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2022 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学
姓名________ 准考证号_________________
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4 页，选择题部分1 至3 页；非选择题部分3 至4
页．满分150 分，考试时间120 分钟。
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答
题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题
卷上的作答一律无效。
参考公式：
如果事件A，B 互斥，则 柱体的体积公式
如果事件A，B 相互独立，则 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
锥体的体积公式
若事件A 在一次试验中发生的概率是p，则n 次
独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
球的表面积公式
台体的体积公式
球的体积公式
其中
表示台体的上、下底面积，
h 表示台体的高 其中R 表示球的半径
选择题部分（共40 分）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
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1．设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
（为虚数单位），则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若实数x，y 满足约束条件
则
的最大值是（ ）
A．20 B．18 C．13 D．6
4．设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．某几何体的三视图如图所示（单位：
），则该几何体的体积（单位：
）是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．为了得到函数
的图象，只要把函数
图象上所有的点（ ）
A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度
7．已知
，则
（ ）
A．25 B．5 C．
D．
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8．如图，已知正三棱柱
，E，F 分别是棱
上的点．记
与
所成的
角为
，
与平面
所成的角为
，二面角
的平面角为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知
，若对任意
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知数列
满足
，则
A．
B．
C．
D．
非选择题部分（共110 分）
二、填空题：本大题共7 小题，单空题每题4 分，多空题每空3 分，共36 分．
11．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它
填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是
，其中
a，b，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边
，则该三角形的面积
___________．
12 ．已知多项式
，则
__________ ，
___________．
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13．若
，则
__________，
_________．
14．已知函数
则
________；若当
时，
，则
的最大值是_________．
15．现有7 张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7 张卡片中随机抽取3 张，记所抽取卡片上数
字的最小值为
，则
__________，
_________．
16．已知双曲线
的左焦点为F，过F 且斜率为
的直线交双曲线于点
，
交双曲线的渐近线于点
且
．若
，则双曲线的离心率是_________．
17．设点P 在单位圆的内接正八边形
的边
上，则
的取值范围是
_______．
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题满分14 分）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．
已知
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若
，求
的面积．
19．（本题满分15 分）如图，已知
和
都是直角梯形，
，
，
，
，
，
，二面角
的平面角为
．设M ，N 分别为
的中点．
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（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值．
20．（本题满分15 分）已知等差数列
的首项
，公差
．记
的前n 项和为
．
（Ⅰ）若
，求
；
（Ⅱ）若对于每个
，存在实数
，使
成等比数列，求d 的取值范围．
21．（本题满分15 分）如图，已知椭圆
．设A，B 是椭圆上异于
的两点，且点
在线段
上，直线
分别交直线
于C，D 两点．
（Ⅰ）求点P 到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）求
的最小值．
22．（本题满分15 分）设函数
．
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）已知
，曲线
上不同的三点
处的切线都经过点
．证明：
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（ⅰ）若
，则
；
（ⅱ）若
，则
．
（注：
是自然对数的底数）
2022 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学参考答案
选择题部分（共40 分）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. D 2. B 3. B 4. A 5. C 6. D 7. C 8. A 9. D 10. B
非选择题部分（共110 分）
二、填空题：本大题共7 小题，单空题每题4 分，多空题每空3 分，共36 分．
11.
.
12.①.
②.
13. ①.
②.
14. ①.
②.
##
15.①.
， ②.
##
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16.
17.
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18.（1）
；
（2）
．
19.（1）过点
、
分别做直线
、
的垂线
、
并分别交于点交于点
、
．
∵四边形
和
都是直角梯形，
，
，由平面几何知识易知，
，
则四边形
和四边形
是矩形，∴在Rt
和Rt
，
，
∵
，且
，
∴
平面
是二面角
的平面角，则
，
∴
是正三角形，由
平面
，得平面
平面
，
∵
是
的中点，
，又
平面
，
平面
，可得
，而
，∴
平面
，而
平面
．
（2）
．
20.（1）
（2）
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21.（1）
；
（2）
．
22.（1）
的减区间为
，增区间为
.
（2）（ⅰ）因为过
有三条不同的切线，设切点为
，
故
，
故方程
有3 个不同的根，
该方程可整理为
，
设
，
则
，
当
或
时，
；当
时，
，
故
在
上为减函数，在
上为增函数，
因为
有3 个不同的零点，故
且
，
故
且
，
整理得到：
且
，
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此时
，
设
，则
，
故
为
上的减函数，故
，
故
.
（ⅱ）当
时，同（ⅰ）中讨论可得：
故
在
上为减函数，在
上为增函数，
不妨设
，则
，
因为
有3 个不同的零点，故
且
，
故
且
，
整理得到：
，
因为
，故
，
又
，
设
，
，则方程
即为：
即为
，
记
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则
为
有三个不同的根，
设
，
，
要证：
，即证
，
即证：
，
即证：
，
即证：
，
而
且
，
故
，
故
，
故即证：
，
即证：
即证：
，
记
，则
，
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设
，则
即
，
故
在
上为增函数，故
，
所以
，
记
，
则
，
所以
在
为增函数，故
，
故
即
，
故原不等式得证：
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