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2024 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟．
第Ⅰ卷1 至3 页，第Ⅱ卷4 至6 页．
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置
粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结
束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号．
2．本卷共9 小题，每小题5 分，共45 分．
参考公式：
·如果事件
互斥，那么
．
·如果事件
相互独立，那么
．
·球的体积公式
，其中
表示球的半径．
·圆锥的体积公式
，其中表示圆锥的底面面积，表示圆锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 已知
，则“
”是“
”的（ ）
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A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 下列图中，线性相关性系数最大的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 下列函数是偶函数的为（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 设
，则
的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 已知
是两条直线，
是一个平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若
，
，则
B. 若
，则
C. 若
，则
D. 若
，则
7. 已知函数
的最小正周期为
．则
在区间
上的最小值是（
）
A.
B.
C. 0
D.
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8. 双曲线
的左、右焦点分别为
点
在双曲线右支上，直线
的斜率为
2．若
是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 在如图五面体
中，棱
互相平行，且两两之间距离均为1 ．若
．则该五面体的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11 小题，共105 分．
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分．试题中包含两个空的，答对1 个的给
3 分，全部答对的给5 分．
10.
是虚数单位，复数
______．
11. 在
的展开式中，常数项为______．
12. 已知圆
的圆心与抛物线
的焦点
重合，且两曲线在第一象限的交点为
，
则原点到直线
的距离为______．
13. 某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5 个项目，分别为整地做畦、旱
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田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3 个项目.假设每人参加每个项目
可能
性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3 个项目中有“整地做畦”，
则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______．
14. 已知正方形
的边长为1，
若
，其中
为实数，则
______；设
是线段
上的动点，
为线段
的中点，则
的最小值为______．
15. 设
，函数
.若f (x)恰有一个零点，则
的取值范围为______．
三、解答题：本大题共5 小题，共75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16. 在
中，角
所对的边分别为a,b,c，已知
．
（1）求
的值；
（2）求
值；
（3）求
的值．
17. 如图，在四棱柱
中，
平面
，
，
．
分别为
的中点，
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
与平面
夹角余弦值；
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（3）求点
到平面
的距离．
18. 已知椭圆
离心率为1
2．左顶点为
，下顶点为
是线段
的中点
（O 为原点），
的面积为
．
（1）求椭圆
方程．
（2）过点C 的动直线与椭圆相交于
两点．在
轴上是否存在点
，使得
恒成立．若存
在，求出点
纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
19. 已知
为公比大于0 的等比数列，其前
项和为
，且
．
（1）求
通项公式及
；
（2）设数列
满足
，其中
．
（ⅰ）求证：当
时，求证：
；
（ⅱ）求
．
20. 已知函数
．
（1）求曲线
在点(1,f (1))处的切线方程；
（2）若
对任意x∈(0,+∞)成立，求实数
的值；
（3）若
，求证：
．
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2024 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟．
第Ⅰ卷1 至3 页，第Ⅱ卷4 至6 页．
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置
粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结
束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号．
2．本卷共9 小题，每小题5 分，共45 分．
参考公式：
·如果事件
互斥，那么
．
·如果事件
相互独立，那么
．
·球的体积公式
，其中
表示球的半径．
·圆锥的体积公式
，其中表示圆锥的底面面积，表示圆锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1 题答案】
【答案】B
【2 题答案】
【答案】C
【3 题答案】
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【答案】A
【4 题答案】
【答案】B
【5 题答案】
【答案】D
【6 题答案】
【答案】C
【7 题答案】
【答案】D
【8 题答案】
【答案】A
【9 题答案】
【答案】C
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11 小题，共105 分．
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分．试题中包含两个空的，答对1 个的给
3 分，全部答对的给5 分．
【10 题答案】
【答案】
【11 题答案】
【答案】20
【12 题答案】
【答案】
##
【13 题答案】
【答案】 ①.
.
②
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【14 题答案】
【答案】 ①.
.
②
【15 题答案】
【答案】
三、解答题：本大题共5 小题，共75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
【16 题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【17 题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【18 题答案】
【答案】（1）
（2）存在
，使得
恒成立.
【19 题答案】
【答案】（1）
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（2）①证明见详解；②
【20 题答案】
【答案】（1）
（2）2 （3）证明过程见解析
