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专题10 磁场 带电粒子在磁场中的运动
目录
第一部分 风向速递 洞察考向，感知前沿
第二部分 分层突破 固本培优，精准提分
A 组·保分基础练
题型01 磁场的叠加
题型02 安培力作用下的平衡问题
题型03 带电粒子在匀强有界磁场中的运动
题型04 带电粒子在组合场中的运动
题型05 带电粒子（带电体）在叠加场中的运动
B 组·抢分能力练
第三部分 真题验证 对标高考，感悟考法
1．
（2025·贵州遵义·一模）如图，在水平面上有一质谱仪，由直线加速器和磁场偏转器组成，
偏转器内有方向竖直向上的匀强磁场；偏转器的水平截面是圆心为O、内半径为R、外半径为2R 的半圆环。
粒子从静止经加速电压U0加速后，正对偏转器入口矩形abcd 的中心进入磁场区域，粒子做半径为r 的圆
周运动后打在照相底片矩形efgh 的中心。在质谱仪正常工作时，加速电压在
到
之间波动，
粒子均能打在照相底片上，但感光位置会发生改变。令
，感光长度为
，不计粒子重力及粒子间
的相互作用，则
与r 的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】经过加速后获得的速度大小为v，根据动能定理有
根据洛伦兹力提供向心力，有
联立解得
由此可知粒子加速电压越大，运动的轨道半径就越大，则
，
因为
，变形得
则最小半径为
最大半径为
感光长度
则
故选D。
2．
（2025·陕西西安·模拟预测）xOy 空间存在一范围足够大的匀强磁场和匀强电场。磁场方向
垂直于xOy 平面向外，磁感应强度大小为B；电场方向为y 轴正向，电场强度为E，一质量为m，电荷量
为q（q＞0）的粒子从坐标原点O 以初速度v0沿y 轴正向发射，其运动轨迹如图所示。不计重力，则（
）
A．粒子向y 轴正向上运动的过程中电势能逐渐增大
B．粒子能到达的最低点距x 轴距离为
C．运动过程中粒子的最大速度为
D．运动过程中粒子的最大速度为
【答案】D
【详解】A．正电荷向y 轴正向上运动，沿电场方向运动，电场力做正功，电势能减小，故A 错误；
B．如图所示，将v0分解为v1和v2，且使v1满足qv1B=qE，即v1引起的洛伦兹力与粒子所受电场力平衡，
得
则粒子的运动可以分解成由v1引起的沿x 轴正方向的匀速直线运动，和由v2引起的在xOy 平面内
做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有
解得
粒子能到达的最低点
距x 轴距离
解得
，故B 错误；
CD．粒子实际的运动就是这两个分运动的合运动，当两个分运动的速度均沿x 轴正方向时，粒子的合速度
最大，
，故C 错误，D 正确。
故选 D。
3．
（2025·北京大兴·三模）如图1，在光滑绝缘水平桌面内建立直角坐标系
，空间内存在
与桌面垂直的匀强磁场。一质量为
、带电量为
的小球在桌面内做圆周运动。平行光沿
轴正方向照射，
垂直光照方向放置的接收器记录小球不同时刻的投影位置。投影坐标
随时间的变化曲线如图2 所示。
下列说法正确的是（ ）
A．投影做的是简谐运动，其振幅为
B．
时间内，投影的速度逐渐增大
C．磁感应强度大小为
D．投影的速度最大值为
【答案】D
【详解】A．振幅A 是投影偏离平衡位置的最大距离。由图 2，最大
最小
平衡位置
则
振幅
，A 错误；
B．
时间内，投影
图像斜率绝对值减小（斜率表示速度 ），故投影速度逐渐减小，B 错误；
C．小球做圆周运动的周期T 等于投影简谐运动的周期。由图 2 可知
得
由洛伦兹力提供向
心力
且圆周运动周期
得
，C 错误；
D．简谐运动最大速度
，D 正确。故选D。
01 磁场的叠加
4．（2025·湖北恩施·一模）如图所示，相同的长直导线
、
、、
、的中点分别固定在圆周的五等分
点处，导线与圆周所在平面垂直，且通有同样的电流。关于圆心
点处的磁感应强度
，下列说法正确的
是（ ）
A．
的大小不为
，方向平行于圆周所在平面
B．
的大小不为
，方向垂直于圆周所在平面
C．若
导线中的电流反向，则
的方向平行
D．若
导线中的电流反向，则
的方向垂直
【答案】D
【详解】AB．若导线中通有同样的电流，则每根导线在
点产生的磁感应强度大小相等，且均与导线与
点的连线垂直，如下图所示
由对称性可知，
点处的磁感应强度为
，故AB 错误；
CD．
、、
、四根导线在
处产生的合磁感应强度与
导线中原电流产生的磁感应强度等大反向，
若
导线中的电流反向，则
导线中电流产生的磁感应强度也与
导线中原电流产生的磁感应强度等大反
向，均垂直于
，故磁场
的方向垂直
，故C 错误，D 正确。
故选D。
5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在等边三角形的顶点
、上分别放置垂直纸面的通电直导线，两
导线中电流大小相等、方向垂直纸面向里，关于顶点
处的磁感应强度方向，以下描述正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意，根据右手螺旋定则，b 电流产生的磁场垂直于ba 偏向右下方，c 电流产生的磁场垂直于
ca 偏向右上方，根据平行四边形定则，则合场强的方向水平向右，与bc 边平行，故选B。
6．（2025·江苏南京·模拟预测）如图所示，AC 是四分之一圆弧，O 为圆心，A、C 处各有一垂直纸面的通
电直导线，电流大小相等，方向均垂直纸面向里，整个空间还存在一个磁感应强度大小为B 的匀强磁场，
O 处的磁感应强度恰好为零。下列说法正确的是（ ）
A．两通电直导线相互排斥
B．A 处直导线在O 处产生的磁感应强度大小为
C．若将C 处直导线移走，则O 处的磁感应强度大小变为
D．若将A 处直导线中的电流反向、大小不变，则O 处的磁感应强度方向竖直向下
【答案】C
【详解】A．同向通电直导线相互吸引，故A 错误；
B．A 处直导线在O 处产生的磁感应强度大小为B1，则C 处直导线在O 处产生的磁感应强度大小为B1，根
据矢量的叠加可得
所以
，故B 错误；
C．若将C 处直导线移走，则O 处的合磁感应强度大小与C 处导线在O 处的磁感应强度大小相等，即
，故C 正确；
D．若将A 处直导线中的电流反向、大小不变，则A、C 处直导线在O 处产生的磁感应强度为B，方向与匀
强磁场方向垂直，所以O 处的磁感应强度大小为
，方向竖直向上，故D 错误。
故选C。
7．（2025·安徽滁州·二模）某物理兴趣小组为研究通电导线周围的磁场，他们将一根很长的直导线，竖直
穿过水平桌面上O 点处的小孔并固定，然后在导线中通以恒定电流，以O 点为原点，某一水平方向为x 轴
建立坐标系，再将一个灵敏的小磁针放在x 轴上不同的位置，小磁针静止时N 极指向与x 轴正向的夹角为
θ，图1 为其俯视图。图2 为实验得到的sinθ 与位置x 之间的关系曲线。已知该区域地磁场水平分量大小为
B0。下列说法正确的是（ ）
A．导线中电流方向为竖直向下
B．此处地磁场方向与x 轴垂直
C．通电导线在x0处产生的磁感应强度大小为
D．x0处合磁场的磁感应强度大小为2B0
【答案】C
【详解】ACD．由图2 可知，当
时，知
解得
小磁针静止时N 极的指向为合磁场的方向，设通电导线在
处产生磁感应大小为
，该区域地磁场水平分
量大小为B0，如图所示
由数学关系知
解得
，x0处合磁场的磁感应强度大小为
解得
根据安
培定则，由小磁针的偏转情况可判断，导线中电流方向为竖直向上，故AD 错误，C 正确；
B．由图1 可知，小磁针放在x 轴上，小磁针静止时N 极指向与x 轴正向的夹角为θ，说明地磁场与x 轴不
垂直，故B 错误。故选C。
02 安培力作用下的平衡问题
8．（2025·山东聊城·二模）如图所示，空间中存在一匀强磁场（图中未画出，大小、方向未知）。两条平
行金属导轨间距l=1m，与水平面成倾角θ=37°固定，在两导轨上同一高度处各有一绝缘竖直短杆。将质量
m=0.5kg 的金属棒AB 置于短杆处，金属棒与金属导轨间的动摩擦因数µ=0.5。现将两导轨与恒流电源相连
接，金属棒中电流大小为I=3A，重力加速度的大小取10m/s2，sin37°=0.6。要使金属棒沿导轨向上以
a=2m/s2的加速度做匀加速直线运动，则磁感应强度的最小值为（ ）
A．
B．
C．1T
D．2T
【答案】A
【详解】对金属棒受力分析，如图所示
根据牛顿第二定律可得
，
，
联立可得
由此可知
所以
故选A。
9．（2025·江西·模拟预测）如图，粗细均匀的金属棒AC 用绝缘细线PA 和QC 悬吊，静止在垂直于PACQ
平面的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，金属棒AC 长为L，与水平面的夹角为
。给金属棒
AC 通入大小为I、方向从C 到A 的恒定电流，同时给金属棒AC 施加一个外力，使金属棒AC 仍处于静止
状态，
，则加在金属棒AC 上外力的最小值为（ ）
A．0.6BIL
B．0.75BIL
C．0.8BIL
D．BIL
【答案】A
【详解】金属棒受到的安培力大小为
，方向斜向右下方，重力和绳的拉力的合力F 竖直向上
如图要使金属棒处于静止，需要施加的最小外力等于安培力的水平分力，即
故选A。
10．（2025·北京通州·一模）如图所示的装置是用来测量匀强磁场磁感应强度B 的等臂电流天平，其右臂
挂着匝数为n 的矩形线圈，线圈的水平边长为l，磁场的方向与线圈平面垂直。当线圈没有通电时，天平处
于平衡状态，当线圈通入图示电流I 时，则须在一个托盘中加质量为m 的小砝码才能使天平重新平衡。已
知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．应在右盘中加入小砝码
B．由以上测量数据可求出匀强磁场的磁感应强度
C．若发现右盘向上翘起，则应增大线圈中的电流
D．若只改变电流的方向，线圈仍保持平衡状态
【答案】C
【详解】A．根据左手定则，安培力向下，应在左盘中加入小砝码，A 错误；
B．根据平衡条件得
，解得
，B 错误；
C．若发现右盘向上翘起，表明向下的安培力偏小，则应增大线圈中的电流，C 正确；
D．若只改变电流的方向，安培力向上，线圈不能保持平衡状态，D 错误。
故选C。
11．（2025·江西新余·二模）如图所示，金属棒
两端由等长的轻质细线水平悬挂，处于竖直向上的匀
强磁场中，棒中通以由
向
的电流，平衡时两悬线与竖直方向夹角均为
，下列说法正确的是（ ）
A．如果两悬线等长变短，
角变小
B．当金属棒质量变大，
角变大
C．当
角变小时，绳子拉力不变
D．如果棒中的电流变大，
角变大
【答案】D
【详解】A．对金属棒进行分析，根据平衡条件有
，
解得
可知，
角与悬线长度无关，故A 错误；
B．结合上述可知，当金属棒质量变大，
角变小，故B 错误；
C．结合上述有
可知，当
角变小时，绳子拉力变小，故C 错误；
D．结合上述可知，如果棒中的电流变大，
角变大，故D 正确。故选D。
03 带电粒子在匀强有界磁场中的运动
12．（2025·甘肃白银·三模）如图所示，在xOy 直角坐标系的第一象限以坐标原点为圆心、半径为R 的四
分之一圆OADC 内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，D 为圆弧AC 的中点；从
坐标原点沿x 轴正向向磁场内射入各种不同速率的带电粒子，粒子的质量为m、电荷量为
q（q>0），不
计粒子的重力及粒子间的相互作用。关于粒子在磁场中的运动，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．粒子从圆弧边射出时，速度越大，粒子在磁场中运动的时间越长
C．若粒子从D 点射出，则粒子出磁场时速度沿y 轴正向
D．从A 点射出的粒子和从D 点射出的粒子在磁场中运动的时间之比为4 1∶
【答案】C
【详解】A．粒子从y 轴射出在磁场中运动的时间最长，最长为
，故A 错误；
B．不同速度的粒子从圆弧边射出时，在磁场中运动轨道所对的弦长相同，速度越大，半径越大，轨迹所
对的圆心角越小，运动时间越短，故B 错误；
C．若粒子从D 点出射，运动轨迹如图
根据几何关系，轨迹所对的圆心角为90°，因此粒子从D 点出磁场时，速度沿y 轴正向，故C 正确；
D．从A 点出射的粒子在磁场中运动的时间为半个周期，从D 点出射的粒子在磁场中运动的时间为四分之
一个周期，因此时间之比为2 1∶，故D 错误。
故选C。
13．（2025·吉林长春·模拟预测）如图所示，有一个弹性绝缘材料制成的圆筒，沿一条直径开有正对的两
孔C 和D，筒内有匀强磁场，有一不计重力的带正电的粒子从D 孔以大小为v 的速度正对圆心入射，与筒
壁发生一次弹性碰撞后从C 孔飞出圆筒，粒子与筒壁碰撞时垂直于筒壁方向的速度等大反向，沿筒壁方向
的速度不变。现改变粒子从D 孔入射的方向，使入射的方向与CD 成30°角，为使粒子与筒壁发生两次弹
性碰撞后仍能从C 孔飞出，则粒子的速度的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．v
【答案】D
【详解】当带正电的粒子从D 孔以大小为v 的速度正对圆心入射，与筒壁发生一次弹性碰撞后从C 孔飞出
圆筒，其运动轨迹如图所示
设圆筒的半径为R，由几何知识可知，子圆周运动的轨道半径也为R，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，
则有
改变粒子从D 孔入射的方向，使入射的方向与CD 成30°角，为使粒子与筒壁发生两次弹性碰撞后仍能从C
孔飞出，其运动轨迹如下图所示
则D 点和第一次碰撞点对于的圆筒的圆心角为
，设粒子的速度为
，
与CD 成
角，故四边形
为菱形，所以粒子圆周运动的轨道半径为R，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有
联立可得
故选D。
14．（2025·北京丰台·二模）如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场，一不计重力的带电粒子
垂直磁场边界从M 点射入，从N 点射出。下列说法正确的是（ ）
A．粒子带正电
B．粒子在N 点速率小于在M 点速率
C．若仅增大磁感应强度，则粒子可能从N 点下方射出
D．若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变长
【答案】C
【详解】A．粒子向右偏转，洛伦兹力方向整体向右，根据左手定则可知，四指指向与粒子速度方向相反，
可知，粒子带负电，故A 错误；
B．洛伦兹力不做功，根据动能定理可知，粒子的速率不变，即粒子在N 点的速率等于在M 点的速率，故
B 错误；
C．粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
若增大磁感应强度，则轨道半径减小，可知，粒子可能从N 点下方射出，故C 正确；
D．结合上述可知，若增大入射速率，则轨道半径增大，粒子将从N 点上方射出，对应圆弧的圆心角
减
小，根据
，
解得
粒子在磁场中运动的时间
圆心角减小，运动时间减小，可知，若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短，故D 错误。
故选C。
15．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，直角三角形
中
，
，其区域内存在磁感应强
度大小为
、方向垂直纸面向外的匀强磁场，点处的粒子源可向磁场区域各个方向发射速度大小为
（
为粒子的比荷）的带正电的粒子。不考虑粒子的重力和相互间作用力，下列说法正确的是（ ）
A．
边上有粒子到达区域的长度为
B．
边上有粒子到达区域的长度为
C．从
边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
D．从
边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为
【答案】C
【详解】AB．粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力得
解得
如图所示
由几何关系可得
边上有粒子到达区域的长度为
由几何关系可得
边上有粒子到达区域的长度为
故AB 错误；
C．如图所示
粒子从
边上
点射出时，对应的圆心角最小，所用时间最短，由几何关系可知，最小圆心角为
，则
最短时间为
故C 正确；
D．如图所示
粒子从
边上
点射出时，对应的圆心角最大，所用时间最长，由几何关系可知，最大圆心角为
，
则最长时间为
故D 错误。故选C。
04 带电粒子在组合场中的运动
16．（2025·河南·三模）如图所示，平行板电容器竖直放置，右极板右侧空间存在垂直纸面向外的匀强磁
场。一比荷为
的带负电粒子从电容器下端中间位置以
的初速度沿极板方向进入电场，经电场偏转后从
电容器右极板正中间的小孔进入匀强磁场，最后恰好从右极板的上边缘射出磁场。已知两极板间的距离为
d，极板间电压
不计带电粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．电容器极板长度为3d
B．粒子进入磁场时的速度大小为
C．匀强磁场的磁感应强度大小为
D．粒子从射入电场到射出磁场的运动时间为
【答案】D
【详解】A．粒子的运动轨迹如图所示
粒子在电场中做类平抛运动，水平方向有
解得
由运动学公式有
解得
粒子沿
极板方向做匀速运动，有
解得电容器极板长度为
，故A 错误；
B．粒子进入磁场时竖直方向的速度大小为
，水平分速度大小
则粒子进入磁场时的速度大小
，故
错误；
C．设粒子进入磁场时的速度为向与水平方向的夹角为
，有
解得
粒子在磁场中做
匀速圆周运动，由几何关系有
解得
由洛伦兹力提供向心力，有
解得
，故C 错误；
D．粒子在磁场中做圆周运动的周期
粒子在磁场中的运动轨迹所对应的圆心角为
，可知
运动时间
则粒子从射入电场到射出磁场的运动时间
，故D 正确。故选D。
17．（24-25 高三下·湖北·模拟预测）某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上方的运动，如图所示，
材料表面上方矩形区域
充满竖直向下的匀强电场，电场宽为d；矩形区域
充满垂直纸面
向里的匀强磁场，磁感应强度为B，长为L，宽为S；
为磁场与电场之间的薄隔离层，一个电荷量为
e、质量为m、初速度为零的电子，从P 点开始被电场加速经隔离层垂直进入磁场，电子每次穿越隔离层，
时间极短、运动方向不变，其动能损失是每次穿越前动能的10%，电子第一次进入磁场区域恰好未从
穿出，第五次穿越隔离层后垂直于磁场边界
飞出，不计电子所受重力。则下列说法正确的是
（ ）
A．电子在磁场中第一次与第二次圆周运动的半径比为
B．电子在磁场中第一次与第二次运动的时间比为10 9∶
C．电场强度大小为
D．
【答案】D
【详解】C．设粒子第一次到达隔离层时的速度大小为
，穿过隔离层后的速度大小为
。粒子第一次进
入磁场区域做圆周运动的半径
由动能定理得
由题意知
由牛顿第二定律
得
解得
故C 错误；
A．设粒子穿过隔离层后第2 次进入电场时的速度大小为
，粒子由电场返回穿越隔离层后的速度大小为
，第二次在磁场中做圆周运动的半径为
，由题意知
，
由牛顿第二
定律得
解得
故电子在磁场中第一次与第二次圆周运动的半径比为10 9∶，故A
错误，
B．电子第一次与第二次在磁场中均转过半个周期，时间比为1 1∶，故B 错误；
D．电子第三次在磁场中运动的半径为
则磁场区域的长度
故D
正确。故选D。
18．（2025·安徽黄山·一模）如图所示，已知匀强电场方向向下，边界为矩形ABGH，匀强磁场方向垂直
纸面向里，边界为矩形BCDG，GD 长为L，磁感应强度为B。电量为q，质量为m 的粒子，从AH 中点以
垂直电场的速度
（未知量）进入电场，然后从边界BG 进入磁场，轨迹恰好和磁场另外三个边界相切，
运动
个圆周后返回电场。不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子一定带正电
B．AB 长为2L
C．
D．若电场强度减弱，粒子在磁场中运动时间将变长
【答案】B
【详解】A．由题意可知，若粒子带正电，运动轨迹如图所示，若粒子带负电，由对称性，粒子在电场中
向上偏转，磁场中运动的圆轨迹与正粒子圆轨迹相重合，故不论带何种电荷，都符合题意，A 错误；
B．如图所示，取正粒子运动轨迹，轨迹恰好和磁场另外三个边界相切，运动
个圆周后返回电场,所以圆
弧对应的圆心角为
，可知图中设定的
，设粒子在磁场中运动轨道半径为r,由几何关系
，
设P 点速度为,根据速度的分解可得
，
粒子在电场中做类平抛
运动，设粒子在电场中运动时间为，则有
，
由几何关系
联立解得
，B 正确；
C．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦磁力提供向心力，可得
，
代入数
据解得
，C 错误；
D．若电场强度减弱，粒子进入磁场的偏转角减小，粒子在磁场中运动的轨道半径减小，圆轨道对应的圆
心角变小，所以在磁场中运动时间将变短，D 错误。故选B。
19．（2025·河北·二模）在半导体离子注放工艺中，初速度可忽略的离子P＋和P3＋，经电压为U 的电场加
速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，有一定的宽度的匀强磁场区域，如图所示。已
知离子P＋在磁场中转过θ=30°后从磁场右边界射出。则在电场和磁场中运动时，离子P＋和P3＋（ ）
A．在磁场中运动的半径之比为3:1
B．在电场中的加速度之比为1:1
C．在磁场中转过的角度之比为1:2
D．离开磁场区域时的动能之比为1:
【答案】C
【详解】A．离子在电场中运动时有
离子在磁场中运动时有
联立解得
所
以在磁场中运动的半径之比为
:1，故A 错误；
B．在电场中的加速度为
所以加速度之比为1:3，故B 错误；
C．设磁场宽为l，根据几何关系可得
所以离子在磁场中转过的角度的正弦之比为1:
，由于P＋在磁场中转过的角度为30°，所以P3＋在磁场中转过的角度为60°，即转过的角度之比为1:2，故
C 正确；
D．离开磁场区域时的动能与进入磁场时的动能相等，均为qU，所以动能之比为1:3，故D 错误。故选
C。
05 带电粒子（带电体）在叠加场中的运动
20．（2025·北京·模拟预测）我国空间站的霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。xOy 平面内
存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
。质量为
、电荷量为
的电子从
点沿
轴正方向水平入射，入射速度为
时，电子沿
轴做直线运动；入射速度为（
）
时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间
相互作用，下列说法错误的是（ ）
A．电场强度的大小
B．电子向上运动的过程中动能逐渐增加
C．电子运动到最高点的速度大小为
D．电子运动到最高点的速度大小为
【答案】C
【详解】A．电子入射速度为
时，电子沿轴做直线运动，电子受到的电场力向上，由左手定则可知，洛
伦兹力向下，有
解得
，故A 正确，不符合题意；
B．电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中运动，由于洛伦兹力不做功，
向上运动到最高点， 电场力做正功，由动能定理可知，电子的动能增加，故B 正确，不符合题意；
C．因为入射速度为
时，电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，结合B 项分析可知，电
子在向上运动过程中动能增加速度增大，洛伦兹力增大，所以电子在最低点的合力向上，在最高点的合力
向下，设电子在最高点的速度大小为
，有
解得电子运动到最高点的速度大小为
，故C 错误，符合题意，D 正确，不符合题意。
故选C。
21．（2025·湖南·模拟预测）空间存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于
平面向里，匀强
电场的场强为E、方向沿y 轴向下，将一个质量为m、带正电q 的粒子从O 点由静止释放，粒子的部分运
动轨迹如图中曲线所示。出发后粒子第一次到达x 轴的坐标为（a，0），已知该曲线在最低点的曲率半径
为该点到x 轴距离的2 倍，该粒子运动过程中任意位置的坐标可以表示为P（x，y），不计粒子的重力，
则（ ）
A．该粒子运动过程中任意位置坐标的y 值可能取负值
B．该粒子运动过程中任意位置坐标的x 值不可能大于a
C．粒子在运动过程中第一次运动到离x 轴最远处时，距离x 轴的距离
D．粒子运动过程中的最大速率
【答案】C
【详解】AB．粒子从初始位置运动到x 轴时电场力做功为0，所以不可能运动到x 轴以上位置，即y 值不
可能取负值；到达x 轴的速度为零，所以会再次向下运动，重复前一段的轨迹向前运动，则x 值会大于
a，故AB 错误；
C．粒子第一次运动到距离x 轴最远处时洛伦兹力不做功，由动能定理得
解得
在此处有
解得
故C 正确；
D．最大速率满足
解得
故D 错误。
故选C。
22．（2025·湖南邵阳·三模）如图所示，在磁感应强度大小B，方向水平向里的匀强磁场中，有一根长L
的竖直光滑绝缘细杆MN，细杆顶端套有一个质量m 电荷量
的小环。现让细杆以恒定的速度
沿垂直磁场方向水平向右匀速运动，同时释放小环（竖直方向初速度为0），小环最终从细杆
底端飞出，重力加速度为
，关于小环在杆上的运动下列说法正确的是（ ）
A．小环的轨迹是条直线
B．洛伦兹力对小环做负功
C．小环在运动过程中机械能不变
D．小环在绝缘杆上运动时间为
【答案】D
【详解】A．对小环分析可知，竖直方向受向下的重力和向上的洛伦兹力作用，加速度
因v 不变，则加速度不变，即小环在竖直方向做匀加速运动，水平方向做匀速运动，可知小环运动的轨迹
为曲线，选项A 错误；
B．洛伦兹力对小环不做功，选项B 错误；
C．水平速度小环受到向右的洛伦兹力作用，在细杆对小环有向左的弹力作用，该弹力对小环做负功，可
知小环在运动过程中机械能减小，选项C 错误；
D．小环在竖直方向做匀加速运动，加速度为
根据
可得竖直小环在绝缘杆上运动时间为
选项D 正确。故选D。
23．（2025·全国·二模）如图所示，倾角为37°的光滑斜面ABC 固定在水平地面上，一个质量为m，电荷
量为
的小球从斜面底端A 点以初速度v 沿斜面向上运动。整个装置处于水平向右的匀强电场中，场强
，斜面竖直边BC 所在直线右侧空间中充满垂直于纸面向里的磁感应强度为
的匀强磁场，
重力加速度为g，则小球运动过程中与AC 所在直线的最大距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为沿斜面方向有
可知小球沿斜面向上做匀速运动到C 点，若以斜面竖直边BC 所在直线为分界线，在其右侧空间再加
的匀强磁场，小球受到的洛伦兹力大小
（方向垂直于AC 向上）
小球受到的电场力和重力的合力
（方向垂直于AC 向下）
利用“配速法”，将小球的速度分成
，其中
则小球的运动可以看作是沿AC 做匀速直线运动，垂直于AC 做匀速圆周运动的两个分运动的合成，则小球
在运动过程中与AC 所在直线的最大距离为
联立解得
故选A。
24．（2025·河南·模拟预测）如图1 所示，长方体
区域的上表面OABC 为一正方形，以O
点为坐标原点建立图示的空间直角坐标系，yOz 平面的左侧存在沿z 轴正向的匀强磁场
，yOz 平面右侧
的长方体区域内存在沿y 轴正方向的匀强磁场
，且
随时间的变化规律如图2 所示（取沿y 轴正向为
正），两区域的磁感应强度大小相等。0 时刻从空间坐标（
，
，
）的M 点（图
中未标出）发射一比荷为k 的正粒子，粒子的初速度大小为
，方向与x 轴正方向的夹角
，一段时
间后粒子恰沿x 轴正向从O 点进入长方体区域，最后恰从B 点沿x 轴正向射出，不计粒子的重力，求：
(1)磁场的磁感应强度的大小。
(2)正方形OABC 边长a 满足的条件。
(3)若正方形OABC 的边长
，长方体区域的高度
，当该正粒子经过O 点时，立即在长方体区
域内加上沿y 轴负向的匀强电场，粒子最后恰从
点射出，求所加匀强电场的电场强度及粒子经过
点时
的速度大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
，
【详解】（1）带电粒子从M 点运动至O 点的径迹如图甲所示，则由几何关系
由洛伦兹力提供向心力
解得
，
（2）带电粒子在磁场中的运动周期
粒子0 时刻发出后经过
进入磁场
，此后每经过
，方向改变一次，因而带电粒子
在正方形OABC 区域内的运动情况如图乙所示
则有
（n=1，2，3…）
（3）设带电粒子从O 点运动至B'点经历的时间为
，在xOz 平面内有
y 轴负方向上有
联立解得
经过
点时y 轴负向的速度
其速度大小
解得
25．（2025·河北沧州·一模）用磁场实现对微观粒子的控制在高能物理、材料科学、核磁共振、微流控芯
片等领域有着广泛的应用。如图所示为一种能够实现用磁场控制微观粒子的装置内部磁场分布图，
轴上
方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小
，
轴下方存在方向垂直纸面向外的匀强
磁场，磁感应强度大小
；在坐标原点
处有一粒子源，可以同时发射速度大小为
、方向分别沿
轴正、负方向的两个带电粒子
、
。已知带电粒子质量均为
，电荷量均为
，粒子相遇时两者的运
动互不影响，不计粒子重力及粒子间的相互作用。
(1)若
、
两粒子同时经过
点，求该情况下
的最小值；
(2)若
，且在
坐标系内的磁场为矩形磁场，为使两粒子发射后能够在磁场中相遇
次，求矩形磁
场的最小面积；
(3)两粒子发射后的运动轨迹会有很多交点，若
，且两粒子发射时间不同，为使两粒子能相遇在横坐
标最小的轨迹交点处，求两粒子发射的时间差
。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由洛伦磁力提供向心力，有
解得
由洛伦磁力提供向心力，有
解得
若B 最小，说明H 点是P、Q 粒子在x 轴上第一次相遇的点，P、Q 粒子同时从O 点出发，运动轨迹如图1
所示
可知
解得B 的最小值为
（2）当
时，由洛伦磁力提供向心力，有
解得
由洛伦磁力提供向心力，有
解得
P、Q 两粒子同时发射后，每经过一个周期在x 轴上相遇一次，P 粒子每个周期内轨迹与x 轴的交点向正方
向移动
n 个周期向正方向移动
所以磁场右边界的x 轴坐标为
磁场的左边界x 轴坐标为
磁场沿x 轴方向宽度为
磁场沿y 轴方向宽度为
所加矩形磁场的最小面积
（3）横坐标最小的轨迹交点如图2 中所示的G 点
O1O2之间距离与AO 之间距离相等，易知
可得
=45°
结合
可得
，
P 粒子运动至G 点转过国心角为45°，所用时间
Q 粒子运动至G 点，在x 轴下方转过圆心角为180°，在x 轴上方转过圆心角为135°，所用时间
两粒子从O 点出发的时间之差
26．（2025·浙江·一模）利用正、负离子发电的装置如图所示，它由发射区、加速区和发电区组成。发射
区由正负离子源
和半径均为r 的两个圆形边界的磁场组成；建立以
为坐标原点，水平向右为x 轴，
竖直向下为y 轴，则两圆心分别位于
和
处，
位于
处；离子源
单位时间内分别向
圆形磁场发射质量均为m、速度均为
、数量均为N、带电量分别为
和
的离子，且沿各方向均匀分
布，其中沿x 轴方向射入磁场的离子沿y 轴方向射出。加速区由两个有理想边界且场强大小相等、方向相
反、平行y 轴的匀强电场组成，电场上下边界的距离为L，大小为
。发电区由两足够长的平行金
属板
构成，其外侧接有阻值可调的负载电阻R，两极板间存在匀强磁场，其大小与圆形磁场区域的
大小相同，方向均垂直纸面向外。不考虑离子的重力和离子间的相互作用力。
(1)求磁感应强度大小B；
(2)从
发出的离子沿着与x 轴夹角为
的斜向下方向射入磁场，求其射出圆形磁场边界的位置坐标
；
(3)断开开关S，求两板间的最大电压
；
(4)闭合开关S，调节负载R 阻值，待电路稳定后，两板间电压
，求此时负载消耗的电功率P。
【答案】(1)
(2)
，
(3)
(4)
【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力可得
解得磁感应强度大小
（2）如图所示
沿x 轴方向射入磁场的离子沿y 轴方向射出，可知离子回旋半径等于磁场区域半径，故离子经过圆形磁场
后均沿y 轴方向射出，根据几何关系有粒子射出圆形磁场边界的横坐标
纵坐标
（3）由动能定理，有
离子进入极板时的速度
S 断开时，离子在两板间匀速运动
电压的最大值为
（4）当极板间电压为U 时，用以补偿电场力的洛伦兹力所需的速度
满足
即
离子做圆周运动的速度分量
其半径
即位置坐标
的离子能打到极板形成电流
由式②知，其对应的角度
即
以及向x 轴上方发射的离子均打不到极板
负载R 的电流
负载消耗的电功率
27．（2025·湖南·一模）带电粒子沿金属板A、B 的中心轴线进入偏转电压为U（大小未知）的偏转电场，
偏转电场可看作匀强电场。以金属板A、B 的中心轴线为x 轴，金属板A、B 的右边界为y 轴建立平面直角
坐标系，在第一象限内存在磁场为非匀强磁场，方向垂直纸面向里，磁感应强度大小随y 轴方向均匀增大，
关系为
，速度为
的带电粒子恰好从金属板的右边缘P 点射入磁场。已知金属板A、B 间的距离
为2d、长度为
，带电粒子质量为m、电荷量为-q，不计带电粒子的重力。
(1)求偏转电压U 的大小；
(2)若粒子以大小为
的速度从P 点与y 轴成
方向射入磁场，求粒子从P 点运动到速度与竖直
方向成
的过程中运动轨迹与x 轴围成的面积
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）粒子在偏转电场中做类平抛运动，沿x 轴方向做匀速直线运动，其运动时间
已知金属板长度
，所以
沿y 轴方向做初速度为0 的匀加速直线运动，加速度
又因为
所以
粒子在y 轴方向的位移
根据
可得
进行化简
（2）设粒子在x 轴方向上的分速度为
，在y 轴方向上以向上为正方向，根据动量定理有
整理可得
其中
并代入磁感应强度的值，即
又运动轨迹与x 轴围成的面积S 为
联立解得
。
28．（2025·湖北·一模）如图，在真空中建立直角坐标系xOy，第一、二象限区域存在方向沿y 轴正方向的
匀强电场，场强大小为E。在第三、四象限存在方向垂直于xOy 平面向里的匀强磁场。一带负电的粒子从
y 轴上y=3L 的P 点以某一速度沿x 轴正方向射出，经x 轴上的Q（图中未标出）点进入磁场，经过Q 点时
速度方向与x 轴正方向的夹角为θ=60°，经过磁场偏转后恰好能回到P 点。已知该点电荷质量为m，电荷
量为q，不计重力。求
(1)Q 点到原点O 的距离。
(2)磁场的磁感应强度大小。
(3)粒子从P 点出发经过多长时间又运动到P 点。
【答案】(1)
(2)
(3)
（k=1，2，3，4...）
【详解】（1）粒子初速度v0，在电场中运动时间t1后进入磁场，进入磁场时沿y 轴方向速度大小为vy，则
有
粒子在电场中做类平抛运动，则有
，
联立解得
（2）粒子在电场中运动时加速度为a，
，
解得
进入磁场时速度大小为v，根据运动的合成与分解可得
解得
在磁场中做圆周运动的半径为r，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有
粒子恰好能回到P 点则有
解得
联立即得
（3）粒子在第一象限中运动时间t1，x 方向做匀速直线运动故，轨迹如图
则
其中
，
粒子在磁场中运动周期为T，则有
几何关系可知粒子在磁场中扫过的圆心角为240°，在磁场中运动时间t2，则粒子在磁场中运动时间为
故
（k=1，2，3，4...）
29．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在空间直角坐标系
中存在磁感应强度大小为
的匀强磁场，
磁场沿
轴正方向，在
处有一垂直
轴足够大的接收屏。原点
处有一粒子源，仅在
平面内向各
个方向发射速度大小为
、质量为
、电荷量为
的正电粒子。不计粒子重力、粒子间的相互作用和接收
屏累积电荷产生的影响。
(1)求粒子运动的半径和周期
。
(2)若在磁场区再加一个沿
轴正方向电场强度大小为
的匀强电场（未画出），求粒子打到接收屏上
坐标最大值和最小值两点的z 坐标。
(3)撤去（2）中电场，且粒子源只向
轴负方向发射该种粒子，粒子在磁场中运动时始终受到与速度大小
成正比、方向相反的阻力，比例系数为k。粒子速度第一次沿
轴正方向时的位置设为
点（未画出），
已知
点的
坐标为
，求
点的x 坐标和粒子在
点的速度大小。
【答案】(1)
，
(2)（
，
，
），（
，
，
）(3)
，
【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力得
解得
根据周期公式可得
（2）粒子沿
轴方向做初速度为零、加速度大小为
的匀加速直线运动，由牛顿第二定律得
解得
粒子在垂直
轴的平面上做半径为
的匀速圆周运动如图初速度方向沿
轴负方向的粒子打在接收屏上前
运动的时间最长
对应
坐标有最大值
由几何知识可得该点
坐标为
，其对应的坐标为（
，
，
）
初速度沿
轴正方向偏向
轴负方向
角方向的粒子打在接收屏前运动的时间最短
由几何知识可得该点
坐标为0，对应
坐标有最小值
其对应的坐标为（
，
，
）
（3）粒子从
点至
点过程，沿
轴方向由动量定理有
即
解得
所以
点的x 坐标
；
沿
轴方向由动量定理有
即
解得
30．（2025·海南海口·模拟预测）质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，
加速电压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为
，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强
度大小为
，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向
里。从S 点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动，再由O 点进入
分离器做圆周运动，最后打到照相底片的P 点处，运动轨迹如图中虚线所示。
(1)粒子带正电还是负电？求粒子的比荷。
(2)求O 点到P 点的距离。
(3)若在偏转分离器Ⅲ加入水平向右的匀强电场
，电场强度大小
，粒子打在速度选择器右挡板的
点上（
未标出）。求粒子在偏转分离器Ⅲ中的最大速度以及
点的位置。
【答案】(1)正电；
(2)
(3)
；
点到O 点的距离
【详解】（1）由题可知，粒子进入Ⅲ区向上偏转，根据左手定则，可知粒子带正电；
设粒子经过加速器获得的速度为v，粒子经加速器加速，根据动能定理有
粒子经速度选择器做直线运动，根据平衡条件有
解得
（2）粒子经偏转分离器Ⅲ，根据洛伦兹力提供向心力有
根据几何关系可知，O 点到P 点的距离
解得
（3）粒子刚进入偏转分离器Ⅲ时，粒子受到向上的洛伦兹力
向右的电场力
根据配速法，
将粒子的速度v 分解为大小为v1、v2的两个分速度，使v1对应的洛伦兹力与电场力等大反向，即
可得
，方向竖直向上
根据速度的分解可得
，方向与v 的方向夹角为
斜向下
则粒子的运动可分解为线速度大小为v2的匀速圆周运动和速度大小为v1的匀速直线运动，粒子在偏转分离
器Ⅲ中的最大速度
粒子以v2做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有
周期
粒子打在速度选择器右挡板的
点上所需时间
根据几何关系，
点到O 点的距离
解得
。
31．（2025·安徽六安·模拟预测）如图所示，光滑水平地面上放置一足够长且上表面绝缘的小车，小车不
带电、质量为M=0.08kg，现将一带负电、电荷量q=0.5C，质量m=0.02kg 的滑块放在小车的左端，滑块与
绝缘板间的动摩擦因数μ=0.4，它们所在空间存在范围足够大的、磁感应强度为B=1T 的垂直于纸面向里的
匀强磁场。开始时小车和滑块均静止，一不可伸长的轻质细绳长L=0.8m，一端固定在O 点，另一端与质
量m1=0.04kg 的小球相连，把小球拉至水平位置由静止释放，当小球运动到最低点时与小车相撞，碰撞时
间极短，碰撞后小球恰好静止，g 取10m/s2。求：
(1)与小车碰撞前，小球受到细线拉力的最大值；
(2)碰撞后小车和滑块所能获得的最终速度大小。
【答案】(1)1.2N
(2)1.9m/s
【详解】（1）小球下摆过程，根据机械能守恒有
解得
小球在最低点
解得
由牛顿第三定律得小球对细绳的拉力与T 等大反向，所以小球对细绳的拉力最大值为1.2N，竖直向下。
（2）小球与小车碰撞
解得小车速度
假设滑块与车最终相对静止
解得滑块速度
由此得出F 洛=qv2B=0.8N>mg，故假设不成立，因此滑块最终悬浮qv3B=mg
解得
滑块与小车动量守恒
解得
所以最终滑块速度大小为0.4m/s，最终小车速度大小为1.9m/s。
32．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系xOy 的x>0 区域被平行于y 轴的场边界M、N
分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，区域Ⅰ、Ⅱ的宽度均为d，在区域Ⅰ、Ⅱ内有沿y 轴负方向的匀强电场，在区
域Ⅱ内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，区域Ⅲ内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，两磁场的磁感应
强度大小相等，在坐标原点O 沿与x 轴正方向成45°角在坐标平面内向第一象限射出一个质量为m、电荷
量为q 的带正电的粒子，粒子的初速度大小为
，粒子在区域Ⅰ内运动后以垂直于M 的方向进入区域Ⅱ，
粒子在区域Ⅱ内做直线运动，不计粒子的重力，求：
(1)匀强电场电场强度的大小；
(2)匀强磁场的磁感应强度大小；
(3)当粒子第二次在区域Ⅱ中运动的速度沿y 轴负方向时的位置离x 轴的距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在区域I 内运动过程中，根据运动的分解，竖直方向上粒子做匀减速运动，则有
根据牛顿第二定律可得
水平方向粒子做匀速直线运动，则有
联立解得
（2）粒子进入区域Ⅱ的速度大小
粒子在区域Ⅱ中做匀速直线运动，根据力的平衡
解得
（3）设粒子第一次区域Ⅲ中做匀速圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律
解得
设粒子第一次进区域Ⅲ时的位置坐标为
，则
设粒子第二次进区域Ⅱ时的位置坐标为
，则
将粒子在区域Ⅱ中的运动分解为两个分运动，一个是速度大小为
且沿x 轴正向的匀速直线运动，另一个
初速度大小为
且初速度方向沿x 轴负方向的匀速圆周运动。当匀速圆周运动的分运动速度与x 轴负方向
成60°时，合速度方向竖直向下。设做匀速圆周运动分运动的半径为R，则有
解得
此时粒子离x 轴的距离
33．（2025·广东深圳·三模）如图所示，在竖直面内的直角坐标系xOy 中，第二象限内有沿x 轴负方向的
匀强电场
（大小未知）和方向垂直坐标平面向里的匀强磁场（图中未画出），第四象限内有方向垂直坐
标平面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q 的带正电小球
（视为质点）从P 点以大小
的速度沿PO 方向做直线运动，通过O 点第一次通过x 轴后在第四象
限内做匀速圆周运动，恰好通过Q 点（第二次通过x 轴）。已知P、Q 的坐标分别为
和
，
重力加速度大小为g，求：
(1)第二象限内，匀强电场的电场强度大小
；
(2)小球从P 点运动到Q 点的时间t；
(3)小球第五次通过x 轴时的横坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题知，P 点坐标为
，设PO 与x 轴负方向夹角为
，则有
解得
小球沿PO 方向做直线运动，则必为匀速直线运动，故受力平衡，小球受向下的重力，水平向左的电场力
和垂直于PO 斜向右上方的洛伦兹力，如图
根据受力分析，可得
解得
（2）小球进入第四象限后运动轨迹如图
根据几何关系可得小球从P 到O 的时间
小球进入第四象限后做匀速圆周运动，根据几何关系可得
周期
则在磁场中运动的时间为
所以小球从P 点运动到Q 点的时间
（3）小球射入第一象限时速度与x 轴正向成30°，做斜抛运动，第三次通过x 轴时间为
水平方向运动位移为
则小球第五次通过x 轴时的横坐标
34．（2025·广西·高考真题）（多选）如图，带等量正电荷q 的M、N 两种粒子，以几乎为0 的初速度从S
飘入电势差为U 的加速电场，经加速后从O 点沿水平方向进入速度选择器（简称选择器）。选择器中有竖
直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。当选择器的电场强度大小为E，磁感应强度大小为B1，右
端开口宽度为2d 时，M 粒子沿轴线OO′穿过选择器后，沿水平方向进入磁感应强度大小为B2、方向垂直
纸面向外的匀强磁场（偏转磁场），并最终打在探测器上；N 粒子以与水平方向夹角为θ 的速度从开口的
下边缘进入偏转磁场，并与M 粒子打在同一位置，忽略粒子重力和粒子间的相互作用及边界效应，则（
）
A．M 粒子质量为
B．刚进入选择器时，N 粒子的速度小于M 粒子的速度
C．调节选择器，使N 粒子沿轴线OO′穿过选择器，此时选择器的电场强度与磁感应强度大小之比为
D．调节选择器，使N 粒子沿轴线OO′进入偏转磁场，打在探测器上的位置与调节前M 粒子打在探测
器上的位置间距为
【答案】AD
【详解】A．对M 粒子在加速电场中
在速度选择器中
解得M 的质量
，故A 正确；
B．进入粒子速度选择器后因N 粒子向下偏转，可知
即
，故B 错误；
C．M 粒子在磁场中运动半径为r1，则
解得
N 粒子在磁场中运动的半径为r2，则
解得
其中
可得
由动能定理N 粒子在选择器中
在加速
电场中
解得
，
则要想使得粒子N 沿轴线OO＇通过选择器，则需满足
联立解得
，故C 错误；
D．若N 粒子沿直线通过选择器，则在磁场中运动的半径为r3，则
其中
，
由AB 选项分析可知
，所以
则打在探测器的位移与调节前M 打在探测器上的位置间距为
可得
，故D 正确。
故选AD。
35．（2025·天津·高考真题）如图所示，纸面内水平虚线下方存在竖直向上的匀强电场，虚线上方存在垂
直于纸面的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q 的粒子从电场中的O 点以水平向右的速度开始运动，在静
电力的作用下从P 点进入磁场，射入磁场时的速度大小为v、方向与竖直方向夹角为
，粒子返回电场前
的运动轨迹过P 点正上方的Q 点，P、Q 间距离及O、P 间的水平距离均为L。不计粒子重力。
(1)判断粒子的电性；
(2)求电场强度大小E；
(3)求磁感应强度大小B。
【答案】(1)正电
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意可知，粒子向上偏转，所受电场力向上，与电场方向相同，则粒子带正电。
（2）设粒子在电场中运动的时间为t，水平方向上由运动学公式，有
设粒子在电场中运动的加速度为a，由牛顿第二定律，有
竖直方向上由运动学公式，有
联立上述各式，得
（3）设粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r，由几何关系，得
洛伦兹力提供向心力，有
联立得
36．（2025·重庆·高考真题）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速
度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的
匀强磁场。O、N、M 均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O 点正
上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子
速度大小相同，方向相反，比荷均为
。已知
，
，不计粒子所受重力及粒子间相互作
用。
(1)若K 水平发射的粒子在O 点产生光点，求粒子的速度大小。
(2)若K 从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N 点产生光点，求粒子的速度
大小。
(3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M 点产生光点，可在粒子发射t 时间后关闭磁场，忽略磁场变
化的影响，求t。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意粒子水平发射后做匀速圆周运动，要在O 点产生光点，其运动半径
运动过程中由洛伦兹力提供向心力有
联立解得
（2）若K 从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N 点产生光点，则两端粒子
的轨迹正好构成一个完整的圆，且在N 点相切，如图
由于K 从水平方向逆时针旋转60°，则
，根据和和关系可知此时粒子做匀速圆周运动的半径为
根据洛伦兹力提供向心力可知
解得
（3）由题意带正电粒子恰好在M 点产生光点，则关闭磁场时粒子速度恰好指向M，过M 点做正电粒子轨
迹的切线，切点为P，如图
根据前面解析可知
，所以
由于
，且
根据几何关系可知
，而
所以
粒子在磁场中运动的周期
，对应的圆心角
所以
37．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁
控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，圆
筒足够长。在O 点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为
的电子，某时刻起筒内加大小可调节
且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至
时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求：（R、
、
均为已知量）
(1)电子的比荷
;
(2)当磁感应强度大小调至
时，筒壁上落有电子的区域面积S。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当磁场的磁感应强度为
时，电子刚好不会落到筒壁上。
则电子以速度
垂直轴线方向射出，电子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹恰好与圆筒壁相切，轨迹半径为
根据洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
（2）磁感应强度调整为
后，将电子速度沿垂直轴线和平行轴线方向进行分解，分别设
，电子将
在垂直轴线方向上做匀速圆周运动，平行轴线方向上做匀速直线运动，电子击中筒壁距离粒子源的最远点
时，其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切，则轨迹半径仍为
根据洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
由射出到相切，经过半个周期，用时
根据速度的合成与分解可知
平行轴线方向运动距离
结合对称性，被电子击中的面积
38．（2025·湖南·高考真题）如图。直流电源的电动势为
，内阻为
，滑动变阻器R 的最大阻值为
，
平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为
，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里
的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，质量为m 的带正电粒子以初速度
水平向右从
电容器左侧中点a 进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b 点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧
边缘c 点进入电容器，忽略粒子重力和空气阻力。
(1)求粒子所带电荷量q；
(2)求磁感应强度B 的大小；
(3)若粒子离开b 点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大小为
，求
粒子相对于电容器右侧的最远水平距离
。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在电容器中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动有
竖直方向做匀变速直线运动
，
由闭合回路欧姆定律可得
联立可得
（2）根据题意，设粒子进入磁场与竖直方向的夹角为
，则有
，
粒子在磁场中做匀速圆周运动有
由几何关系易得
联立可得
（3）取一个竖直向上的速度使得其对应的洛伦兹力和水平向右的电场力平衡，则有
解得
粒子以
速度向上做匀速直线运动，粒子做圆周运动的合速度的竖直方向分速度为
此时合速度与竖直方向的夹角为
合速度为
粒子做圆周运动的半径
最远距离为
