,小球能运动到M 点,求磁感应强度的最小值Bmin。
3.(12 分)(2025 山东滨州二模改编)电磁聚焦和发散技术多用于高端科技领域,如约束核
聚变和航天领域的离子推进器等方面均有应用。如图所示,在xOy 平面内有组合电场和
磁场,可以实现带电粒子的聚焦和发散。质量为m、电荷量为+q 的同种带电粒子以相同
的速度平行于x 轴射入第三象限的匀强电场中,电场强度大小为E、方向沿y 轴负方向,
边界分别与x 轴、y 轴交于P(- 2√3
3
L,0)、Q(0,-L)两点,其PQ 边界均有粒子射入,且所
有粒子都从坐标为(0,-L)的Q 点射出电场,进入第四象限的匀强磁场中,其中速度平行于
x 轴方向射入磁场的粒子恰能垂直打到x 轴的正半轴上。若打到x 轴上的粒子中只有离
坐标原点最近的粒子能够射入第一象限,其他粒子均被吸收,第一象限内有边界平行于x
轴且宽度均为L
2
的若干区域,交替分布着空白区域和方向垂直于纸面向外的匀强磁场区
域。不计粒子的重力和粒子间的相互作用,不考虑电磁场的边缘效应。求:
3
(1)第三象限内,粒子射入匀强电场的初速度大小v0;
(2)所有粒子打到x 轴正半轴上的区域长度d;
(3)若第一象限的匀强磁场的磁感应强度大小B1=1
3√
6mE
qL
,射入第一象限的粒子离x 轴
的最远距离y。
4.(16 分)(2025 河北石家庄三模)如图所示,在平面直角坐标系xOy 内,以O1(0,R)为圆心、
半径为R 的区域Ⅰ内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。第
二象限有一平行于y 轴、宽度为2R 的线状电子源,电子源中心与O1点等高。在x 轴上
放置一定长度的薄收集板,收集板左端置于原点O 处。x 轴下方区域Ⅱ存在磁感应强度
大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。电子源沿x 轴正方向均匀发射质量为m、
电荷量为e、速度相同的电子,射入圆形磁场区域后经O 点全部进入区域Ⅱ(收集板左端
不会挡住经过O 点的电子),只有一半数量的电子打到收集板上并被吸收。忽略电子重
力和电子间相互作用。
甲
4
乙
(1)求电子源发射电子的初速度v 的大小。
(2)求该收集板的长度。
(3)现撤去区域Ⅱ的磁场,然后在x≥0 和y≤0 区域加垂直于纸面方向的磁场,磁感应强度
B'随x 轴坐标变化的规律如图乙所示,规定垂直于纸面向外为磁场的正方向。电子源正
对O1点以原初速度射向区域Ⅰ的电子运动轨迹经过点(R,-kR),其中k>0 且为已知量。求
该电子轨迹上横坐标为4R 的点的纵坐标。
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参考答案
1.答案 (1)
π
4 B0t0
(2)π d
2t0
(3)B0d
nt0
(n=1,2,3,…)
解析 (1)粒子要沿原路返回到P 点,则粒子在3t0时垂直穿过x 轴且必在磁场中,根据几何
关系可知,此时粒子的速度方向沿y 轴正方向,运动轨迹如图所示。
设在0~t0内粒子的速度偏转角为θ,粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T,根据磁场
变化的规律,则有2θ-θ=45°,t0=
θ
360°
×T
粒子在磁场中,由洛伦兹力提供向心力,则有Bqv0=mv0
2
r
,T=2π r
v0
可得粒子在磁场中的运动周期T=2π m
q B0
联立解得q
m =
π
4 B0t0
。
(2)设粒子做圆周运动的半径为R,由几何关系有2R+Rsin θ=4d+√2d
粒子由洛伦兹力提供做圆周运动的向心力,有v0=q B0 R
m
联立解得v0=π d
2t0
。
(3)由以上分析可知,粒子在t=5t0时沿x 轴正方向进入电场。粒子要沿原路返回到P 点,
粒子从电场回到磁场时,磁场方向应垂直于纸面向里,即粒子最早应在t=9t0时返回磁场。
设粒子在电场中运动的时间为t,考虑到周期性,则有t=4nt0(n=1,2,3,…)
对粒子在电场中的运动,由动量定理有qE t
2
=mv0
6
联立以上各式,解得E=B0d
nt0
(n=1,2,3,…)。
2.答案 (1)2mgL (2)2π
9 √
2 L
g
(3)π m
q √
2g
L
解析 (1)N、M 两点电势相等,从N 点到M 点电场力做功为零,对小球由动能定理得
mgL=Ek-1
2 m v0
2
解得Ek=2mgL。
(2)小球所受电场力等于重力qE=mg,如图所示,小球在yOz 平面内从N 点运动到H 点做
匀速圆周运动,O'为轨迹圆圆心,设小球运动的半径为r,由几何关系可得r2=(L-r)2+
(
√3 L
3 )
2
解得r=2
3
L
由几何关系得sin θ= √3 L
3
r
= √3
2
解得θ=60°
小球从N 点到H 点的运动时间为t=180°-θ
360°
· 2π r
v0
解得t=2π
9 √
2 L
g
。
(3)小球做等距螺旋运动,将小球速度分解到垂直于磁场和平行于磁场的方向,平行磁场
方向有√2L=v0cos 45°·t1
7
运动时间t1=√
2 L
g
小球在垂直磁场方向做匀速圆周运动,设周期为T,洛伦兹力提供向心力,有qv0sin
45°·Bmin=m(v0sin 45°)
2
r1
粒子运动的周期为T=
2π r1
v0sin 45°
解得T= 2π m
q Bmin
当小球垂直于磁场方向完成一次圆周运动到M 点时,磁感应强度有最小值,即T=t1
解得Bmin=π m
q √
2g
L
。
3.答案 (1)1
3√
6qEL
m
(2)(√3+1)L
(3)2L
解析 (1)从P 点射入第三象限内匀强电场的带电粒子在电场中做类平抛运动,则有L=1
2
at2,2
3 √3L=v0t,qE=ma
解得v0=1
3√
6qEL
m
。
(2)从P 点射入电场中的粒子做类平抛运动的竖直分速度vy=at
从电场中射出时速度与水平方向的夹角为θ,则有tan θ=v y
v0
得θ=60°
解得v1= v0
cosθ
=2v0
速度方向垂直于y 轴射入第四象限的磁场中的粒子,垂直x 轴射出磁场,有r0=L,由洛伦兹
力提供向心力,有qvB=mv
2
r
8
得r=mv
qB
可知,速度大小为v1的粒子在磁场中做圆周运动的半径r1=2L
由几何关系可得圆心在x 轴上,则有d=2L+2Lsin 60°-L
解得d=(√3+1)L。
(3)粒子在第一象限的磁场中,有qv0B1=mv0
2
r2
解得r2=L
所以粒子在第一象限中经历了2 个磁场区域和2 个空白区域,则有y=2L。
4.答案 (1)eBR
m
(2)√3R (3)-4kR
解析 (1)电子在区域Ⅰ内做圆周运动,设轨道半径为R1,根据牛顿运动定律得evB=mv
2
R1
电子在区域Ⅰ运动的轨道半径等于圆形磁场的半径,则R1=R
解得v=eBR
m
。
(2)作出电子在磁场中运动的轨迹如图(a)所示,距离电子源中心位置R
2
的粒子打在O 点时,
速度方向分布在y 轴左右两侧,与y 轴夹角均为30°。由题意可知,距离电子源中心位置
大于R
2
的区域粒子直接打到收集板上,其他电子均不能打到收集板上。
(a)
9
作出速度方向与y 轴左右两侧夹角均为30°角的电子在区域Ⅱ中的运动轨迹,两电子在
区域Ⅱ内运动的轨迹圆心角为120°和240°;设收集板的长度为l,根据几何关系得l=2rcos
30°
因为区域Ⅱ磁场磁感应强度也为B,故r=R
解得l=√3R。
(3)正对O1点射向区域Ⅰ的电子在区域Ⅰ内做1
4
圆周运动,运动的轨道半径等于圆形磁场
的半径R,电子从O 点沿y 轴负方向射出,速度大小为v,运动轨迹如图(b)所示。设y 轴正
向为正方向,经时间Δt,由动量定理得evxB'Δt=mΔvy
所以∑evxB'Δt=mvy-(-mv)
(b)
设图乙中图像与x 轴围成的面积为S,则eS=mvy-(-mv)
在0~R 间,S=2BR·1
2
解得电子经过点(R,-kR)时沿y 轴负方向分速度vy=0
0~R 全程洛伦兹力不做功,速率不变。可知电子经过点(R,-kR)时沿x 方向分速度vx=v
在R~2R 间,电子沿y 轴负方向分速度由0 增大到v,沿x 方向分速度由v 减小到0,电子在
y 轴负方向的位移与0~R 间的相同,之后重复运动,故该电子轨迹上横坐标为4R 的点的
纵坐标为-4kR。
