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参考答案
2024 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟．
第Ⅰ卷1 至3 页，第Ⅱ卷4 至6 页．
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置
粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结
束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号．
2．本卷共9 小题，每小题5 分，共45 分．
参考公式：
·如果事件
互斥，那么
．
·如果事件
相互独立，那么
．
·球的体积公式
，其中
表示球的半径．
·圆锥的体积公式
，其中表示圆锥的底面面积，表示圆锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.B
2.C
3.A
4.B
5.D
6.C
7.D
8.A
9.C
第Ⅱ卷
注意事项：
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1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11 小题，共105 分．
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分．试题中包含两个空的，答对1 个的给
3 分，全部答对的给5 分．
10.
11.20
12.
##
13.
.
①
.
②
14.
.
①
.
②
15.
三、解答题：本大题共5 小题，共75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16.（1）
（2）
（3）
17.（1）证明见解析
（2）
（3）
18.（1）
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（2）存在
，使得
恒成立.
19.（1）
（2）①证明见详解；②
20.（1）
（2）2 （3）证明过程见解析
