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2022 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅱ
卷）
数 学
参考答案
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1. B 2. D 3. D 4. C 5. B 6.C 7. A 8. A
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.
9. AD 10. ACD 11. CD 12. BC
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.
13.
##
．
14. ①.
.
②
15.
16.
四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．
17.（1）设数列
的公差为
，所以，
，即可解得，
，所以原命题得证．
（2）
．
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18.（1）
（2）
19.（1）47.9 岁；
（2）
；
（3）
．
20.（1）证明：连接
并延长交
于点
，连接
、
，
因为
是三棱锥
的高，所以
平面
，
平面
，
所以
、
，
又
，所以
，即
，所以
，
又
，即
，所以
，
，
所以
所以
，即
，所以
为
的中点，又
为
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
（2）
21.（1）
（2）由已知得直线
的斜率存在且不为零，直线
的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线
的斜率存在且不为零；
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若选①③推②，则
为线段
的中点，假若直线
的斜率不存在，则由双曲线的对称
性可知
在
轴上，即为焦点
,此时由对称性可知
、
关于
轴对称，与从而
，
已知不符；
总之，直线
的斜率存在且不为零.
设直线
的斜率为
,直线
方程为
,
则条件①
在
上，等价于
；
两渐近线的方程合并为
,
联立消去y 并化简整理得：
设
,线段中点为
,则
,
设
,
则条件③
等价于
,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即
,
即
；
由题意知直线
的斜率为
, 直线
的斜率为
,
∴由
,
∴
,
所以直线
的斜率
,
直线
,即
,
代入双曲线的方程
,即
中，
得：
,
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解得
的横坐标：
,
同理：
，
∴
∴
,
∴条件②
等价于
，
综上所述：
条件①
在
上，等价于
；
条件②
等价于
；
条件③
等价于
；
选①②推③:
由①②解得：
,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：
，
，
∴
，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：
，
，∴
，
∴
，∴①成立.
22.（1）
的减区间为
，增区间为
.
（2）
（3）取
，则
，总有
成立，
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令
，则
，
故
即
对任意的
恒成立.
所以对任意的
，有
，
整理得到：
，
故
，
故不等式成立.
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