广安友实学校高2023 届广安二诊模拟考试一
数学
一、单选题（共60 分）
1.集合
{
1
3}
A
x
N
x
=
−
的真子集个数为（ ）
A.3
B.4
C.7
D.8
2.复数z 满足(1
)
2
z
i
i
−
=
（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）
A.
1
−
B.1
C. i
D.
i
−
3. 已知平面，直线l 、m ，若m
，则“ //
l m”是“ / /
l
”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 已知向量
(
)
1,2
a = −
，点(
)
2,1
A −
，若AB
a
∥
且
3 5
AB =
，O 为坐标原点，则OB 的坐标为（ ）
A. (
)
1, 5
−
B. (
)
5,7
−
C. (
)
1, 5
−
或(
)
5, 7
−
D. (
)
1, 5
−
或(
)
5,7
−
5、已知点
(
)
1,2
P
为角终边上一点，则
2
cos2
1 sin
=
+
（ ）
A.
1
3
−
B.
1
3
C.
3
−
D. 1
9
6.已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
9
4
45,
31
n
S
a −
=
=
，若
198
n
S =
，则n = （ ）
A. 13
B.12
C. 11
D. 10
7.已知函数
( )
(
)
2
2
lg
1
f x
x
x
x
=
+
−
+
，则函数
( )
f
x 的大致图象为（ ）
8.剪纸艺术是中国古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺
术享受。在如图所示的圆形图案中有12 个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树
叶状图形的圆弧均相同。若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
（ ）
A.
6 3
4
−
B.
3 3
2
−
C. 3 3
D. 6 3
9. 设
sin7
a =
，则（ ）
A.
2
2
2
log
a
a
a
B.
2
2
log
2a
a
a
C.
2
2
log
2a
a
a
D.
2
2
log
2a
a
a
{#{QQABSYS04gqwkEaACC4KFQVYCkgQsIMjLSoMAVCYuAQDyBNIFIA=}#}
10. 将函数
( )
cos(
)(
0,
0,
0)
f x
A
x
A
=
+
−
图象上所有点向右平移π
6
个单位长度，得到如图所
示的函数
( )
y
g x
=
的图象，则
π
(0)
3
f
f
+
=
（ ）
A. 0
B. 1 C. 2 D.
1
−
11.已知双曲线
(
)
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
−
=
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，点P 是双曲线上一点，
1
2
PF F
是以
1F P 为
底边的等腰三角形，且
2
1
2
3
3
PF F
，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. (
)
1,2
B.
3
1
1,
2
+
C.
3
1,
2
+
+
D.
3
1,2
2
+
12.已知函数
( )
x
f x
xe−
=
，( )
2
1
ln
2
g x
x
x
a
=
−
+
，若
1
2
,
1,2
x x
，使得
(
)
(
)
1
2
f x
g x
=
，则实数a 的取值范
围是（ ）
A.
2
2
1
1
ln 2
2,
2
e
e
+
−
−
B.
2
2
1
1
ln 2
2,
2
e
e
+
−
−
C.
2
1
1 2
,
ln 2
2
2
e e
−
−
+
D.
2
1
1 2
,
ln 2
2
2
e e
−
−
+
二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.
13.已知数列
na
满足
1
1
2,
2
n
n
a
a
S
+
=
=
，则
3
S = 。
14.实数,x y 满足不等式组
2
1
0
2
3
0
3
0
x
y
x
y
x
y
−
+
−
+
+
+
，则
2
2
z
x
y
=
+
的最小值为 。
15. 已知双曲线
(
)
2
2
2
:
1
0
3
x
y
C
a
a −
=
的左、右分别为
1
2
F
F
、
, 点P 是双曲线C 的右支上的一点，若
1
2
1
tan
3
PF F
=
，且
1
2
PF F
的面积为3，则双曲线C 的焦距为 。
16. 如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，且AB=DE=2，CF=1，G 为棱
BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：
①当H 为DE 的中点时，GH∥平面ABE；
②存在点H，使得GH⊥AE；
③三棱锥B−GHF 的体积为定值；
④三棱锥E−BCF 的外接球的表面积为14。
其中正确
结论序号为______ 。（填写所有正确结论的序号）
{#{QQABSYS04gqwkEaACC4KFQVYCkgQsIMjLSoMAVCYuAQDyBNIFIA=}#}
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
17. (12 分)党的二十大报告提出：“必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力，深入实施科教
举国战略、人才强国战略、创新驱动发展战略，开辟发展的领域新赛道，不断塑造发展新动能新优势。”某数字化
公司为加快推进企业数字化进程，决定对其核心系统DAP ,采取逐年增加研发人员的办法以提升企业整体研发和
创新能力。现对2018-2022 年的研发人数作了相关统计（年份代码1-5 分别对应2018-2022）如下折线图：
（1）根据折线统计图中的数据，计算该公司研发人数y 与年份代码x 的相关系数r ，并由此判断相关性的强弱；
（2）试求出y 关于x 的线性回归方程，并预测2023 年该公司的研发人数（结果取整数）。
参考数据：
(
)
5
2
1
54944
i
i
y
y
=
−
=
，549440
741.2
，当
0.75,1
r
时认为两个变量之间的相关性较强。
参考公式：
(
)(
)
(
)
(
)
1
2
2
1
1
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y
=
=
=
−
−
=
−
−
，
(
)(
)
(
)
1
2
1
ˆ
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
x
x
=
=
−
−
=
−
，
ˆ
ˆa
y
bx
=
−
。
18. (12 分)在ABC
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，其外接圆的半径为
3 ，且满足
4 3sin
cos
2
B
C
a
c
=
−
。
（1）求角B ；
（2）若AC 边上的中线长为5
2
，求ABC
的面积。
19．(12 分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1 中，侧棱CC1⊥底面ABC，AB＝AC，D，E，F 分别为棱AA1，BB1，BC
的中点．
(1)求证：BC1⊥AF；
(2)若AB＝2，BC＝CC1＝2 2，求三棱锥D－AEF 的体积；
(3)判断直线CD 与平面AEF 的位置关系，并说明理由．
{#{QQABSYS04gqwkEaACC4KFQVYCkgQsIMjLSoMAVCYuAQDyBNIFIA=}#}
20. (12 分)已知函数
( )
2
x
f x
x e
=
，( )
(
)
1
x
g x
ae
x
=
+
（a
R
，e 是自然对数的底数）。
（1）若函数( )
g x 在
0
x =
处的切线方程为
0
x
y
a
−
+
=
，求实数a 的值；
（2）
)
0
0,
x
+，使得(
)
(
)
0
0
2
g x
f x
a
+
成立，求实数a 的取值范围。
21. 如图所示，已知椭圆
2
2
:
1
6
3
x
y
C
+
=
与直线:
1
6
3
x
y
l
+
=
．点P 在直线l 上，由点P 引椭圆C 的两条切线
PA 、PB ，A
B
、
为切点，O 是坐标原点。
（1）若点P 为直线l 与y 轴的交点，求PAB
的面积S ；
（2）若OD
AB
⊥
，D
垂足，求证：存在定点Q ，使得DQ 为定值。
选考题：共10 分，请考生在第22、23 题中任选一题作答。
22.（10 分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
3
6
3
x
t
y
t
=
+
=
−
（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 经过极点，且其圆心的极坐标为2, 2
。
（1）求直线l 的普通方程与圆C 的极坐标方程；
（2）若射线
(
)
0
3
=
分别与圆C 和直线l 交于点A，B（点A 异于坐标原点O），求线段AB 长。
23.（10分)已知函数
( )
2
1
2
3
f x
x
x
=
+
−
+
。
(1)求
( )
f
x 的最大值m ; (2)若正数, ,
a b c 满足abc
m
=
，证明:
1
𝑎+
1
𝑏+
1
𝑐≥√𝑎+ √𝑏+ √𝑐。
{#{QQABSYS04gqwkEaACC4KFQVYCkgQsIMjLSoMAVCYuAQDyBNIFIA=}#}
