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专题11 电偏转模型中的分解与能量
目录
模型一 带电粒子(体)在电场中的偏转................................................................................................................... 1
模型二 带电粒子在交变电场中的运动.................................................................................................................... 1
模型三“等效重力法”在电场中的应用..................................................................................................................2
模型一 带电粒子(体)在电场中的偏转
1．偏转的一般规律
2．两个重要推论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时的偏转角、偏移距离总是相同
的。
(2)粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O 为粒子水平位移的中点，若电场宽度
为l，O 到电场边缘的距离为。
3．一般解题方法
运动的分
解法
一般用分解的思想来处理，即将带电粒子的运动分解为沿电场力方向上的
匀加速直线运动和垂直电场力方向上的匀速直线运动
功能关系
当讨论带电粒子的末速度v 时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－
mv0
2，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差
模型二 带电粒子在交变电场中的运动
1．两条分析思路
一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系(机械能守恒定律、动能定
理、能量守恒定律)。
2．两个运动特征
分析受力特点和运动规律，抓住粒子的运动具有周期性和空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过
程中的速度、位移等，并确定与物理过程相关的边界条件。
3.交变电压与v-t 图像
例：如图甲所示，在平行板电容器A、B 两极板间加上如图乙所示的交变电压，t＝0 时刻A 板电势比B 板
高，两板中间静止一电子，设电子在运动过程中不与两板相碰，而且电子只受静电力作用，规定向左为正
方向，则下列叙述正确的是( )
A．在t＝0 时刻释放电子，则电子运动的v-t 图像如图丙图线一所示，该电子一直向B 板做匀加速直线运动
B．若t＝ 时刻释放电子，则电子运动的v-t 图像如图线二所示，该电子一直向B 板做匀加速直线运动
C．若t＝ 时刻释放电子，则电子运动的v-t 图像如图线三所示，该电子在2T 时刻在出发点左边
D．若t＝T 时刻释放电子，在2T 时刻电子在出发点的左边
【答案】 C
【解析】 在t＝时刻之前释放电子，静电力水平向左，电子在静电力的作用下向A 板做匀加速直线运动，
A、B 错误；若t＝T 时刻释放电子，电子先向左做匀加速直线运动，水平向左为速度正方向，在T 时刻速
度达到最大，然后做匀减速直线运动，图线三符合电子运动的v-t 图像，v-t 图像与t 轴所围的面积即为电子
的位移，在从开始出发到2T 时刻v-t 图像与t 轴所围的面积为正，电子的位移为正，所以电子在出发点左
边，C 正确；若t＝时刻释放电子，易分析得在从开始出发到2T 时刻v-t 图像与t 轴所围的面积为负，即位
移为负，电子在出发点的右边，D 错误。
模型三“等效重力法”在电场中的应用
1．等效重力法
把电场力和重力合成一个等效力，称为等效重力。如图所示，则F 合为等效重力场
中的“重力”，g′＝为等效重力场中的“等效重力加速度”；F 合的方向等效为“重
力”的方向，即在等效重力场中的“竖直向下”方向。
2．物理最高点与几何最高点
【典例1】如图甲所示，长为
、间距为d 的平行金属板水平放置，O 点为两板中点的一粒子源，能持续
水平向右发射初速度为
、电荷量为
、质量为m 的粒子。在两板间存在如图乙所示的交变电场，取竖
直向下为正方向，不计粒子重力，以下判断正确的是（ ）
A．能从板间射出的粒子的动能均相同
B．粒子在电场中运动的最短时间为
C．
时刻进入的粒子，从
点的下方射出
D．
时刻进入的粒子，从
点的上方射出
【答案】A
【详解】B．由图可知场强
则粒子在电场中的加速度
则粒子在电场中运动的最短时间满足
解得
故B 错误；
A．能从板间射出的粒子在板间运动的时间均为
则任意时刻射入的粒子射出电场时沿电场方向的速度均为0，可知射出电场时的动能均为
，故A 正
确；
C．
时刻进入的粒子，在沿电场方向的运动是：先向下加速
，后向下减速
速度到零；然后向
上加速
，再向上减速
速度到零…..如此反复，则最后从O′点射出时沿电场方向的位移为零，则粒子将
从O′点射出，故C 错误；
D．
时刻进入的粒子，在沿电场方向的运动是：先向下加速
，运动的位移
此时粒子已经到达下极板，即粒子不能从右侧射出，故D 错误。
故选A。
【典例2】地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正电荷的小球自电场中Р 点水平向左射
出。小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和电势能的零点均取在Р 点。则射出后，（ ）
A．小球的动能最小时，其电势能最大
B．小球的动能等于初始动能时，其电势能最大
C．小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大
D．从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量
【答案】BD
【详解】A．如图所示
故等效重力
的方向与水平成
。
当
时速度最小为
，由于此时
存在水平分量，电场力还可以向左做负功，故此时电势能不是
最大，故A 错误；
BD．水平方向上
在竖直方向上
由于
，得
如图所示，小球的动能等于末动能。由于此时速度没有水平分量，故电势能最大。由动能定理可知
则重力做功等于小球电势能的增加量， 故BD 正确；
C．当如图中v1所示时，此时速度水平分量与竖直分量相等，动能最小，故C 错误；
故选BD。
【典例3】如图甲，竖直平面中有平行于该平面的匀强电场，长为的绝缘轻绳一端固定于
点，另一端连
接质量为
、带电量为
的小球，小球绕
点在竖直面内沿顺时针方向做完整的圆周运动。图中
为水
平直径，
为竖直直径。从A 点开始，小球动能
与转过角度
的关系如图乙所示，已知重力加速度大
小为
，则（ ）
A．
为电场的一条等势线
B．该匀强电场的场强大小为
C．轻绳的最大拉力大小为
D．轻绳在
两点拉力的差值为
【答案】BC
【详解】AB．由图像知
为等效最低点，
为等效最高点，根据动能定理可知
解得
重力和电场力的合力在等效最低点与等效最高点连线上，运动距离为2l，则合力大小为mg，根据余弦定理
可知
解得
根据几何关系可知，电场强度方向和重力方向夹角为
，方向斜向上，如图所示
由于为匀强电场，则可知
不是电场的等势线，故A 错误，B 正确；
C．在等效最低点拉力最大，可得
解得
故C 正确；
D．在等效最高点拉力最小，可得
解得
则轻绳在等效最底点和最高点拉力的差值为
故轻绳在
两点拉力的差值为
，故D 错误。
故选BC。
【系统建模】等效法求解电场中圆周运动问题的解题思路
(1)求出重力与电场力的合力F 合，将这个合力视为一个“等效重力”。
(2)将a＝视为“等效重力加速度”。找出等效“最低点”和等效“最高点”。
(3)将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解。
1．（2025·山西·模拟预测）在水平向右的匀强电场中，一质量为
、电荷量为
的小球从
点以初速度
竖直向上抛出，其运动的轨迹如图所示。已知电场强度大小为
，小球运动轨迹上
、
两点在
同一水平线上，
为轨迹的最高点，不计空气阻力，已知重力加速度为
。下列说法错误的是（ ）
A．小球水平位移
B．小球运动至
点时的速度为
C．运动过程中的最小速度为
D．到达
点时，小球的速度方向与水平方向夹角为
【答案】D
【详解】A．对小球受力分析，可知小球在竖直方向受重力作用，做竖直上抛运动，即从A 到M 的时间与
从M 到B 的时间相等；小球在水平方向受电场力作用，做初速度为零的匀加速直线运动，可知水平方向的
两段位移
、
所用的时间相等，根据初速度为零的匀变速直线运动规律，小球水平位移
，故
A 正确，不符合题意；
B．小球从
点运动至
点的过程中，竖直方向做竖直上抛运动，竖直方向的速度为零，则运动时间为
故小球运动至
点只有水平方向的速度，而小球在水平方向做初速度零的匀加速直线运动，故小球运动至
点的速度为
，故B 正确，不符合题意；
C．将重力与电场力合成一个合力，设合力与水平方向的夹角为
，则有
解得
将小球初速度沿垂直合力方向分解为
故小球沿垂直合力方向做匀速直线运动；
沿平行合力方向分解为
其方向与合力方向相反，故小球沿平行方向的速度先减小再增大；当运动过程中速度最小时，沿平行合力
方向的速度为
，此时只有沿垂直合力方向的分速度，故最小速度为
，故C 正确，不符合题意；
D．到达
点时，在竖直方向，根据对称性原理，可知小球沿竖直方向的速度大小为，方向竖直向下，小
球沿水平方向的速度为
设小球的速度方向与水平方向夹角为
，则小球的速度方向与水平方向夹角的正切值为
，故
D 错误，符合题意。
本题选错误的，故选D。
2．（25-26 高三上·重庆沙坪坝·月考）如图所示的直角坐标系
中，在
区域内存在与
轴平行的
匀强电场（未画出），一质量为
、电荷量为
的带正电小球，从坐标原点
以某初速度水平向右抛出，
然后从
点进入电场区域，过
点时速度与水平方向夹角为
，其运动的轨迹如图所示，
点是小球向
右运动的最远点，其横坐标
，重力加速度为
。则下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的方向水平向右
B．从
点抛出的初速度大小为
C．小球在
段、
段运动时间之比为1 1∶
D．
点的坐标为（
）
【答案】C
【详解】A．小球在
区域做类平抛运动，B 是向右运动的最远点，说明水平方向做减速运动。小球
带正电，电场力方向与电场方向相同，因此电场方向水平向左，A 错误；
B．OA 段（平抛运动）：水平位移
，竖直速度
，A 点速度与水平方向夹角为 30°，即
解得
，B 错误；
C．OA 段（平抛运动）：水平位移
；AB 段水平方向为匀减速运动：
解得
，C 正确；
D．设A 点的纵坐标为h，小球在竖直方向上为自由落体运动，且OA 段与AB 段时间相同，则B 点的纵坐
标为4h
OA 段平抛运动：水平方向
，竖直方向
，
解得
，所以B 点的坐标为（3L，
），D 错误。
故选C。
3．（多选）绝缘水平地面的右侧固定一竖直光滑的绝缘圆弧轨道BCD，B 点与水平地面等高，O 为圆心，
C、D 分别为轨道最低点和最高点，F 点与圆心O 处于同一高度。在过B 点垂直于水平地面的虚线右侧存
在范围足够大的匀强电场，该电场的电场强度大小E=7.5×102V/m，方向水平向左。在同一竖直面内，一电
荷量q=+1×10-3C 的带电小球从离地面某一高度的A 点水平抛出，小球恰好从B 点沿切线方向进入轨道
BCD，且恰好能沿轨道做圆周运动。已知小球的质量m=0.1 kg，OB 与OC 的夹角θ=37°，轨道半径
R=0.4m。在整个运动的过程中，小球的电荷量保持不变。重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6。下列说
法正确的是（ ）
A．小球在A 点的速度大小为4m/s
B．小球在D 点时的速度最大
C．小球运动到C 点时，对轨道压力大小为5.75N
D．小球运动到F 点时，机械能最小
【答案】AD
【详解】AB．在B 点右侧区域，小球受到竖直向下的重力G=mg=1N
水平向左的电场力F 电=qE =0.75N
等效重力大小为
=1.25N
设等效重力方向与竖直方向夹角为
，则
解得
=37°
由于轨道半径OB 与竖直方向OC 的夹角为37°且B 点在左侧，可知等效重力方向沿半径指向B 点，因此B
点为等效重力场中的稳定平衡点（速度最大点），与B 点对称的
点为等效最高点（速度最小点）。小球
通过等效最高点
时满足
解得
从
点到B 点，根据动能定理
解得vB=5m/s
小球在B 点的速度水平分量为vA=vBcos37°
解得vA=4m/s，故A 正确，B 错误；
C．从B 点到C 点，根据动能定理
解得
由牛顿第二定律N−mg＝
解得N=6.75N，故C 错误；
D．当小球运动至电场力做功最大的F 点时机械能最小，故D 正确。
故选AD。
4．（多选）（2025·河南南阳·模拟预测）如图所示的装置由加速电场、辐射电场组成。一质量为m、带电
量为+q 的粒子（忽略重力）从加速电场的下孔飘入加速电场，从J 点以竖直向上的速度进入辐射电场，沿
圆弧虚线运动到P 点时以水平向右的速度离开电场。已知圆弧虚线处的电场强度大小为E，圆弧虚线的半
径为R，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在J 点的速度大小为
B．加速电场两极板间的电压为
C．粒子从J 点到P 点的运动时间
D．粒子从J 点运动到P 点的平均加速度的大小为
【答案】BD
【详解】AB．粒子在辐射电场中，由电场力提供向心力，则有
粒子在加速电场运动，由动能定理可得
综合解得
，
，故A 错误，B 正确；
C．粒子从J 点到P 点的运动时间为
，故C 错误；
D．速度的变化量大小
平均加速度的大小为
，故D 正确。
故选BD。
5．（2025·广东珠海·模拟预测）如图所示电路中，电源电动势
，内阻
，定值电阻
，
，把滑动变阻器的阻值调为
，待电路稳定后，以初速度
的带正电小球沿平行板电
容器
的中心线射入恰好沿直线运动，然后从
板中点处的小孔
进入平行板电容器
、
之间。
已知小球的电荷量
，平行板电容器
上下两极板的间距为
，平行板电容器
、
左
右极板的间距为
，极板
、
长均为
，极板
的右端与极板
的距离忽略不计。
当
、
极板间电压为
时，小球恰好从
极板的下端
点离开，且运动过程未碰到极板
。忽略
电容器的边缘效应，重力加速度
取
。求：
(1)平行板电容器
的电压；
(2)小球的质量；
(3)
、
极板间电压
。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据闭合电路欧姆定律可得电流为
解得
由欧姆定律可知，滑动变阻器两端的电压为
解得
滑动变阻器两端电压即为平行板电容器
的电压，有
（2）小球沿电容器
的中心线做直线运动，小球在竖直方向处于平衡状态，有
其中
联立解得小球质量为
（3）小球在平行板电容器AB、CD 间同时受到重力和电场力，其运动轨迹如图所示
将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，在竖直方向上，由自由落体运动的规律，得
解得
在水平方向上，小球做往返运动，根据运动的对称性可知，往返时间一样，小球向右的最大位移为
解得
说明小球不会碰到AB 极板，在水平方向上，根据匀变速直线运动速度与时间的关系，得
解得
小球在电容器AB、CD 间受的电场强度为
小球受到的电场力为
根据牛顿第二定律，有
联立解得
6．（2025·云南·模拟预测）空间中存在大小和方向均未知的匀强电场，一质量为m、电荷量为q（q > 0）
的带电粒子仅在电场力的作用下，先后通过A、B 两点，如图所示。带电粒子经过A 点时速度大小为v0，
方向与AB 连线成60°角，经过B 点时，速度大小为
，方向与AB 连线成30°角。通过A、B 两点的速度
在同一平面内，A、B 之间的距离为d。求：
(1)A、B 两点间的电势差；
(2)匀强电场的电场强度大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）带电粒子从A 点运动到B 点的过程中，由动能定理得
解得
（2）设沿
方向、垂直于
方向的电场强度大小分别为
、
，由牛顿第二定律得
，
带电粒子从A 点运动到B 点的时间为t，沿
方向由匀变速直线运动的规律得
，
沿垂直于
方向由匀变速直线运动的规律得
匀强电场强度大小为
解得
7．（2026 届山东省山东高考质量测评联盟高三上学期12 月质量检测物理试题）如图所示，
为竖直
平面内的光滑绝缘轨道，直轨道
和圆弧轨道
相切于
点，圆弧轨道半径为
，与水平面的夹角
，
、
两点间的距离为
，
为圆弧轨道的竖直直径，整个轨道处于水平向右的匀强电场中。
带正电的小球（可视为质点）质量为
，带电荷量为
（电荷量始终不变），若将小球从
点由静止释放，
则它运动到轨道最低点
时对轨道的压力大小为
，
为重力加速度，不计空气阻力。
(1)求匀强电场的电场强度的大小；
(2)现将小球从直轨道的A 点由静止释放，求小球通过圆弧轨道
的最大速度的大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）小球由B 运动到C 的过程，根据动能定理有
小球经过最低点C 时有
其中
联立解得
（2）小球所受电场力为
则小球所受重力和电场力的合力大小为
方向与竖直方向成
斜向右下，如图所示
设圆弧CD 上有一点为G 点，OG 与OC 成
角，则G 点与B 点等高，小球通过G 点时速度最大，则小球
由A 点运动到G 点的过程，根据动能定理得
解得
8．（2025·福建·模拟预测）如图所示，竖直正对放置的带电平行板间有水平加速电场，一质量为m、电荷
量为
的带电粒子从左极板附近由静止释放，从右极板上小孔（大小可忽略）以大小为
的速度水
平飞出，并正对圆心O 进入一半径为R 的圆形匀强电场区域，区域内存在竖直向下的匀强电场，圆形边界
上的P、
点将下半圆三等分且两点连线水平，粒子经电场偏转后恰好可以从P 点飞出，不计粒子重力及
空气阻力。
(1)求加速电场两极板间电压
的大小；
(2)求圆形区域匀强电场的电场强度E 的大小；
(3)若仅改变加速电场两极板间的电压大小，使粒子从
点射出圆形电场区域，求此时两极板间所加电压
的大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由动能定理有
解得
（2）粒子进入圆形匀强电场区域做类平抛运动，由几何关系得
竖直方向有
水平方向有
联立解得
（3）由于从
点射出时，粒子在电场中经历的时间与从P 点射出经历的时间相等，设此时粒子进入偏转
电场时的速度为
，则由
则结合（1）中结论可得
9．（2025·浙江·二模）如图甲所示，平行金属板M、N 水平固定放置，两板间加有如图乙所示的周期性变
化的电压，M、N 板右侧的BAC 区域内有竖直向上的匀强电场，M、N 板的右端均在竖直边AB 上，A 点到
M 板的距离为h，
质量为m、电量大小为e 的电子由静止开始，经电压也为
的电场加速后，连
续不断地沿与M、N 板平行的方向从两板正中间射入两板之间，所有电子都能从两板间飞出，且在两板间
运动的时间均为
时刻射入M、N 板间的电子恰好从M 板的右边缘飞出，已知
其中m，
e，h，t₀ 为已知量，不计电子的重力，求：
(1)金属板的板长；
(2)M、N 板间的距离;
(3)要使所有的电子均不能从AC 边射出，BAC 区域内的匀强电场的电场强度至少多大；
(4)在（1）（2）的条件下，若将BAC 区域改为垂直纸面向里磁感应强度为
的匀强磁场，已知点A
到M、N 板右端的水平距离为0（即电子从板右端射出后立即进入磁场），AC 的长度足够长，求从AC 边
界射出磁场的电子占电子数量的百分比。
【答案】(1)
(2)2h (3)
(4)
【详解】（1）设电子经加速电场加速后的速度大小为v0，根据动能定理
解得
则板长为
（2）从t=0 时刻进入M、N 板间的电子在垂直于极板方向先做匀加速运动后做匀减速运动，设电子运动的
加速度为a，则有
又因为
根据题意有
解得M、N 板间的距离为
（3）由于所有电子经过M、N 板的运动时间均为2t0，因此所有电子出M、N 间电场时，速度均沿水平方
向，且速度大小均为
要使所有电子均不从AC 边射出，则从M 板边缘飞出的电子在电场中的运动轨迹刚好与AC 相切。设电场
强度的大小为E2，则粒子在该电场中运动的加速度为
根据题意，从M 边缘飞出的电子运动到刚好与AC 相切的位置时，速度与水平方向夹角为53°，根据类平
抛规律则有
水平方向
竖直方向
根据几何关系有
联立解得BAC 区域内的匀强电场的电场强度至少为
（4）设从距离M 板为dy的P 点进入磁场的电子轨迹恰好与AC 相切，此时满足的几何关系为
洛伦兹力提供向心力
解得轨道半径
解得
又因为d=2h
故从AC 边界射出磁场的电子占比为
10．（25-26 高三上·湖南·月考）如图所示，空间存在水平向右的匀强电场，由水平粗糙轨道AB 与光滑圆
弧轨道BC 组成的绝缘轨道固定在竖直面内，圆弧轨道与水平轨道在B 点相切，AB 部分轨道足够长，圆弧
轨道的半径为R，OC 与水平方向的夹角为45°。将一个质量为m、电荷量为
的带电小物块在水平轨道上
某处由静止释放，物块沿轨道由C 点滑出，当物块的速度为零时位置刚好在O 点正上方。已知重力加速度
为g，匀强电场的电场强度
，物块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，物块可视为质点，求：
(1)物块开始释放的位置离B 点的距离为多少；
(2)物块在BC 轨道上运动时，对轨道的最大压力为多少；
(3)物块在AB 轨道上运动的总路程为多少。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由于OC 与水平方向夹角为45°，且
重力与电场力的合力方向与OB 的夹角为45°，因此物块从C 点滑出后，在电场中做类竖直上抛运动，根据
几何关系，C 点到最高点运动的距离
最高点离水平轨道的高度
设开始释放位置到
点距离为
，从释放到最高点，根据动能定理有
解得
（2）设物块第一次运动到圆弧轨道上D 点时物块对轨道的压力最大。由（1）分析可知，OD 与竖直方向
的夹角为
，设在D 点时速度为v，根据动能定理
解得
在D 点，根据牛顿第二定律
解得
根据牛顿第三定律，物块对圆弧轨道的最大压力
（3）当物块运动到B 点速度为零时，物块最终在BC 轨道上做往复运动，设物块在AB 轨道上运动的总路
程为，根据动能定理
解得
11．（黑龙江省龙东十校联盟2025-2026 学年高三上学期12 月月考物理试题）如图所示，竖直平面内有一
段绝缘的圆弧轨道AB 和绝缘的水平轨道BC 相切于B，其中AB 圆弧轨道的圆心为O，
，圆心角
，圆弧轨道光滑，BC 轨道粗糙且足够长，滑块与轨道间的动摩擦因数
，轨道AB 左侧
的区域存在一竖直向下匀强电场
，BC 轨道区域存在水平向右的匀强电场
，一质量为
，电量
的滑块以一定的初速度从电场
的左边界水平射入，滑块恰好能做直线运动，
假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
，
，
。求：
(1)滑块的电性和
的大小；
(2)若电场
大小不变，方向反向，要使滑块恰好能从A 点沿切线滑入轨道，求滑块刚到达B 点时，轨道对
滑块支持力大小；
(3)在第（2）问的条件下，若电场
的大小可在一定范围内调节，保证滑块始终未脱离轨道ABC，当
取不同值时，求滑块最终因摩擦而产生的热量。（Q 可用
表示）
【答案】(1)负电，
(2)
(3)见解析
【详解】（1）滑块在电场
中恰能做直线运动，根据受力平衡可知，电场力竖直向上，与场强方向相反，
滑块带负电；根据平衡条件可得
解得
（2）若电场
大小不变，方向反向，由牛顿第二定律可得
解得
滑块做类平抛运动，则有
，
使滑块恰好能从A 点沿切线滑入轨道，则有
联立解得滑块水平射入电场
时的初速度为
则有
滑块滑到B 点时，有
解得
在B 点，根据牛顿第二定律可得
联立解得
（3）滑块向右运动到速度为0 时，由动能定理得
解得
第一个临界值，当满足
可得
第二个临界值，当滑块回到A 点时，速度刚好减为0，有
，
解得
综上分析可知
①当
时，滑块最终因摩擦而产生的热量为
②当
时，滑块最终停在B 点，根据能量守恒可得
③当
时，滑块将从A 点飞离轨道，不符合题意。
12．（2025·河南南阳·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系的x、y 轴正方向分别水平向右和竖直向上，
第一、四象限存在竖直向上的匀强电场，第二、三象限存在另一竖直向上的匀强电场，其电场强度是一、
四象限内电场强度的2 倍，第一、四象限竖直固定放置内壁光滑绝缘的圆弧轨道OB，B 点在y 轴的负半轴
上，P 点是圆心，且OB=OP。现将质量为m、带电量为+q 的小球（视为质点）从第三象限的A 点以水平
向右的初速度v0抛出，运动到坐标原点O 时速度大小为2v0，从A 点运动到O 点过程中加速度的大小为
g，然后小球从O 点切入圆轨道沿圆弧轨道的内壁运动到B 点，重力加速度大小为g。
(1)求小球从A 点运动到O 点的时间以及第一、四象限匀强电场的电场强度大小；
(2)若小球从O 点沿圆弧运动到B 点的过程中在某点轨道对其弹力的大小等于小球所受重力大小，求O、B
两点的电势差，以及小球从A 点运动到B 点过程中对时间而言所受的平均作用力的大小；
(3)若A、B 两点等高，求小球从A 点运动到B 点的平均速度的大小。
【答案】(1)
，
(2)
，
(3)
【详解】（1）小球从A 点到O 点做类平抛运动的加速度竖直向上大小为g，设小球在O 点的速度与竖直
方向的夹角为
，把小球在O 点的速度分别沿着水平方向和竖直方向正交分解，则有
，
解得
，
由竖直方向上初速度为0 的匀加速直线运动规律可得从A 点到O 点的运动时间
设第一、四象限匀强电场的场强为E，则第二、三象限匀强电场的场强为2E，由牛顿第二定律可得
解得
（2）
是正三角形，由几何关系可知小球从O 点沿圆弧切线进入轨道，由
可知
电场力与重力等大反向，两力做功和为零，则小球从O 到B 做匀速圆周运动，轨道对其弹力提供向心力，
因某点轨道对其弹力的大小等于重力的大小，则
O、B 两点间的电势差
综合解得
，
小球从O 点到B 点的运动时间
小球从A 点到B 点速度的变化量为
设小球从A 点运动到B 点对时间而言所受的平均作用力的大小为
，由动量定理可得
综合可得
（3）若A、B 两点等高，则A、B 两点间距离
圆弧轨道的半径R2，即O、B 两点间距离
小球从O 点到B 点的运动时间
则小球从A 点运动到B 点的平均速度的大小为
13．（25-26 高三上·河北邢台·期中）如图甲所示，真空中两块相距为
、长度为
的平行金属板
、
与
电源连接（图中未画出），其中
板接地（电势为零），
板电势变化的规律如图乙所示（
、
均已
知）。
时刻，一比荷为
、带负电的粒子从极板上边界的
点沿极板方向进入电场，经
时间后第
一次经过两极板中线
，最终从
点离开电场，不计粒子重力。求：
(1)该粒子在电场中的加速度大小；
(2)
之间的距离；
(3)该粒子进入电场时的速度大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意分析可知电场强度大小为
粒子在电场中的加速度大小为
解得
（2）粒子经
时间后第一次经过两极板中线
，则
解得
（3）粒子最终从
点离开电场，第一种情况：从
点离开时速度偏向右下方，如图1 所示
有
解得
第二种情况：从
点离开时速度偏向左下方，如图2 所示
有
解得
综合以上两种情况可得粒子进入电场时的速度大小为
14．（25-26 高二上·甘肃兰州·期中）兰州重离子医院是我国首家利用重离子加速器技术开展肿瘤放射治疗
的医疗机构，专注于通过重离子放疗这一尖端技术为癌症患者提供精准治疗。该医院依托我国自主研发的
医用重离子加速器设备，主要服务于实体肿瘤患者的靶向治疗。如图甲是该医院某种X 射线机主要部分的
剖面图，其工作原理是在如图乙所示的
射线管中，从电子枪逸出的电子（初速度可忽略）被加速、偏转
后高速撞击目标靶，产生辐射，从而放出
射线，图乙中
、
之间的加速电压
，
、
两板之间的偏转电压
，电子从电子枪中逸出后沿图中虚线
射入，经加速电场和偏转电
场区域后，打到水平靶台的中心点
，虚线
与靶台ACB 在同一竖直面内，且AB 的长度为10cm。已知
电子质量
，电荷量
，偏转极板
和
长
、间距
，虚线
距离靶台的竖直高度
，不考虑电子的重力、电子间相互作用力及电子从电子枪中逸出时的初
速度大小，不计空气阻力。
(1)求电子进入偏转电场区域时速度的大小
；
(2)求电子经过偏转电场区域后的竖直方向的偏移量（位移）
；
(3)求靶台中心点
离
板右侧的水平距离
；（计算结果保留两位有效数字）。
【答案】(1)
(2)0.075m (3)0.50m
【详解】（1）对电子在加速电场中的加速过程列动能定理方程有
解得电子进入偏转电场区域时速度的大小为
（2）电子在偏转电场中做类平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，设电子在偏转电场中的运动时间
为，则有
电子在竖直方向上做匀加速直线运动，设其加速度为
，则有
又因为根据牛顿第二定律有
代入数据联立解得电子经过偏转电场区域后的竖直方向的偏移量为
（3）电子离开偏转电场后做匀速直线运动，运动轨迹如图所示：
由类平抛运动的规律可知，电子出射速度的反向延长线交于水平位移的中点，所以由几何关系有
代入数据解得
15．如图所示，
是一段位于竖直平面内的光滑绝缘的
圆形轨道，半径为
，其下端
点与水平绝
缘轨道平滑连接，整个空间存在水平向左的匀强电场。有一质量为
、带电量为
（
）可视为质点的
小滑块，从水平轨道上距离
点为的
点由静止释放。已知电场强度大小为
，滑块与水平轨道间的动
摩擦因数为
，重力加速度为
。
(1)若
、
，求滑块到达与圆心
等高的
点时，轨道对滑块作用力的大小；
(2)改变的大小，使滑块运动到最高点
点时脱离轨道。求滑块脱离轨道后在空中运动过程中的最小速度
大小；
(3)若
，为使滑块在圆形轨道
运动过程中不脱离轨道，求的取值范围。
【答案】(1)
(2)
(3)
或
（
）R
【详解】（1）设滑块到达
点时的速度为，由动能定理得
而
解得
设滑块到达
点时受到轨道的作用力大小为
，则
解得
（2）滑块运动到最高点
点时脱离轨道，此时速度大小为
，重力提供向心力
方法一：
水平方向滑块做匀减速运动
竖直方向做自由落体运动
合速度
解得，最小值
方法二：如图，将速度
沿垂直等效重力方向（
轴）和等效重力方向（
轴）分解，当
轴方向速度减
小为零时，速度有最小值
最小值为
（3）①要使滑块恰好始终沿轨道滑行，则滑至圆轨道
弧中点
时，由电场力和重力的合力提供向心
力，此时的速度最小（设为
）
则有
到
，由动能定理得
解得
②滑块滑至圆轨道
间中点
时，此时的速度为零。
到
，由动能定理得
解得
综上，为使滑块在圆形轨道
运动过程中不脱离轨道，的取值范围为
16.如图所示电路，
、
是水平放置的平行板电容器，电容
、板间距
，电源电动势
、内阻
。开关
断开时，一带电小球静止在两板的中点
。重力加速度
。
(1)求开关
断开时电容器的带电量
和带电小球的比荷
；
(2)闭合开关
，求带电小球运动到极板时的速度。
【答案】(1)
，
(2)
，方向竖直向下
【详解】（1）开关S 断开时，电容器两端的电压为
电容器的带电量
解得
带电小球受重力和电场力平衡，有
解得
（2）闭合开关
，电容器两端的电压为
带电小球向下运动，从
运动到
，由动能定理得
解得
，方向竖直向下。
17．（25-26 高三上·河北沧州·期中）如图所示，平行板A、B 竖直放置，距离为
，
、
板水平放置，
长度为
，间距为
，在
、
板右侧
处有一高度为
竖直放置的接收板，A、B 板中轴线，
、
板中央及接收板中点在同一直线上，在靠近
板中间位置由静止释放一质量为
、电荷量为
的正粒子，
粒子恰好打在接收板下端点，已知A、B 板间电压为
，不计粒子重力，求：
(1)粒子经加速电场后的速度大小；
(2)
、
板间电压
；
(3)粒子运动的总时间。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）对粒子在加速电场中的运动列动能定理方程有
解得粒子经加速电场后的速度大小为
（2）由分析可知，粒子在
、
板间做的是类平抛运动，出
、
板后做的是匀速直线运动，设粒子在
、
板间偏转的侧移为
，则根据类平抛运动的推论以及几何关系有
解得
设粒子在
、
板间射出时的速度偏向角为
，则有
解得
对粒子在
、
板间的运动列动能定理方程有
其中
联立解得
、
板间的电压为
（3）粒子在加速电场中做匀加速直线运动，则有
解得粒子在加速电场中运动的时间为
粒子在偏转电场运动时，其水平方向上做匀速直线运动，则有
解得粒子在偏转电场中运动的时间为
粒子出偏转电场后做匀速直线运动，则有
解得粒子出偏转电场后的运动时间为
所以粒子运动的总时间为
18．如图甲所示，电子加速器的加速电压为
，偏转电场的极板为相距为d 的两块水平平行放置的导体板。
大量电子由静止开始经加速电场加速后，连续不断地沿导体板的方向从两板正中间射入偏转电场。当两板
不带电时，这些电子通过两板之间的时间为
，当在两板间加如图乙所示的周期为
、偏转电压最大值
为
（
未知）的交变电压时，偏移量最大的电子恰好从两极板边缘射出，已知电子的电荷量为
，
质量为m，电子的重力和它们之间相互作用力均忽略不计，求：
(1)电子在
电压加速后，刚进入偏转电场时的速度
；
(2)偏转电场的偏转电压
；
(3)从距离中线上方
飞出偏转电场的电子进入偏转电场的时刻。
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【详解】（1）在加速电场中根据动能定理可得
解得
（2）电子在偏转电场中做分段类平抛运动，其中水平方向匀速运动，速度
竖直方向做分段匀变速运动，其速度-时间图像如图所示
从图可以看出在
时刻进入偏转电场电子，出偏转电场时上、下偏移量最大，依题意可得
由牛顿第二定律可得
由运动学公式则有
联立解得偏转电压
（3）设
时刻进入偏转电场的电子，会从中线上方
处飞出偏转电场，由运动公式可得
解得
所以在
时刻进入偏转电场的电子，会从中线上方
飞出偏转电场；同理可得
时刻进入偏转电场的电子，也会从中线上方
飞出偏转电场。
19．（2025·四川成都·一模）如图所示，由光滑绝缘圆弧轨道
与竖直支架
组成的装置固定于竖直面
内，C 点位于水平地面上，
两点的距离
。圆心O 点与A 点等高，轨道半径
，圆心角
，空间内存在水平向左的匀强电场。现从A 点静止释放一质量
，电荷量
的
带负电小球（可视为质点），小球以
的速度从B 点离开圆弧轨道后落到水平地面上的D 点（图中
未标出）。
，
，重力加速度
取
。求：
(1)匀强电场的场强大小E；
(2)小球到达B 点时轨道对小球的支持力大小N；
(3)小球落地点D 与C 点的距离d。
【答案】(1)
(2)9N (3)0.3625m
【详解】（1）由动能定理得
解得
（2）在B 点对小球由牛顿第二定律得
代入数据解得
（3）小球离开B 点后，水平方向做匀减速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，则水平方向由牛顿第
二定律得
水平方向由运动学公式得
，
竖直方向由运动学公式得
，
解得
，
（舍去），
20．虚线PQ、MN 间存在如图所示的水平匀强电场，一带电粒子质量为
、电荷量为
，从a 点由静止开始经电压为U＝100V 的电场加速后，垂直进入匀强电场中，从虚线MN
的某点b（图中未画出）离开匀强电场时速度与电场方向成
角。已知PQ、MN 间距d 为0.2m，带电粒
子的重力忽略不计。求：
(1)带电粒子刚进入匀强电场时的速率
；
(2)水平匀强电场的电场强度大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）带电粒子经过加速电场过程，根据动能定理得
解得带电粒子刚进入匀强电场时的速率为
（2）带电粒子离开匀强电场时速度与电场方向成
角，带电粒子水平方向的速度为
带电粒子在电场中运动的时间为
带电粒子在电场中的加速度
带电粒子水平方向有
联立水平匀强电场的电场强度大小为
